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Term ES-Spé Maths
Ch 4 : Graphes probabilistes
Exercice 1 : Des probabilités vers les graphes .....
Deux villes A et B totalisent une population d’un million d’habitants.
On suppose qu’en l’année 0, un quart des habitants est en A ( et donc trois quart est en B )
La ville A est plus agréable, mais la ville B offre de meilleurs salaires. On a constaté que chaque année :
* 5 % des habitants de A partent habiter B pour augmenter leur niveau de vie.
* et 20 % des habitants de B partent habiter A pour avoir un cadre de vie meilleur.
On suppose qu'aucun habitant de A ou de B ne déménage dans une autre ville que A ou que B et qu'aucun "étranger" ne
vient s'installer dans A ou dans B.
Le but de l'exercice est de déterminer la population de A et de B au bout de 1, 2 .., 10 ans.
On note :
* A0 l'évènement " un habitant pris au hasard habite A l'année 0 ". On note p0 la probabilité de A0 ( on a donc p0 = ........ )
* B0 l'évènement " un habitant pris au hasard habite B l'année 0 ". On note q0 la probabilité de B0 ( on a donc q0 = ........ )
De la même façon, on note
* An l'évènement " un habitant pris au hasard habite A l'année n " et pn sa probabilité.
* Bn l'évènement " un habitant pris au hasard habite B l'année n " et qn sa probabilité.
1)
a ) Compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
Année 0
Année 1
2)
a ) Compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
Année 1
b ) Démontrer que p1 = 0,3875 et que q1 = 0,6125
b ) Comme précédemment, calculer p2 et q2
Année 2
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3 ) Si l'on veut calculer les populations des villes A et B les années suivantes, on pourrait poursuivre de la même manière en
construisant des arbres successifs, mais la méthode est fastidieuse.
Pour pouvoir calculer plus rapidement les populations les années suivantes, on va utiliser un graphe probabiliste
comme ci-dessous :
a ) Compléter ce graphe.
b ) Quelle remarque pouvez-vous faire sur les poids des arêtes issues d'un même sommet ?
c)
Compléter le tableau cidessous :
A
B
A
...
0,05
B
...
...
La matrice M associée à ce tableau est appelée
matrice de transition du graphe
probabiliste :
 .....
 .....
M=
.....
.....



d ) Quelle remarque pouvez-vous faire sur les lignes de cette matrice ?
4 ) On appelle état probabiliste initial la matrice ligne P0 = ( p0
entre les villes A et B l'année 0.
Ainsi P0 = ( ........
q0 ) correspondant à la répartition des populations
........ ).
5 ) De la même façon, on appelle état probabiliste l'année n, la matrice ligne Pn = ( pn
qn )
a ) Vérifier que P1 = P0 × M
b ) Vérifier que P2 = P1 × M
6 ) les égalités précédentes peuvent se schématiser de la façon suivante :
P0
P1
×M
P2
×M
a ) A l'aide de ce schéma, exprimer P2 en fonction de P0 :
b ) Exprimer P10 en fonction de P0 :
c ) En utilisant la calculatrice, calculer P10 . Interpréter ce résultat pour la situation initiale.
7 ) Le schéma de la question 6 peut se généraliser et donne le théorème suivant ( admis )
Soit M la matrice de transition d'un graphe probabiliste et soit P0 la matrice ligne décrivant l'état initial.
Si Pn désigne l'état probabiliste à l'étape n, alors :
* Pn +
1
= Pn × M
* Pn = P0 × M n
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Exercice 2 :
1 ) Compléter chacun des graphes suivants pour qu'il soit un graphe probabiliste.
Graphe 1
Graphe 2
Graphe 3
2 ) Ecrire la matrice de transition de chacun des graphes précédents.
Exercice 3 :
1 ) Compléter les matrices ci-dessous pour qu'elles soient des matrices de transition de graphes probabilistes.
1
1
..........
8
8
0,23
0,54
..........
4
1
 0,1 .......... 
