1. No category

MP 2013/2014
Exercices : Mécanique Quantique
Introduction à la mécanique quantique
MQ 1 : Mise en évidence des ondes de matière - Expérience de
Davisson et Germer (1927)
Davisson et Germer ont validé le concept des ondes de de Broglie pour des
électrons en 19275. Pour ce faire, ils ont fait parvenir, en incidence normale,
un faisceau parallèle incident d'électrons accélérés par une différence de
potentiel V sur un cristal de nickel dans le vide. Un détecteur était chargé de
mesurer pour divers angles de diffusion θ (« à l'infini ») l'intensité
électronique I(θ) correspondante.
La figure précise le diagramme angulaire d'intensité relevée pour la tension V
= 54 V (sachant que des mesures pour d'autres tensions ont aussi été
effectuées).
1) Les physiciens Bragg, père et fils, ont proposé en 1912, lors de l'étude de la diffraction de rayons X par un
cristal (prix Nobel 1915), la formule de Bragg :
nλ=2d.sinφ
où n est un entier, λ est la longueur d'onde, d est la distance entre deux plans réticulaires du cristal et φ est
l'angle formé entre chaque plan réticulaire et un faisceau parallèle émergent intense.
a) Expliquer pourquoi le rayonnement obtenu par réflexion spéculaire(un rayon
incident donne un unique rayon réfléchi) sur les atomes d'un même plan
réticulaire est particulièrement intense.
b) En déduire la formule de Bragg en considérant les interférences entre les
ondes réfléchies spéculairement sur les atomes pour l'ensemble des plans
réticulaires.
2) L'utilisation de rayons X permet de connaître la distance entre les plans réticulaires d = 0,091 nm.
a) En exploitant la formule de Bragg, déterminer les longueurs d'onde équivalentes λeq,n, envisageables du
faisceau électronique.
b) Confronter ces longueurs d'onde avec la longueur d'onde de de Broglie λDB du faisceau électronique. Conclure
MQ 4 : Expérience des trous d’Young et inégalité spatiale de Heisenberg
Soit le dispositif de Young déjà étudié avec une source ponctuelle de
quantons S monoénergétiques placée sur la médiatrice de deux fentes
FI et F2 distantes de 2 a. Les quantons sont émis un à un (c'est-à-dire
bien séparément). La distance entre le plan des fentes et l'écran, qui
lui est parallèle, est D >> a. L'observation est effectuée en un point M
quelconque de l'écran repéré par d << D.
Pour savoir par quelle fente passe chaque quanton, on mesure par un
dispositif non représenté la translation de l'écran suivant (Ox) induite
par chaque impact de quanton (l'écran gagne la quantité de
mouvement suivant (Ox) du quanton absorbé).
1) Exprimer la quantité de mouvement p1x selon (Ox) d'un quanton parvenant en M après être passé par la
fente F1 en fonction de la valeur p de son impulsion, de d, a et D.
2) Faire de même pour le cas d'un quanton passant par la fente F2 et en déduire que l'on sait de quelle fente
provient le quanton seulement si l'in-détermination sur la quantité de mouvement de l'écran est très inférieure à
une valeur fonction de p, a et D.
3) En se plaçant dans cette hypothèse, montrer qu'il est impossible d'observer des interférences sur l'écran.
MECANIQUE QUANTIQUE
© JM DUCRET
page 1/10
MQ 5 Gaz quantique ou classique
On considère de l'hélium gazeux à température ambiante et à la pression atmosphérique. L'énergie cinétique
moyenne d'un atome d'hélium est égale à E = 3/2kBT où kB la constante de Boltzmann.
1-a) Déterminer et évaluer numériquement la vitesse quadratique moyenne d'un atome d'hélium.
1-b) Calculer la longueur d'onde de de Broglie correspondante. La comparer à la distance moyenne entre atomes
d'hélium.
1-c) On s'attend à ce que les effets quantiques puissent jouer un rôle lorsque la longueur d'onde de Broglie est de
l'ordre de grandeur ou plus grande que la distance moyenne inter-atomique. Expliquer pourquoi et dites si l'étude
de ce gaz d'hélium vous semble relever ou pas de la mécanique quantique.
