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Introducci´on a la geometr´ıa anal´ıtica
Prof. Yoel Guti´errez
1
1.1
Sistema de coordenadas rectangulares
sistema coordenado rectangular
El sistema coordenado rectangular, indicado en la figura 1, consta de dos rectas reales X y
Y , llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre s´ı. La recta X se llama eje X o eje
de las abscisas, La recta Y es el eje Y o eje de las ordenadas; y su punto de intersecci´on 0,
el origen. Estos ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
tal como se indica en la figura 1. La direcci´on positiva del eje x es hacia la derecha; la
direcci´on positiva del eje Y , hacia arriba.
Y
Y
II(-,+)
y
I(+,+)
. P(x,y)
Q
y2
1
0
III(-,-)
1
x
P
X
IV(+,-)
x1
Figura 1
y1
R
0
x2
X
Figura 2
A cada punto P del plano se le puede asignar un par de n´
umeros, llamados coordenadas
del punto. Si una recta horizontal y una vertical que pasen por P intersecan los ejes
X e Y en x e y, respectivamente, entonces P tiene coordenadas (x, y) (ver la figura 1).
Llamaremos a (x, y) un par ordenado de n´
umeros debido a que tiene importancia cual
de los dos va primero. El primer n´
umero, x, es la abscisa; el segundo n´
umero, b, es la
ordenada.
Rec´ıprocamente, t´omese un par ordenado de n´
umeros cualesquiera (x, y). La recta vertical
que pasa por x en el eje de las abscisas y la horizontal que pasa por y en el eje de las
ordenadas se cortan en un punto P , cuyas coordenadas son (x, y).
Es evidente que a cada punto P del plano coordenado le corresponden uno y solamente
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Introducci´on a la geometr´ıa anal´ıtica.
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un par de coordenadas (x, y). Rec´ıprocamente, un par de coordenadas (x, y) cualesquiera
determina uno y solamente un punto en el plano coordenado.
1.2
Distancia entre dos puntos
Consideremos dos puntos cualesquiera P y Q, con coordenadas (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ), respectivamente. Junto con R; el punto de coordenadas (x2 , y1 ); P y Q, son los v´ertices de un
tri´angulo rect´angulo (ver figura 2). Las longitudes de los segmentos P R y RQ son |x2 − x1 |
y |y2 − y1 |, respectivamente. Cuando se aplica el teorema de Pit´agoras obtenemos que la
distancia d entre los puntos P y Q es
d=
1.3
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Punto medio de un segmento
Sean P (x1 , y1 ) y Q(x2 , y2 ), con x1 < x2 , los extremos del segmento P Q como en la figura
3. Sea M (x, y) el punto medio de dicho segmento. Los tres segmentos paralelos P A,
M B y QC, determinan dos segmentos P M y M Q de igual longitud, por los tanto; por la
geometr´ıa elemental; los segmentos AB y CB tambi´en tienen la misma longitud, esto es:
x − x1 = x2 − x.
x1 + x2
De donde, despejando x se tiene que x =
.
2
y1 + y2
En forma an´aloga se deduce que y =
.
2
De esto se concluye que las coordenadas del punto medio del segmento de extremos P (x1 , y1 )
y Q(x2 , y2 ) son
³x + x y + y ´
1
2
1
2
M
,
2
2
Y
Y
L1
L
Q
y2
M
y
P
y1
a1
a
A
B
C
x
x
x1
2
X
X
Figura 3
Figura 4
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1.4
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3
Gr´
afica de una ecuaci´
on y lugares geom´
etricos
Supongamos que se nos da una ecuaci´on de dos variables, x e y, que podemos escribir,
brevemente, en la forma
f (x, y) = 0.
(1.1)
En general, hay un n´
umero infinito de pares de valores de x e y que satisfacen esta ecuaci´on.
Cada uno de tales pares de valores reales se toman como las coordenadas (x, y) de un
punto en el plano real. El conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos cuyas
coordenadas satisfagan la ecuaci´on (1.1), se llama gr´
afica de la ecuaci´
on, o bien, su lugar
geom´etrico.
1.5
Ecuaci´
on general de segundo grado
En lo sucesivo haremos un estudio de la ecuaci´
on genera de segundo grado,
Ax2 + Bxy + cy 2 + Dx + Ey + F = 0.
(1.2)
En particular, consideraremos el caso en que B 6= 0.
2
La recta
Admitiremos la existencia de la linea recta como un t´ermino primitivo.
2.1
Pendiente de una recta
Se llama ´angulo de inclinaci´on de una recta el formado por la parte positiva del eje X y
la recta, cuando ´esta se considera dirigida hacia arriba.