..........
M1 = 

M2 = 0,05 .......... 0,76
M3 =
5
5
 0,05 .......... 
.......... 0,38
0,35
3
1
..........
16
8














2 ) Pour chacune des matrices précédentes, construire un graphe probabiliste correspondant.
Exercice 4 :
Pour financer ses vacances, Katia travaille dans un service de vente par téléphone. Chaque jour elle contacte une liste de
clients pour leur proposer un produit.
Après un grand nombre d'appels, elle constate que :
* si un client contacté achète son produit, elle prend confiance et vend son produit au client suivant une fois sur deux.
* si le client refuse son produit, elle a du mal a convaincre le client suivant et elle ne vend alors son produit qu'une fois
sur cinq.
1 ) Traduire les données par un graphe probabiliste.
2 ) Ecrire la matrice de transition de ce graphe.
3 ) a ) Aujourd'hui, Katia a convaincu son 1er client. Ecrire l'état initial sous la forme d'une matrice ligne P1.
b ) Déterminer l'état probabiliste à l'étape 10. Quelle est la probabilité que Katia arrive à convaincre son 10ème client ?
4 ) Reprendre la question 3 en supposant que Katia n'ait pas convaincu son 1er client.
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Exercice 5 ( Bac ES Métropole 2013 ) :
Un chauffeur-livreur réside en Italie dans la ville d'Aoste. Quatre fois par mois, son employeur l'envoie livrer du matériel
informatique dans la ville de Florence. Il est établi que le trajet en camion coûte, en carburant, 0,51 euro au kilomètre. Le
chauffeur dispose d'un budget mensuel de 2200 euros pour son carburant. Ce qu'il réussit à économiser lui permet de
toucher une prime P équivalente en fin de mois. Il consulte donc la carte routière ci-dessous pour optimiser ses trajets. Le
graphe ci-dessous indique les distances entre les différentes villes d'Italie: Aoste, Milan, Parme, Turin, Gène, La Spézia,
Bologne et Florence. Chaque ville est désignée par son initiale.
Les deux parties sont indépendantes.
PARTIE A.
1. Déterminer le trajet le plus court entre Aoste et Florence.
( On indiquera les villes parcourues et l'ordre de parcours).
2. Déterminer le budget carburant nécessaire aux quatre voyages aller-retour du mois ( le résultat sera arrondi à l'euro près).
En déduire le montant de la prime P qui lui sera versé en fin de mois, à l'euro près.
PARTIE B: Traversée de Parme.
Durant le trajet le chauffeur est obligé de traverser Parme et ses très nombreux feux tricolore
Lorsque le feu est orange, le chauffeur se comporte comme lorsqu'il est rouge, il s'arrête.
L'expérience lui a permis d'établir que s'il se présente à un feu , il se produit les événements suivants:
• Arrivé au feu, celui-ci est au vert ( V ) : la probabilité que le suivant soit au vert est de 0,85
• Arrivé au feu, celui-ci est au rouge ( R ): la probabilité que le suivant soit au vert est de 0,30
3. Représenter la situation par un graphe probabiliste.
4. Indiquer la matrice de transition M du graphe, en considérant les sommets dans l'ordre ( V , R ) en ligne comme en
colonne.
5. Le premier feu rencontré est vert. La matrice P1 donnant l'état initial est donc ( 1
0)
a. Déterminer les matrices P2 = P1 × M et P3 = P2 × M. ( Le détail des calculs n'est pas demandé )
b. Conclure quant à la probabilité p de l'événement " Le chauffeur doit s'arrêter au troisième feu".
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Exercice 6 ( Bac ES Centres étrangers 2012 ) :
Au rugby, réussir une transformation consiste à faire passer le ballon entre deux poteaux
verticaux et au-dessus de la barre horizontale reliant ces deux poteaux.
Basile est un joueur de rugby; il envisage de passer professionnel.
