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CHAPITRE 11. DYNAMIQUE DU SOLIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 11.1 11.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 11.1 11.2. Moment cinétique d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 11.2 11.3. Equation du mouvement dans le cas de la rotation d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 11.6 11.4. Principe de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 11.9 11.5. Energie cinétique de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 11.9 11.6. Analogies : translation - rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 11.13 -
Version du 17 mars 2015 (18h00)
CHAPITRE 11. DYNAMIQUE DU SOLIDE
11.1. Introduction
Un solide est un corps dans lequel les distances entre les particules qui le composent restent fixes
lorsqu’on lui applique une force ou un moment. Un solide conserve donc sa forme durant son mouvement.
Nous pouvons distinguer deux types de mouvement du solide (voir Chapitre 9.) : le mouvement
de translation lorsque les particules décrivent des trajectoires parallèles de sorte que les lignes joignant
deux points quelconques du corps restent parallèles à leur position initiale (fig. 11.1.a); le mouvement
de rotation autour d’un axe, quand les particules décrivent des trajectoires circulaires autour d’une droite
appelée axe de rotation (fig. 11.1.b). L’axe peut être fixe ou peut changer de direction par rapport au corps
pendant le mouvement.
fig.11.1. - (a) mouvement de translation d’un solide; (b) mouvement de rotation d’un solide.
Le mouvement le plus général d’un corps peut toujours être considéré comme la combinaison
d’une translation et d’une rotation. Par exemple, dans la fig. 11.2., le mouvement du solide, qui passe
de la position 1 à la position 2, peut être considéré comme une translation représentée par le déplacement
CC’, joignant les deux positions du centre de gravité et une rotation autour d’un axe passant par le centre
de gravité C’.
fig.11.2. - Translation + rotation.
D’après l’équation fondamentale de la dynamique du point, le mouvement du centre de gravité
est identique à celui d’une seule particule dont la masse serait égale à masse du solide et sur laquelle
agirait une force égale à la somme de toutes les forces extérieures agissant sur le solide. On peut analyser
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Mécanique - Dynamique du solide
Page - 11.1 -
ce mouvement selon les méthodes développées au Chapitre 10. dans le cas de la dynamique du point.
Dans ce chapitre nous allons étudier le mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe, qui passe soit
par un point fixe dans un référentiel d’inertie, soit par le centre de gravité du solide.
fig.11.3. - - Mouvement d’un solide sous l’action de la pesanteur.
Le centre de gravité du solide ci-dessus décrit la trajectoire parabolique correspondant à une
particule de masse m soumise à la force de pesanteur, tandis que le solide tourne autour du centre de
gravité. Comme le poids est appliqué au centre de gravité, son moment autour de ce point est nul et le
moment cinétique du solide par rapport au centre de gravité reste constant pendant le mouvement.
11.2. Moment cinétique d’un solide

Considérons un solide tournant autour d’un axe Oz, avec une vitesse angulaire ω (fig. 11.4.).
Chacune de ses particules décrit une trajectoire circulaire dont le centre est sur I’axe Oz.
fig.11.4. - Moment cinétique d’un solide en rotation.
Le moment cinétique de la particule Ai par rapport à l’origine O est :
→


H O i = OAi × mi vi
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Mécanique - Dynamique du solide
Page - 11.2 -
La composante du moment cinétique par rapport à l’axe Oz, sachant que :
<
la vitesse angulaire ω est la même pour tout le solide
→
Bi Ai = ri sin θ i
<
<
vaut :
vi = ω Bi Ai = ω (ri sin θ i )
H Oz i = Bi Ai × mi vi
= (ri sin θ i ) × mi (ri sin θ i ω )
= mi (ri sin θ i ) ω
2
La composante du moment cinétique total du solide en rotation suivant l’axe Oz est :
H Oz =  H Oz i =
( m (r sin θ ) ) ω
2
i
i
i
Comme :
 m (r
i
i
sin θ i ) = J Oz
2
(JOz étant le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation Oz), l’équation du moment
cinétique du solide autour de l’axe de rotation Oz devient :
Y H Oz = J Oz ω (éq. 11.8.)
Remarque :

