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´
Breves Apuntes de Analisis
para las Matem´
aticas en la Ense˜
nanza Secundaria
Badajoz, 15 de abril de 2015
Sucesi´
on de Fibonacci
Dpto. de Matem´
aticas
Univ. de Extremadura
´
Breves Apuntes de Analisis
para las Matem´
aticas
en la Ense˜
nanza Secundaria
Dpto. de Matem´aticas
Univ. de Extremadura
« Breves Apuntes de An´alisis para las Matem´aticas de la ESO.
15 de abril de 2015
´Indice general
1. An´
alisis matem´
atico
1.1. Sucesiones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. La sucesi´
on de Fibonacci . . . . . . . . . . . .
1.1.2. La proporci´
on ´
aurea . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. La proporci´
on ´
aurea y los Poliedros Plat´onicos
1.2. Ejercicios de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. La funci´
on exponencial . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. La exponencial real y el logaritmo real . . . . .
1.3.3. Las funciones trigonom´etricas . . . . . . . . . .
1.3.4. La Funci´
on Zeta de Riemann . . . . . . . . . .
1.3.5. Productos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6. Funci´
on Zeta de Riemann y N´
umeros primos .
1.3.7. La funci´
on factorial . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Los n´
umeros e y π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. F´
ormulas para el c´
alculo de π. . . . . . . . . .
1.5. Ejercicios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Problemas de Oposiciones . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Problemas diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Problemas visuales
1
1
1
4
5
7
10
10
12
14
16
18
19
20
21
21
27
32
34
39
3. El An´
alisis matem´
atico en la Educaci´
on
3.1. Educaci´
on Secundaria Obligatoria . . .
3.1.1. Contenidos de Matem´
aticas . . .
3.2. Bachillerato . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Contenidos de Matem´
aticas I . .
3.2.2. Contenidos de Matem´
aticas II . .
i
Secundaria
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
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51
51
51
52
52
52
ii
´
INDICE GENERAL
3.3. Temario de oposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Tema 1
An´
alisis matem´
atico
1.1.
Sucesiones y series
1.1.1.
La sucesi´
on de Fibonacci
Consideremos una poblaci´
on de amebas con la siguiente propiedad.
Desde su nacimiento pasan dos dias hasta que son adultas y desde ese
momento todos los d´ıas tienen una hija.
Si aislamos en el momento de su nacimiento una ameba, ¿cu´antas
amebas habr´
a el d´ıa n?, ¿cu´
al es la proporci´
on xn , de amebas j´ovenes a
adultas ese d´ıa?, a qu´e tiende xn ?.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 1.1. Sucesi´
on de Fibonacci
Hay tres tipos de amebas: las j´
ovenes reci´en nacidas (en el dibujo gris
claro), las j´
ovenes que tienen 1 d´ıa (gris oscuro) y las adultas (negras).
Denotemos con an las amebas que hay el d´ıa n, entonces a1 = a2 = 1
y el d´ıa n + 1 hay an+1 = an + (an+1 − an ), de las cuales an+1 − an
son gris claro (por tanto al d´ıa siguiente no tienen hijas) y el resto an
son negras o gris oscuro y por tanto al d´ıa siguiente son negras y todas
tienen descendencia, por lo tanto el d´ıa n + 2 tendremos an negras, an
1
2
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
gris claro y an+1 − an gris oscuro, es decir an adultas y an+1 j´ovenes, en
total
a1 = a2 = 1,
an+2 = an+1 + an ,
o equivalentemente a0 = 0 y a1 = 1
esta es la llamada sucesi´
on de Fibonacci , definida por recurrencia,
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . .
Nota 1.1 La sucesi´
on de Fibonacci aparece de forma natural en el mundo de las abejas, cuando consideramos el n´
umero an de ancestros de
generaci´
on n–sima de un z´
angano, donde la generaci´on 1 es ´el (es decir
a1 = 1), la 2 es la de sus padres, la 3 la de sus abuelos, etc. Hay 3 tipos de abejas: La reina (hembra), las obreras (hembras) y los z´
anganos
(machos). La reina en general es la u
´nica hembra f´ertil y puede poner o
bien huevos sin fecundar, de los que salen los z´
anganos (que son f´ertiles),
o huevos fecundados por un z´
´
angano, que es de donde salen las hembras
(tanto las reinas que son f´ertiles, como las obreras, que en general no lo
son). Por tanto un z´
angano (Z) no tiene padre, s´olo tiene 1 madre que
es reina (R), por tanto a2 = 1 = 1R, y esta ha tenido madre y padre,
por lo que a3 = 2 = 1R + 1Z, a4 = 3 = 2R + 1Z, a5 = 5 = 3R + 2Z,
a6 = 8 = 5R + 3Z,. . .
Observemos que no s´
olo tenemos que el n´
umero de ancestros de generaci´
on n–sima de un z´
angano es an , sino que adem´as esa generaci´on
est´
a formada por an−1 reinas y an−2 z´
anganos.
Tambi´en est´
a presente en el mundo de las plantas, por ejemplo en la
flor del girasol podemos contar dos colecciones de curvas unas destr´ogiras
y otras lev´
ogiras. Estos dos n´
umeros no son iguales y lo que es mas
interesante, son dos n´
umeros seguidos de la sucesi´on de Fibonacci.
55
1
89 1
5
85
5
50
10
80
15
10
75
45
20
70
40
25
15
65
30
60
35
20
35
55
30
50
40
45
25
Curvas levógiras en el girasol: 55
Curvas destrógiras en el girasol: 89
Figura 1.2. Curvas en el girasol
Veamos ahora algunas propiedades de esta sucesi´on:
1.1. Sucesiones y series
3
Proposici´
on 1.2 Para n ≥ 1 y a0 = 0
an+1 an−1 − a2n = (−1)n .
Demostraci´
on. Ve´
amoslo por inducci´
on en n. Para n = 1 es verdad,
a2 a0 − a21 = −1.
ahora si es verdad para n veamos que tambi´en lo es para n + 1
an+2 an − a2n+1 = (an+1 + an )an − an+1 (an + an−1 )
= a2n − an+1 an−1 = (−1)n+1 .
Proposici´
on 1.3 Para n ≥ 1 y xn = an+1 /an ,
xn+1 − xn =
(−1)n+1
,
an an+1
Demostraci´
on. Por la definici´
on y (1.2) se tiene
xn+1 − xn =
an+2 an − a2n+1
an+2
an+1
(−1)n+1
−
=
=
.
an+1
an
an an+1
an an+1
Proposici´
on 1.4 Para n ≥ 1
1 = x1 ≤ x2n−1 < x2n+1 < x2n+2 < x2n ≤ x2 = 2.
Demostraci´
on. Por (1.3) se tiene que para k ≥ 2
(−1)k+1
(−1)k
xk+1 − xk−1 = xk+1 − xk + xk − xk−1 =
+
ak ak+1
ak−1 ak
1
1
= (−1)k
−
ak−1 ak
ak ak+1
a
−
a
k+1
k−1
k
= (−1)
ak−1 ak ak+1
1
= (−1)k
,
ak−1 ak+1
y para k = 2n tendremos x2n+1 − x2n−1 > 0 y para k = 2n + 1, x2n+2 −
x2n < 0.
4
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
1.1.2.
La proporci´
on ´
aurea
Para todo n ≥ 1 se tiene
1 ≤ xn = 1 +
1
2xn−2 + 1
≤ 2,
=
xn−1
xn−2 + 1
y por (1.4) la subsucesi´
on de los t´erminos impares: x2n+1 es creciente y
acotada superiormente por 2 y la de los pares x2n es decreciente y acotada
inferiormente por 1, por tanto ambas tienen l´ımite x que satisface por lo
anterior
√
2x + 1
1± 5
2
x=
⇔ x −x−1=0 ⇔ x=
,
x+1
2
√
y como 1 ≤ x ≤ 2, s´
olo hay una soluci´
on x = φ = (1 + 5)/2 = 1, 615,
que es la proporci´
on ´
o secci´
on aurea.
Este n´
umero
φ = (1 +
√
5)/2,
tiene la siguiente propiedad: si construimos un rect´angulo con proporci´on
de lados igual a φ y lo dividimos en un cuadrado y un rect´angulo, este
nuevo rect´
angulo tiene la misma proporci´
on φ.
ϕ
1
1
1
ϕ-1
Figura 1.3. Rect´
angulo ´
aureo
√
Adem´
as como φ = 1 + 1/φ = 1 + φ, pues φ2 = φ + 1, se demuestran
f´
acilmente las siguientes igualdades
r
q
√
1
φ=1+
= 1 + 1 + 1 + · · ·.
1
1 + 1+···
Tambi´en se tiene que 1 − φ = χ es la otra soluci´on de x2 − x −
1 = 0 y por tanto ambas satisfacen xn+2 = xn+1 + xn . Del mismo
modo para cualesquiera a, b, la sucesi´
on fn = aφn + bχn satisface la
f´
ormula de recurrencia inicial y la sucesi´
on fn = an , es la nuestra si
5
1.1. Sucesiones y series
elegimos a y b que satisfagan las condiciones iniciales a0 = 0 y a1 = 1 (o
equivalentemente a1 = a2 = 1), es decir
a + b = 0,
aφ + bχ = 1,
√
es decir a = 1/ 5 y b = −a, por tanto tenemos las f´ormulas para el
c´
alculo directo de la sucesi´
on de Fibonacci
1
φn − χ n
an = √ (φn − χn ) =
.
φ−χ
5
√
Por otra parte como
|χ| < 1, |χ|n < 1 por tanto |χ|n / 5 < 1/2, de
√
donde −1/2 < ±χn / 5 < 1/2 y para todo n ≥ 1,
φn
1
φn
χn
φn
1
√ − < √ − √ = an < √ +
5 2
5
5
5 2
por tanto
n
φ
1
an = √ + .
5 2
Ejercicio 1.1.1 Demostrar que φn = an φ + an−1 .
1.1.3.
La proporci´
on ´
aurea y los Poliedros Plat´
onicos
Figura 1.4. poliedros Plat´
onicos
Definici´
on. Llamamos poliedros Plat´
onicos a poliedros cuyas caras son
pol´ıgonos regulares iguales y tienen todos los a´ngulos di´edricos iguales.
S´
olo hay 5, que son el tetraedro, formado por 4 tri´angulos equil´ateros; el
hexaedro ´
o cubo, formado por 6 cuadrados; el octaedro, formado por 8
tri´
angulos equil´
ateros; el dodecaedro, formado por 12 pent´agonos regulares y el icosaedro, formado por 20 tri´
angulos equil´ateros.
