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Term ES-Spé Maths
Ch 1: Les matrices
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Exercice 1 :
M est une matrice 3 × 3 telle que ai j = i  j . Ecrire la matrice M.
N est une matrice 3 × 3 telle que ai j = 2i  j . Ecrire la matrice N.
Exercice 2 :
On donne les 3 matrices suivantes :
Vérifier sur cet exemple que : A + ( B + C ) = ( A  B )  C
Remarque : ce résultat est valable pour toutes les matrices A, B et C.
Exercice 3 :
On donne les 3 matrices suivantes :
Déterminer les réels x et y pour que A  B = S
Exercice 4 :
Exercice 5 :
La matrice M est telle que la somme de ses 3 lignes, de ses 3 colonnes et de ses 2 diagonales est
égale à 15 (on dit que c’est une matrice " magique" de constante 15).
1 ) Les matrices A et B sont-elles magiques ? Vérifier que A + B = M
2 ) Ecrire la matrice tM, transposée de M ( échanger les lignes et les colonnes )
1
1
3 ) Vérifier que A = ( M  tM ) et que B = ( M  tM )
2
2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------M. Dellac
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Exercice 6 :
On donne les matrices : A


=


2
1
4
3
5
10
1
0
4




et B


=



0 

0
1 10 1
2 2
3
1
1. Déterminer la matrice 2A  3B
2. Déterminer les matrices A × B et B × A
3. Contrôler vos réponses à l'aide la calculatrice
Exercice 7 :
 4 2 

On donne la matrice M = 
 1 3
1. Calculer la matrice M × M. Cette matrice est notée M²
2. Calculer la matrice M3
Exercice 8 :
 1 1 

 1 1
On donne la matrice A = 
1. Calculer A², A3, A4, A5
2. Pour n entier naturel non nul, conjecturer l'écriture de la matrice An
Exercice 9 :
 a
On donne les matrices A = 
 c
b 
 1 0 
 et I2 = 
 ( I2 est la matrice unité d'ordre 2 )
d
 0 1
Calculer les matrices A × I2 et I2 × A
Remarque : le résultat précédent se généralise à toutes les matrices carrées.
Si A est une matrice carrée d'ordre n : A × In = In × A = A
Exercice 10 :
 1
On donne les matrices M = 
 3
2 

4
 2
,N=
 4
1 
 3 1 
 et P = 

2
 9 1
1. Calculer les matrices M × N et P × N
2. En quoi ce résultat est-il surprenant par rapport aux habitudes de calcul dans  ?
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Exercice 11 :
 1 
 2
1. On donne les matrices A = 
3 
 5
 2 1 


 3 2
et B = 
Utiliser la calculatrice pour déterminer les matrices suivantes :
a. A1
b. B1
c. A × B
d. ( A × B )1
e. A1 × B1
f. B1 × A1
 2 3 

 4 6
2. On donne la matrice C = 
Utiliser la calculatrice pour déterminer C1
. Qu'en déduisez-vous ?
Exercice 12 :
3 
1   1
On donne la matrice M = 
2   3  1 
1. Déterminer les matrices M² et M3 ( calculatrice autorisée )
2. En déduire la matrice M1, matrice inverse de M ( sans calculatrice )
3. Sans calculatrice, déterminer la matrice N = M  M² M3
Exercice 13 :
On donne la matrice A


=


2
2 4
1
3
1
2

4 

3 
1. La matrice A est-elle inversible ?
2. Déterminer à la calculatrice la matrice A².
En déduire ( sans utiliser la calculatrice ) la matrice A3
Conjecturer, pour n entier naturel non nul, la matrice An
3. En utilisant la calculatrice, déterminer ( 2A  I )².
En déduire la matrice inverse de la matrice 2A  I
Exercice 14 :
On donne la matrice A