Le moment cinétique total H O d’un solide est :


HO =  HO i
en général il non parallèle à l’axe de rotation, puisque les moments cinétiques individuels

H O i qui figurent dans la somme ne sont pas nécessairement parallèles à cet axe.
Pour chaque solide il existe au moins un axe de rotation pour lequel le moment cinétique est
parallèle à cet axe. On peut montrer que pour chaque corps, quelle que soit sa forme, il y a (au moins)
trois directions orthogonales pour lesquelles le moment cinétique est parallèle à l’axe de rotation. Elles
sont appelées axes centraux principaux d’inertie ACPI, et les moments d’inertie correspondants sont
appelés les moments principaux d’inertie.
fig.11.5. - Axes centraux principaux d’inertie de solides symétriques.
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Mécanique - Dynamique du solide
Page - 11.3 -
Lorsque le corps tourne autour d’un axe central principal d’inertie, le moment cinétique total


H ACPI est parallèle à la vitesse angulaire ω , qui est toujours dirigée suivant l’axe de rotation, et à la place
de l’équation scalaire éq. 11.8., qui est valable pour les composantes Oz suivant l’axe de rotation, nous
pouvons écrire la relation vectorielle :


H ACPI = J ACPI ω (éq. 11.14.)
où JACPI est le moment d’inertie principal correspondant.
Nous devons insister sur le fait que cette relation vectorielle (éq. 11.14.) n’est valable que pour
une rotation autour d’un axe d’inertie principal ACPI ou un axe fixe Δ.
Pour rappel.
Valeur de différents moments d’inertie dans les cas usuels
JΔ =
1
m l2
12
Barre prismatique mince, de longueur l tournant autour
d’un axe Δ passant par sa base
JΔ =
1
m l2
3
Cylindre plein de rayon r et de longueur l tournant par
rapport à son axe longitudinal Oz (= Δ )
JΔ =
1
mr2
2
Barre prismatique mince, de longueur l, tournant
autour d’un axe Δ passant par à son centre
Cylindre creux de rayon extérieur rext et de rayon
intérieur rint tournant par rapport à son axe longitudinal
Oz (= Δ )
JΔ =
1
m rext2 + rint2
2
(
Anneau circulaire mince de rayon moyen rmoy (“Jante”)
tournant par rapport à son axe longitudinal Oz (= Δ )
2
J Δ = m rmoy
Sphère pleine de rayon r tournant autour d’un axe Δ
passant par à son centre
J Δ = 0.4 m r 2
Mouvement linéaire d’une masse m tangente à un
cercle (galet) de rayon r, moment d’inertie par rapport
à l’axe Δ de rotation du galet
[*]
JΔ = m r 2
. m
J Δ ≈ 912
)
v2
n2
Tore par rapport à l’axe x (= Δ )
R
r
x
3 

JΔ = m  R2 + r 2 

4 
Remarque :
Dans ce dernier cas [*], on peut modifier la formule afin d’obtenir le moment d’inertie,
non pas en fonction du rayon du galet, mais en fonction de la vitesse de translation v de
la masse m et de la vitesse de rotation n du galet, ce qui est souvent plus pratique.
2π n
v
On sait : v = ω r  r =
et si on se souvient que ω =
, on obtient :
ω
60
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Page - 11.4 -
30 v
, avec v en m/s et n en tr/min.
ω π n
Si on remplace cette dernière équation dans [*], on trouve pour un mouvement linéaire
v2
30 2 v 2
J Δ = 2 m 2 ≈ 912
. m 2.
d’une masse m tangente à un cercle (galet) :
n
n
π
r=
v
=
Application 11.1. Calculer le moment cinétique
du système illustré par la figure ci-contre, système
constitué par deux sphères égales de masse m et
de rayon r montées sur des bras fixés sur un
support et tournant autour de l’axe Oz à une
distance d. On négligera la masse des bras.
Solution :
Moment d’inertie des sphères
J Oz = 2 J Δ + m d 2
(
)