La secci´
on ´
aurea se haya presente en el dodecaedro y en el icosaedro
de forma especial. En el dodecaedro porque en un pent´agono la raz´on de
distancias entre cualquier diagonal y el lado es φ, para verlo consideremos
la figura (1.5)).
6
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
D
E
C
F
α
ϕ
α
α
B
A
Figura 1.5. Secci´
on ´
aurea en el pent´
agono
Se tiene por simetr´ıa que el lado EC es paralelo al AB y por lo mismo
AD es paralelo a BC, por tanto si F es la intersecci´on de AD y EC,
tendremos que son iguales los cuatro lados AB = BC = CF = AF ,
digamos que es 1 y sea x = AD. Como los tri´
angulos ABD y EF A son
isosceles con igual ´
angulo en el v´ertice α, tendremos que son semejantes
y por tanto
x=
AD
AF
1
=
=
AB
EF
x−1
⇔
x2 = x + 1
⇔
x = φ.
Veremos a continuaci´
on que los v´ertices del icosaedro son los de tres
rect´
angulos aureos perpendiculares.
Teorema 1.5 El icosaedro existe.
Demostraci´
on. Consideremos 3 rect´
angulos ´aureos (ver la Fig. (1.3,
de lados 2 y 2φ, centrados en el origen y mutuamente perpendiculares, tanto ellos como sus aristas grandes, y por tanto las peque˜
nas, (ver
Fig.1.6):
F
A
B
C
D
E
Figura 1.6. Existencia del Icosaedro
Veamos que los 12 = 3×4 v´ertices de esta figura forman un icosaedro.
Para ello basta demostrar que la distancia entre dos v´ertices de un mismo
7
1.2. Ejercicios de sucesiones
triedro (de los 8, ver Fig.1.6) es igual al lado peque˜
no del rect´angulo
BC = 2. Consideremos por ejemplo los vertices
A = (1, 0, φ),
C = (φ, 1, 0),
p
cuya distancia es (φ − 1)2 + φ2 + 1 = 2. La envolvente convexa de
estos v´ertices est´
a formada por tri´
angulos equil´ateros y en cada v´ertice
hay 5. Que los a´ngulos di´edricos son iguales se sigue de las simetr´ıas
de la figura formada por los rect´
angulos y de que lo son el formado
por dos tri´
angulos con un lado com´
un tipo BC y el formado por dos
tri´
angulos con un lado com´
un tipo AC, pues son iguales las distancias
BF y AE = 2φ, ya que B = (φ, −1, 0) y F = (0, φ, 1), por tanto
BF 2 = φ2 + (φ + 1)2 + 1 = 2φ2 + 2φ + 2 = 4φ2 .
Corolario 1.6 El dodecaedro existe.
Demostraci´
on. Es consecuencia de la existencia del icosaedro, tomando los puntos medios de sus caras.
1.2.
Ejercicios de sucesiones
Ejercicio 1.2.1 Recu´erdese que llamamos l´ımites superior e inferior de una
sucesi´
on xn ∈ R, respectivamente a
l´ım sup xn = l´ımxn = ´ınf sup xm ,
n≥1 m≥n
l´ım inf xn = l´ımxn = sup ´ınf xm .
n≥1 m≥n
Demostrar que: (a) l´ım sup xn = − l´ım inf(−xn ). (b) l´ım inf xn ≤ l´ım sup xn .
(c) xn converge a x sii l´ım inf xn = l´ım sup xn = x ∈ R. (d) xn → ∞ sii
l´ım inf xn = l´ım sup xn = ∞. (e) xn → −∞ sii l´ım inf xn = l´ım sup xn = −∞.
Ejercicio 1.2.2 Dadas dos sucesiones reales xn ≤ yn demostrar que
l´ım inf xn ≤ l´ım inf yn ,
l´ım sup xn ≤ l´ım sup yn .
Ejercicio 1.2.3 Toda sucesi´
on de numeros reales mon´
otona (creciente o decreciente) es convergente sii est´
a acotada.
Ejercicio 1.2.4 Sean zn ∈ C. Demostrar que si la serie
convergente entonces es convergente.
P
zn es absolutamente
8
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
Ejercicio 1.2.5 Sean zn ∈ C. Demostrar que si la serie
entonces zn → 0.
P
zn es convergente
Ejercicio 1.2.6 (Criterio de comparaci´
on). Sean an , bn ≥ 0. Demostrar que:
(a)
> 0, tales que para n ≥ N , an ≤ cbn , la convergencia
P de
P Si existen c, N P
bn
bn implicaPla de
an . (b) Si an , bn > 0 y elPl´ım abnn = c 6= 0, entonces
an
converge
sii
a
ım
=
0
y
b
converge
entonces
tambi´
e
n
n converge. Si el l´
n
bn
P
an .
P∞ n
Ejercicio 1.2.7 Demostrar que la serie geom´etrica,
para |z| < 1 es
n=0 z
convergente y vale 1/(1 − z) y que si |z| ≥ 1, la serie es divergente.
Ejercicio 1.2.8 Demostrar el criterio del cociente, para zn ∈ C y
zn+1 , R = l´ım sup zn+1 .
r = l´ım inf zn
zn P
(a)
zn converge absolutamente. (b) Si r > 1 entonces
P Si R < 1 entonces
zn diverge.
p
n
Ejercicio 1.2.9 Demostrar
P el criterio de la ra´ız, para zn ∈ C y ρ = l´ım sup |zn |:
(a)
Si
ρ
<
1,
entonces
z
converge
absolutamente.
(b)
Si
ρ
>
1,
entonces
n
P
zn diverge.
P
Ejercicio 1.2.10 Sea an ∈ R una sucesi´
on y sn = (1/n) n
i=1 ai , demostrar
que
l´ım inf an ≤ l´ım inf sn ≤ l´ım sup sn ≤ l´ım sup an .
Ejercicio 1.2.11 Sean an > 0, demostrar que
l´ım inf
√
√
an+1
an+1
≤ l´ım inf n an ≤ l´ım sup n an ≤ l´ım sup
.
an
an
Ejercicio 1.2.12 Calcular los l´ımites
(1)
(2)
(3)
.
1 + 2 + 3 + ··· + n
n2
1 + x + x2 + · · · + xn
l´ım
n→∞
xn
n
l´ım
n→∞
l´ım
n→∞
m
nm
(4)
l´ım
n→∞
(para x > 1).
√
n
n
9
1.2. Ejercicios de sucesiones
Ejercicio 1.2.13 Calcular el valor de la serie
una interpretaci´
on geom´etrica para las series
(a)
∞
X
1
,
n
2
n=1
(b)
P∞
n=1
∞
X
1
,
n
4
n=1
rn , para 0 < r < 1 y dar
(c)
∞
X
1
n
8
n=1
Ejercicio 1.2.14 Calcular el l´ımite de la sucesi´
on:
r
q
q
√
√
√
a1 = 2, a2 = 2 + 2, a3 = 2 + 2 + 2,
···
Ejercicio 1.2.15 ¿Cuanto puede sobresalir un libro en una pila de libros, poniendo tantos como se quiera?.
Ejercicio 1.2.16 Sean ai , bi , i = 1, . . . , n, n´
umeros no negativos. Probar que
p
√
√
n
n
n
a1 · · · an + b1 · · · bn ≤
(a1 + b1 ) · · · (an + bn ).
Ejercicio 1.2.17 Demostrar que para n ≥ 3
nn+1 > (n + 1)n .
Ejercicio 1.2.18 Demostrar que si n es par
2π
2π
+ · · · + cos(n − 1)
+ 1 = 0,
n
n
2π
2π
sin
+ · · · + sin(n − 1)
= 0.
n
n
cos
Ejercicio 1.2.19 Sean x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn e y1 ≤ y2 ≤ · · · ≤ yn n´
umeros reales
y sea σ una permutaci´
on de los n primeros naturales. Demostrar que
n
X
i=1
xn+1−i yi ≤
n
X
i=1
xσ(i) yi ≤
n
X
xi yi .
i=1
Ejercicio 1.2.20 Demostrar que (ver el ejercicio (1.5.20))
(1 + 2 + · · · + n)2 = 1 + 23 + · · · + n3 .
Ejercicio 1.2.21 Sean 0 < r1 < r2 < · · · < rm ∈ R y 0 < ni ∈ R, para
i = 1, . . . , m. Demostrar que (0, 0) y los m puntos (xi , yi ) ∈ R2 , siendo
Pi
Pi
j=1 nj
j=1 nj xj
P
xi =
, y i = Pm
,
m
n
j
j=1
j=1 nj xj
definen una poligonal convexa que une (0, 0) con (1, 1).
10
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
Ejercicio 1.2.22 Demostrar que a2 , b2 , c2 est´
an en progresi´
on aritm´etica sii lo
est´
an los inversos de b + c, a + c, a + b.
Ejercicio 1.2.23 Demostrar que dos n´
umeros complejos z1 , z2 , definen un tri´
angulo is´
osceles con a
´ngulo α en 0 y lados iguales los definidos por ellos si y s´
olo
si
z12 + z22 = 2z1 z2 cos α.
.
Ejercicio 1.2.24 Demostrar que tres n´
umeros complejos z1 , z2 , z3 forman un
tri´
angulo equil´
atero si y s´
olo si
z12 + z22 + z32 = z1 z2 + z1 z3 + z2 z3 .
.
Ejercicio 1.2.25 Demostrar que tres n´
umeros complejos z1 , z2 , z3 forman un
tri´
angulo rect´
angulo e isosceles, con a
´ngulo recto en z3 , si y s´
olo si
(z1 − z3 )2 + (z2 − z3 )2 = 0.
.
1.3.
1.3.1.
Funciones
La funci´
on exponencial
Definici´
on. Definimos la funci´
on exponencial compleja exp : C → C
exp(z) =
∞
X
zn
.
n!
n=0
Ejercicio 1.3.1 Demostrar que para todo x ∈ R, l´ım
Ejercicio 1.3.2 Demostrar que
√
n
xn
n!
= 0.
n! = ∞.
P
zn
Ejercicio 1.3.3 Demostrar que para z ∈ C, la serie ∞
n=0 n! es absolutamente
convergente y la convergencia es uniforme en todo acotado de C y que exp(0) =
1.
11
1.3. Funciones
Pi
Lema 1.7 (Teorema De Martens) Sean an , bn ∈ C y ci = j=0 aj bi−j .
P∞
P∞
Si
n=0 an es absolutamente convergente y
n=0 bn es convergente,
entonces la serie de cn es convergente y vale
! ∞ !
