1. No category

Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction
Exercice 5 ( Bac ES Métropole 2013 ) :
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 1/13
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 2/13
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction
Exercice 6 ( Bac ES Centres étrangers 2012 ) :
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 3/13
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 4/13
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction
Exercice 7 ( Bac ES Amérique du Nord 2013 ) :
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 5/13
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 6/13
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction
Exercice 8 : Retour sur l'exercice 1
On a vu dans l'exercice 1 que l'évolution de la population de deux ville A et B était régi par la graphe probabiliste suivant :
 0,95 0,05 

 0,2 0,8 
Sa matrice de transition est donc M = 
L'état probabiliste initial était P0 = (
1
4
3
)
4
On sait que pour tout n  1, l'état probabiliste Pn l'année n peut se calculer par : Pn = P0 × Mn
1 ) En utilisant la calculatrice, observer des valeurs approchées des matrices P15 ; P20 ; P30 . Que constatez-vous ?
A la calculatrice, on trouve P15 ≈ ( 0,793 0,207 )
P20 ≈ ( 0,798 0,202 )
P30 ≈ ( 0,8 0,2 )
On a l'impression que lorsque n devient de plus en plus grand Pn se rapproche de ( 0,8
0,2 )
2 ) Modifier l'état probabiliste P0 et analyser si la situation à long terme semble dépendre ou non de l'état initial.
Prenons par exemple P0 = ( 0 1) on obtient alors encore P30 ≈ ( 0,8 0,2 )
Prenons par exemple P0 = ( 1 0) on obtient alors encore P30 ≈ ( 0,8 0,2 )
Prenons par exemple P0 = ( 0,5 0,5) on obtient alors encore P30 ≈ ( 0,8 0,2 )
On a l'impression que quelque soit l'état initial la situation à long terme va être la même. donc la situation à long
terme ne semble pas dépendre de l'état initial.
On a l'impression que quel que soit l'état initial, la situation semble tendre vers un "état limite" P = ( 0,8
Cet état limite s'appelle l'état stable du graphe probabiliste
0,2 )
3 ) On a vu précédemment qu'on pouvait trouver l'état stable en calculant à la calculatrice P20 ou P30 ... .
On va trouver l'état stable par le calcul. Pour cela on va utiliser la propriété suivante :
Propriété : l'état stable P vérifie l'égalité matricielle P = P × M
Méthode : On pose P ( x y )
Etape 1 : A l'aide de la propriété précédente, vérifier que x et y sont solutions du système :
 − 0,05 x + 0,2 y = 0
 0,95 x + 0,2 y = x

soit encore 
0,05
x
+
0,8
y
=
y

 0,05 x − 0,2 y = 0
Que remarquez-vous si vous multipliez la 1ère des 2 équations par − 1 ?
En multipliant la 1ère équation par −1, on obtient la deuxième équation.
Etape 2 : La remarque précédente traduit le fait que les deux équations du système obtenu précédemment sont équivalentes
( cela revient à dire que le système ne donne qu'une équation ).
Pour trouver x et y, il faut trouver une autre équation : P étant un état probabiliste, quelle égalité pouvez-vous écrire
entre x et y ? on a x + y = 1
0,05 x − 0,2 y = 0
. En déduire l'état stable du système.
 x+y=1