2
= 2  mr2 + md 2

5
fig.11.7. - Application 11.1.
2

= 2 m r2 + d 2
5

Remarque :
Si le rayon des sphères est petit par rapport à la distance d, JOz devient :
J Oz = 2 m d 2
(
)
c’est-à-dire l’équivalent de deux masses circulantes sur un cercle de rayon d.
Moment cinétique


H Oz = J Oz ω

= 2 m 0.4 r 2 + d 2 ω 1z
(
)
Application 11.2. La platine d’un tourne-disque a une masse de
0.75 kg et un rayon de giration de 125 mm. Elle tourne à une
vitesse angulaire de 33 tours/min (moteur débrayé) au moment où
on laisse tomber un disque 12" de 200 g sur la platine. A quelle
vitesse angulaire va-t-elle continuer à tourner ?
Solution :
Position du problème
Il n’y a aucune force ni couple extérieur, donc nous sommes
dans un système isolé et de ce fait il y a conservation du
moment cinétique. (Equivalent à la conservation de la
quantité de mouvement dans les systèmes en translation).
fig.11.8. - Application 11.2.
Moment cinétique
Projection sur l’axe de rotation Oz.
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Avant :
Calcul du moment d’inertie :
J Oz 1
i g Oz =
 J Oz = i g2 Oz m = 0125
. 2 × 0.75 = 1172
.
10 − 2 kgm 2
m
 2 π 33
2
H Oz 1 = J Oz 1 ω 1 = 1172
.
10 − 2 × 
 = 0.0405 kgm s
 60 
Après :
Calcul du moment d’inertie :
2
J Oz 2 = J Oz 1
 12 × 25.4 10 − 3 
1
1
−2
2
+ m r = 1172
.
.
10 + × 0.2 × 
10 − 2 kgm 2
 = 1404
2
2
2


Conservation du moment cinétique
H Oz 1 = H Oz 2

ω2 =
H Oz 1
J Oz 2
=
0.0405
= 2.88 rad s = 27.54 tr min
1404
.
10 − 2
11.3. Equation du mouvement dans le cas de la rotation d’un solide
Nous avons établi une relation entre le moment cinétique total et le moment résultant des forces
appliquées aux particules lorsque ce moment et le moment cinétique sont tous deux relatifs à un point au
repos dans un référentiel d’inertie.
Autrement dit :


H O = M O (éq. 11.34.)
On peut appliquer cette formule de la dynamique du point à un système (ensemble) de particules
si :
et


HO =  HO i
moment cinétique total


MO =  MO i
moment dynamique résultant des forces extérieures.
Et, évidemment, cette équation s’applique à un solide, cas particulier des systèmes de particules.
L’éq. 11.34. constitue donc l’équation de base pour discuter le mouvement de rotation du solide.
Nous allons l’appliquer d’abord au cas d’un solide tournant autour d’un axe principal ayant un point fixe
dans un référentiel d’inertie.

On a alors, suivant l’équation éq. 11.8. : H O = J O ω . Le moment résultant M O doit être le
moment autour d’un point fixe O de l’axe principal. L’équation éq. 11.34. devient donc :

d( JO ω )
dt
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
= M O (éq. 11.39.)
Mécanique - Dynamique du solide
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Si l’axe reste fixe par rapport au solide, le moment d’inertie reste constant. Donc :


dω
JO
= MO
dt

 
J O ε = M O (éq. 11.40.)

où ε est l’accélération angulaire du solide.
C’est la loi de la dynamique pour les solides en rotation autour d’un axe fixe.
La comparaison de cette dernière équation avec celle de la loi fondamentale de la dynamique du


point ( f = m a ) suggère une grande similitude entre la rotation d’un solide autour d’un axe principal et
le mouvement d’une particule. La masse m est remplacée par le moment d’inertie JO, vitesse v par la
vitesse angulaire ω, l’accélération a par l’accélération angulaire g. et la force f par le moment MO.