∞
∞
X
X
X
cn =
an
bn .
n=0
n=0
n=0
Pn
Demostraci´
on. Sean An =
i=0 ai , Bn =
Bn → B. Ahora considerando bk = 0, para k < 0,
n
X
Cn :=
ci =
i=0
=
n X
n
X
n X
i
X
aj bi−j =
i=0 j=0
n X
n
X
Pn
i=0 bi ,
An → A y
aj bi−j
i=0 j=0
n
n X
X
aj bi−j =
aj bi−j =
aj
n−j
X
j=0
j=0 i=j
j=0 i=0
n
X
bi =
i=0
n
X
aj Bn−j
j=0
por tanto
|Cn − AB| ≤ |
≤
n
X
aj Bn−j − B
n
X
aj | + |B
aj − AB|
j=0
j=0
j=0
n
X
n
X
|aj ||Bn−j − B| + |B||
n
X
aj − A|,
j=0
j=0
y como el segundo sumando converge a 0, basta demostrar que tambi´en
el primero. Ahora bien |Bn − B| → 0,Ppor tanto existe p ∈ R, tal que
para todo n, |Bn − B| ≤ p. Sea k =
|anP
| y dado > 0, sea N ∈ N,
∞
tal que para m ≥ N , |Bm − B| ≤ /(2k) y N +1 |am | ≤ /2p, entonces
para n ≥ 2N ,
n
X
|aj ||Bn−j − B| =
j=0
N
X
|aj ||Bn−j − B| +
j=0
n
X
|aj ||Bn−j − B| ≤ .
j=N +1
Corolario 1.8 Si las series son absolutamente convergentes
!
!
∞
∞
X
X
a1,n · · ·
am,n =
n=0
=
∞ X
n n−i
X
X1
n=0 i1 =0 i2 =0
n=0
n−i1 −···im−2
···
X
im−1 =1
a1,i1 a2,i2 · · · am,n−i1 −···−im−1 .
12
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
Demostraci´
on. Por inducci´
on.
Teorema 1.9 Para a, b ∈ C se verifica que
exp(a + b) = exp(a) · exp(b).
Demostraci´
on. Se sigue del
PnTeorema de Martens (1.7) que para
an = an /n!, bn = bn /n! y cn = i=0 ai bn−i ,
exp(a) exp(b) =
=
∞
X
ak
∞
X
bm =
m=0
k=0
∞
n
XX i
n=0 i=0
∞
X
cn
n=0
∞
X
a bn−i
(a + b)n
=
= exp(a + b).
i! (n − i)! n=0
n!
Definici´
on. Definimos el n´
umero e = exp(1).
Proposici´
on 1.10 Para cada z ∈ C, exp(z) 6= 0 y exp0 (z) = exp(z).
Demostraci´
on. Lo primero porque exp(z) exp(−z) = exp(0) = 1.
Para ver la derivada observemos que
∞
exp(h) − 1 X hn−1
=
h
n!
n=1
y esta serie converge (por el criterio del cociente) absoluta y uniformemente en los compactos, por tanto define una funci´on continua que en
h = 0 vale 1. Por tanto
exp0 (z) = l´ım
h→0
1.3.2.
exp(h) − 1
exp(z + h) − exp(z)
= exp(z) l´ım
= exp(z).
h→0
h
h
La exponencial real y el logaritmo real
Proposici´
on 1.11 Para x ∈ R, exp(x) > 0 y define una funci´
on creciente
tal que exp0 (x) = exp(x) y
l´ım exp(x) = ∞,
x→∞
l´ım exp(x) = 0,
x→−∞
por tanto exp : R → (0, ∞) es una biyecci´
on.
13
1.3. Funciones
Demostraci´
on. Como exp(x) exp(−x) = 1, basta demostrar que es
creciente para x ≥ 0, y de la definici´
on se tiene que en esos puntos es
creciente por serlo para cada n, xn ; ahora como 1 = exp(0) < exp(1) = e,
exp(n) = en → ∞ y se tiene el primer l´ımite. El segundo se sigue de que
exp(x) = 1/ exp(−x).
Definici´
on. Definimos la funci´
on logaritmo neperiano
ln : (0, ∞) → R,
como la inversa de la exponencial real, que tambi´en es biyectiva por tanto
x = exp(ln x) = ln(exp(x)),
y su derivada se obtiene de la formula anterior por la regla de la cadena
1 = exp(ln x) ln0 (x) = x ln0 (x)
⇒
ln0 (x) =
1
.
x
El logaritmo es creciente y tiene las siguientes propiedades que hereda
de la exponencial:
(i) ln(1) = 0, ln(e) = 1, l´ımx→0+ ln(x) = −∞, l´ımx→∞ ln(x) = ∞.
(ii) Para 0 < a, b
ln(a b) = ln(exp(ln(a)) exp(ln(b)) = ln(exp(ln(a)+ln(b))) = ln(a)+ln(b).
(iii) Para a > 0 y b = 1/a
0 = ln(a a−1 ) = ln(a) + ln(a−1 )
ln(a−1 ) = − ln(a).
⇒
(iv) Para a > 0 y n ∈ Z, ln(an ) = n ln(a) y para b = an , ln(b) =
n ln(b1/n ), de donde que para q = m/n ∈ Q
m
ln(aq ) = ln(a n ) =
m
ln(a) = q ln(a)
n
⇔
lo cual nos sugiere la siguiente definici´
on.
Definici´
on. Dado a > 0 y x ∈ R definimos
ax = exp (x ln(a)) .
En particular tendremos que para x ∈ R
ex = exp (x ln(e)) = exp(x).
aq = exp (q ln a) ,
14
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
Definici´
on. Denotaremos para z ∈ C, ez = exp(z)
Por la definici´
on ez = ez , por tanto para x ∈ R,
1 = eix−ix = eix eix = | eix |2 ,
de donde | eix | = 1.
1.3.3.
Las funciones trigonom´
etricas
Definici´
on. Para x ∈ R, definimos las funciones seno y coseno,
sen x = Im eix ,
cos x = Re eix .
por tanto se tiene sen2 x + cos2 x = 1 y la Identidad de Euler
eix = cos x + i sen x.
y derivando en esta igualdad respecto de x, tendremos
i(cos x + i sen x) = i eix = (eix )0 = cos0 (x) + i sen0 (x).
por tanto
cos0 (x) = − sen(x),
sen0 (x) = cos(x).
Adem´
as separando parte real e imaginaria
cos x + i sen x = eix =
∞ n n
∞ 2n 2n
∞ 2n−1 2n−1
X
X
X
x
i x
i x
i
=
+
,
n!
(2n)!
(2n
−
1)!
n=0
n=0
n=1
se tienen las igualdades
cos x =
∞
X
(−1)n x2n
,
(2n)!
n=0
sen x =
∞
X
(−1)n+1 x2n−1
,
(2n − 1)!
n=1
para las que cos 0 = 1 y sen 0 = 0. Ahora consideremos x = 2, entonces
cos 2 = 1 −
22
24
26
28
+
−
+
+ ··· ,
2!
4!
6!
8!
y los t´erminos de la serie a partir del tercero en m´odulo decrecen y tienen
signos alternados, por tanto su suma es negativa de donde
cos 2 < 1 −
22
24
1
+
= − < 0,
2!
4!
3
15
1.3. Funciones
y como cos 0 = 1, existe un m´ınimo t0 > 0 en el que cos t0 = 0. Definimos
π = 2t0 .
y como cos x > 0, en [0, t0 ), tendremos que sen0 (x) = cos(x) > 0 en
estos puntos, por tanto sen t0 > 0 y como sen2 (t0 ) = 1, tendremos que
sen(t0 ) = 1 y se tiene
πi
e 2 = cos(t0 ) + i sen(t0 ) = i,
eπi = −1,
e2πi = 1.
Adem´
as tambi´en se tiene que
ei(x+2π) = cos(x + 2π) + i sen(x + 2π) = eix = cos(x) + i sen(x)
cos(x + 2π) = cos(x),
eix
e
i(a+b)
sen(x + 2π) = sen(x),
= cos(x) − i sen(x) = e−ix = cos(−x) + i sen(−x)
cos(−x) = cos(x),
⇒
⇒
sen(−x) = − sen(x),
= cos(a + b) + i sen(a + b) = eia eib
= (cos(a) + i sen(a))(cos(b) + i sen(b))
⇒
cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b),
sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a) sen(b)
⇒
0 = cos(π/2) = cos(π/4 + π/4) = cos2 (π/4) − sen2 (π/4)
cos(π/4) = sen(π/4),
⇒
pues ambos son positivos.
Definimos la funci´
on tangente en (−π/2, π/2) = (−t0 , t0 )
tan : (−π/2, π/2) → R,
tan(x) =
sen(x)
cos(x)
para la que tan(π/4) = 1 y es estrictamente creciente pues
tan0 (x) =
cos2 (x) + sen2 (x)
= 1 + tan2 (x) ≥ 1,
cos2 (x)
adem´
as l´ımx→π/2 tan(x) = ∞ y l´ımx→−π/2 tan(x) = −∞, por tanto tiene
inversa que llamamos arco tangente,
arctan : R → (−π/2, π/2),
16
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
para la que arctan(0) = 0 y arctan(1) = π/4, adem´as x = tan[arctan(x)]
y derivando
1 = tan0 [arctan(x)] arctan0 [x] = (1+x2 ) arctan0 [x]
⇒
arctan0 [x] =
1
,
1 + x2
por lo tanto
Z
(1.1)
0
1
dx
π
= .
1 + x2
4
Ejercicio 1.3.4 Demostrar que la probabilidad de las permutaciones de {1, 2, . . . , n},
que no tienen ning´
un n´
umero en su sitio es
n
X
(−1)i
,
i!
i=0
y por tanto cuando n → ∞ converge a 1/e.
Ejercicio 1.3.5 Demostrar que la primera sucesi´
on es creciente y la segunda
decreciente y ambas acotadas
n
−n
1
1
1+
,
1−
.
n
n
Ejercicio 1.3.6 Demostrar que
n
−n
1
1
= l´ım 1 −
= e.
l´ım 1 +
n→∞
n→∞
n
n
Ejercicio 1.3.7 Demostrar que
n
l´ım √
= e.
n
n!
Ejercicio 1.3.8 Demostrar que e es irracional.
1.3.4.
La Funci´
on Zeta de Riemann
Teorema 1.12 (Criterio de la integral) Sea f : [1, ∞) → (0, ∞) decreciente y continua y sean para n ∈ N,
Z n
an = f (n), tn =
f (x) dx,
1
entonces la serie
(diverge).