Etape 3 : Résoudre le système 
0,05 x − 0,2 y = 0
0,05
x + 0,05 y = 0,05


On peut multiplier la 2ème équation par 0,05 et on obtient alors : 
0,05
= 0,2
0,25
P = ( 0,8 0,2 )
En retranchant membre à membre ces deux équations, on obtient : 0,25 y = 0,05 soit y =
Comme x + y = 1 , on en déduit que x = 0,8. L'éat stable du système est donc bien
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 7/13
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction
Exercice 9 : ( d'après sujet Bac ES Amérique Sud 2012 )
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 8/13
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction
Exercice 10 : ( sujet Bac ES Polynésie 2013 )
Alors qu'une entreprise A possédait le monopole de l'accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente B est
autorisée à s'implanter.
Lors de l'ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d'accès B, l'entreprise A possède 90% du marché et
l'entreprise B possède le reste du marché.
Dans cet exercice, on suppose que chaque année, chaque internaute est client d'une seule entreprise A ou B.
On observe à partir de 2010 que chaque année:
* 15% des clients de l'entreprise A deviennent des clients de l'entreprise B,
* et 10% des clients de l'entreprise B deviennent des clients de l'entreprise A.
Pour tout entier naturel n, on note:
* an la probabilité qu'un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à internet fourni par l'entreprise A
pour l'année 2010 + n,
* et bn, la probabilité pour que son fournisseur d'accès en 2010 + n soit l'entreprise B.
On note Pn = (an bn) la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année 2010 + n et on a ainsi a0 = 0,9 et b0 = 0,1.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 9/13
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 10/13
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction
Exercice 11 : ( sujet Bac ES Amérique Nord 2012 )
Un club de sport propose à ses adhérents deux types d'abonnements :
* l'abonnement de type A qui donne accès à toutes les installations sportives,
* et l'abonnement de type B qui, en plus de toutes les installations sportives, donne accès au sauna, au hammam et au
jacuzzi.
Chaque adhérent doit choisir un des deux abonnements.
En 2010, 80% des clients ont choisi l'abonnement de type A.
On considère ensuite que 30% des adhérents ayant un abonnement de type A changent d'abonnement pour l'année
suivante, tandis que 10% des adhérents ayant un abonnement de type B changent d'abonnement pour l'année suivante.
Soit n un entier supérieur ou égal à 0.
On note an la proportion des adhérents ayant un abonnement de type A l'année 2010 + n.
La proportion des adhérents ayant un abonnement de type B l'année 2010 + n est donc égale à 1 − an
Enfin on note Pn = ( an
1 − an ) la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année 2010 + n.
Le but de l'exercice est de déterminer de deux façons différentes la limite de la suite (an)
Partie A : Graphe probabiliste
5. Déterminer l'état stable de cette situation
L'état stable P = ( x
soit
y ) vérifie P = P × M.
x = 0,7 x + 0,1 y