As´ı, el ´angulo de inclinaci´on de la recta L (Ver figura 4) es α, y de L1 es α1 . Evidentemente,
α puede tener cualquier valor comprendido entre 0o y 180o ; es decir, su intervalo de variaci´on
est´a dado por
00 ≤ α ≤ 180o .
(2.1)
Se llama pendiente de una recta a la tangente de su ´angulo de inclinaci´on.
La pendiente de una recta se designa com´
unmente por la letra m. Por tanto, podemos
escribir
m = tan α.
(2.2)
De (2.1) y (2.2) se ve que la pendiente puede tomar todos los valores reales. Si α es agudo,
la pendiente es positiva, como para la recta L e la figura 4; si α1 es obtuso, como para la
recta L1 , la pendiente es negativa; Si α = 00 o α = 180o , la pendiente es cero. Cualquier
recta que coincida o sea paralela al eje Y ser´a perpendicular al eje X, y su ´angulo de
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inclinaci´on ser´a de 90o . Como tan 90o no est´a definida, la pendiente de una recta paralela
al eje Y no existe.
Theorem 1 Si P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta,
la pendiente de la recta es
y2 − y1
m=
, x1 6= x2 .
(2.3)
x2 − x1
Prueba: Consideremos la recta L de la figura 5, determinada por los puntos P1 y P2 , y sea
α su ´angulo de inclinaci´on. En el tri´angulo rect´angulo P1 P2 A que se muestra en la figura
5, la longitud del segmento P1 A es x2 − x1 y, la longitud del segmento P2 A es y2 − y1 . Por
trigonometr´ıa, tendremos
m = tan α =
y2 − y1
,
x2 − x1
x1 6= x2 .
Y
y1
L
P2
y2
Y
P1
a
A
r
C
.
a
x1
Figura 5
x2
X
X
Figura 6
Observaciones
(1) El valor de m dado por la f´ormula (2.3) no est´a definido anal´ıticamente para x1 = x2 .
En este caso, la interpretaci´on geom´etrica es que una recta determinada por dos puntos
diferentes con abscisas iguales es paralela al eje Y , por tanto, como se afirm´o anteriormente,
no tiene pendiente.
1
(2) El orden en que se toman las ordenadas en (2.3) no tiene importancia, ya que xy22 −y
=
−x1
y1 −y2
. Se debe evitar, en cambio, el error muy frecuente de tomar las ordenadas en un
x1 −x2
orden y las abscisas en el orden contrario. Ya que esto cambia el signo de m.
(3) Podemos deducir las condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas,
conocidas sus pendientes.
1. Una condici´on necesaria y suficiente para que dos rectas no verticales sean paralelas
es que sus pendientes sean iguales.
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2. Una condici´on necesaria y suficiente para que dos rectas no paralelas a los ejes coordenados sean perpendiculares entre s´ı, es que el producto de sus pendientes sea igual
a -1.
2.2
Diferentes formas de la ecuaci´
on de una recta
(1) Ecuaci´on de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. La recta que
pasa por el punto dado P1 (x1 , y1 ) y tiene la pendiente dada m, tiene por ecuaci´on
y − y1 = m(x − x1 ).
(2.4)
Como la ecuaci´on (2.4) est´a dada en funci´on de un punto y la pendiente, se llama, a veces,
de la forma de punto y pendiente.
(2) Una recta que coincide o es paralela al eje Y no tiene pendiente. Por la tanto, la
ecuaci´on (2.4) no puede representar a una recta de tal naturaleza. Para este caso, la
ecuaci´on de la recta es de la forma
x = a,
(2.5)
en donde a e una constante real y representa la intersecci´on de la recta con el eje X.
Una recta es o no paralela al eje Y . Si es paralela al eje Y su ecuaci´on es de la forma (2.5);
si no es paralela a dicho eje, su pendiente est´a definida y su ecuaci´on es de la forma (2.4).
Como todas las rectas caen bajo una de estas clasificaciones, cualquiera otra forma de la
ecuaci´on de una recta debe deducirse, necesariamente, a una de estas dos formas.
(3) Una recta que coincide o es paralela al eje X tiene pendiente 0. Por lo tanto, aplicando
(2.4), se deduce que la ecuaci´on de una recta de esta naturaleza es de la forma
y = b,
(2.6)
en donde b es una constante real y representa la intersecci´on de la recta con el eje Y .
(4) Ecuaci´
on de la recta dada su pendiente y su ordenada en el origen. La recta cuya
pendiente es m y cuya ordenada en el origen, es decir, su intersecci´on con el eje Y , es b
tiene por ecuaci´on
y = mx + b.
