College Henri Dunant Troisième avril 2015 Brevet blanc 2 (2 heures) Épreuve de Mathématiques Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation. (4 points) Faites des phrases claires et précises. L’utilisation de la calculatrice est autorisée. Aucun prêt de matériel (calculatrice, compas ,règle , équerre, effaceur . . . ) n’est autorisé lors de l’épreuve. Les exercices proposés sont indépendants. Pour tous les exercices, toute trace de recherche, même imcomplète, sera pris en compte dans la notation. Exercice 1 : Calculs 4 points Donner les résultats des calculs suivants, en détaillant, sous la forme d’un entier naturel : √ 18 − √ √ √ 25 − 3 2 + 2 81 1 pt 1. Calculer 1 pt 2. Résoudre l’équation : 3x + 31 = 5x + 13 1, 2 × (102 )3 3. Calculer 3 × 105 59 4 11 4. Calculer + × 9 3 6 1 pt 1 pt Exercice 2 : Questionnaire à choix multiples 1,5 point 1,5 pt Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte. (Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse) Questions 1. 2. 3. A B C 93 × 10−5 9, 3 × 10−4 4, 5 √ 9 18 √ 2 12 7−1 75 7−11 L’écriture scientifique de 0, 00093 est 0, 93 × 10−3 La moitié de L’expression √ 18 est 74 × 7−2 est égale à 7−3 Exercice 3 : Pyramide 3,5 points La pyramide du Louvre est une pyramide régulière à base carrée de 35 m de côté. Sa hauteur est égale à 22 m. aire de la base × hauteur Rappel : Volume d’une pyramide = 3 1,5 pt 1. Calculer la valeur exacte du volume de cette pyramide, puis donner sa valeur arrondie au m3 près. 1/5 Troisième 0,5 pt 1,5 pt avril 2015 2. Dans un parc de loisirs, on souhaite construire une réduction de cette pyramide de 1 rapport . 5 (a) Calculer la hauteur de la reproduction. (b) Calculer le volume du modèle réduit. Donner le résultat arrondi au m3 près. Exercice 4 : Tableur 3,5 points Voici la copie d’écran d’une feuille de calcul obtenue à l’aide d’un tableur. Dans cet exercice, on cherche à comprendre comment cette feuille a été remplie. 1 pt 1. En observant les valeurs du tableau, proposer une formule à entrer dans la cellule C1, puis à recopier vers le bas. 1 pt 2. Le tableur fournit deux fonctions MAX et MIN. à partir de deux nombres, MAX renvoie la valeur la plus grande et MIN la plus petite. (Par exemple : MAX(23 ; 12) = 23) Quelle formule a été entrée dans la cellule A2, puis recopiée vers le bas ? 0,5 pt 3. Que représente le nombre figurant dans la cellule C5, par rapport aux nombres 216 et 126 ? 216 est-elle irréductible ? Si ce n’est pas le cas, la rendre irréductible en 4. La fraction 126 détaillant les calculs. 1 pt Exercice 5 : Géométrie 7 points On demande, pour l’ensemble de cet exercice, de justifier chaque réponse à l’aide d’une rédaction soignée. On considère la figure suivante qui n’est pas réalisée en vraie grandeur. On sait que : – les points S, P et E et B sont alignés ; – les points N, P, C et M sont alignés ; – les droites (M B) et (N S) sont parallèles. On donne : P M = 12 cm ; M B = 6, 4 cm ; P B = 13, 6 cm ; P N = 9 cm. 1,5 pt 1,5 pt 1. Démontrer que le triangle P BM est rectangle. 2. En déduire la mesure de l’angle P\ BM arrondie au degré près. 2 pts 3. Calculer la longueur N S. 2 pts 4. On considère le point E du segment [P B] tel que P E = 3, 4 cm et le point C du segment [P M ] tel que P C = 3 cm. Les droites (CE) et (M B) sont-elles parallèles ? 2/5 Troisième avril 2015 Exercice 6 : La loi d’Ohm 5 points En physique, la tension U aux bornes d’une « résistance » est proportionnelle à l’intensité I du courant qui la traverse, c’est-à-dire : U = R × I, où R (valeur de la résistance) est le coefficient de proportionnalité. On rappelle que l’unité d’intensité est l’ampère et que l’unité de tension est le volt. L’intensité I (en ampères) 0, 02 0, 03 La tension U (en volts) 1 pt 0,5 pt 0,5 pt 1 pt 0,5 pt 0,5 pt 1 pt 3 4, 5 0, 04 0, 08 6 12 1. (a) Vérifier que ce tableau est un tableau de proportionnalité. (b) Quel est le coefficient de proportionnalité ? (c) Calculer la tension U si l’intensité I vaut 0, 07 ampère. On nomme f la fonction qui donne la tension U en fonction de l’intensité I. 2. Préciser la nature de la fonction f et donner l’expression algébrique de f (I). 3. Dans le repère en annexe, tracer la représentation graphique de la fonction f . 4. (a) Lire graphiquement l’intensité quand U = 10 volts (donner une valeur approchée avec la précision permise par le graphique). (b) Déterminer par un calcul la valeur exacte de l’intensité quand U = 10 volts. Exercice 7 : La maison 7 points La maison de M. Dupont est assimilée à un parallélépipède rectangle surmontée d’un prisme droit. On donne : – AIB est un triangle isocèle en I ; – DC = 7, 6 m ; ED = 12, 3 m ; – BC = 2, 5 m ; KI = 4, 4 m ; – K milieu de [AB] ; – (IK)⊥(AB) M. Dupont désire installer des panneaux photovoltaïques sur le pan sud (AF JI) du toit de [ doit être d’environ 48◦ . sa maison. Pour cela, la pente du toit (représentée ici par l’angle KAI) 1,5 pt 1,5 pt 1 pt 1 pt 1 pt 1 pt [ et en donner la valeur arrondie au degré. 1. Calculer la mesure de l’angle KAI 2. Sachant qu’un panneau a une surface de 1, 6 m2 et possède un rendement de 1500 W/m2 (W/m2 : Watt par m2 ), M. Dupont décide d’installer 16 panneaux. √ (a) Démontrer que AI = 33, 8 m. On prendra la valeur arrondie au dixième de AI pour la suite des calculs, c’est-à-dire AI = 5, 8 m. (b) En déduire l’aire du pan AF JI de la toiture. (c) Calculer l’aire de la surface constituée par les 16 panneaux photovoltaïques. (d) Quel pourcentage du pan AF JI de la toiture représentent les panneaux photovoltaïques ? (e) Quelle sera la puissance totale en W délivrée par ces 16 panneaux ? 3/5 Troisième avril 2015 Exercice 8 : Programme de calculs 4,5 points Chaque question peut être résolue sans avoir fait les précédentes Léa dit à Zoé : « Choisis un nombre x ; ajoute 5 au double de x ; calcule alors le carré du nombre obtenu et retranche-lui 16 ». 1 pt 1. Quel résultat trouvera Zoé si elle choisit x = −4 ? 0,5 pt 2. Léa propose à Zoé trois expressions dont l’une correspond au calcul qu’elle lui à fait faire. Voici ces trois expressions : A = (x + 5)2 − 16 B = (2x + 5)2 − 16 C = 16 − (2x + 5)2 1 pt 3. Montrer que L’expression C ci-dessus peut s’écrire sous la forme développée et réduite −4x2 − 20x − 9 1 pt 4. (a) Factoriser l’expression B (voir question 2.) 1 pt (b) Calculer B pour x = −4 à partir de cette expression factorisée. Que vérifie-t’on en faisant cela ? 4/5 Troisième avril 2015 5/5