P
an converge (diverge) sii la sucesi´
on tn converge
17
1.3. Funciones
Pn
Demostraci´
on. Ambas sucesiones sn = i=1 ai y tn son crecientes,
por tanto convergentes sii est´
an acotadas. Ahora bien para cada i y
x ∈ [i − 1, i) tendremos que ai = f (i) ≤ f (x) ≤ f (i − 1) = ai−1 , por
tanto integrando en ese intervalo y sumando
n
n Z i
n
X
X
X
sn − a1 =
ai ≤
f (x) dx = tn ≤
ai−1 = sn−1 ,
i=2
i=2
i−1
i=2
y el resultado se sigue.
Definici´
on. Definimos la funci´
on zeta de Riemann en los s ∈ (1, ∞)
como
∞
X
1
ζ(s) =
.
ns
n=1
Para ello habr´
a que ver que la serie es convergente, lo cual se sigue del
criterio de la integral (1.12), pues f (x) = x−s es decreciente y continua
y para s > 1
Z n
Z n 1−s 0
(x )
1 − n1−s
tn =
x−s dx =
dx =
,
1−s
s−1
1
1
es convergente.
Observemos que para s = 1 la serie que define ζ(1) es la llamada
serie arm´
onica
∞
X
1
,
n
n=1
que es divergente por el mismo criterio y la misma funci´on f (x) = 1/x,
pues en este caso
Z n
tn =
x−1 dx = log n,
1
es divergente. Sin embargo se tiene que
l´ım (s − 1)ζ(s) = 1,
s→1+
pues
1
=
s−1
Z
1
∞
Z ∞
∞
dx
1
dx X 1
≤
<
1
+
=1+
.
s
s
xs
n
x
s
−
1
1
n=1
Veremos en la p´
ag. 25, que para s = 2 se tiene que
ζ(2) =
∞
X
1
π2
=
.
2
n
6
n=1
18
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
1.3.5.
Productos infinitos
Definici´
on. Dada una sucesi´
umeros reales o complejos no
Qn on zn de n´
nulos, sea pn = z1 · · · zn = i=1 zi . Si pn converge a un p noQnulo diremos
que existe el producto infinito de los zn y lo denotaremos zi = p.
Teorema 1.13 Sean zn no nulos, entonces condici´
on necesaria y sufiQ
ciente para la existencia del producto infinito zn es que para todo > 0
exista un N ∈ N tal que para n ≥ N y k ≥ 1, |zn+1 · · · zn+k − 1| ≤ , y
en tal caso zn → 1.
Demostraci´
on. ”⇒” Sea m´ın{|pn |} = M > 0, que existe pues pn →
p y son no nulos. Ahora para todo > 0 existe un N ∈ N tal que para
n ≥ N y k ≥ 1, |pn+k − pn | ≤ M y dividiendo por |pn |, que es no nulo,
|zn+1 · · · zn+k − 1| ≤
M
≤
|pn |
”⇐” Dado = 1/2, existe m tal que para n ≥ m y k ≥ 1,
|zn+1 · · · zn+k − 1| ≤ 1/2.
Consideremos la sucesi´
on uk = zm+1 · · · zm+k y veamos que es convergente, para ello observemos que |uk −1| ≤ 1/2, por tanto uk ∈ (1/2, 3/2),
de donde se sigue que de tener uk l´ımite u, es no nulo. Veamos que uk es
de Cauchy, para ello sea > 0, entonces existe N , que podemos tomar
≥ m, tal que para n ≥ N y k ≥ 1,
|zn+1 · · · zn+k − 1| ≤ ,
por tanto
un+k
|un+k − un | = |un | − 1 = |un | |zm+n+1 · · · zm+n+k − 1| ≤ 3/2,
un
y el resultado se sigue pues pm+n = z1 · · · zm · un → z1 · · · zm · u.
P
Teorema 1.14 Sean an >Q
0, entonces la serie
an es convergente sii
∞
existe el producto infinito i=1 (1 + an ).
Pn
Demostraci´
on. Consideremos las sucesiones crecientes sn = i=1 ai
Qn
2
y pn = i=1 (1 + ai ), entonces como 1 + x ≤ 1 + x + x2 + · · · = ex , para1
x ≥ 0, tendremos que
sn ≤ pn ≤ esn ,
por tanto si una converge tambi´en la otra.
1 Es
cierto para todo ∈ R, pero aqu´ı s´
olo lo necesitamos para x ≥ 0
19
1.3. Funciones
1.3.6.
Funci´
on Zeta de Riemann y N´
umeros primos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Figura 1.7. Los primos son los u
´nicos en los que se cortan dos curvas
Denotemos con P = {qn } ⊂ N el conjunto ordenado de los n´
umeros
primos. Recordemos el resultado fundamental siguiente.
Teorema 1.15 Todo natural n > 1 se expresa de modo u
´nico como producto de primos k1 · · · km , con ki ≤ ki+1 , para 1 ≤ i ≤ m − 1.
Demostraci´
on. Por inducci´
on en n. Para n = 2 es obvio. Si n es
primo es obvio y si no lo es, es un producto n = ab, con a y b menores
que n, y por inducci´
on producto de primos, en definitiva n es producto
de primos. Veamos que la descomposici´
on es u
´nica si est´a ordenada.
Supongamos que tenemos dos descomposiciones en producto de primos
ordenados
n = k1 · · · km = r1 · · · rk ,
entonces k1 divide a n por tanto es alguno de los ri y debe ser r1 porque
por la misma raz´
on r1 es uno de los ki , por tanto dividiendo por ´el,
k2 · · · km = r2 · · · rk y repitiendo el razonamiento se tiene que m = k y
ri = ki .
Se tiene la siguiente expresi´
on, debida a Euler, de la funci´on Zeta de
Riemann en t´erminos de los n´
umeros primos.
Teorema 1.16 Para cada s ∈ (1, ∞), se tiene (ver 1.3.4)
ζ(s) =
∞
∞
X
Y
1
1
=
.
s
n
1
−
qn−s
n=1
n=1
20
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
Demostraci´
on. Consideremos la sucesi´
on de productos finitos, que
desarrollamos utilizando (1.8), denotando ai = qi−s < 1,
!
!
∞
∞
X
X
1
1
anm
an1 · · ·
···
pm =
−s =
1 − q1−s
1 − qm
n=0
n=0
=
n n−i
∞ X
X1
X
n−i1 −···im−2
···
n=0 i1 =0 i2 =0
=
∞ X
n n−i
X1
X
n=0 i1 =0 i2 =0
=
X
1 −···−im−1
ai11 · · · an−i
m
im−1 =0
n−i1 −···−im−2
···
1
X
im−1 =0
n−i −···−im−1
q1i1 · · · qm 1
s
X 1
,
ns
n∈Nm
donde Nm es el conjunto de los naturales cuyos factores primos son menores o iguales que qm , ahora tenemos que
0 ≤ ζ(s) − pm
∞
X
X 1
1
=
−
=
ns
ns
n=1
n∈Nm
X
n∈N\Nm
X 1
1
≤
,
ns
ns
n>q
m
pues N\Nm son los naturales que tienen alg´
un factor primo mayor que
qm y lo u
´ltimo converge a 0, cuando m → ∞, pues la serie es convergente.
1.3.7.
La funci´
on factorial
Definici´
on. Definimos la funci´
on factorial2
Z
Π : (−1, ∞) → R,
Π(t) =
e−x xt dm.
(0,∞)
Teorema 1.17 La
on factorial es de clase infinito y verifica: Π(0) =
√ funci´
1, Π(−1/2) = π y que Π(t) = t · Π(t − 1) para t > −1; por tanto
Π(n) = n!, para n ∈ N.
2 Parece ser (ver Ivorra, p´
ag.283) que el descubridor de esta funci´
on fue Euler,
siendo de Gauss la notaci´
on Π para ella y que es de Legendre la funci´
on Gamma,
Γ(t) = Π(t − 1),
Z
Γ : (0, ∞) → (0, ∞),
Γ(t) =
e−x xt−1 dm,
(0,∞)
que es m´
as habitual.
21
1.4. Los n´
umeros e y π.
Demostraci´
on. Como el comportamiento del integrando es distinto
en (0, 1) que en (1, ∞) consideramos f (t, x) = e−x xt y las funciones
Z
Z
Π1 (t) =
f (t, x) dm,
Π2 (t) =
f (t, x) dm,
(0,1)
(1,∞)
por tanto como Π = Π1 + Π2 , basta ver que las Πi son de clase infinito
en cada intervalo (a, b) con −1 < a, para lo cual tenemos que probar que
para k ≥ 0 las ∂ k f /∂tk = e−x xt (log x)k est´
an acotadas por una funci´on
integrable para todo t ∈ (a, b).
Para 0 < x < 1, log x < 0 y xr = er log x es decreciente en r y si
t ∈ (a, b), xb < xt < xa , por tanto como | log x| = − log x = log x−1 ,
tendremos que para todo t ∈ (a, b)
k
|e−x xt (log x)k | ≤ xa log x−1 ,
y la funci´
on de la derecha es integrable por el ejercicio (??), p´ag.??, por
lo tanto π1 es de clase infinito.
Para 1 < x, log x > 0 y xr = er log x es creciente, por tanto si t ∈ (a, b),
xa < xt < xb . Adem´
as como 0 < log x < x,
e−x xt logn x ≤ e−x xb logn x ≤ e−x xb+n
siendo la u
´ltima funci´
on integrable (ver el ejercicio (??), p´ag.??).
Por u
´ltimo derivando e−x xt , respecto de x (para t > 0), e integrando
se tiene que
Z
Z
∞
e−x xt + t
e−x xt−1 = −Π(t) + tΠ(t − 1),
0 = e−x xt 0 = −
(0,∞)
(0,∞)
ahora bien por (??), Π(0) = 1, por tanto Π(n) = n! y haciendo el
cambio y 2 = x —por √
el ejercicio (??)—, se sigue del ejercicio (??) que
Γ(1/2) = Π(−1/2) = π.
1.4.
1.4.1.
Los n´
umeros e y π.
F´
ormulas para el c´
alculo de π.
1.- F´
ormula de Leibniz–Gregory. Sea
sn =
n
X
m=0
(−1)m x2m = 1 − x2 + x4 + · · · + (−1)n x2n ,
22
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
entonces
(x2 + 1)sn = x2 sn + sn = 1 + (−1)n x2(n+1) ,
por tanto para todo a > 0
Z a
Z
sn dx =
0
n
X
(−1)m a2m+1
2m + 1
m=0
a
Z a 2(n+1)
dx
x
n
+ (−1)
dx
2
2
1
+
x
0
0 x +1
Z a 2(n+1)
x
= arctan(a) + (−1)n
dx,
2
0 x +1
(ver la p´
ag. 16); y como
Z a 2(n+1) Z a
x
a2n+3
dx ≤
x2n+2 dx =
,
2
2n + 3
0 x +1
0
y para a ≤ 1, tomando l´ımites tendremos
∞
X
(−1)m a2m+1
= arctan(a).
