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Term ES-Spé Maths
Ch 3 : Optimisation d'un graphe
Exercice 1 : Un graphe pour optimiser ....
Le graphe ci-contre représente le plan d'un zoo. Le sommet A
représente l'entrée du zoo; les sommets B, C, ..., G désignent les
différents secteurs animaliers. Une arête représente l'allée reliant
deux secteurs. Les nombres figurant sur les arêtes représentent les
distance de parcours ( en mètres) ..
1 ) Déterminer la longueur du trajet A B D F G.
2 ) Déterminer la longueur du trajet A E D C G.
3 ) On cherche à déterminer le trajet le plus court entre les points A et G. Pour cela, on pourrait chercher tous les trajets
possibles entre A et G et déterminer leurs longueurs. Cette "méthode" est trop fastidieuse, surtout si le graphe a
un ordre élevé.
Il existe une méthode pour déterminer le trajet le plus court : l'algorithme de Dijkstra-Moore
Etape
1
2
3
4
5
Tâches à effectuer
* Placer tous les sommets du graphe sur la 1ère ligne d'un tableau en commençant par le sommet de
départ et en terminant par le sommet d'arrivée
* Sur la 2ème ligne du tableau, écrire le coefficient 0 sous le sommet de départ et le coefficient " ∞ "
sous tous les autres sommets.
* Sur la dernière ligne écrite, repérer le sommet X de coefficient minimal.
* Commencer une nouvelle ligne et rayer toutes les cases vides au-dessous du sommet X
* Pour chaque sommet Y adjacent à X, calculer la somme P du coefficient de X et du poids de l'arête
reliant X à Y :
Si P est strictement inférieur au coefficient de Y, inscrire PX dans la case correspondante audessous de Y
Sinon, garder le coefficient de Y
* Compléter la ligne par les coefficients de la ligne précédente
* S'il reste des sommets non sélectionnés, recommencer à l'étape 2
* Sinon, passer à l'étape 5
* La longueur minimale est le nombre lu dans la dernière ligne du tableau.
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Exercice 2 :
1 ) Dans le graphe ci-dessous, déterminer une plus courte
chaîne permettant de relier les sommets A et G à l'aide d'un
algorithme à préciser.
2 ) Dans le graphe ci-dessous, déterminer une plus courte
chaîne permettant de relier les sommets A et D à l'aide d'un
algorithme à préciser.
Exercice 3 :
Le graphe ci-contre représente un réseau
de rivières, la durée moyenne des
promenades entre deux jonctions et
le sens d'écoulement de l'eau.
Deux groupes d'amis font du kayak.
1 ) Le 1er groupe suit le chemin D-B-E-G-A, le second groupe suit le chemin D-F-E-C-A. Quel groupe arrivera le 1er ?
2 ) Déterminer, en expliquant la méthode utilisée le chemin le plus court ( entre le départ et l'arrivée ). Quelle est la
longueur de ce chemin?
Exercice 4 :
Le graphe ci-contre représente le plan d'une ville.
Le sommet A désigne l'emplacement des services techniques.
Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les emplacements des
jardins publics.
Une arête représente l'avenue reliant deux emplacements et est
pondérée par le nombre de feux tricolores situés sur e trajet.
Proposer un trajet comportant un minimum de feux tricolores reliant A à G.
( on justifiera ce trajet à l'aide d'un algorithme à préciser )
Exercice 5 :
1 ) Trouver un plus court chemin du sommet 1 au sommet 7 dans le
graphe pondéré ci-contre.
2 ) On augmente le poids de chaque arête de deux unités.
Le chemin de 1 à 7 trouvé à la question 1 est-il toujours un plus court chemin ?
Exercice 6 :
Un projet de construction d'une autoroute entre les villes
1 et 11 est à l'étude. Les arêtes orientées du graphe cidessous représentent les différents tronçons susceptibles
d'être choisis pour le tracé. Le graphe est pondéré : le
poids de chaque arête représente le coût de construction,
en millions d'euros, du tronçon qu'elle représente.
1 ) Trouver le projet dont le coût total de construction est minimum.
2 ) Le démarrage des travaux ayant pris un gros retard, une révision des coûts est appliquée, qui a pour effet de les
augmenter uniformément de 5 %. Expliquer pourquoi le projet trouvé au 1 ) est toujours le moins coûteux.
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Exercice 7 ( sujet Bac ) :
Un orchestre doit effectuer une tournée passant par les
villes A, B, C, D, E, F, G et H en utilisant le réseau
autoroutier.
Le graphe ci-contre représente les différentes villes de la
tournée et les autoroutes reliant ces villes ( une ville
est représentée par un point, une autoroute par une
arête ) :
1 ) Est-il possible d'organiser la tournée en passant au moins une
fois par chaque ville, tout en empruntant une fois et une seule
chaque tronçon d'autoroute ? ( la réponse sera justifiée ).
Si oui, citer un trajet de ce type.
2 ) On appelle M la matrice d'adjacence associée à ce graphe
( le sommets étant pris dans l'ordre alphabétique ).