2. Lors de la formation d'un cristal métallique, on suppose que chaque atome du cristal fournit un électron.
L'ensemble de ces électrons libre constitue un gaz où l'énergie de chaque électron est de l'ordre de l'électron-volt.
La distance moyenne entre électrons est supposée égale à la distance moyenne entre atomes.
2-a) Reprendre les arguments développés précédemment pour le gaz d'hélium dans le cas du gaz d'électrons libres
dans un métal. On pourra utiliser les valeurs numériques suivantes relatives au cuivre : M(Cu) = 63 g .mol—1 et
µ(Cu) = 8,9 x 103 kg .cm-'.
2-b) La conduction de l'électricité dans un métal est liée au gaz d'électrons libres. Relève-t-elle d'un traitement
quantique ou classique ?
MQ 9 : Fonction d'onde pour un potentiel harmonique
Soit Ψ(x, t) la fonction d'onde d'une particule de masse m pouvant se déplacer sur l'axe Ox
où A et ω0 sont des constantes.
a) Quelles sont leurs dimensions?
b) Quelles sont les valeurs possibles de A ?
c) Quel type d'état est représenté par cette fonction d'onde ? Quelle est l'énergie de la particule ?
d) À quelle énergie potentielle V(x) est soumise cette particule ?
e) Dans quel(s) type(s) de situation rencontre-t-on cette énergie potentielle ?
f) Quelle est la valeur moyenne <x> de la position x de la particule ? Plus précisément, si on prépare N >> 1
systèmes dans cet état et que l'on mesure pour chacun d'entre eux la position x de la particule, quelle est la
moyenne des mesures réalisées ?
g) Qu'en est-il de la moyenne quadratique <x2> ?
h) Que dire de l'étalement des mesures en quantité de mouvement dans cet état ?
MQ 12 : Étalement du paquet d'ondes
On considère une particule quantique libre de masse m.
1. Retrouver rapidement la relation de dispersion correspondante (question de cours).
2. On considère que l'état de la particule quantique est représenté par un paquet d'ondes formé d'ondes planes
progressives, dont les vecteurs d'ondes sont distribués autour d'une valeur moyenne k0 avec une dispersion ∆k, qui
détermine l'extension spatiale initiale ∆x0 du paquet d'ondes à l'instant t = 0. La pulsation moyenne
correspondant à k0 est notée ω0.
2-a) Rappeler la définition de la vitesse de groupe vg0 et déterminer son expression.
2-b) Montrer en utilisant la relation de dispersion qu'à la largeur ∆k correspond une dispersion de la vitesse de
groupe ∆vg autour de la valeur moyenne vg0. Exprimer ∆vg en fonction de , m et ∆x0.
2-c) En déduire la largeur du paquet d'ondes ∆x(t) après un déplacement d'une durée t depuis l'origine.
Déterminer l'instant t0 pour lequel la largeur du paquet d'ondes a doublé.
2-d) Application numérique. Calculer t0 pour :
• un électron, de masse m =10-30 kg, initialement confiné dans un atome ∆x0 =10-10 m.
MECANIQUE QUANTIQUE
© JM DUCRET
page 2/10
• une gouttelette d'eau, de rayon égal à 10 µm et de masse m = 4 x 10-12 kg.
Commenter les valeurs numériques obtenues.
MQ 13 : Fil quantique
On étudie la conduction électronique dans un fil quantique : il s'agit d'un matériau dans lequel des électrons
peuvent se déplacer d'une extrémité à l'autre. Sa géométrie est celle d'un parallélépipède, de section carrée, de
côté a, et de longueur .e >> a (typiquement, a est l'ordre du nanomètre alors que .e est de l'ordre du micromètre
: ce qui justifie la dénomination de « fil »). Pour des raisons géométriques, il existe donc un fort confinement
latéral de l'électron, qui ne lui laisse plus que la possibilité de se déplacer selon l'axe (Ox) du fil (voir figure cidessous). Les électrons à l'intérieur du fil sont traités comme des particules quantiques, de masse m, libres de se
déplacer dans la direction (Ox) du fil.