2m + 1
m=0
en particular para a = 1, tendremos la F´
ormula de Leibniz–Gregory
∞
X
π
(−1)m
= ,
2m
+
1
4
m=0
es decir
(1.2)
1−
1
π
1 1 1 1
+ − + −
+ ··· = .
3 5 7 9 11
4
d
c
b
a
Figura 1.8.
2.- La serie (1.2) aunque elegante, es muy lenta, sin embargo utilizando los mismos argumentos, tenemos otra forma de calcular π a trav´es
de una serie mas r´
apida que la anterior considerando la igualdad
arctan(1) = arctan(1/2) + arctan(1/3),
23
1.4. Los n´
umeros e y π.
lo cual es obvio observando la figura (1.8), pues a = b + d y d = c, dado
que tan(c) = 1/3 = tan(d). Por lo tanto
π
= a = b + c = arctan(1/2) + arctan(1/3)
4
∞
∞
X
X
(−1)m
(−1)m
=
+
2m+1
2m+1
2
(2m + 1) m=0 3
(2m − 1)
m=0
∞
X
1
1
+
.
=
(−1)m
22m+1 (2m − 1) 32m+1 (2m − 1)
m=0
Si llamamos tn a la suma parcial de esta serie, los 8 primeros valores
de ambas sumas parciales son
n
4sn
4tn
1
4
3,33333
2
3
4
5
2,66 3,466 2,895 3,3396
3,11 3,145 3,140 3,1417
6
7
8
2,9760 3,2837 3,01707
3,1415 3,1416 3,14159
3.- C´
alculo de π mediante Series de Fourier.
Teorema 1.18 El conjunto de funciones de [−π, π], para n = 1, 2, . . .
1
φ0 (x) = √ ,
2
φn (x) = cos nx,
ϕn (x) = sen nx,
es ortonormal, con el producto interior
Z
1 π
< f, g >=
f (x)g(x)dx.
π −π
Demostraci´
on. Por una parte < φn , ϕm >= 0, porque φn ϕm es una
funci´
on impar y por otra si denotamos con un cualquiera de las funciones
φn ´
o ϕn , entonces se tiene que
u00n = −n2 un ,
un (π) = un (−π),
u0n (π) = u0n (−π),
y para n 6= m se sigue que
Z π
Z π
(m2 − n2 )
un um =
u00n um − u00m un
−π
−π
Z π
=
(u0n um − u0m un )0 = [u0n um − u0m un ]π−π = 0.
−π
24
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
Por otro lado tienen norma 1 pues
(sen(nx) cos(nx))0 = n cos2 (nx) − n sen2 (nx),
Rπ
Rπ
e integrando tenemos que −π cos2 nx = −π sen2 nx, por tanto
1=
1
2π
Z
π
(cos2 nx + sen2 nx) =
−π
1
π
Z
π
cos2 nx.
−π
Adem´
as estas funciones son base del espacio de Hilbert L2 [−π, π], espacio cociente de L2 [−π, π] (funciones Borel medibles de cuadrado integrable) con la relaci´
on de equivalencia dada por la igualdad de funciones
salvo en un conjunto de medida nula. Es decir que el menor subespacio
cerrado que las contiene es el total.
Toda u de esta clase tiene una serie de Fourier
u=
∞
X
an φn +
∞
X
bn ϕn ,
n=1
n=0
donde la serie se entiende como el l´ımite de las sumas parciales con la
norma que induce el producto interior y los coeficientes de Fourier an y
bn de u, vienen dados por
Z π
1
a0 =< u, φ0 >= √
u(x)dx,
π 2 −π
Z π
1
u(x) cos nx dx,
an =< u, φn >=
π −π
Z π
1
bn =< u, ϕn >=
u(x) sen nxdx,
π −π
adem´
as se tiene la igualdad de Parseval, que no es otra cosa que el
teorema de Pit´
agoras infinito dimensional
1
kuk =< u, u >=
π
2
Z
π
u2 (x)dx =
−π
∞
X
n=0
a2n +
∞
X
b2n .
n=1
En el caso particular de que u, sea impar, es decir u(−x) = −u(x),
se tendr´
a que los an = 0 y por tanto
2
kuk =
∞
X
n=1
b2n .
1.4. Los n´
umeros e y π.
25
Por ejemplo si consideramos la funci´
on u(x) = x en [−π, π], que es
impar tendremos que
Z
2 π 2
2π 2
kuk2 =
x dx =
π 0
3
Z π
2
2 h sen nx x cos nx iπ
2(−1)n+1
,
bn =
x sen nxdx =
−
=
2
π 0
π
n
n
n
0
y en definitiva tendremos que b2n = 4/n2 y podemos calcular
(1.3)
ζ(2) =
∞
∞
X
1
1X 2
1
π2
2
=
b
=
kuk
=
,
n2
4 n=1 n
4
6
n=1
lo cual a su vez nos da otra v´ıa para el c´
alculo de π.
Q 4. Six un polinomio p(x) tiene ra´ıces ai y p(0) = 1, entonces p(x) =
(1 − ai ). Si las funciones tuviesen esa propiedad, entonces
sin(x) x
x
x x
= 1−
1+
1−
1+
··· =
x
π π
2π
2π
x2
x2
x2
= 1− 2
1− 2
1 − 2 ···
π
4π
9π
y el coeficiente en x2 ser´ıa
∞
1
1
1 X 1
1
+
+
+
·
·
·
=
−
.
−
π2
4π 2
9π 2
π 2 n=1 n2
y derivando directamente la funci´
on tendr´ıamos
∞
X
1
π2
=
.
2
n
6
n=1
Nota 1.19 En este apartado vamos a calcular los volumenes n–dimensionales de las hiperesferas Bn de radio 1 y las respectivas ´areas n − 1–
dimensionales de sus hipersuperficies frontera ∂Bn = S n−1 . Para ello
usaremos unos resultados fundamentales de Analisis II: El Teorema de
la medida producto, el de Fubini y el Teorema de cambio de variable y
supondremos conocida la existencia de la medida3 σ = γn−1 Hn−1 en las
3 Para p = 0 H es la medida de contar y para p > 0, H es la medida de Hausdorff
p
0
p–dimensional, definidas en los Borelianos del espacio m´
etrico Rn , en el que se tiene
para p > n, Hp = 0 y Hn es proporcional a mn , la medida de Lebesgue n–dimensional,
es decir que existen constantes γn > 0 tales que γn Hn = mn . Ver Apuntes de Teor´ıa
de la Medida
26
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
esferas S n−1 , tal que verifica
Z
Z
(1.4)
f dx1 · · · dxn =
Z
(0,∞)
f (ry)rn−1 dσ dr.
S n−1
siendo
σ[S n−1 ] = n · mn [Bn ],
el hiper´
area n − 1–dimensional de la esfera.
Para n = 1 la esfera unidad es el intervalo [−1, 1] y su longitud es 2.
Su frontera son 2 puntos. Para n = 2, B2 es el c´ırculo unidad del plano
y S 1 la circunferencia unidad, y como m2 = m1 × m1 tendremos que
haciendo el cambio de variable x = sen θ,
Z ∞
Z 1
m2 [B2 ] =
m1 [Bx ] dx =
m{y : x2 + y 2 ≤ 1}dx
−∞
Z 1
=2
−1
Z
p
2
1 − x dx = 2
R π/2
−π/2
cos2 θdθ =
cos2 θdθ = π,
−π/2
−1
pues
tanto
π/2
R π/2
−π/2
sen2 θdθ, ya que
R π/2
−π/2
(sen cos)0 = 0. Por
σ(S 1 ) = 2π,
V2 = m2 [B2 ] = π,
y para calcular la longitud de S 1 , por el resultado anterior ser´ıa
σ[S 1 ] = 2 · m2 [B2 ] = 2π,
cosa que podemos obtener parametrizando la curva σ(t) = (cos t, sen t)
y calculando
Z 2π
|σ 0 (t)|dt = 2π.
0
Ahora consideremos la funci´
on que s´
olo depende de la distancia al
origen en Rn
2
2
2
f (x) = e−|x| = e−x1 · · · e−xn ,
a la cual podemos aplicar (1.4) y por el Teorema de Fubini
Z ∞
n Z ∞
Z ∞
2
2
n
−x2
I =
e
dx
=
···
e−x1 · · · e−xn dx1 · · · dxn
−∞
Z
=
e
−∞
2
−|x|
dmn = σ(S
n−1
−∞
Z
∞
e
)
0
−r 2
r
n−1
dr = σ(S
n−1
)
Π
n
2
−1
,
2
1.5. Ejercicios de funciones
27
donde la u
´ltima igualdad se sigue de que para x = r2
Z ∞
Z ∞
a−1
−r 2 a
−x a−1
2
e
r dr =
e x
dx = Π
.
2
0
0
Ahora para n = 2, como Π(0) = 1 y σ(S 1 ) = 2π
Z
2
2
1
I = σ(S )
r e−r dm = π y por tanto I n = π n/2
(0,∞)
y en definitiva
σ(S n−1 ) =
2π n/2
,
Π n2 − 1
Vn = m[Bn ] =
π n/2
σ(S n−1 )
=
.
n
Π(n/2)
y lo sorprendente es que
1+
∞
X
n=1
1.5.
V2n =
X πn
n!
= eπ .
Ejercicios de funciones
Ejercicio 1.5.1 Estudiar la funci´
on x1/x . ¿Cual es mayor eπ o
´ π e ?.
Ejercicio 1.5.2 Sean f , g y h tres funciones reales tales que f 0 = g, g 0 = h y
h0 = f . Demostrar que f 3 + g 3 + h3 − 3f gh es constante.
Ejercicio 1.5.3 Sea f : [0, 1] → R una funci´
on continua tal que f (0) = f (1). a)
Probar que existe x ∈ [0, 1/2], tal que f (x) = f (x + 1/2). b) Probar que para
todo numero natural n, existe x ∈ [0, 1 − 1/n], tal que f (x) = f (x + 1/n). c)
Demostrar que si se recorren 20 Km. en 4 horas, hay un intervalo de tiempo
de una hora durante el cual se recorren exactamente 5 Km.
Ejercicio 1.5.4 Dar una demostraci´
on geom´etrica y una anal´ıtica de l´ımx→0
1 y calcular el
1 − cos x
l´ım
.
x→0
x
sen x
x
Ejercicio 1.5.5 Demostrar que si h ∈ C ∞ (R), y h(0) = 0, entonces existe una
u
´nica funci´
on f ∈ C ∞ (R), tal que h(x) = f (x)x.
