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Departamento de Matemáticas
2º Bachillerato
TEMA 7: PROPIEDADES MÉTRICAS
1.- HAZ DE PLANOS PARALELOS
Todos los planos paralelos a un plano α ≡ Ax + By + Cz + D = 0 tendrán el
r
mismo vector normal que el de α : n ( A, B, C ) . Por lo tanto, todos los
planos paralelos a α serán de la forma:
Ax + By + Cz + k = 0; k ∈ ℜ
Esta es la ecuación del haz de planos paralelos a α . Para cada valor
de k obtenemos un plano paralelo a α .
2.- HAZ DE PLANOS SECANTES
Se llama Haz de planos secantes al conjunto de planos que pasan
por una recta, llamada arista del haz.
El haz queda determinado por dos planos distintos del mismo, que
definen la recta:
 α ≡ Ax + By + Cz + D = 0
r≡
β ≡ A′x + B ′y + C ′z + D ′ = 0
La ecuación del haz será:
t ⋅ ( Ax + By + Cz + D) + s ⋅ ( A′x + B ′y + C ′z + D ′) = 0; t , s ∈ ℜ
3.- ÁNGULO DE DOS RECTAS.
El ángulo de dos rectas que se cortan
ángulos que forman.
r
y
s es el menor de los
El ángulo de dos rectas que se cruzan r y s se define como el
ángulo formado por dos rectas secantes y paralelas a las dadas.
Para hallar el ángulo, utilizamos los vectores directores de las rectas:
r
r
dr y ds .
r r
dr ⋅ ds
r r
cos(r , s) = cos(d r , d s ) = r r
dr ⋅ ds
r
r
r r
r ⊥ s ⇔ (r , s ) = 90º ⇔ d r ⊥ d s ⇔ d r ⋅ d s = 0
r r
r r
b) r s ⇔ (r , s ) = 0º ⇔ d r d s ⇔ r (d r , d s ) = 1 ⇔ Los vectores son
a)
proporcionales.
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4.- ÁNGULO DE DOS PLANOS
El ángulo de dos planos secantes α
y β es el menor de los ángulos
diedros que forman.
Para hallar el ángulo utilizamos los vectores perpendiculares de los
r
r
planos: nα y n β .
r
nα
r r
cos(α , β ) = cos(nα , n β ) = r
nα
r
⋅ nβ
r
⋅ nβ
r
r
r r
a) α ⊥ β ⇔ (α , β ) = 90º ⇔ nα ⊥ n β ⇔ nα ⋅ n β = 0
r r
r r
b) α β ⇔ (α , β ) = 0º ⇔ nα n β ⇔ r (nα , nβ ) = 1 ⇔ Los vectores son
proporcionales.
5.- ÁNGULO DE RECTA Y PLANO
El ángulo de una recta r y un plano α , secantes, es igual al ángulo
que forma r con su proyección sobre α , r ′ .
(r , α ) = (r , r ′)
r r
d ⋅n
r r
sen(r , α ) = cos(d , n ) = r r
d ⋅n
r r
r r
a) r ⊥ α ⇔ (r , α ) = 90º ⇔ (d , n ) = 0º ⇔ r (d , n ) = 1 ⇔ Los vectores son
proporcionales
r r
r r
b) r α ⇔ (r , α ) = 0º ⇔ (d , n ) = 90º ⇔ d ⋅ n = 0
6.- PROYECCIÓN ORTOGONAL
a) Proyección ortogonal de un punto sobre un plano es un punto
P´que se obtiene como intersección de la recta r perpendicular a π
que pasa por P, con el plano π.
b) Proyección ortogonal de una recta sobre un plano es la recta r´que
se obtiene como intersección de un plano π´perpendicular a π que
pasa por la recta r, con el plano π.
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7.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados dos puntos A(a1 , a 2 , a 3 ) y B(b1 , b2 , b3 ) .
d ( A, B) = AB = (b1 − a1 ) 2 + (b2 − a 2 ) 2 + (b3 − a3 ) 2
Propiedades:
a)
b)
c)
d ( A, B ) = 0 ⇔ A = B
d ( A, B ) = d ( B, A)
Desigualdad triangular: d ( A, C ) ≤ d ( A, B ) + d ( B, C )
8.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO. DISTANCIA ENTRE
PLANOS PARALELOS
8.1.- Distancia de un punto a un plano.