La fonction d'onde propre qui représente alors un état stationnaire d'un électron, d'énergie E, dans le fil s'écrit
sous la forme suivante :
ϕ(x) = A exp(ikx)
où A une constante réelle de normalisation.
1-a). Commenter la forme choisie pour ϕ (x) . Que représente k?
1-b) Normaliser la fonction d'onde propre.
1-c) En utilisant l'équation de Schrödinger indépendante du temps, exprimer l'énergie E de l'électron en fonction
de k, m et h. Exprimer la vitesse de déplacement vx d'un électron selon (Ox) en fonction de k, et m.
dP (x )
2-a). Montrer que la densité de probabilité de présence
de l'électron est uniforme le long du fil et donner
dx
son expression.
2-b). On admet que la probabilité de présence entre x et x + dx, d'un électron, dont le vecteur d'onde k est
dP (x ) . dxdk.
compris entre k et k + dk est : dPk (x) =
dx π
Montrer que la contribution au courant électrique qui traverse le fil, dans le sens des x croissant, d'un électron
dont le vecteur d'onde est compris entre k et k + dk est :
où e désigne la charge élémentaire.
3. Le fil quantique est disposé entre deux métaux, soumis à une différence de potentiel électrique U. La figure cidessous représente les niveaux d'énergie des électrons dans les deux métaux.
Dans le métal 1, du côté x < 0, les électrons de conduction occupent tous les niveaux d'énergie jusqu'à une valeur
maximale notée E1. Dans le métal 2, situé de l'autre côté du fil quantique (x ≥ ), les électrons de conduction
occupent tous les niveaux d'énergie jusqu'à une valeur maximale notée E2 = E1 - eU. Un électron du métal 1 dont
l'énergie est comprise entre E1 et E2 peut transiter à travers le fil quantique vers le métal 2. Cet électron a un
vecteur d'onde k compris entre k1 et k2. Les énergies E1 et E2 sont liées à k1 et k2 par la relation déterminée à la
MECANIQUE QUANTIQUE
© JM DUCRET
page 3/10
question 1.c..
3-a) Montrer que l'intensité I du courant électrique qui traverse le fil dans le sens des x croissants s'exprime en
fonction de U sous la forme suivante :I= —GU, où G s'exprime simplement en fonction de e et de la constante de
Planck h.
3-b) Commenter l'expression de G et donner sa valeur numérique, ainsi que celle de la grandeur R =1 /G.
MECANIQUE QUANTIQUE
© JM DUCRET
page 4/10
Particules quantiques dans des potentiels constants par morceaux
MQ 14 :Diffusion par un potentiel attractif, effet Ramsauer
On considère un flux de particules monoénergétiques d'énergie E, incidente depuis x → −∞ , se propageant suivant
les x croissants, arrivant dans la zone d'action d'un potentiel donné par :
 a a
V(x) = -V0 = cte (où V0 > 0 ) pour x ∈  − , +  zone (2)
 2 2
V(x) = 0 partout ailleurs (zones (1) et (3)).
On considère le cas où E > 0 .
1 Proposer une situation physique associée au modèle décrit ci-dessus.
2. Donner la forme des fonctions d'onde dans les trois domaines considérés.
3. En écrivant les conditions de raccordement, écrire les quatre relations liant les constantes d'intégration
intervenant dans l'écriture des fonctions d'onde.
4. Donner, en utilisant des densités de courant de probabilité dont on précisera l'expression; l'expression des
coefficients de réflexion R et de transmission T.
5. On obtient, par un calcul qui n'est pas demandé :
L'allure du coefficient R en fonction de l'énergie E est la suivante :
Ramsauer (1921) a montré expérimentalement que pour certaines valeurs de l'énergie E d'un faisceau
monoénergétique d'électrons de basse énergie, certains gaz rares (Hélium, Néon ou Argon) sont parfaitement
transparents.
a) Proposer une justification de l'idée de modéliser un atome de gaz rare par un centre diffusif en forme de puits
plat fini.
b) Identifier sur le graphique ci-dessus les zones de transparence et écrire les conditions correspondantes liant k à
a. Proposer ainsi une interprétation de l'effet Ramsauer en termes d'interférence entre les ondes de De Broglie
associées aux électrons. On pourra s'appuyer sur une analogie optique avec les réflexions multiples dans une lame
MQ 15 :La molécule d'ammoniac
Dans ses états d'énergie les plus bas, la molécule d'ammoniac NH3 a la forme d'une pyramide dont l'atome N
forme le sommet et les trois atomes d'hydrogène coplanaires forment, à la base de cette pyramide, un triangle
équilatéral. On suppose pour simplifier que l'atome d'azote, beaucoup plus lourd que l'hydrogène, reste fixe.