Par exemple, si M O = 0 , l’équation éq. 10.39. indique que J O ω = cst , et si le moment d’inertie

est constant ω est aussi constant. En d’autres termes, un solide tournant autour d’un axe principal tourne
avec une vitesse angulaire constante quand il n’est soumis à aucun moment de forces extérieures. On peut
considérer ceci comme la loi d’inertie pour le mouvement de rotation.
Lorsque le moment d’inertie est variable, ce que peut arriver si le corps n’est pas rigide, la


condition J O ω = cst exige que si JO augmente (diminue) alors ω décroît (augmente), résultat qui a
plusieurs applications. (Exemple : la patineuse artistique qui, pour tourner plus vite sur elle-même, ramène
ses bras et jambes le long de son corps.)
Attention, lorsque l’axe de rotation n’a pas de point fixe dans le référentiel d’inertie, nous ne
pouvons pas utiliser l’équation éq. 10.34., et nous devons calculer le moment cinétique et le moment par
rapport au centre de gravité du solide, soit :


H CG = M CG (éq. 11.48.)
Application 11.3. Un disque de 0.5 m de rayon et de masse m P = 20 kg
peut tourner librement autour d’un axe horizontal fixe passant par son
centre. Trouver l’accélération de la masse suspendue si celle-ci vaut :
m = 1 kg .
Solution :
L’axe Oz est un axe principal d’inertie, donc l’équation des moments autour
de cet axe donne :

1z  − f r0 = − ε J Oz
( )
fig.11.9. - Application 11.3.

Recherche de f :
Isolons la masse m :

1y
 − m g + f = − ma
( )

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f = m ( g − a)
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Recherche de l’accélération :
Sachant que le moment d’inertie pour un disque plein :
1
a
J Oz = m p r02
et que : ε =
2
r0
on trouve :
a 1
m ( g − a ) r0 =
m p r02
r0 2

a=
(m
mg
p
)
2+m
=

1y

ε

1z

1x

f

f
1 × 9.81
= 0.89 m s 2
+
20
2
1
(
)

a

mg
Ce qui est plus petit que g, valeur de la chute libre.
fig.11.10. - Résolution.
Application 11.4. Un volant en fonte ( ρ = 7 200 kg m 3 ) est
schématisé ci-contre. On le soumet à un couple de 1200 Nm.
Après combien de temps atteindra-t-il la vitesse de 180
tr/min ? On négligera le moyeu dans le calcul de l’inertie.
Solution :
Recherche du moment d’inertie du volant
Moment d’inertie de la jante (couronne) par rapport à
son axe de rotation Δ (qui est un ACPI) :
1
J Δ = mcouronne re2 + ri 2
2
1  π

=  ρ  d e2 − d i2 l  re2 + ri 2


2
4
(
fig.11.11. - Application 11.4.
)
(
) (
)
1
π
. 2 + 105
. 2
× 7 200 × × 2.4 2 − 2.12 × 0.04 × 12
2
4
.
10 3 kgm 2
= 3882
Moment d’inertie des bras (tournant par rapport à leur centre). On fera l’hypothèse que les bras
sont 3 cylindres d’une longueur de 2.1 m et d’un diamètre de 0.12 m.
 1  π d2  2
 1
2
J Δ = 3  m l  = 3   ρ
l l 
 12

4  
 12 
=
(
)
(
)
π × 012
. 2
1
× 7 200 ×
× 2.10 3
12
4
3
.
kgm 2
= 0188510
Le moment d’inertie total vaut :
3
J Δ tot = 3882
.
10 3 + 0188510
.
= 4.070510 3 kgm 2
= 3×
Application de la seconde loi de la dynamique autour d’un axe fixe :