 y = 0,3 x + 0,9 y
⇔


−
Donc ( x
 0,7 0,3 
×(x
 0,1 0,9 
y)=
0,3 x − 0,1 y = 0
0,3 x + 0,1 y = 0
y)
0,3 x − 0,1 y = 0
On garde une de ces deux équations et on utilise la relation x + y = 1. On a alors 
x+ y=1
 0,3 x − 0,1 y = 0
En multipliant la 2ème équation par 0,3, on obtient 
 0,3 x + 0,3 y = 0,3
0,3
En retranchant membre à membre, il vient : 0,4 y = 0,3 soit y =
= 0,75 et donc x = 0,25
0,4
L'état stable est donc P = ( 0,25 0,75 )
6. En déduire la limite de la suite (an) et interpréter concrètement ce résultat.
D'après l'état stable obtenu précédemment, on en déduit que la suite (an) converge vers 0,25. Cela signifie qu'à
long terme, 25 % des clients choisiront l'abonnement de type A.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 11/13
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Partie B : Probabilités conditionnelles et suites
Dans cette deuxième partie, on ne tient pas compte des résultats
obtenus dans la partie précédente.
7. Recopier l'arbre ci-contre et le compléter avec les probabilités
manquantes.
8. Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 0 :
an + 1 = 0,6 an + 0,1
an + 1 = P(An+1) = 0,7 an + 0,1 ( 1 − an )
an + 1 = 0,7 an + 0,1 − 0,1 an
an + 1 = 0,6 an + 0,1
Correction
0,7
0,3
0,1
1 − an
0,9
9. Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, on pose un = 4 an − 1.
a. Montrer que la suite (un) est géométrique de raison 0,6.
Formules à disposition :
(1) : an + 1 = 0,6 an + 0,1
(2) : un = 4 an − 1
But à atteindre :
pour démontrer que (un) est géométrique de raison 0,6
il faut prouver que un + 1 = 0,6 un
Pour le prouver on calcule séparément un + 1 et 0,6 un
Calcul de un + 1
Avec (2) : un + 1 = 4 an + 1 − 1
Avec (1) : un + 1 = 4 ( 0,6 an + 0,1 ) − 1
un + 1 = 2,4 an + 0,4 − 1
un + 1 = 2,4 an − 0,6
Calcul de 0,5 vn
Avec (2) : 0,6 un = 0,6 ( 4an − 1 )
0,6 un = 2,4 un − 0,6
Les 2 calculs un + 1 et 0,6 un ont conduit au même résultat donc un + 1 = 0,6 un
La suite (un) est donc géométrique de raison 0,6
b. En déduire l'expression de un en fonction de n
(un) est une suite géométrique de raison 0,6 avec u0 = 4 a0 − 1 = 4 × 0,8 − 1 = 2,2
Donc pour tout entier naturel n , on a un = 2,2 × 0,6n
10. En déduire que pour tout n : an = 0,55 × 0,6 n + 0,25
un = 2,2 × 0,6n = 4 an − 1
4 an − 1 = 2,2 × 0,6n
4 an = 2,2 × 0,6n + 1
2,2 × 0,6n + 1 2,2 × 0,6n 1
1
an =
=
+ = 0,55 × 0,6n +
4
4
4
4
an = 0,55 × 0,6n + 0,25
11. Calculer la limite de la suite (an).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 12/13
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction
Exercice 12 :
Trois grandes surfaces commerciales concurrentes A, C et L distribuent un même produit.
Au début de la vente de ce produit ( mois 0 ) ,
seule L le distribue.
En fonction de la demande, la distribution évolue d'un mois sur l'autre
entre les différents distributeurs.
Cette évolution est représentée par le graphe probabiliste ci-contre.
1. a. Donner la matrice de transition M de ce graphe.
 0,7 0,1 0,2 
En prenant les sommets par ordre alphabétique ( A, C, L ), on a M =  0,1 0,8 0,1 
 0,1 0 0,9 
b. Pour tout entier naturel n, on note Pn = ( an cn ln ) la matrice représentant la répartition des parts de marché pour
ce produit, au mois n, suivant les trois surfaces commerciales A, C et L.
Calculer P2 et P5.
L'état initial est P0 = ( 0
0
1)
2
P2 = ( 0,16
0,01
0,83 )
5
P5 ≈ ( 0,23
0,05
0,72 )
P2 = P0 × M . A la calculatrice, on obtient
P5 = P0 × M . A la calculatrice, on obtient
2. Les ventes mensuelles du produit sont en moyenne de 100 000 unités par mois.
Le bénéfice du distributeur A est de 1,05 €, celui du distributeur C est de 1,20 € et celui de L est 0,80 €.
a. Les distributeurs A et C arrêtent la vente du produit si, à long terme, le bénéfice réalisé reste inférieur à 25 000 €.
Le distributeur L arrête la vente de son produit si son bénéfice est inférieur à 45 000 €.
Parmi ces 3 distributeurs, lequel (lesquels) pense(nt) arrêter la vente du produit au bout de 5 mois ?
Au bout de 5 mois, A distribue environ 23 % des 100 000 unités soit environ 23 000 unités. Son bénefice est
d'environ 23 000 × 1,05≈ 24150 €
Pour C, on obtient 5 000 × 1,20 ≈ 6000 €
Pour L, on obtient 72 000 × 0,80 ≈ 57600 €
Les distributeurs A et C devraient envisager d'arrêter la vente alors que L devrait envisager de la
poursuivre.
b. On note P = ( x
y
z ) l'état stable de ce graphe.
En utilisant la calculatrice, déterminer une valeur approchée au millième de cet état stable (*).
Les distributeurs A, C et L auront-ils intérêt, à long terme, à arrêter la vente du produit ?
Pour trouver l'état stable, on peut par exemple calculer P100 = P0 × M100.
P100 ≈ ( 0,25
0,125
0,625 )
Les bénéfices seront alors de :
pour A : 0,25 × 100 000 × 1,05 ≈ 26 250 €
pour C : 0,125 × 100 000 × 1,20 ≈ 15 000 €
pour L : 0,625 × 100 000 × 0,80 ≈ 50 000 €
A long terme, A et L devraient envisager de poursuivre la vente et C devrait envisager de l'arrêter.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Correction page 13/13