On note x la distance algébrique entre l'azote et le plan des trois hydrogènes (voir figure 1). On associe une
particule fictive de masse m aux trois hydrogènes, l'origine de l'axe étant prise au centre de l'atome d'azote.
Cette particule fictive peut se déplacer suivant l'axe (Ox) de sorte que l'énergie potentielle de la molécule n'est
fonction que de x. Son allure est représentée .en trait plein sur la figure 2. On la modélise par le potentiel en
double puits représenté en pointillés.
MECANIQUE QUANTIQUE
© JM DUCRET
page 5/10
Figure 1
Figure 2
Figure 3
1).On se place dans le cas E < V0. À quoi correspond cette hypothèse ? Discuter la forme du puits de potentiel en
trait plein sachant qu'il existe deux configurations stables de la molécule. Décrire qualitativement ces deux états.
Comment le passage d'une configuration stable à l'autre est-il possible ?
2). On considère à présent le potentiel approché, dessiné en pointillés. On pose pour toute la suite :
k=
2mE
et K =
2m (V0 − E )
On désigne par :
a
a

zone (1) le puits de gauche, donc x ∈  −b − , −b + 
2
2

a
a

par zone (2) la zone sous la barrière de potentiel, donc x ∈  −b + , b − 
2
2

a
a

par zone (3) le puits de droite, donc x ∈ b − , b + 
2
2
2

a) Justifier que l'on recherche les solutions de l'équation de Schrödinger stationnaire sous la forme de fonctions
d'onde paires, symétriques par rapport à l'axe de la molécule donc notées ϕS(x) , et de fonctions d'onde impaires,
antisymétriques donc notées ϕA(x) .
b) On admet que les fonctions d'onde dans les régions (1) et (3) sont de la forme suivante :
ϕ1(x) = ± A.sin(kX1) et ϕ3 (x) = ±A.sin(kX3)
où le signe + se rapporte à la forme symétrique et le signe – à la forme antisymétrique.
Exprimer les variable X1 et X3 en fonction des données du problème.
c) Justifier que dans la région (2), la fonction d'onde est de la forme :
ϕ2 (x) = Bcosh(Kx) ou B sinh (Kx) .
d) Écrire la forme générale de la fonction d'onde symétrique dans les trois domaines, de même pour la fonction
d'onde antisymétrique.
3.a) En utilisant les conditions de raccordement aux limites de la barrière de potentiel centrale, montrer qu'on
obtient deux équations transcendantes de la forme tan (ka) = f(K) et tan(ka) = g(K) où l'on précisera les
expressions de f et g, qui sont relatives aux fonctions d'ondes respectivement symétrique ϕS et antisymétrique ϕA
Montrer qualitativement que la résolution permet d'obtenir (numériquement ou graphiquement) les énergies
quantifiées E n,S et E n,A (relatives aux fonctions d'onde stationnaires respectivement symétriques et
antisymétriques). Justifier que ces énergies sont différentes.
3.b) On se place à présent dans le cas où la hauteur de la barrière de potentiel est considérée très grande devant
a
l'énergie de la particule fictive. Montrer que si λ << b les valeurs discrètes de k sont solutions de : tan(k.a)
2
k
−K 2 b − a
= −
1 ± 2.e ( ) , ou on précisera si le signe + ou – doit être relatif à ϕS ou à ϕA.
K
Pour obtenir les valeurs quantifiées de knS et knA on procèdera graphiquement en précisant l'expression des
équations des droites yA et yS (figure 3). Montrer ainsi que l'énergie fondamentale vérifie : E 0,S < E 0,A .