Ses différentes expériences en championnat conduisent aux résultats suivants :
* Lors d’un match, la probabilité que Basile réussisse la première transformation est égale à
0,5.
* Si Basile réussit une transformation, la probabilité qu’il réussisse la transformation suivante
est égale à 0,8.
* Si Basile ne réussit pas une transformation, la probabilité qu’il réussisse la transformation
suivante est égale à 0,6.
Basile se prépare pour son match de sélection en tant que professionnel.
On considère que lors du match, n transformations sont tentées avec n entier naturel supérieur ou
égal à 1.
On note T l’état : « Basile réussit sa transformation ».
Pour n  1, on note :
* pn la probabilité que Basile réussisse la nième transformation.
* qn la probabilité que Basile ne réussisse pas la nième transformation.
* Pn = ( pn
On a P1 = ( 0,5
qn ) la matrice ligne donnant l’état probabiliste lors de la nième transformation.
0,5 )
PARTIE A
1. Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets T et T .
2. Donner la matrice de transition M de ce graphe probabiliste.
3. Déterminer l’état probabiliste P2.
PARTIE B
4. a. En utilisant l’égalité Pn + 1 = Pn M, montrer que pn + 1 = 0,8 pn + 0,6 qn
b. En déduire que pour tout entier n  1, pn + 1 = 0,2 pn + 0,6.
5. Soit la suite (un) définie pour tout n  1 par un = pn − 0,75
a. Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique de raison 0,2.
b. En déduire que la suite (pn) converge et donner sa limite.
c. Interpréter le résultat précédent.
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Exercice 7 ( Bac ES Amérique du Nord 2013 ) :
Léa est inscrite sur les réseaux sociaux et consulte régulièrement sa page.
On considère que :
* Si Léa s’est connectée un certain jour, la probabilité qu’elle se connecte le lendemain est
égale à 0,9.
* Si Léa ne s’est pas connectée un certain jour, la probabilité qu’elle se connecte le lendemain
est égale à 0,8.
Pour tout entier n  1, on note an la probabilité que Léa se connecte le nième jour et bn la
probabilité qu’elle ne se connecte pas le nième jour.
On a donc : an +bn = 1.
Le 1er jour, Léa ne s’est pas connectée, on a donc a1 = 0.
1. a. Traduire les données par un graphe probabiliste.
b. Préciser la matrice M de transition associée à ce graphe.
c. Déterminer la probabilité que Léa se connecte le troisième jour.
2. Démontrer que, pour tout entier n  1, on a : an + 1 = 0,1 an + 0,8.
3. On considère la suite (un) définie, pour tout entier n  1, par un = an −
8
9
a. Montrer que (un) est une suite géométrique, préciser sa raison et son premier terme.
b. Exprimer un puis an en fonction de n.
4. a. Déterminer en justifiant la limite de (an).
b. Interpréter ce résultat.
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Exercice 8 : Retour sur l'exercice 1
On a vu dans l'exercice 1 que l'évolution de la population de deux ville A et B était régi par la graphe probabiliste suivant :
 0,95 0,05 

 0,2 0,8 
Sa matrice de transition est donc M = 
L'état probabiliste initial était P0 = (
1
4
3
)
4
On sait que pour tout n  1, l'état probabiliste Pn l'année n peut se calculer par : Pn = P0 × Mn
1 ) En utilisant la calculatrice, observer des valeurs approchées des matrices P15 ; P20 ; P30 . Que constatez-vous ?
2 ) Modifier l'état probabiliste P0 et analyser si la situation à long terme semble dépendre ou non de l'état initial.
On a l'impression que quel que soit l'état initial, la situation semble tendre vers un "état limite" P = ( ..........
Cet état limite s'appelle l'état stable du graphe probabiliste
.......... )
3 ) On a vu précédemment qu'on pouvait trouver l'état stable en calculant à la calculatrice P20 ou P30 ... .