MΔ = JΔ ε
Qui projetée sur l’axe de rotation du volant nous donne :
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MΔ
1200
=
= 0.295 rad s 2
JΔ
4.070510 3
Comme le couple est constant, l’accélération angulaire aussi et donc nous avons un MCUA.
ω 2 π n 2 × π × 180
ω =ω
0 + ε t  t = ε = 60 ε = 60 × 0.295 = 63.9 s
=0
ε=
11.4. Principe de d’Alembert
Sans refaire toute la démonstration, on peut en déduire que le principe de la “force d”inertie” peut
aussi s’appliquer au couple. Et donc, il en découle la notion de couple d’inertie :


Cin = − J Δ ε (éq. 11.62.)

Le couple d’inertie Cin , égal en module au produit du moment d’inertie de masse

JΔ du corps par son accélération angulaire ε , est toujours dirigé dans le sens
opposé à l’accélération angulaire.
d’où :



M Δ + Cin = 0
Remarque importante :
Nous devrions parler, non pas de couple d’inertie, mais bien de “moment d’inertie”.
Cependant, la définition du “moment d’inertie” est toute autre et ne correspond pas du
tout à cette notion de “moment” qui s’oppose à l’accélération angulaire du solide. C’est
pourquoi, dans le cas du principe de d’Alembert pour les solides en rotation autour d’un
axe fixe, on parlera de “couple d’inertie”.
11.5. Energie cinétique de rotation
L’énergie cinétique d’un système de particules est donné par :
K=

i
mi vi2
2
Nous avons vu au paragraphe § 9.2.2. que, dans le cas d’un solide tournant autour d’un axe avec
une vitesse angulaire ω, la vitesse de chaque particule est vi = ω ri où ri est la distance de la particule à
l’axe de rotation Δ. Alors :
K=

i
mi vi2
=
2

i
mi (ri ω )
2
2
=
1
2
 (m r ) ω
i
i
2
2
i 


= JΔ
ou en se rappelant la définition du moment d’inertie :
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K=
1
J Δ ω 2 (éq. 11.67.)
2
L’expression (éq. 11.67.) est correcte pour tout axe, même s’il n’est pas un axe principal, car la
grandeur de la vitesse est toujours vi = ω ri .
Considérons maintenant le cas général dans lequel le solide tourne autour d’un axe passant par
son centre de gravité, et en même temps a un mouvement de translation par rapport à l’observateur.
L’énergie cinétique totale du solide est égale à :
K total = K translation + K rotation
L’énergie cinétique de rotation par rapport au centre de gravité/calculée à l’aide de l’équation
(éq. 11.67.) parce que dans un solide, le centre de gravité est fixe par rapport au solide, et que le seul
mouvement que le corps peut avoir par rapport à son centre de gravité est une rotation. Ainsi donc, nous
pouvons écrire :
K tot =
1
1
2
m v cg
+ J cg ω 2
2
2
où Jcg est le moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation passant par le centre de gravité.
Application 11.5. Un chariot est hissé sur un plan
incliné ( α = 30° ) en lui appliquant une force

constante q = 160 N . Le poids du plateau du

chariot est pc = 180 N , alors que le poids de

chacune de ses quatre roues pleines est pr = 20 N .
Trouver :
1) la vitesse de translation v1 du chariot lorsqu’il aura
parcouru la distance l = 4 m , si v 0 = 0 ;
2) l’accélération du chariot en mouvement. Le
roulement des roues se fait sans glissement, alors
que la résistance opposée au roulement peut être
négligée.
fig.11.12. - Application 11.5.
Solution :
1) Théorème de l’énergie cinétique
→
1 
K1 − K 0 = F • d OA

0
Energie cinétique initiale :
K0 = 0
Energie cinétique finale :
< Chariot (translation) :
m v2
K1 C = c 1
2
< Roues (translation et rotation) (calcul pour 1 roue) :
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2
mr v12 J centre r ω 1
+
2
2
1