(
)
Dans le cadre de cette approximation on donne :
Comment évolue cette différence d'énergie lorsque la largeur ou la hauteur V0 de la barrière de potentiel augmente
MECANIQUE QUANTIQUE
© JM DUCRET
page 6/10
? Discuter qualitativement l'effet du couplage par effet tunnel entre les deux puits.
MQ 17 :Colorants organiques et modèle de Kuhn
En 1949, Hans Kuhn proposa, pour calculer les propriétés électroniques d'une molécule présentant des liaisons
conjuguées, comme celle représentée ci-dessous, d'oublier le squelette d'atomes de carbone, d'azote et
d'hydrogène, et d'attribuer les propriétés optiques dans le domaine visible au seul nuage d'électrons π.
Dans un modèle simple, Kuhn propose que les N électrons π sont prisonniers d'un puits de potentiel infiniment
profond, de longueur L.
1. La molécule représentée ci-dessus appartient à la famille des cyanines symétriques. En incluant les atomes
d'azote, quel est, en fonction de p, le nombre N d'électrons délocalisés ?
On note la longueur moyenne d'une liaison carbone-carbone ou carbone-azote. Dans son modèle, Kuhn propose
L = N. .
2. Rappeler les valeurs des différents niveaux d'énergie en fonction de , de la masse de l'électron me, de L. On
introduira un nombre quantique entier n.
3. On admet que les électrons se répartissent dans les différents niveaux d'énergie en respectant la règle de Hund
et le principe de Pauli. Justifier que l'existence d'une bande d'absorption est due à une transition électronique
entre le niveau d'énergie occupé le plus haut vers le niveau d'énergie libre le plus bas. Identifier ces deux niveaux.
4. En déduire l'expression de la longueur d'onde du rayonnement électromagnétique absorbé en fonction de m, c,
de la constante de Planck h, de L et N.
5. Pour la famille des cyanines symétriques, les raies d'absorption ont été mesurées :
p
2
3
4
4
5
λ0 (nm)
313
416
519
625
735
On donne. = 0,139 nm. Comparer ces valeurs expérimentales aux valeurs fournies par le modèle de Kuhn.
Quelles peuvent être les origines des écarts constatés ?
Enrichissement isotopique
On étudie le mouvement d'une particule quantique dans le potentiel V (x) (marche de potentiel) défini par :
Une source envoie, depuis x → - ∞ , un faisceau de particules quantiques, constitué d'un mélange de deux
isotopes. On souhaite utiliser le phénomène de réflexion sur la marche de potentiel pour modifier la composition
isotopique du mélange.
1. Expliquer pourquoi il est nécessaire que l'énergie E des particules quantiques soit supérieure à la hauteur de la
marche de potentiel V0 si l'on veut modifier la composition isotopique du mélange. Prévoir qualitativement si le
faisceau réfléchi est plus riche ou plus pauvre en isotope de plus grande masse.
2. Les particules quantiques ont une masse m et une énergie E > V0. En reprenant les résultats obtenus en cours,
déterminer la probabilité de réflexion R d'une particule quantique par la marche de potentiel. Représenter l'allure
de R en fonction de E pour E > V0. Compléter ce graphe en représentant aussi R pour E < V0.
3. On se place dans la limite où E >> V0.
a. Donner l'expression approchée de R correspondant à cette limite.
b. On note m1 et m2 les masses des deux isotopes qui forment le faisceau de particules quantiques incidentes.
Toutes ces particules quantiques sont envoyées avec la même vitesse. Expliquer pourquoi les coefficients de
réflexion R1 et R2 diffèrent pour les deux isotopes et exprimer le rapport R1 /R2 en fonction du rapport des masses
m1 /m2.
c. Le faisceau réfléchi est-il enrichi en isotope le plus lourd ou le plus léger ?
MECANIQUE QUANTIQUE
© JM DUCRET
page 7/10
MQ 23 :Diffusion quantique par un puits de potentiel
On étudie la diffusion d'une onde de matière sur un puits de potentiel de profondeur finie. Le puits de potentiel
considéré vaut :
avec V0 > 0.