On va trouver l'état stable par le calcul. Pour cela on va utiliser la propriété suivante :
Propriété : l'état stable P vérifie l'égalité matricielle P = P × M
Méthode : On pose P ( x y )
Etape 1 : A l'aide de la propriété précédente, vérifier que x et y sont solutions du système :
 ...... x + ....... y = 0
 0,95 x + 0,2 y = x

soit encore 
 0,05 x + 0,8 y = y
 ...... x − ...... y = 0
Que remarquez-vous si vous multipliez la 1ère des 2 équations par − 1 ?
Etape 2 : La remarque précédente traduit le fait que les deux équations du système obtenu précédemment sont équivalentes
( cela revient à dire que le système ne donne qu'une équation ).
Pour trouver x et y, il faut trouver une autre équation : P étant un état probabiliste, quelle égalité pouvez-vous écrire
entre x et y ?

Etape 3 : Résoudre le système 

0,05 x − 0,2 y = 0
. En déduire l'état stable du système.
x+y=1
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Exercice 9 : ( d'après sujet Bac ES Amérique Sud 2012 )
Un employé se rend à son travail en bus et, soit il n'est pas en retard ( c'est-à-dire qu'il est à l'heure ou en avance ), soit il est
en retard.
Le 1er jour, la probabilité que cet employé arrive en retard est de 0,2.
Pour les jours suivants :
* s'il est en retard un jour donné alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 0,05
* s'il n'est pas en retard un jour donné alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de 0,2
Pour tout entier naturel n non nul, on note :
Rn l'évènement " l'employé est en retard à son travail le nième jour " de probabilité rn
Hn l'évènement " l'employé n'est pas en retard à son travail le nième " de probabilité hn
Pn = ( rn hn ) la matrice qui traduit l'état probabiliste au nième jour.
1. Déterminer l'état initial P1
2. a. Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé.
b. Donner la matrice de transition associée à ce graphe.
3. Quelle est la probabilité que cet employé soit en retard le 3ème jour ? On donnera le résultat avec une valeur arrondie au
centième.
4. Soit P = ( x
y ) l'état probabiliste stable.
a. Montrer que x et y vérifient la relation y = 0,95 x + 0,8 y
b. Ecris une autre équation d'inconnues x et y.
c. Déterminer l'état stable du système en arrondissant les valeurs au millième. Interpréter ces résultats.
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Exercice 10 : ( sujet Bac ES Polynésie 2013 )
Alors qu'une entreprise A possédait le monopole de l'accès à internet des particuliers, une entreprise concurrente B est
autorisée à s'implanter.
Lors de l'ouverture au public en 2010 des services du fournisseur d'accès B, l'entreprise A possède 90% du marché et
l'entreprise B possède le reste du marché.
Dans cet exercice, on suppose que chaque année, chaque internaute est client d'une seule entreprise A ou B.
On observe à partir de 2010 que chaque année:
* 15% des clients de l'entreprise A deviennent des clients de l'entreprise B,
* et 10% des clients de l'entreprise B deviennent des clients de l'entreprise A.
Pour tout entier naturel n, on note:
* an la probabilité qu'un internaute de ce pays, choisi au hasard, ait son accès à internet fourni par l'entreprise A
pour l'année 2010 + n,
* et bn, la probabilité pour que son fournisseur d'accès en 2010 + n soit l'entreprise B.
On note Pn = (an
bn) la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année 2010 + n et on a ainsi a0 = 0,9 et b0 = 0,1.
Les parties A et B sont indépendantes
PARTIE A
1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
2. a. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe.
b. Montrer qu'en 2013, l'état probabiliste est environ (0,61
c. Déterminer l'état stable P = ( a
0,39).
b ) de la répartition des clients des entreprises A et B. Interpréter le résultat.
PARTIE B
Lors d'une campagne de marketing l'entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à l'entreprise 0,80 € par
stylo et 1,20 € par porte-clés distribué.
À la fin de la journée l'entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 €.
On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués.
1. Écrire un système traduisant cette situation.