(2.7)
(5) Ecuaci´on de la recta que pasa por dos puntos. La recta que pasa por dos puntos dados
P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) tiene por ecuaci´on
y − y1 =
y1 − y2
(x − x1 ),
x1 − x2
x1 6= x2 .
(2.8)
Si x1 = x2 , la ecuaci´on (2.8) no puede usarse. En este caso, la recta es paralela al eje Y , y
su ecuaci´on es x = x1 .
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(6) Ecuaci´on sim´etrica de la recta. La recta cuyas intersecciones con los ejes X e Y son
a 6= 0 y b 6= 0, respectivamente, tiene por ecuaci´on
x y
+ = 1.
(2.9)
a b
Si a = 0, entonces tambi´en b = 0, y la forma sim´etrica no puede usarse. En este caso,
solamente se conoce un punto, el origen, y no es suficiente para determinar una recta.
Como una recta queda perfectamente determinada por dos cualesquiera de sus puntos, la
manera m´as conveniente de trazar una recta a partir de su ecuaci´on es determinar las dos
intersecciones con los ejes. Si la recta pasa por el origen, basta determinar otro punto
cuyas coordenadas satisfagan la ecuaci´on.
2.3
Forma general de la ecuaci´
on de una recta
Hemos visto que la ecuaci´on de una recta cualquiera, en el plano coordenado, es de la
forma lineal
Ax + By + C = 0,
(2.10)
en donde ya sea A o B debe ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero. La
ecuaci´on (2.10) se llama la forma general de la ecuaci´on de una recta.
Ahora consideraremos el problema inverso, a saber, la ecuaci´on lineal (2.10), ¿representa
siempre una linea recta? Para contestar a esta pregunta examinaremos las dos formas
posibles de la ecuaci´on (2.10) con respecto al coeficiente de y, es decir, las formas para
B = 0 y B 6= 0.
CASO I. B = 0. Si B = 0, entonces A 6= 0, y la ecuaci´on (2.10) se reduce a la forma
C
x=− ,
(2.11)
A
que es la ecuaci´on de una recta paralela al eje Y .
CASO II. B 6= 0. Si B 6= 0, podemos dividir la ecuaci´on (2.10) por B, y entonces por
transposici´on se reduce a la forma
A
C
y =− x− ,
(2.12)
B
B
A
C
que es la ecuaci´on de una recta cuya pendiente es − B
y cuya ordenada en el origen es − B
.
En consecuencia, vemos que en todos los casos la ecuaci´on (2.10) representa una recta.
2.4
Posiciones relativas de dos rectas
Consideremos dos rectas, cuyas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones lineales
con dos inc´ognitas
(
Ax + By + C = 0,
A0 x + B 0 y + C 0 = 0,
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1. El sistema tiene soluci´on u
´nica, si y s´olo si, las dos rectas se cortan en uno y solamente
en un punto.
2. El sistema tiene soluci´on infinita, si y s´olo si, las dos rectas son coincidentes.
3. El sistema no tiene soluci´on, si y s´olo si, las dos rectas son paralelas y no coincidentes.
2.5
Distancia de una recta a un punto dado
La distancia d de una recta, cuya ecuaci´on es Ax + By + C = 0, a un punto dado P1 (x1 , y1 ),
viene dada por
|Ax1 + By1 + C|
√
d=
.
A2 + B 2
Geom´etricamente, d representa la longitud del segmento de recta perpendicular de la recta
al punto P1 .
3
La circunferencia
Una Circunferencia es el lugar geom´etrico de un punto que se mueve en un plano de tal
manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano.
El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia constante se llama radio.
Designemos por C y r (figura 6), el centro y el radio de una circunferencia, respectivamente.
Theorem 2 La circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante
positiva r, tiene por ecuaci´
on
(x − h)2 + (y − k)2 = r2 .
(3.1)
La ecuaci´on (3.1) se conoce como la ecuaci´
on ordinaria o forma ordinaria de la ecuaci´on
de una circunferencia. En general, designaremos como forma ordinaria aquella ecuaci´on de
una curva que nos permite obtener m´as r´apida y f´acilmente sus caracter´ısticas importantes.
As´ı, por ejemplo, en el caso de la ecuaci´on (3.1) podemos obtener, inmediatamente, las
coordenadas del centro y el radio.
Theorem 3 (Forma general de la ecuaci´
on de una circunferencia) . Si los coeficientes A y C son iguales y no nulos, la ecuaci´
on
Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,
(3.2)
representa una circunferencia, un punto, o no representa ning´
un lugar geom´etrico real.
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Si se da la ecuaci´on de una circunferencia en la forma general,, es conveniente que se reduzca
la ecuaci´on a la forma ordinaria por el m´etodo de completar cuadrados, para obtener el
centro y el radio.