Sea un punto P ( p1 , p 2 , p3 ) y un plano α ≡ Ax + By + Cz + D = 0 .
•
Si P ∈ α ⇒ d ( P, α ) = 0 .
•
Si P ∉ α ⇒ d ( P, α ) = d ( P, Q ) .siendo Q la proyección ortogonal de P
sobre el plano.
r
P ( p1 , p 2 , p3 ) y n ( A, B, C )
d ( P, α ) =
Ap1 + Bp 2 + Cp 3 + D
A2 + B 2 + C 2
8.2.- Distancia entre dos planos.
• Si los dos planos α y β son secantes o coincidentes, la
•
distancia es 0.
Si los dos planos α
y β son paralelos estrictos:
d (α , β ) = d ( P, β ) siendo P ∈ α
También d (α , β ) = d ( P ′, α ) siendo P ′ ∈ β
9.- DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
• Si la recta r y el plano α son secantes ⇒ d (r , α ) = 0
•
Si la recta r está contenida en el plano α
•
Si la recta r y el plano α son paralelos ⇒ d (r , α ) = d ( P, α ) siendo
P∈r.
⇒ d (r , α ) = 0
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10.- DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. DISTANCIA
ENTRE RECTAS PARALELAS
• Dado un punto P y una recta r;
Si P ∈ r ⇒ d ( P, r ) = 0 .
Si P ∉ r ⇒ d ( P, r ) = d ( P, Q) = PQ siendo Q la proyección ortogonal de P
sobre r.
r
La recta viene dada por r ( A, d ) .
r
APxd
d ( P, r ) =
r
d
10.1.- Distancia entre rectas
• Si r y s se cortan ⇒ d (r , s ) = 0
•
Si r y s son coincidentes ⇒ d (r , s ) = 0
•
Si r y s son paralelas estrictas ⇒ d (r , s ) = d ( P, s ) siendo P un
punto de r.
10.2.- Distancia entre rectas que se cruzan
Si r y s se cruzan, la distancia entre las rectas es igual a la
distancia entre el plano α paralelo a “s” y que contiene a “r” y el
plano β paralelo a “r” y que contiene a “s”.
r
Si las rectas vienen dadas por: r ( A, d r )
r
y s ( A′, d s )
r r
 α ( A; d r , d s )
r r
Los planos son: 
′
β
(
A
;
d
r ,ds )

Entonces:
d (r , s ) = d (α , β ) = d ( P, α ) siendo P ∈ β .
r r
det( AA′, d r , d s )
d (r , s) =
r r
d r xd s
11.- PERPENDICULAR COMÚN
Se llama perpendicular común de dos rectas que se cruzan a la recta
que corta perpendicularmente a cada una de ellas.
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Hallamos el plano α que contiene a “r” y es perpendicular a “s” y el
plano β que contiene a “s” y es perpendicular a “r”.
La perpendicular común, “p”, es la recta determinada por estos dos
planos.
r
r
Si las rectas vienen dadas por: r ( A, d r ) y s ( A′, d s )
r r r
 α ( A, d r , d r xd s )
r r r
La perpendicular común viene dada por: p ≡ 
′
β
A
d
(
,
s , d r xd s )

12.- SIMETRÍAS
A) SIMETRÍA CENTRAL
Es la simetría respecto de un punto C, llamado centro de la simetría.
P ′ es el simétrico de P respecto de C ⇔ PC = CP ′ ⇔ C es el punto
medio del segmento PP ′ .
B) SIMETRÍA AXIAL
Es la simetría respecto de una recta “r” llamada eje de la simetría.
P ′ es el simétrico de P respecto de “r” si y solo si “r” es la mediatriz
del segmento PP ′ .
¿Cómo hallamos P ′ ?
Hallamos el plano π que contiene a P y es perpendicular a la recta
“r”.
El punto de corte del plano con la recta M = punto medio del
segmento PP ′ .
Conociendo P y M, se halla P ′ .
C) SIMETRÍA RESPECTO DE UN PLANO
P ′ es el simétrico de P respecto de un plano π
si y solo si π
es el
plano mediatriz del segmento PP ′ .
¿Cómo hallamos P ′ ?
Hallamos la recta “r” que contiene a P y es perpendicular al plano π
El punto de corte del plano con la recta es M = punto medio del
segmento PP ′ .
Conociendo P y M, se halla P ′