=
28
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
Ejercicio 1.5.6 Demostrar que h ∈ C ∞ (R), para la funci´
on
h(x) =
sen x
,
x
para x 6= 0 y h(0) = 1.
Ejercicio 1.5.7 Sea f una funci´
on tal que f 0 (x) = f (x)/x. Calcular cuanto
vale sabiendo que f (2) = 1
Ejercicio 1.5.8 Dados los puntos A = (0, a) y B = (c, b), con a > 0 y b < 0,
encontrar el punto (x, 0), para el que el tiempo que se tarda de A a B pasando
por (x, 0) es m´ınimo, sabiendo que las velocidades v1 en y > 0 y v2 en y < 0,
son constantes.
Ejercicio 1.5.9 Calcular el a
´rea que encierran las curvas y = sen x e y = cos x,
entre dos puntos consecutivos de corte.
Figura 1.9.
Ejercicio 1.5.10 Calcular en forma bin´
omica
(1 − i)m+2n
= a + bi
(1 + i)m
en funci´
on de n y m.
Ejercicio 1.5.11 Calcular el volumen del casquete de altura h, de la esfera de
radio R.
Ejercicio 1.5.12 Demostrar que para cualesquiera x, y ∈ R,
| sen x − sen y| ≤ |x − y|.
Ejercicio 1.5.13 Consideremos la funci´
on f (x) = x+k −c sen x, para c ∈ (0, 1)
y k ∈ R. Demostrar que f tiene una u
´nica ra´ız, que los puntos de inflexi´
on
de su gr´
afica (i.e en los que f 0 6= 0 y f 00 = 0) est´
an alineados e igualmente
espaciados, que la sucesi´
P on xn+1 = xn − f (xn ) con x0 arbitrario, tiene l´ımite
y darlo y que la serie
f (xn ) es convergente y dar su valor.
29
1.5. Ejercicios de funciones
Ejercicio 1.5.14 (i) Sea c > 0. Calcular el l´ımite de la sucesi´
on definida por
inducci´
on:
√
√
a1 = c, an+1 = c + an .
(ii) ¿Es continua en 0 la funci´
on definida en [0, ∞)
r
q
√
f (x) = x + x + x + · · · ?
Ejercicio 1.5.15 Queremos hacer una caja con un cart´
on cuadrado de 1 metro
de lado, para ello cortamos las esquinas en forma de cuadrado y levantamos
las 4 solapas que quedan para formar las caras de la caja. ¿Qu´e longitud debe
tener el lado del cuadrado para que la caja tenga m´
aximo volumen?
Ejercicio 1.5.16 Demostrar que cada recta que pasa por el origen, de pendiente
λ > 0, corta a la curva y = xn en un punto A = (x1 , y1 ), con proyecci´
on
B = (x1 , 0) en el eje x, tal que el interior del tri´
angulo rect´
angulo 0AB es
dividido por la curva en dos trozos cuya proporci´
on de a
´reas no depende de λ.
¿Para que valor de n son iguales estas a
´reas?
Ejercicio 1.5.17 Existen polinomios u
´nicos, con coeficientes enteros pn (x) ∈
Z[x], para n ∈ Z para los que
xn +
1
1
= pn (x + ).
xn
x
Adem´
as pn ◦ pm = pnm .
Ejercicio 1.5.18 Sea f : [0, π] → R diferenciable tal que f (0) = f (π) = 0.
Entonces
Z π
Z π
f 02 (x) dx ≥
f 2 (x) dx,
0
0
d´
andose la igualdad sii f (x) = sen x (y sus m´
ultiplos).
Ejercicio 1.5.19 Sea f : R → R una aplicaci´
on tal que para cualesquiera x, y ∈
R, |f (x) − f (y)| ≤ |x − y| y f [f [f (0)]] = 0. Demostrar que f (0) = 0.
Ejercicio 1.5.20 Demostrar que en R, tanto para µ la medida de Lebesgue
como µ la medida de contar en los naturales, se tiene para todo a > 0
Z a
2 Z a
x dµ
=
x3 dµ.
0
0
Ejercicio 1.5.21 Sean a, x ∈ (0, 1). Demostrar que
1−ax
1−a
> x.
30
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
Ejercicio 1.5.22 Dada una funci´
on derivable en 0, f : R → R, tal que f (x/2) =
f (x)/2. Probar que f (x) = xf (1).
Ejercicio 1.5.23 Dada una funci´
on continua f : [0, 1] → R, derivable en (0, 1),
tal que f (0) = 0 y f (1) = 1, demostrar que para cada n ∈ N, existen x1 <
. . . < xn ∈ (0, 1) tales que
X 0
f (xi ) = n.
Ejercicio 1.5.24 Sea f : R → [0, 1] de clase 2. Probar que existe un x ∈ R tal
que f 00 (x) = 0.
Ejercicio 1.5.25 Demostrar que toda funci´
on convexa en un intervalo abierto
de R es continua.
Ejercicio 1.5.26 Calcular el volumen m´
aximo de un tetrabrik formado con dos
rect´
angulos iguales de a
´rea 1.
Ejercicio 1.5.27 Demostrar que la proyecci´
on estereogr´
afica desde el polo de
la esfera al plano del ecuador conserva a
´ngulos y transforma circunferencias
en circunferencias o rectas.
Ejercicio 1.5.28 Demostrar que la aplicaci´
on τ = πQ ◦ πP−1 : R2 → R2 , composici´
on de la inversa de la proyecci´
on estereogr´
afica desde un polo P , con la
proyecci´
on estereogr´
afica desde el otro polo Q, es la inversion respecto de la
circunferencia del ecuador.
P
B
O
A'
A
Q
Figura 1.10.
Ejercicio 1.5.29 Demostrar que la inversion respecto de una circunferencia
conserva a
´ngulos y lleva circunferencias que no pasan por el centro en circunferencias y las que pasan por el centro en rectas.
31
1.5. Ejercicios de funciones
Ejercicio 1.5.30 Demostrar que la ecuaci´
on
(x − 1) ex = (x + 1) e−x ,
tiene s´
olo dos ra´ıces reales y son sim´etricas respecto del origen.
Ejercicio 1.5.31 Dado un polinomio P (z), en C, con ra´ıces α1 , . . . , αn , deno-
tamos con c1 (P ) el centro de masa de sus n ra´ıces, con c2 (P ) el de los n2 productos αi αj , de cada dos de sus ra´ıces y en general con ck (P ) el de sus nk
productos de k de sus ra´ıces. Demostrar que para su derivada P 0 (z)
c1 (P ) = c1 (P 0 ), . . . , cn−1 (P ) = cn−1 (P 0 ).
P
Ejercicio 1.5.32 Dado un polinomio p(x) =
mi xi con coeficientes enteros,
se considera cualquier entero m y su imagen n = p(m); y en el plano de la
gr´
afica se construye la maya cuadrada, de lado n, definida por el segmento de
extremos el punto elegido y su imagen, es decir en coordenadas por (m, 0) y
(m, n). Probar que todas las rectas verticales de la maya cortan la gr´
afica del
polinomio en nodos de la maya.
Ejercicio 1.5.33 Demostrar que no existe un polinomio p(x) =
coeficientes enteros, cuya imagen sea el conjunto de los primos.
P
mi xi con
Ejercicio 1.5.34 (An´
alisis) Dado un polinomio complejo P (z), demostrar que
las ra´ıces de P 0 est´
an en la envolvente convexa de las ra´ıces de P .
(Geometr´ıa) Demostrar que si para cada punto z consideramos la inversi´
on
zi0 de los zi respecto de una circunferencia centrada en z, entonces z es ra´ız de
P 0 sii es el baricentro de los zi0 .
(F´ısica) Y si consideremos la funci´
on arm´
onica en el plano que depende
de ρ, u = log ρ y la fuerza correspondiente gravitatoria plana con una masa
atractora en el origen
F = − grad u = −ux ∂x − uy ∂y = −
x
y
∂x − 2 ∂y ,
ρ2
ρ
y consideramos las fuerzas de este tipo Fi debidas a varias
P masas iguales fijas
en los puntos zi , tendremos que z es una ra´ız de P 0 sii
Fi = 0 en z.
Ejercicio 1.5.35 Un planeta de radio 2r del mismo material que la Tierra,
tiene un hueco esf´erico, conc´entrico, de radio r. El planeta tiene un agujero,
que lo atraviesa diametr´
almente, por el que dejamos caer una piedra. ¿Cuanto
tiempo tarda en recorrer el di´
ametro del hueco?. ¿Cuanto tarda en recorrer el
di´
ametro total del planeta?. Se supone que el radio de la tierra es R = 6371
km y que la aceleraci´
on de la gravedad en la tierra es g = 9, 78 m/seg 2 .
32
1.6.
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
Problemas de Oposiciones
Ejercicio 1.6.1 Sumergimos una esfera de acero de radio r en un vaso lleno
de agua con forma de semielipsoide de revoluci´
on de semiejes b < a. ¿Para
qu´e valor de r es m´
axima la cantidad del agua desalojada?. ¿A qu´e altura c
queda el centro de la esfera?, ¿a qu´e altura t se apoya la esfera en el vaso?.
Ejercicio 1.6.2 Hallar, para N = n2 y n ∈ N, la parte entera de
1
1
1
1
x = √ + √ + √ + ··· + √ .
1
2
3
N
Ejercicio 1.6.3 Demostrar que una recta que divida un tri´
angulo en dos regiones con igual per´ımetro y a
´rea, pasa por su incentro.
R π/2
Ejercicio 1.6.4 Para x > 0 definimos f (x) = 0 senx θ dθ. Demostrar:
(i) (x + 2) · f (x + 2) = (x + 1) · f (x) y h(x) = (x + 1)f (x)f (x + 1), tiene
per´ıodo 1. (ii) f (x) es decreciente. (iii) Dado 0 ≤ p ≤ x ≤ p + 1
p+2
p+1
h(0) ≤ h(x) ≤
h(0).
p+2
p+1
y como consecuencia h es constante. (ix) l´ımx→∞
f (n), para n = 0, 1, 2, · · · .
f (x+1)
f (x)
= 1. (v) Calcular
Ejercicio 1.6.5 Encontrar la funci´
on impar f : R → R, tal que f (1) = 1 y para
todo a > 0 verifica
Z
a
(a2 − x2 )f 000 (x) dx = a3 .
−a
Ejercicio 1.6.6 Resolver la ecuaci´
on de variable compleja sen z = 4.
Ejercicio 1.6.7 Calcular el l´ımite de la sucesi´
on xn+3 =
de los tres primeros, x0 , x1 y x2 .
xn +xn+1
,
2
en funci´
on
Ejercicio 1.6.8 Se dividen los tres lados a, b y c de un tri´
angulo en el mismo
n´
umero de n trozos iguales. Demostrar que la suma de los cuadrados de los
segmentos obtenidos al unir cada uno de los puntos construidos sobre cada
lado, con el v´ertice opuesto, es
(5n − 1)(n − 1) 2
(a + b2 + c2 ).