4
La par´
abola
Una par´
abola es el lugar geom´etrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera
que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de
un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la par´abola.
L1
D1
C1
L2
B1
D2
E
A2
P
L2
A
V
V1 F1.
F
B2
E2
.F2 V2
C
L1
C2
D1
D2
B2
Figura 7
B1
A1
E1
Figura 8
Designemos por F y L1 (figura 7), el foco y la directriz de una par´abola, respectivamente. La recta L2 que‘pasa por F y es perpendicular a L1 se llama eje de la par´abola. Sea
A el punto de intersecci´on del eje y de la directriz. El punto V , punto medio del segmento
AF , est´a, por definici´on, sobre la par´abola; este punto se llama v´ertice. El segmento de
recta B1 B2 , que une dos puntos cualesquiera diferentes de la par´abola se llama cuerda; en
particular, una cuerda que pasa por el foco como C1 C2 , se llama cuerda focal. La cuerda
focal D1 D2 perpendicular al eje se llama lado recto. Si E es un punto cualquiera de la
par´abola, el segmento F P se radio radio focal de E, o radio vector.
on de un par´
abola de v´ertice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la
Theorem 4 La ecuaci´
forma
(y − k)2 = 4p(x − h),
siendo |p| la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el v´ertice. Si p > 0,
la par´
abola se abre hacia la derecha; si p < 0, la par´
abola se abre hacia la izquierda.
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Si el eje de la par´
abola es paralelo al eje Y , y el v´ertice es el punto (h, k), su ecuaci´
on es
de la forma
(x − h)2 = 4p(y − k).
Si p > 0, la par´
abola se abre hacia arriba; si p < 0, la par´
abola se abre hacia abajo.
4.1
Forma general de la ecuaci´
on de una par´
abola
(1) Toda ecuaci´on de la forma
Ax2 + Dx + Ey + F = 0,
donde A 6= 0 y E 6= 0, representa una par´abola cuyo eje es paralelo o coincidente con el
eje Y . Si, en cambio, E = 0, la ecuaci´on toma la forma
Ax2 + Dx + F = 0,
(4.1)
que es una ecuaci´on cuadr´atica en la u
´nica variable x. Si las ra´ıces de (4.1) son reales y
desiguales, digamos r1 y r2 , entonces la ecuaci´on (4.1) puede escribirse en la forma
(x − r1 )(x − r2 ) = 0,
y el lugar geom´etrico correspondiente consta de dos rectas diferentes, cuyas ecuaciones son
x = r1 y x = r2 , paralelas ambas al eje Y . Si la ra´ıces de (4.1) son reales e iguales, el lugar
geom´etrico consta de dos recta coincidentes representadas geom´etricamente por una sola
recta paralela al eje Y . Finalmente, Si (4.1) no tiene ra´ıces reales, no representa ning´
un
lugar geom´etrico.
(2) Toda ecuaci´on de la forma
Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,
donde C 6= 0 y D 6= 0, representa una par´abola cuyo eje es paralelo o coincidente con el
eje X. Si, en cambio, D = 0, la ecuaci´on toma la forma
Cy 2 + Ey + F = 0,
(4.2)
que es una ecuaci´on cuadr´atica en la u
´nica variable y. Si las ra´ıces de (4.2) son reales y
desiguales, digamos r1 y r2 , entonces la ecuaci´on (4.2) puede escribirse en la forma
(y − r1 )(y − r2 ) = 0,
y el lugar geom´etrico correspondiente consta de dos rectas diferentes, cuyas ecuaciones son
y = r1 y y = r2 , paralelas ambas al eje X. Si la ra´ıces de (4.2) son reales e iguales, el lugar
geom´etrico consta de dos recta coincidentes representadas geom´etricamente por una sola
recta paralela al eje X. Finalmente, Si (4.2) no tiene ra´ıces reales, no representa ning´
un
lugar geom´etrico.
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La elipse
Una elipse es el lugar geom´etrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que
la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a
una cantidad constante, mayor que la distancia entre los focos.
En la figura 8 se ha dibujado una elipse. Los focos est´an designados por F1 y F2 . La recta
L1 que pasa por los focos se llama eje focal. El eje focal corta a la elipse en dos puntos
V1 y V2 , llamados v´ertices. La porci´on del eje focal comprendido entre los dos v´ertices,
el segmento V1 V2 , se llama eje mayor. El punto medio C del eje mayor se lama centro.
La recta L2 que pasa por C y es perpendicular al eje focal, se llama eje normal. El eje
normal corta a la elipse en dos puntos, A1 y A2 , el segmento A1 A2 se llama eje menor.
El segmento B1 B2 que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse se llama cuerda.