1) On commence par envisager le cas d'une particule classique d'énergie E =
1
mv 02 se déplaçant dans le sens des
2
x croissants (de x → −∞ vers x → +∞ ).
Décrire le mouvement de cette particule dans chacune des trois régions (on donnera en particulier la vitesse de
déplacement de la particule classique dans chacune des trois régions).
2) On souhaite maintenant déterminer les états stationnaires d'une particule quantique, d'énergie E > 0, soumise
à l'énergie potentielle V(x) . On pose q = 2m(E + V0 )
2.a). Dans la région I, la fonction d'onde se met sous la forme :
Ψ(x<0,t) =. (exp(ikx) + r.exp(-ikx)) e
Dans,,la région III, on écrit :
−i
−i
E .t
..
E .t
Ψ(x >d,t) = t.exp(ikx) e ..
On admet que les constantes r et t sont réelles. La constante k est un réel positif.
Interpréter l'écriture proposée pour la fonction d'onde dans les régions I et III. Établir la relation liant la constante
k à l'énergie E.
2.b) Exprimer la fonction d'onde dans la région II en faisant intervenir q.
3) Écrire les relations de raccordement en x = 0 et en x = d.
4) Donner, sans calcul, la relation liant |r|2 et |t|2. Quel est son sens physique ?
5) Montrer que, dans la limite où E → 0 on a r → - 1 si l'on suppose sin(qd) ≠ 0. Ce résultat a-t-il un équivalent
en mécanique classique ou est-il de nature purement quantique ?
6) Toujours dans la limite où E → 0 , que vaut r lorsque sin(qd) = 0 ?
7) La figure suivante représente la probabilité de réflexion R en fonction de la vitesse v de la particule et de la
profondeur V0 du puits de potentiel. L'échelle spatiale caractéristique d permet de construire deux grandeurs vR =
h/md, homogène à une vitesse, et ER = mvR2/2, homogène à une énergie, qui permettent d'utiliser des variables
sans dimensions v/vR et V0/ER.
La couleur blanche correspond à une réflexion totale (R = 1) et la couleur noire correspond à une transmission
totale (T = 1).
7.a) Contrôler que les valeurs de R sur le graphe correspondent à l'analyse effectuée précédemment pour v -* 0.
7.b) Interpréter la transmission totale à « grande » vitesse.
7.c) On considère un faisceau incident de particules, dont les vitesses se distribuent entre 0,2vR et 0,8vR, avec une
vitesse moyenne v = vR/2. La profondeur du puits est ajustée à Vo = 2ER. Décrire la distribution des vitesses des
MECANIQUE QUANTIQUE
© JM DUCRET
page 8/10
particules transmises. Cette configuration réalise un filtre passe-haut de vitesse.
7.d) Comment peut-on choisir la profondeur du puits de potentiel pour réaliser un filtre passe-bas avec la même
distribution initiale des vitesses ?
7.e) Ordres de grandeur : ces filtres sélectifs de vitesse ont été développés par l'équipe de D. Guéry-Odelin, à
l'Université Paul Sabatier de Toulouse. Ce sont des atomes de rubidium qui sont utilisés, de masse m = 1, 45 x
10-25 kg, sur un réseau de puits de potentiel de largeur d = 660 nm. Donner la valeur numérique de vR, de ER et de
TR = ER/kB (la constante kB = 1,38 x 10-23 J .K-1 est la constante de Boltzmann).
MQ 25 :Étoile à neutrons – Energie de confinement
Une étoile à neutrons se forme à la suite de l'explosion d'une supernova (forme ultime de l'évolution d'une étoile
très massive). Elle est caractérisée par un faible diamètre (de l'ordre de la dizaine de kilomètres) et une masse
comparable à celle du Soleil. Il en résulte qu'elle forme un astre très dense.
On considère une étoile à neutrons de masse M = 2, 0 x 1030 kg, exclusivement constituée de neutrons de masse
m =1, 7 x 10-27 kg. On suppose que la densité de neutrons est uniforme à l'intérieur de l'étoile, qui est assimilée à
une boule de rayon R. Les neutrons forment un gaz de particules quantiques sans interaction.