2. Montrer que le système précédent est équivalent à
1 
 1
 et X et T sont des matrices que l'on
 0,8 1,2 
R × X = T où R = 
précisera.
3. Résoudre le système à l'aide de la calculatrice. Interpréter le résultat.
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Exercice 11 : ( sujet Bac ES Amérique Nord 2012 )
Un club de sport propose à ses adhérents deux types d'abonnements :
* l'abonnement de type A qui donne accès à toutes les installations sportives,
* et l'abonnement de type B qui, en plus de toutes les installations sportives, donne accès au sauna, au hammam et au
jacuzzi.
Chaque adhérent doit choisir un des deux abonnements.
En 2010, 80% des clients ont choisi l'abonnement de type A.
On considère ensuite que 30% des adhérents ayant un abonnement de type A changent d'abonnement pour l'année
suivante, tandis que 10% des adhérents ayant un abonnement de type B changent d'abonnement pour l'année suivante.
Soit n un entier supérieur ou égal à 0.
On note an la proportion des adhérents ayant un abonnement de type A l'année 2010 + n.
La proportion des adhérents ayant un abonnement de type B l'année 2010 + n est donc égale à 1 − an
Enfin on note Pn = ( an
1 − an ) la matrice traduisant l'état probabiliste de l'année 2010 + n.
Le but de l'exercice est de déterminer de deux façons différentes la limite de la suite (an)
Partie A : Graphe probabiliste
1.
Déterminer P0.
2.
Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
3.
Écrire la matrice de transition M associée à cette situation.
4.
Déterminer la matrice P2. En déduire la probabilité pour qu'en 2012 un adhérent choisisse l'abonnement de type A.
5.
Déterminer l'état stable de cette situation
6.
En déduire la limite de la suite (an) et interpréter concrètement ce résultat.
Partie B : Probabilités conditionnelles et suites
Dans cette deuxième partie, on ne tient pas compte des résultats
obtenus dans la partie précédente.
7.
Recopier l'arbre ci-contre et le compléter avec les probabilités
manquantes.
8.
Montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 0 :
an + 1 = 0,6 an + 0,1
9.
Pour tout entier n supérieur ou égal à 0, on pose un = 4 an − 1.
a. Montrer que la suite (un) est géométrique de raison 0,6.
b. En déduire l'expression de un en fonction de n
10. En déduire que pour tout n : an = 0,55 × 0,6 n + 0,25
11. Calculer la limite de la suite (an).
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Exercice 12 :
Trois grandes surfaces commerciales concurrentes A, C et L distribuent un même produit.
Au début de la vente de ce produit ( mois 0 ) ,
seule L le distribue.
En fonction de la demande, la distribution évolue d'un mois sur l'autre
entre les différents distributeurs.
Cette évolution est représentée par le graphe probabiliste ci-contre.
1. a. Donner la matrice de transition M de ce graphe.
b. Pour tout entier naturel n, on note Pn = ( an cn ln ) la matrice représentant la répartition des parts de marché pour
ce produit, au mois n, suivant les trois surfaces commerciales A, C et L.
Calculer P2 et P5.
2. Les ventes mensuelles du produit sont en moyenne de 100 000 unités par mois.
Le bénéfice du distributeur A est de 1,05 €, celui du distributeur C est de 1,20 € et celui de L est 0,80 €.
a. Les distributeurs A et C arrêtent la vente du produit si, à long terme, le bénéfice réalisé reste inférieur à 25 000 €.
Le distributeur L arrête la vente de son produit si son bénéfice est inférieur à 45 000 €.
Parmi ces 3 distributeurs, lequel (lesquels) pense(nt) arrêter la vente du produit au bout de 5 mois ?
b. On note P = ( x
y
z ) l'état stable de ce graphe.
En utilisant la calculatrice, déterminer une valeur approchée au millième de cet état stable (*).
Les distributeurs A, C et L auront-ils intérêt, à long terme, à arrêter la vente du produit ?
(*) : Question subsidiaire : déterminer l'état stable par résolution d'un système.
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