En particular, una cuerda que pasa por un foco, tal como D1 D2 se llama cuerda focal. una
cuerda focal, tal como E1 E2 , perpendicular al eje focal se llama lado recto; evidentemente,
por tener dos focos, la elipse tiene dos lados rectos. Si P es un punto cualquiera de la elipse,
los segmentos F1 P y F2 P que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores de
P.
Theorem 5 La ecuaci´
on de la elipse de centro el punto (h, k) y eje focal paralelo al eje
X, es
(x − h)2 (y − k)2
+
= 1.
a2
b2
Si el eje focal es paralelo al eje Y ; su ecuaci´
on es
(x − h)2 (y − k)2
+
= 1.
b2
a2
Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b es la del eje menor, c es la distancia
del centro a cada foco, y a, b y c est´
an ligadas por la relaci´
on
a2 = b2 + c2 .
Tambi´en, para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es
cidad e est´a dada por la f´ormula
√
c
a2 − b2
< 1.
e= =
a
a
2b2
a
y la excentri-
Theorem 6 Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuaci´
on
Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
representa una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, o bien un punto, o no representa ning´
un lugar geom´etrico real.
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La hip´
erbola
Una hip´erbola es el lugar geom´etrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera
que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados
focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre
los focos.
L4
L3
L2
F1 V1
.
A1
C
V2 F2
.
L1
A2
P
Figura 9
La hip´erbola consta de dos ramas diferentes, cada una de longitud infinita. En la figura
9 se ha dibujado una posici´on de cada una de estas ramas; los focos est´an designados por
F1 y F2 . La recta L1 que pasa por los focos se llama eje focal. El eje focal corta a la
hip´erbola en dos puntos V1 y V2 , llamados v´ertices. La porci´on del eje focal comprendido
entre los dos v´ertices, el segmento V1 V2 , se llama eje transverso. El punto medio C del eje
transverso se lama centro. La recta L2 que pasa por C y es perpendicular al eje focal, se
llama eje normal. El eje normal no corta a la hip´erbola; sin embargo, una porci´on definida
de este eje, el segmento A1 A2 en la figura 11, se llama eje conjugado. En forma an´aloga
que en una elipse, el segmento que une dos puntos diferentes cualesquiera de la hip´erbola
se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por un foco, se llama cuerda focal.
Una cuerda focal, perpendicular al eje focal se llama lado recto; evidentemente, por tener
dos focos, la hip´erbola tiene dos lados rectos. Si P es un punto cualquiera de la hip´erbola,
los segmentos F1 P y F2 P que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores de
P . Las rectas L3 y L4 en la figura 11, son as´ıntotas de la hip´erbolas. Estas rectas son las
prolongaciones de las diagonales del rect´angulo de centro C que se muestra en la figura 9.
Theorem 7 La ecuaci´
on de la hip´erbola de centro el punto (h, k) y eje focal paralelo al eje
X, es de la forma
(x − h)2 (y − k)2
−
= 1.
a2
b2
Introducci´on a la geometr´ıa anal´ıtica.
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Si el eje focal es paralelo al eje Y , su ecuaci´
on es
(y − k)2 (x − h)2
−
= 1.
a2
b2
Para cada hip´erbola, 2a es la longitud del eje transverso, 2b la del eje conjugado, c la
distancia del centro a cada foco, y a, b y c est´
an ligados por la ecuaci´
on
c2 = a2 + b2 .
Tambi´en, para cada hip´erbola, la longitud de cada uno de sus lados rectos es
excentricidad e est´a dada por la f´ormula
√
c
a2 + b2
e= =
> 11.
a
a
2b2
a
y la
Theorem 8 Si los coeficientes A y C difieren en el signo, la ecuaci´
on
Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
representa una hip´erbola de ejes paralelos a los coordenados, o un par de rectas que se
cortan
7
Inecuaciones en el plano
Trataremos inecuaciones cuya soluciones se representan geom´etricamente como una regi´on
en el plano. Para ello es necesario tener en consideraci´on las siguientes observaciones que
involucran a la recta y las c´onicas.
(1) Toda recta
Ax + By + C = 0
(7.1)
divide al plano en dos semiplanos. Para saber el signo que tiene el primer miembro de
la ecuaci´on de la recta (7.1) para los puntos del plano que no pertenecen a ella, basta
hallar su valor num´erico para un punto M de algunos de los dos semiplanos. Los valores
num´ericos correspondientes a los puntos del mismo semiplano que contiene a M tienen el
mismo signo que el hallado para M . Los valores num´ericos correspondientes a los puntos
del semiplano que no contiene a M tienen signo contrario.