1) Calculer le nombre N de neutrons dans l'étoile.
2) On admet que l'énergie cinétique de chaque neutron peut être évaluée en supposant qu'il est confiné dans un
volume V/N, où V est le volume de l'étoile.
2.a) Exprimer l'échelle de longueur caractéristique r du confinement d'un neutron en fonction de V et N.
2.b) Rappeler l’ordre de grandeur de l’énergie de confinement d’une particule quantique. En déduire que l'énergie
cinétique totale des neutrons s'écrit, à une constante multiplicative près, sous la forme suivante :
3) Du fait de l'attraction gravitationnelle que les neutrons exercent entre eux, l'étoile possède une énergie de
cohésion gravitationnelle Eg qui s'exprime simplement en fonction de la constante de gravitation universelle G, de
sa masse M et de son rayon R.
Déterminer, par analyse dimensionnelle, une expression de Eg (à une constante multiplicative près). On précisera le
signe à donner à Eg.
4) Représenter l'allure de l'énergie totale de l'étoile E = Ec + Eg et montrer qu'il existe un rayon d'équilibre stable
pour l'étoile. Calculer ce rayon d'équilibre et en déduire la masse volumique de l'étoile.
5) Comparer cette masse volumique à celle d'un noyau atomique, qu'on peut assimiler à une distribution de masse
sphérique de densité uniforme et de rayon r = r0.A 1 /3 où A est le nombre de nucléons du noyau et r0 = 1,2 x 10-15
m.
MQ 26 :Radioactivité alpha
La radioactivité α est l’émission par un noyau
A
Z
X d’un noyau d’hélium 24He ou particule α selon le processus :
X → AZ −−42Y + 24He
Dans une théorie élémentaire de la radioactivité α proposée par Gamow en 1928, on considère que la particule α
préexiste dans le noyau X, considéré comme la réunion du noyau Y et de la particule α. La loi d’interaction entre
ces deux particules est définie par leur énergie potentielle V(r) représentée en fonction de leur distance r. sur la
figure ci-dessous.
V(r)
A
Z
Répulsion coulombienne
E
R
RC
r
puits de potentiel lié aux
forces nucléaires
1
Si r > R = r0. A 3 (Pratiquement égal au rayon du noyau Y car la particule α est quasiment ponctuelle), l’énergie
potentielle V(r) est alors due à la seule répulsion électrostatique entre les Z – 2 protons de Y et les 2 protons de la
particule α :
MECANIQUE QUANTIQUE
© JM DUCRET
page 9/10
2(Z − 2).e 2
4πε 0r
Si r < R, les interactions nucléaires attractives interviennent. On peut les schématiser par un puits de potentiel
très profond.
V (r ) =
1
F.m-1, e = 1,6.10-19 C, mp ≈ mn = 1,67.10-27 kg.
36π .109
L’énergie de la particule α est E = 4,78 Mev.
Le coefficient de transmission peut se mettre sous la forme approchée :
On donne : r0 = 1,2.10-15 m ; ε0 =
lnT ≈ −2.∫
RC
2.mα (V (r ) − E )
R
341
.dr ≈ −
1) On considère un atome X de radium
E (en Mev )
+ 74,8 Approximation WKB (Wentzel, Kramers, Brillouin)
226
88
Ra . Calculer R et RC.
2) Expliquer pourquoi l’émission de la particule α ne peut se faire que par effet tunnel.
3) On considère que la particule α, de vitesse v, rebondit un certain nombre de fois sur la paroi. A chaque
collision avec la paroi située en r = R, la probabilité pour que la particule franchisse la barrière est T. On
appelle t0 le temps mis entre deux collisions.
t
Calculer t0 et le rapport τ = 0 correspondant au temps de vie de la particule α dans le puits de potentiel.
T
4) L’énergie E des particules α peut varier entre 4 et 9 Mev pour les différents émetteurs α. Montrer, avec le
modèle précédent, que t0 est presque le même pour tous les émetteurs α. En déduire une formule approchée
numérique pour lnτ en fonction de E exprimée en Mev.
MECANIQUE QUANTIQUE
© JM DUCRET
page 10/10