6n
1.6. Problemas de Oposiciones
33
Ejercicio 1.6.9 Dado un punto p en el plano complejo se consideran q y r sus
dos ra´ıces cuadradas. ¿Que curva describe p si:? (i) p, q, r forman un tri´
angulo
is´
osceles (discutir los casos). (ii) p, q, r forman un tri´
angulo rect´
angulo (discutir
los casos).
Ejercicio 1.6.10 Sean g, h : R → R continuas y h : R → R, con f = g·IQ +h·IQc .
Demostrar que f es continua en x sii g(x) = h(x).
Ejercicio 1.6.11 En un parlamento hay 1300 diputados. En una sesi´
on, el
d % no han desa12, c
12 % de los asistentes son aficionados al ajedrez y el 23, 423
yunado. ¿Cuantos diputados no han asistido a la sesi´
on?.
Ejercicio 1.6.12 Hallar la ecuaci´
on de la superficie reglada, definida por las
rectas paralelas al plano xy y se apoyan en la recta y curva
y = 0,
z
x
+ = 1,
4
2
y = 6, z 2 + x = 4.
Calcular el volumen subyacente en 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ 6, 0 ≤ z.
Ejercicio 1.6.13 Calcular el valor de la serie
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+ ··· .
1·2·3
2·3·4
3·4·5
n · (n + 1) · (n + 2)
Ejercicio 1.6.14 Calcular el valor de p para que las cuatro ra´ıces del polinomio
z 4 + 6z 3 + qz 2 − 36z + p = 0,
formen una proporci´
on.
Ejercicio 1.6.15 Sea f (x) = ln x − x + 2. Demostrar que f tiene u
´nicamente
dos raices a, b y a < 1 < b y dado x1 ∈ (1, b), calcular el l´ımite de la sucesi´
on
xn+1 = 2 + ln xn .
p p
Ejercicio 1.6.16 Sea f : R2 → R, f (x, y) = |x| |y|. Demostrar que existen
las derivadas parciales de f en (0, 0), pero que hay direcciones en las que la
derivada direccional no existe.
34
1.7.
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
Problemas diversos
Ejercicio 1.7.1 Una cuerda rodea de forma ajustada la Tierra, que se supone
perfectamente esf´erica, por un c´ırculo m´
aximo. Si aumentamos la longitud de
la cuerda en un metro y levantamos la cuerda por todas partes la misma altura
¿Se puede pasar por debajo de ella?.
Ejercicio 1.7.2 Tres planos ortogonales y un cuarto transversal definen un tetraedro recto con caras perpendiculares de ´
areas A, B y C. Si el area de la
transversal es D, demostrar que A2 + B 2 + C 2 = D2 .
Ejercicio 1.7.3 El a
´rea de un pol´ıgono con v´ertices en una malla entera es
c + b/2 − 1, siendo b el n´
umero de puntos de la malla que hay en el pol´ıgono
y c el n´
umero de puntos que hay en el interior.
Ejercicio 1.7.4 Tres excursionistas deciden unirse para comer varios dias. El
primero aporta 5 latas, el segundo 3 latas y el tercero da 8 piezas iguales
esf´ericas de un metal desconocido, para que se repartan los dos primeros. Si
todas las latas son del mismo valor y los 3 van a comer por igual, ¿como se
deben repartir las 8 esferas entre los dos, para que el reparto sea equitativo
entre los 3?.
Ejercicio 1.7.5 Dado un n´
umero de tres cifras, en base 10, abc (con a > c),
le restamos “su opuesto”, cba y al resultado abc − cba = ef g le sumamos su
opuesto gf e. Demostrar que el resultado siempre es el mismo.
Ejercicio 1.7.6 Un padre deja en herencia 17 camellos a sus tres hijos. Al
mayor le deja 1/2 de los camellos, al mediano 1/3 y al menor 1/9. Como no
sab´ıan que hacer con el reparto consultaron al sabio del pueblo, el cual les dijo,
no os preocup´eis, os dejar´e un camello m´ıo para que pod´
ais hacer el reparto.
Con 18 camellos se repartieron la herencia, toc´
andole al primero 9 camellos,
al segundo 6 y al tercero 2, y como la suma era 17, devolvieron agradecidos el
camello al sabio. ¿Puedes explicarlo?.
Ejercicio 1.7.7 Un matrimonio invita a n matrimonios a su casa. L´
ogicamente, uno de los dos conoce a uno de los dos c´
onyuges invitados. Al llegar, cada
persona estrecha la mano de todos aqu´ellos a quienes no conoce. El anfitri´
on
pregunta entonces a cada una de las dem´
as personas cu´
antas manos ha estrechado, y cada una le dice un n´
umero diferente. ¿Cu´
antos invitados conoc´ıan
a la anfitriona? ¿Cu´
antos invitados conoc´ıan al anfitri´
on?, ¿Cu´
antos invitados
conoc´ıan a ambos?, ¿Cu´
antos a ninguno de los dos?.
1.7. Problemas diversos
35
Ejercicio 1.7.8 En una isla vive un pueblo de gente muy inteligente. Todos
conocen el color de ojos de sus vecinos que es azul o marr´
on, pero ignoran el
suyo y procuran por todos los medios no saberlo, porque es un deshonor que
hacen p´
ublico a los doce de la noche del d´ıa en que conocieran con certeza
su color de ojos. Entre ellos existe un acuerdo t´
acito para no revelar el color
de los dem´
as. As´ı, sus vidas transcurren dichosas hasta que un nefasto d´ıa,
llega un visitante a la isla y comenta ante todos: ”Hasta hoy no hab´ıa visto a
nadie con los ojos azules”. Tras un certero razonamiento, todos los habitantes
deducen que todos est´
an condenados. ¿Por qu´e?, y si hab´ıa varios con los ojos
azules, todos sab´ıan esta informaci´
on ¿por qu´e es crucial?.
Ejercicio 1.7.9 Tenemos una tira de papel de 1km de largo que enrollamos
haciendo con ella un cilindro compacto. Supongamos que 100 folios de ese
papel tienen un espesor de 1cm. ¿Que radio aproximado tendr´
a el cilindro?.
Ejercicio 1.7.10 Un monitor de juegos est´
a con n personas jugando a saludarse
con la cabeza todos al mismo tiempo, cada uno elige con igual probabilidad a
quien saluda. ¿Cual es la probabilidad de que el monitor y alguien se saluden
mutuamente?. ¿Cual es la probabilidad de que al menos haya dos personas
salud´
andose mutuamente?, ¿a que tiende esta probabilidad cuando n tiende a
∞?.
Ejercicio 1.7.11 Dispongo de 9 bolas y 4 cajas. ¿C´
omo puedo disponer las
bolas de manera que en cada caja haya un n´
umero impar de bolas, en cada
caja haya un n´
umero distinto de bolas, y ninguna caja est´e vac´ıa?.
Ejercicio 1.7.12 Tengo dos relojes de arena, que miden 4 y 7 minutos, respectivamente. ¿C´
omo puedo medir 9 minutos?.
Ejercicio 1.7.13 Encontrar el n´
umero m´
as peque˜
no que termina en 2 y si quitamos el 2 del final y lo ponemos al principio el n´
umero se duplica.
Ejercicio 1.7.14 ¿Cuantas letras tiene la respuesta de esta pregunta?.
Ejercicio 1.7.15 ¿Podemos construir un cubo macizo de lado 6, con ladrillos
de 1 × 2 × 4 sin cortar ninguno?.
Ejercicio 1.7.16 Dos amigos se encuentran y uno plantea la siguiente adivinanza —Tengo tres hijos ¡a ver si adivinas sus edades con las siguientes pistas!:
El producto de las tres es 36 y la suma precisamente es el n´
umero de ese portal.
El amigo hizo unos c´
alculos y al final le dijo —¡me faltan datos!—. A lo que
el otro contest´
o —es verdad, el mayor toca el piano—.
36
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
Ejercicio 1.7.17 Una mujer vende las manzanas que tiene en una cesta. Al
primer comprador le vende la mitad de las que tiene en la cesta mas media
manzana. Al segundo le vende la mitad de las que le quedan en la cesta mas
media manzana, esto mismo lo repite hasta que al s´eptimo le vende tambi´en
la mitad de las que tiene en la cesta mas media manzana y la cesta se queda
vac´ıa. ¿Cuantas manzanas hab´ıa inicialmente en la cesta?.
Ejercicio 1.7.18 Dos hermanos vendieron un reba˜
no de cabras recibiendo por
cada cabra el n´
umero de cabras que ten´ıan, en euros. El dinero se lo dieron
en billetes de 10 euros y el resto, que no llegaba a 10 euros, se lo dieron en
monedas de euro. Cuando hicieron el reparto uno ten´ıa un billete mas que el
otro y aunque este se qued´
o las monedas el reparto era injusto ¿cuanto le dio
el primero de su dinero para que el reparto fuera equitativo?.
Ejercicio 1.7.19 Tenemos dos bolas esf´ericas de radio distinto y las taladramos
atraves´
andolas por su centro, de modo que nos quedan dos anillos con las
paredes interiores superficies cil´ındricas con eje pasando por sus centros. Si las
alturas de los anillos resultantes (por tanto de los cilindros) son iguales, ¿c´
omo
son los vol´
umenes de los anillos?.
Ejercicio 1.7.20 En una mesa redonda hay un grupo de personas que siempre
mienten o
´ siempre dicen la verdad. Cada uno dice que su vecino de la izquierda
es mentiroso. Sin saber cuantos hay preguntamos a uno de ellos cuantos hay
en la mesa y nos dice que 37, preguntado otro nos dice que el anterior es un
mentiroso y que hab´ıa 40. ¿cuantos hab´ıa?.
Ejercicio 1.7.21 Dado un tri´
angulo, en cada lado se considera el punto que
lo divide en dos segmentos uno doble del otro (en los tres en la misma direcci´
on, fijada una orientaci´
on en el tri´
angulo). Se trazan los tres segmentos que
unen cada v´ertice con el punto construido en el lado opuesto y se considera
el tri´
angulo interior que definen. Si este tiene a
´rea E y el del original es T ,
demostrar que T = 7E.
Ejercicio 1.7.22 En cada lado de un tri´
angulo se considera el punto que lo
divide en dos segmentos en proporci´
on q (en orden, fijada una orientaci´
on en
el tri´
angulo). Se trazan los tres segmentos que unen cada v´ertice con el punto
construido en el lado opuesto y se considera el tri´
angulo interior que definen.