(2) Los pares de coordenadas de los puntos exteriores a la circunferencia
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
son soluciones de la inecuaci´on
(x − h)2 + (y − k)2 > r2
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y los pares de coordenadas de los interiores lo son de
(x − h)2 + (y − k)2 < r2 .
(3) La par´abola divide al plano en dos regiones, la que contiene al foco y la que no lo
contiene.
Cuando debemos resolver una inecuaci´on de la forma:
(x − h)2 = 4p(y − k)
se dibuja la par´abola correspondiente y se prueba la inecuaci´on con un punto (x, y) que
no pertenezca a la curva. Si el par satisface la inecuaci´on tambi´en lo satisfar´an todos
los puntos de la misma regi´on. Si no la satisface, ser´an soluciones las coordenadas de los
puntos de la otra regi´on.
(4) Los pares de coordenadas de los puntos exteriores a la elipse
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2
son soluciones de la inecuaci´on
(x − h)2 (y − k)2
+
>1
a2
b2
y los pares de coordernadas de los interiores lo son de:
(x − h)2 (y − k)2
+
< 1.
a2
b2
(5) La hip´erbola divide al plano en tres regiones, una de ellas contiene al centro, cada una
de las otras dos contiene un foco.
Los pares de coordenada de los puntos de una de las regiones que contiene un foco de la
hip´erbola
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2
son soluciones de la inecuaci´on
(x − h)2 (y − k)2
+
>1
a2
b2
y los pares de coordenas de los puntos de la regi´on que contiene al centro, lo son de:
(x − h)2 (y − k)2
+
<1
a2
b2
Introducci´on a la geometr´ıa anal´ıtica.
8
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14
Ejercicios
8.1
Sistema de coordenadas rectangulares
1. Demuestre que los puntos (−5, 0), (0, 2) y (0, −2) son los v´ertices de un tri´angulo
is´osceles y calcular su ´area.
2. Demostrar que los puntos (2, −2), (−8, 4) y (5, 3) son los v´ertices de un tri´angulo
rect´angulo y hallar su ´area.
√
√
3. Demuestre que los puntos (2, 2 + 3), (5, 2) y (2, 2 − 3) son los v´ertices de un
tri´angulo equil´atero, calculando la distancia entre ellos.
4. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (7, 8), y su punto medio es
(4, 3). Hallar el otro extremo.
5. Los v´ertices de un tri´angulo son A(−1, 3), B(3, 5) y C(7, −1). Si D es el punto
medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC. Demostrar que la longitud
del segmento DE es la mitad de la longitud del segmento AC.
8.2
La recta
1. Halar la ecuaci´on de la recta que pasa por el punto (−2, 4) y
(a) Tiene pendiente
7
.
16
(b) Es paralela a la recta 5x − 3y = −3.
(c) Es perpendicular a la recta 5x − 3y = −3.
(d) Es paralela al eje X.
(e) Es paralela al eje Y .
(f) Pasa por el origen.
2. Una recta L1 pasa por los puntos (3, 2) y (−4, −6) y otra recta L2 pasa por el punto
(−7, 1) y el punto A cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo
que L1 es perpendicular a L2 .
3. Determine a t si la recta que pasa por (−1, 1) y (3, 2) es paralela a la recta que pasa
por (0, 6) y (−8, 7).
4. Determine t si la recta que pasa por (−1, 1) y (1, 21 ) es perpendicular a la recta que
pasa por (1, 12 ) y (t, t).
Introducci´on a la geometr´ıa anal´ıtica.
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15
5. Hallar el valor de k para que la recta kx + (k − 1)y − 18 = 0 sea paralela a la recta
4x + 3y + 7 = 0.
6. Hallar la distancia comprendida entre las rectas paralelas 3x − 4y + 8 = 0 y 6x −
8y + 9 = 0.
7. Trazar la representaci´on gr´afica de las siguientes ecuaciones.
(a) y − 3 = 2(x + 1).
(b) 2y − 4x = 12.
(c)
x+2
3
+
y−1
2
= 1.
(d) (y − x + 2)(2y + x − 4) = 0.
(e) |x| + |y| = 1.
(f) |x| − |y| = 1.
8. Se tienen dos rectas de ecuaciones, y = ax + c e y = bx + d. ¿Bajo que condiciones
son iguales las abscisa al origen?¿En qu´e caso se intersecan ambas rectas?
9. Las medidas de temperaturas Fahrenheit (F ) y Celsius (C) est´an relacionadas por
una ecuaci´on lineal.
(a) Hallar la ecuaci´on que relaciona F y C, teniendo en cuenta que C = 0 cuando
F = 32 y C = 100 cuando F = 212.
(b) ¿Existe alguna temperatura para la que C = F ? De ser as´ı, ¿qu´e temperatura
es?.