On s'intéresse aux chemins de longueur 3 reliant B à H.
a ) Combien en existe-t-il ( la réponse sera justifiée ) ?
b ) Préciser ces chemins.
3 ) Des contraintes de calendrier imposent en fait d'organiser un concert dans le ville F
immédiatement après un concert dans la ville A.
Le graphe précédent a été complété par les longueurs en kilomètres de chaque tronçon ( les
longueurs des segments ne sont pas proportionnelles aux distances réelles ).
Déterminer, en utilisant un algorithme dont on citera le nom, le trajet autoroutier le plus court
( en kilomètres ) pour aller de A à F. Préciser la longueur en kilomètres de ce trajet.
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Exercice 8 ( sujet Bac ) :
Dans le graphe ci-contre, les sommets
représentent différentes zones de
résidence ou d'activités d'une
municipalité. Une arête reliant deux de
ces sommets indique l'existence d'une
voie d'accès principale entre les lieux
correspondants.
1 ) Donner, sans justifier, le degré de chaque sommet ( la réponse sera donnée sous forme d'un
tableau où les sommets seront mis par ordre alphabétique )
2 ) a ) Donner la matrice M associée au graphe ( les sommets seront pris dans l'ordre
alphabétique )
b ) Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3 reliant A et F puis donner
leur liste.
3 ) a ) Pour sa campagne électorale, un candidat souhaite parcourir toutes les voies d'accès
principales de ce quartier sans emprunter plusieurs fois la même voie.
Est-ce possible ? Justifier. Si oui, proposer un tel parcours.
b ) Est-il possible de trouver un tel parcours en revenant au point de départ ? Justifier. Si oui,
proposer un tel parcours.
4 ) Dans le graphe ci-contre, les valeurs
indiquent, en minutes, les durées
moyennes des trajets entre les
différents lieux via les transports en
commun.
Notre candidat se trouve à la
mairie (A) quand on lui rappelle
qu'il a un rendez-vous avec le
responsable de l'hôpital situé en
zone G.
Déterminer le trajet de durée minimale que ce candidat devra emprunter ainsi que la durée de ce
trajet ( on justifiera à l'aide d'un algorithme que l'on précisera ).
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Exercice 9 ( sujet Bac ) :
Un guide de randonnée en montagne décrit les itinéraires possibles autour d'un pic rocheux.
La description des itinéraires possibles est donnée par le graphe ci-contre. Les sommets de ce graphe
correspondent aux lieux remarquables; les arêtes de ce graphe représentent les sentiers possibles entre
ces lieux.
1 ) Donner un itinéraire allant de D à A passant par tous les sommets du graphe une seul fois mais
n'empruntant pas forcément tous les sentiers.
2 ) Existe-t-il un itinéraire allant de D à A utilisant tous les sentiers une seule fois ? Justifier votre
réponse.
3 ) On note M la matrice d'adjacence associée à ce graphe ( les sommets étant pris dans l'ordre).
On donne
a ) Que représente le nombre 89 situé sur la deuxième ligne de cette matrice ?
b ) Déterminer le nombre d'itinéraires allant de D à A empruntant 5 sentiers. Citer un tel itinéraire
passant par le pic rouge.
4 ) On a complété ci-contre le graphe
décrivant les itinéraires avec les
temps de parcours en minutes pour
chacun des sentiers.
Déterminer l'itinéraire allant de D à A
le plus court en temps. On fera
apparaître la démarche en utilisant
un algorithme.
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Exercice 10 ( sujet Bac ) :
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
On considère le graphe ci-contre :
Partie A : Etude de ce graphe
1 ) Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ?
( la réponse devra être justifiée ). Si oui,
donner une telle chaîne.
2 ) Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? ( la
réponse devra être justifiée ). Si oui, donner
un tel cycle.
3 ) Donner la matrice M associée à ce graphe
( les sommets seront pris dans l'ordre
alphabétique E ; H ; L ; O ; P ; T ; W )
Partie B : Voyage scolaire
La classe de Terminale d'Arthur est en voyage scolaire en Angleterre. Les professeurs
organisateurs de ce voyage décident de visiter plusieurs sites de Londres.
Les sites retenus dans Londres sont les
suivants : Warren Street, Oxford Circus,
Picadilly Circus, Leicester Square,
Hollborn, Embankment et Temple; ces
lieux sont désignés respectivement par
les lettres W, O, P, L, H, E et T et sont
représentés dans le graphe donné cicontre ( chaque sommet représente un
site à visiter et chaque arête une route
reliant deux sites ).
Les élèves sont laissés en autonomie deux heures
pour faire du shopping et ramener des
souvenirs à leurs familles. Le point de rendezvous avec les organisateurs est fixé à Temple.
Les temps de parcours en minutes entre chaque
sommet ont été ajoutés sur le graphe.
Arthur, qui est à Oxford Circus, n'a pas vu le temps passer. Lorsqu'il s'en rend compte, il ne lui
reste plus que 40 minutes pour arriver à Temple.
Peut-il arriver au lieu de rendez-vous sans retard ? La réponse sera justifiée à l'aide d'un
algorithme que l'on précisera.
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