Si este tiene a
´rea E y el del original es T :
(a) ¿para que valores de q, T /E es entero?. ¿Cuales de estos q son racionales?
(b) Los tres tri´
angulos de las esquinas que definen esos tres segmentos
tienen siempre igual area A. ¿Para qu´e q, A = E?
(c) Los tres trapezoides que definen los segmentos tienen igual area G.
¿Para q = φ, cu´
anto es G/A?.
1.7. Problemas diversos
37
Ejercicio 1.7.23 (a) Demostrar
umero natural an . .P
. a0 , en base deP que un n´
cimal, es m´
ultiplo
ai lo es. (b) M´
ultiplo
ai 3i lo es; (c)
Pde 3 sii
P de 7i sii
M´
ultiplo P
de 9 sii
ai lo es. (d) M´
ultiplo de 11 sii (−1) ai lo es. (e) M´
ultiplo
de 13 sii
ai 3i lo es.
Ejercicio 1.7.24 Cuales son el m´ınimo y m´
aximo n´
umero de n cifras que es
una potencia n–sima.
Ejercicio 1.7.25 Dados tres puntos A, B, C en el plano, los giramos 60◦ , obteniendo A0 , B 0 , C 0 . Demostrar que los puntos medios de A0 B, B 0 C y C 0 A,
forman un tri´
angulo equil´
atero.
Ejercicio 1.7.26 Dados dos puntos A, B en el plano, los giramos 90◦ y −90◦
respectivamente, obteniendo A0 y B 0 . Demostrar que los puntos medios de
AA0 , A0 B 0 , B 0 B y BA, forman un cuadrado.
Ejercicio 1.7.27 De un prisma recto de base cuadrada, con lado de longitud L,
y altura h, extraemos un tronco de pir´
amide, no necesariamente recto, de bases
cuadradas, con lados de longitud L (para la inferior) y l (para la superior),
y misma altura h. Si el volumen del tronco de pir´
amide es 2/3 del total del
volumen del prisma, ¿cu´
al es el valor de L/l?.
Ejercicio 1.7.28 Encontrar la u
´nica terna Pitag´
orica (i.e. a2 + b2 = c2 , con
a, b, c ∈ N), tal que a + b + c = 1000.
38
Tema 1. An´
alisis matem´
atico
Tema 2
Problemas visuales
39
40
Tema 2. Problemas visuales
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 1
?
Dpto. de Matemáticas Uex
A
B
Problema 2
C
D
41
Dpto. de Matemáticas Uex
x
Problema 3
x
¿Para qué valor de x
el área A es máxima?
1
A
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 4
Demostrar que R=4r
R
R
r
42
Tema 2. Problemas visuales
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 5
El cociente entre las áreas del
triángulo grande y el pequeño es 7
a
b
a
b
a
b
c
c
c
Dpto.xdexMatemáticasxUex
Problema 6
1
1
¿Laxfiguraxverdextienexmayor,x
igualxoxmenorxáreaxquexlaxmarrón?
43
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 7
Falacias Matematicas
(i)
(ii)
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 8
Falacias Matematicas 2:
Todo triángulo es isosceles
mediatriz
e1
da
d a
e2
b1
c
b2
bisectriz
44
Tema 2. Problemas visuales
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 9
Rellenar la tabla con números del 1 al 7,
siguiendo las instrucciones
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 10
Un rio, de orillas paralelas, separa dos
pueblos. ¿Donde debe hacerse un puente
perpendicular a la orilla, para que la
distancia entre los pueblos sea mínima?
?
45
Dpto.DdeDMatemáticasDUex
Problema 11
ColocamosDn2DcírculosDenDunDcuadradoDdeDladoD1,D
comoDmuestraDlaDfiguraDparaDn=1,2DyD3.D
SiDsuDáreaDtotalDesDAn,D¿cuálDesDelDlimDAn?
A1
A2
A3
1
1
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 12
Calcular la longitud
de la curva cerrada
formada por las 4
semicircunferencias
1
1
46
Tema 2. Problemas visuales
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 13
Tres circunferencias de igual radio r, pasan por un
mismo punto O. Demostrar que la circunferencia que pasa
por los otros 3 puntos de corte, tiene igual radio r.
C
O
B
A
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 14
Si 5 lados de dos
triángulos, con vértices
en un círculo,
son tangentes a
otro círculo en su
interior, el sexto lado
también.
47
Dpto. de Matemáticas Uex
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 15
Problema 16
¿Cuales, de estos dos suelos, se pueden
enlosar con losas de 2x1, sin partir ninguna ?
48
Tema 2. Problemas visuales
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 17
¿Podemos entrar y salir de la casa, atravesando
todas las puertas interiores una única vez?
Dpto. de Matemáticas Uex
Problema 18
¿Cuanto puede sobresalir un libro en una pila de
libros iguales, sin que se caigan,
poniendo tantos como se quiera?
¿d máxima?
d
49
Dpto.fdefMatemáticasfUex
Problema 19
¿Dondefestáfelfcuadraditofqueffalta?
Area
13f13=169
Area
8f21=168
.
.
13
5
5
8
5
13
8
8
8
Dpto. de Matemáticas Uex
5
Problema 20
Si a,b y c son naturales, r también
b
c
r
a
50
Tema 2. Problemas visuales
Tema 3
El An´
alisis matem´
atico
en la Educaci´
on
Secundaria
3.1.
3.1.1.
Educaci´
on Secundaria Obligatoria
Contenidos de Matem´
aticas
Los contenidos se establecen para cada curso y se dividen en bloques.
1. Contenidos comunes.
2. N´
umeros.
´
3. Algebra.
4. Geometr´ıa.
5. Funciones y gr´
aficas.
6. Estad´ıstica y probabilidad.
51
52
Tema 3. El An´
alisis matem´
atico en la Educaci´
on Secundaria
3.2.
3.2.1.
Bachillerato
Contenidos de Matem´
aticas I
Funciones reales de variable real. Dominio, recorrido, simetr´ıas,
periodicidad, extremos. Operaciones con funciones.
Clasificaci´
on y caracter´ısticas b´
asicas de las funciones elementales: polin´
omicas, racionales sencillas, valor absoluto, parte entera,
trigonom´etricas, exponenciales y logar´ıtmicas.
Aproximaci´
on al concepto de l´ımite de una funci´on, tendencia.
L´ımite de una funci´
on en un punto, l´ımites laterales.
Estudio de la continuidad de una funci´
on, discontinuidades.
Aproximaci´
on al concepto de derivada y c´alculo de derivadas sencillas. Aplicaci´
on a la obtenci´
on de los extremos relativos de una
funci´
on sencilla en un intervalo.
Interpretaci´
on y an´
alisis de funciones sencillas, expresadas de manera anal´ıtica o gr´
afica, que describan situaciones reales.
Utilizaci´
on de medios tecnol´
ogicos como apoyo en el trabajo con
funciones, gr´
aficas o en el c´
alculo de l´ımites.
3.2.2.
Contenidos de Matem´
aticas II
Concepto de l´ımite de una funci´
on. Propiedades. C´alculo de l´ımites.
Continuidad de una funci´
on. Propiedades elementales. Tipos de
discontinuidad.
Interpretaci´
on geom´etrica y f´ısica del concepto de derivada de una
funci´
on en un punto.
Funci´
on derivada. C´
alculo de derivadas. Propiedades de las funciones derivables. Aplicaci´
on al estudio de las propiedades locales.
Problemas de optimizaci´
on.
Primitiva de una funci´
on. C´
alculo de integrales indefinidas inmediatas, por cambio de variable, por partes o por otros m´etodos
sencillos.
3.3. Temario de oposiciones
53
Concepto de integral definida a partir del c´alculo de ´areas encerradas bajo una curva. Regla de Barrow. C´
alculo de ´areas de regiones
planas.
Utilizaci´
on de recursos tecnol´
ogicos (calculadoras cient´ıficas o gr´aficas, programas inform´
aticos, etc.) como apoyo en el an´alisis gr´afico
y algebraico de las propiedades globales y locales de las funciones
y en los procedimientos de integraci´
on.
3.3.
Temario de oposiciones
El Temario de oposiciones de An´
alisis Matem´atico de la Orden del
9 de septiembre de 1993, Real Decreto 850/1993, de 4 de junio, es el
siguiente:
Tema 8. Sucesiones. T´ermino general y forma recurrente. Progresiones aritm´eticas y geom´etricas. Aplicaciones
Tema 21. Funciones reales de variable real. Funciones elementales; situaciones reales en las que aparecen. Composici´on de funciones
Tema 22. Funciones exponenciales y logar´ıtmicas. Situaciones reales en las
que aparecen.
Tema 23. Funciones circulares e hiperb´
olicas y sus rec´ıprocas. Situaciones
reales en las que aparecen.
Tema 24. Funciones dadas en forma de tabla. Interpolaci´on polin´omica. Interpolaci´
on y extrapolaci´
on de datos.
Tema 25. L´ımites de funciones. Continuidad y discontinuidades. Teorema de
Bolzano. Ramas infinitas
Tema 26. Derivada de una funci´
on en un punto. Funci´on derivada. Derivadas
sucesivas. Aplicaciones.
Tema 27. Desarrollo de una funci´
on en serie de potencias. Teorema de Taylor.
Aplicaciones al estudio local de funciones.
Tema 28. Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representaci´on gr´afica de funciones.
Tema 29. El problema del c´
alculo del ´
area. Integral definida.
54
Tema 3. El An´
alisis matem´
atico en la Educaci´
on Secundaria
Tema 30. Primitiva de una funci´
on. C´
alculo de algunas primitivas. Aplicaciones de la integral al c´
alculo de magnitudes geom´etricas.
Tema 31. Integraci´
on num´erica. M´etodos y aplicaciones.
Tema 32. Aplicaci´
on del estudio de funciones a la interpretaci´on y resoluci´on
de problemas de la Econom´ıa, Las Ciencias Sociales y la Naturaleza.
Tema 33. Evoluci´
on hist´
orica del c´
alculo diferencial.
´Indice alfab´
etico
π, definici´
on, 15
e, definici´
on, 12
coeficientes
de Fourier, 24
criterio
de la integral, 16
de Martens, 11
funci´
on
arco tangente, 15
exponencial, 10
factorial, 20
Gamma, 20
logaritmo, 13
seno y coseno, 14
tangente, 15
zeta de Riemann, 17
igualdad de Parseval, 24
limite superior, 7
proporci´
on ´
aurea, 4
secci´
on ´
aurea, 4
serie
arm´
onica, 17
de Fourier, 24
sucesi´
on
de Fibonacci, 2
55