8.3
La circunferencia
1. Para cada caso, encuentre la ecuaci´on de la circunferencia que satisface las condiciones
dadas.
(a) Centro (3, −4) y radio 6.
(b) El segmento que une (0, 0) con (6, −8) es un di´ametro.
(c) Pasa por (−3, 5) y el centro est´a en (1, −3).
2. Determine que lugar geom´etrico representa cada ecuaci´on. Trazar la representaci´on
gr´afica correspondiente para cada una.
(a) x2 + y 2 + 1 = y.
Introducci´on a la geometr´ıa anal´ıtica.
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(b) 2x2 + 2y 2 − 6x + 10y + 7 = 0.
(c) 4x2 + 4y 2 + 28x − 8y + 53 = 0.
(d) 16x2 + 16y 2 − 64x + 8y + 177 = 0.
9
La par´
abola
1. Para cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuaci´on para la par´abola que
satisface las condiciones dadas y dibujar la curva.
(a) V´ertice en (3, 2), foco en (3, 4).
(b) V´ertice en (4, 1), directriz x = 2.
(c) V´ertice en (4, 1), directriz y = −3.
(d) V´ertice en (4, −2), lado recto 8, abre hacia la derecha.
2. La trayectoria de un proyectil disparado desde el nivel del suelo es una par´abola
abierta hacia abajo. Si la altura m´axima alcanzada por el proyectil es de 100 metros
y su alcance horizontal es de 800 metros. ¿Cu´al es la distancia horizontal del punto de
disparo al punto donde el proyectil alcanza por primera vez una altura de 64 metros?
3. Determine que lugar geom´etrico representa cada ecuaci´on. Trazar la representaci´on
gr´afica correspondiente para cada una.
(a) 4y 2 − 48x − 20y = 71.
(b) 4x2 + 48y + 12x = 159.
(c) 2(1 − y) = (3x − 1)2 .
(d) (2y − 3)2 = 6(1 − 3x).
(e) 2x2 + x − 3 = 0.
(f) y 2 + y + 1 = 0.
10
La elipse
1. Para cada uno de los ejercicios siguientes, hallar la ecuaci´on de la elipse que satisface
las condiciones dadas. Dibujar cada curva.
(a) Centro en (0, 0), un foco en ( 43 , 0), un v´ertice en (1, 0).
(b) Centro en (−3, 4), semiejes de longitud 4 y 3, eje mayor paralelo al eje X.
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(c) V´ertices en (−1, 2) y (−7, 2), eje menor de longitud 2.
(d) V´ertices en (3, −2) y (13, −2), focos en (4, −2) y (12, −2).
2. La tierra se mueve sobra una ´orbita el´ıptica con el sol en uno de sus focos. Si la
longitud de la mitad del eje mayor es de 93 millones de millas y la excentricidad es
0,017. Hallar las distancias m´ınimas y m´aximas entre la tierra y el sol.
3. El techo de un pasillo de 10 metros de anchura tiene la forma de una semielipse y 9
metros de altura en el centro, as´ı como 6 metros de altura en las paredes laterales.
Calcule la altura de techo a 2 metros de una de las paredes laterales.
4. Determine que lugar geom´etrico representa cada ecuaci´on. Trazar la representaci´on
gr´afica correspondiente para cada una.
(a) x2 + 4y 2 − 6x + 16y + 21 = 0.
(b) 4x2 + 9y 2 + 32x − 18y + 37 = 0.
(c) x2 + 4y 2 − 10x − 40y + 109 = 0.
(d) 9x2 + 4y 2 − 8y − 32 = 0.
√
√
(e) 3x2 + 2y 2 − 6 2x − 4 3y + 6 = 0.
(f) (x2 + 4y)(x2 + 4y 2 − 4) = 0.
(g)
11
(2x−1)2
4
+ (2 − y)2 = 1.
La hip´
erbola
1. En cada uno de ejercicios siguientes, hallar la ecuaci´on para la hip´erbola que satisface
las condiciones dadas. Dibujar cada curva y las as´ıntotas.
(a) centro en (0, 0), un foco en (4, 0), un v´ertice en (2, 0).
√
√
(b) Focos en (0, 2) y (0, − 2), v´ertices en (0, 1) y (0, −1).
(c) Centro en (−1, 4), un foco en (−1, 2), un v´ertice en (−1, 3).
2. Determine que lugar geom´etrico representa cada ecuaci´on. Trazar la representaci´on
gr´afica correspondiente para cada una.
(a) x2 − 9y 2 − 4x + 36y − 41 = 0.
(b) 4x2 − 9y 2 + 32x + 36y + 64 = 0.
(c) x2 − 4y 2 − 2x + 1 = 0.