=


3 1 2
0
1
2
3

4 

5
A l'aide de la calculatrice, donner l'inverse de la matrice A ( Attention, on ne veut pas de valeurs
approchées !!!! )
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Exercice 15
4x  2y  9z = 138
(S) est le système 2x  8y + 7z = 194
 5x  6y  3z = 159
1 ) Donner l'écriture matricielle de (S)
2 ) Résoudre (S)
Exercice 16
La courbe C ci-contre représente une fonction f de la forme
f (x) = a x² + b x + c.
Le but de l'exercice est de déterminer les coefficients a, b et c.
C
1 ) Recopier et relier entre elles les conditions qui se correspondent :
* Le point S (  2 ; 5 )
appartient à C
* L'image de  4 est 3
* La tangente à C en S
est horizontale
* f'(2)=0
* 16a  4b  c = 3
*f(2)=5
*  4a + b = 0
*f(4)=3
* 4a  2b  c = 5
2 ) Ecrire un système (S) vérifiée par les coefficients a, b et c.
3 ) Ecrire ce système sous forme matricielle et le résoudre. Conclure pour le problème posé.
Exercice 17
On a tracé dans un repère la courbe C représentative d'une
fonction f définie par f (x) = a x4  b x3  c x²  d.
C
1 ) Utiliser les points de la figure pour écrire un système que
vérifient les coefficients a, b, c et d.
2 ) Résoudre ce système et en déduire l'expression f (x) .
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Exercice 18 (Modèle ouvert de LEONTIEF).
L’économie d’un pays fictif dépend de trois secteurs : l’agriculture, les biens manufacturés et l’énergie. L’unité de
production est le milliard d’euros.
Pour pouvoir fonctionner, chaque secteur nécessite l’utilisation d’une partie de la production des autres secteurs et
d’une partie de sa propre production. Ces secteurs doivent, en outre, satisfaire les besoins de la population. On
parle alors de modèle ouvert car il y a demande extérieure aux trois secteurs.
Les tableaux des entrées-sorties ci-dessous détaillent ces échanges durant une année :
consomme
Agriculture
Biens
manufacturés
Energie
0,293
0
0
0,014
0,207
0,017
0,044
0,01
0,216
1 unité
d'agriculture
1 unité de biens
manufacturés
1 unité d'énergie
Besoins des
populations
13,2 unités
d'agriculture
17,6 unités de biens
manufacturés
1,8 unité d'énergie
Afin d’avoir une économie équilibrée, la production totale de ces secteurs doit couvrir les besoins des secteurs et
de la population.
On se propose de déterminer les productions de l’agriculture, des biens manufacturés, de l’énergie pour que
l’économie soit équilibrée.
1. Compréhension du tableau
Interpréter, en termes d'économies les termes 0,017 ; 0,044 et 17,6 rencontrés dans ce tableau.
2. Modélisation de la situation
On note x, y et z les nombre d'unités produites par l'agriculture, les biens manufacturés et l'énergie pendant une
année.
a. Expliquer pourquoi 0,014 x  0,207 y  0,017 z  17,6 = y puis écrire des équations analogues pour tous
les secteurs.
x
13,2
 
b. Montrer que le système obtenu s’écrit L × X = D où X =  y 
z
 
, D =  17,6  et L
 1,8 
est une matrice
carrée que l'on précisera.
c. Utiliser la calculatrice pour résoudre l'équation matricielle
L
×X=D
d. Quelle doit être la production de chaque secteur pour que l’économie soit équilibrée (on arrondira au
dixième de milliard d’euros) ?

Vocabulaire : La matrice A = 

0,293
0
0
0,014 0,207 0,017



est appelée matrice des coefficients techniques du
0,044 0,01 0,216
système d'entrées-sorties
La matrice L est appelée matrice de Léontief
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Exercice 19
Un vendeur de glaces, un autre de boissons et un troisième de beignets travaillent sur une
plage isolée. La journée étant longue, ils consomment tous les 3 des glaces, des boissons et
des beignets et vendent le reste aux vacanciers selon les modalités du tableau ci-dessous
nécessite pour le
vendeur
1 € de glaces
vendues
1 € de boissons
vendues
1 € de beignets
vendus
de l'ensemble
des glaces
de l'ensemble
des boissons
de l'ensemble
des beignets
Demande des
vacanciers
2%
3%
1%
111
1,5 %
2,5 %
4%
147
5%
1,5 %
2%
168
On note x ( resp y et z ) le nombre d'euros de glaces ( resp. de boissons et de beignets )
vendues.
On se propose de déterminer x, y et z pour que chacun, vendeurs et vacanciers, consomme
ce qu'il désire et que tous les produits soient vendus.
1 ) Modélisation du problème
a ) Expliquer pourquoi 0,02 x  0,03 y  0,01 z  111 = x
b ) Ecrire deux autres équations à partir du tableau.
c ) Montrer que le système obtenu avec les équations du a) et du b ) peut s'écrire
x
 111 
 


L × X = D avec X = y , D = 147 et L est une matrice à préciser.
 


z
 168 
2 ) Résolution du problème posé
a ) A l'aide de la calculatrice, résoudre l'équation L × X = D
b ) Répondre au problème posé.
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Exercice 20 : d'après Bac ES Nouvelle Calédonie 2011
L'entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et
pour une longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production en euros de cette entreprise est donnée en fonction de la
longueur x par : CT (x) = a x3  b x²  c x  d où a, b, c et d sont des réels à déterminer.
On rappelle que le coût moyen de production CM mesure le coût par unités produite ( c'estC (x)
à-dire CM (x) = T ) et que le coût marginal Cm peut être assimilé à la dérivée du coût
x
total CT.
On donne les renseignements suivants :
(1) pour une longueur de 2 km de tissu, le coût total est de 1390 €
(2) le coût marginal pour une longueur de 5 km est de 425 €
(3) le coût moyen pour une production de 10 km de tissu est de 875 €
(4) les coûts fixes s'élèvent à 750 €.
1. Vérifie que les quatre réels a, b, c et d vérifient le système :
8 a  4 b  2 c  d = 1390
75 a  10 b  c
= 425
(S) :
100 a  10 b  c  0,1 d = 875
d
= 750
2. Ecrire le système précédent sous forme matricielle puis résous-le.



Déduis-en la fonction CT (x)
3. Le marché offre un prix de 680 € pour un kilomètre de tissu.
Démontre que le bénéfice de cette entreprise est alors :
B (x) =  15 x3  120 x²  180 x  750 pour x  [ 0 ; 10 ]
4. Etudier les variations de la fonction B sur [ 0 ; 10 ]
5. En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par cette entreprise
est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.
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