2
 J centre r = 2 mr rr
Avec :

v
ω 1 = 1
rr

D’où :
K1 r =
K1 r
v 
m v2 1
= r 1 + mr r 2  1 
2
2
 rr 
2
3
mr v12
4
Travail des forces extérieures :
< Le travail des forces de frottement qui s’oppose au glissement est nul (ne se déplace pas).
< Le travail des réactions normales du plan incliné est nul (force perpendiculaire au
déplacement).
< Travail du poids du chariot et de celle des roues :
Wc + r = − (mc + 4 mr ) g Δ h = − (mc + 4 mr ) g (l sin α )
=
< Travail de la force de traction :
WQ = Q l
En portant toutes ces données dans l’équation de départ, on obtient :
 mc v12

3
+ 4  mr v12   − 0 = Q l − (mc + 4 mr ) g (l sin α ) (1)

4

 2
v1 =
=
=
( Q − (m
c
(
)
+ 4 mr ) g sin α l
mc
+ 3 mr
2
2 g l Q − ( pc + 4 pr ) sin α
pc + 6 p r
(
)
)
2 × 9.81 × 4 160 − (180 + 4 × 20) sin 30
180 + 6 × 20
= 2.80 m s
2) 1ère méthode : dérivation de l’expression de la vitesse
Pour déterminer l’accélération, on procédera de la façon suivante vu que nous avons déjà obtenu
l’égalité (1) : nous allons considérer que les grandeurs v1 = v et l (ce paramètre détermine la
position du système tout entier) figurant dans l’égalité (1) sont des variables. Alors, en dérivant
les deux membres de cette égalité par rapport au temps, on trouvera :
dl
 mc
 dv
+ 3 mr  v
= Q − (mc + 4 mr ) g sin α

 2
 dt
dt
(
)
Or dv dt = a et dl dt = v . En simplifiant par v, on obtient finalement :
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a=
=
=
Q − (mc + 4 mr ) g sin α
mc 2 + 3 mr
Q − ( pc + 4 pr ) sin α
pc + 6 pr
g
160 − (180 + 4 × 20) sin 30
180 + 6 × 20
× 9.81
= 0.98 m s 2
2ème méthode : MRUA
Comme les forces sont constantes, nous sommes en présence, dans ce cas, d’un MRUA et de ce
fait :
v = v 0 + a t

2
l = l 0 + v 0 t + a t 2

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a=
v 2 2.80 2
=
= 0.98 m s 2
2l 2×4
Mécanique - Dynamique du solide
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11.6. Analogies : translation - rotation
On peut admettre les analogies, élémentaires, suivantes entre le mouvement rectiligne et le
mouvement circulaire (autour d’un axe fixe).
Mouvement rectiligne
Mouvement circulaire
Force

f
[N]
Moment (ou couple)

MΑ
Masse
m
[kg]
Moment d’inertie de
masse
JΔ [kgm2]
Position angulaire

θ
→
Position
[m]
OA

v
[m/s]

a [m/s2]
Vitesse
Accélération
[Nm]
[rad]

ω [rad/s]

ε [rad/s2]
Vitesse angulaire
Accélération angulaire
D’où on peut en déduire les relations analogiques suivantes :
Mouvement rectiligne
Quantité de mouvement
Loi fondamentale
Travail élémentaire
Puissance ( P0 = dW dt )
Energie cinétique
© R. Itterbeek
Mouvement circulaire


Q0 = m v
Moment cinétique


HΔ = J Δ ω
 
F=Q
Loi fondamentale


M Δ = HΔ
→

dW = F • d OA
 
P= F•v
K = m v2 2
Travail élémentaire


dW = M Δ • dθ
Puissance


P0 = M Δ • ω
Energie cinétique
K = JΔ ω 2 2
Mécanique - Dynamique du solide
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