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(d) 9x2 − 4y 2 + 54x + 16y + 29 = 0.
(e) 3x2 − 1y 2 + 30x + 78 = 0.
(f) 2y 2 −
x2
4
= −5.
(g) x2 − 4 = 0.
(h)
11.1
x2
4
− 2y 2 = 0.
Sistemas de ecuaciones y regiones en el plano
1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones y trazar la representaci´on gr´afica.
(
−3x + 8y = 16
(a)
16x − 5y = 3
(
2x − y − 1 = 0
(b)
3x + y − 9 = 0
( 2
y −x=0
(c)
2x − y − 6 = 0
( 2
x + y2 = 8
(d)
y 2 = 2x
(
(x − 2)2 + (y + 1)2 = 8
(e)
y =x−1
(
y = x2 − 6x + 9
(f)
(x − 3)2 + (y − 9)2 = 9
( 2
x + y 2 − 2x + 6y = 6
(g)
x2 + y 2 + 4x + 2y = 8
( 2
x + 4y 2 = 36
(h)
2x2 − y 2 = 8
2. Use un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc´ognitas para resolver los siguientes problemas
(a) El per´ımetro de un rect´angulo es de 60 cm. Su longitud es el doble del ancho
m´as tres. Calcules las dimensiones.
(b) El tesorero de la asociaci´on estudiantil informo que los recibos del u
´ltimo concierto totalizaron 916 d´olares y que asistieron 560 personas. los estudiantes
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19
pagaron 1,25 d´olares por boleto y los no estudiante 2,35 d´olares. ¿Cu´antos
estudiantes fueron al concierto?
(c) Si Susana diera a Samuel un d´olar, ,este tendr´ıa la mitad de los d´olares que
susana. Si Samuel diera a Susana uno de su d´olares, ella tendr´ıa 5 veces m´as
dinero que samuel. ¿Cu´antos d´olares tiene cada uno?
(d) La suma de dos n´
umeros es 20. El n´
umero mayor es el doble del menor menos
cuatro. ¿Cu´ales son los n´
umeros?
(e) Un vendedor dice que no importa si un par de zapatos se venden en Bs.77500 o
dos pares en Bs.122500, porque la ganancia es igual en cada caso. ¿Cu´anto le
cuesta al vendedor un par de zapatos y cual es su ganancia?
3. dibuje la regi´on que contiene los puntos cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad
dada.
(a) y > 1.
(b) x > −3.
(c) −1 < y < 1.
(d) x − y > 2.
(e) 2x − y < −2.
(f) y > x2 − 16.
(g) x2 + y 2 < 4.
(h) (x − 1)2 + (y + 2)2 > 9.
(i)
x2
4
+ y 2 > 1.
(j) x2 − y 2 < 2.
(k) y − (x − 4)2 ≥ 1.
(l) x2 < y.
(m) |x| + |y| < 1.
(n) |x| − |y| ≤ 1.
4. Represente gr´aficamente el conjunto soluci´on de cada uno de los sistemas de inecuaciones indicados a continuaci´on.
(
x+y >1
(a)
x−y <1
Introducci´on a la geometr´ıa anal´ıtica.
(
(b)
(
(c)
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20
2y − 1 > 0
(x + 3)2 > x2 + 2y
x2 + y 2 > 1
x+y <1
 2
2

 x +y <1
9
4
(d)

 x2 + y 2 > 4
 2
x
y2


+
>1

9
4
(e)
2
2


 x −y <1
9
4
5. Para cada una de las siguientes ecuaciones identifique el lugar geom´etrico correspondiente.
(a) x2 + y 2 − 2x + 4y + 4 = 0.
(b) x2 + y 2 − 6x + 2y + 6 = 0.
(c) 4x2 + 9y 2 − 16x + 72y + 124 = 0.
(d) 9x2 − 16y 2 + 90x + 192y − 495 = 0.
(e) 4x2 + 9y 2 − 16x + 72y + 160 = 0.
(f) 9x2 + 16y 2 + 90x192y + 1000 = 0.
(g) y 2 − 10x − 8y − 14 = 0.
(h) 4x2 + 4y 2 − 16x − 20y − 10 = 0.
(i) x2 + y 2 − 2x + 4y + 20 = 0.
(j) 4x2 − 4y 2 + 16x − 20y − 10 = 0.
(k) 4x2 − 4y 2 + 16x − 20y − 9 = 0.
(l) 4x2 − 16x + 16 = 0.
(m) 4x2 − 16x + 15 = 0.
(n) 25x2 + 4y 2 + 150x − 8y + 129 = 0.
(o) 25x2 − 4y 2 + 150x − 8y + 129 = 0.
(p) 3x + 4y − 16 = 0.