1 MP*1-2014/2015 Mécanique ondulatoire 1) Critère Quantique : En calculant une grandeur caractéristique homogène à ℏ, décidez si le recours à la physique quantique est nécessaire pour étudier les objets suivants ou si la théorie classique est suffisante : 1) Une antenne radio : puissance 5 𝑘𝑊 et fréquence d’émission dans le domaine des ondes radio. 2) Un noyau atomique : énergie de liaison typique 8 𝑀𝑒𝑉, rayon 𝑟𝐴 𝐴1/3 𝑟0 avec 𝐴 le nombre de masse et 𝑟0 = 1,2 𝑓𝑚 = 1,2. 10−15 𝑚 et masse d’un nucléon 𝑚 = 1,67 · 10−27 𝑘𝑔. 3) L’hélium superfluide: température de transition 𝑇 = 2,18𝐾, distance moyenne entre atomes 𝑎 = 0,36 𝑛𝑚 et masse 𝑚 = 6,7 · 10−27 𝑘𝑔. On donne 𝑘𝐵 = 1,38 · 10−23 𝐽 · 𝐾 −1 , 1 𝑒𝑉 = 1,6 · 10−19 𝐽. 2) Etude d’une naine blanche : Dans tout l’exercice, on raisonnera en ordre de grandeur. Une naine blanche est constituée de protons fixes, de masse 𝑚~10−27 𝑘𝑔 et d’électrons de masse 𝑚𝑒 = 10−31 𝑘𝑔. L’étoile, de masse 𝑀 et de rayon 𝑅 est soumise à son énergie potentielle gravitationnelle, 𝐸𝑝 , et son effondrement est empêché par l’énergie cinétique des électrons. 1) Trouver à un facteur près la forme de l’énergie potentielle de l’étoile. On donne la constante de gravitation 𝐺~10−10 𝑆𝐼. 2) Quel est le nombre 𝑁 >> 1 d’électrons dans l’étoile ? 3) Quel est le volume accessible en moyenne par un électron ? En déduire l’ordre de grandeur de sa quantité de mouvement. 4) En déduire l’ordre de grandeur de l’énergie cinétique des 𝑁 électrons de l’étoile. 5) Exprimer l’énergie totale de l’étoile en fonction de son rayon 𝑅. Trouver à l’équilibre une relation entre la masse 𝑀 de l’étoile et son rayon. 6) Calculer le rayon 𝑅 d’une naine blanche de masse égale à celle du Soleil 𝑀 = 21 2.10 𝑘𝑔. Commenter. 3) Oscillateur harmonique quantique : On considère une particule quantique, de masse m, soumise à une énergie potentielle 1 de la forme 𝑉(𝑥) = 2 𝑚𝜔2 𝑥 2 . Dans l’état stationnaire d’énergie 𝐸𝑜 , la fonction d’onde est de 𝑥2 𝑖𝐸 𝑡 la forme 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑥𝑝 (− 𝑎2 ) 𝑒𝑥𝑝 (− ℏ𝑜 ). 1) Ecrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps. 2) Déterminer la constante A. 3) Représenter l’allure de la densité de probabilité de présence de la particule. Commenter son allure par rapport à un oscillateur harmonique en mécanique classique, oscillant entre −𝑥𝑚 et +𝑥𝑚 Quelle est, sans calcul, la valeur de la position moyenne < 𝑥 > de la particule quantique ? 4) Déterminer l’expression de 𝐸𝑜 et de 𝑎 en fonction de ℏ, 𝑚 et de 𝜔. 2 +∞ 𝜋 On donne ∫−∞ exp(−𝛼𝑢2 )𝑑𝑢 = √𝛼 4) Fil quantique : On étudie la conduction électronique dans un fil quantique : il s’agit d’un matériau dans lequel les électrons peuvent se déplacer d’une extrémité à l’autre. Sa géométrie est celle d’un parallélépipède, de section carré de côté 𝑎 et de longueur 𝑙 avec 𝑙 >> 𝑎. Pour des raisons géométriques, les électrons n’ont la possibilité que de se déplacer selon l’axe (𝑂𝑥) du fil. Les électrons à l’intérieur du fil sont traités comme des particules quantiques, de masse m, libres de se déplacer dans la direction 𝑂𝑥 du fil. La fonction d’onde qui représente un état stationnaire d’un électron, d’énergie E, dans le fil s’écrit sous la forme : 𝜑(𝑥) = 𝐴𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘𝑥) où A est une constante réelle de normalisation. 1) Commenter la forme choisie pour 𝜑(𝑥). Que représente k ? Normaliser la fonction d’onde. 2) Exprimer l’énergie 𝐸 de l’électron ainsi que sa vitesse 𝑣𝑥 de déplacement suivant l’axe 𝑂𝑥. 3) Quelle est l’expression de la densité de probabilité de présence de l’électron le long du fil ? 4) On admet que la probabilité de présence entre 𝑥 et 𝑥 + 𝑑𝑥 d’un électron, dont le 𝑑𝑃(𝑥) 𝑙 vecteur d’onde 𝑘 est compris entre 𝑘 et 𝑘 + 𝑑𝑘 est : 𝑑𝑃𝑘 (𝑥) = 𝑑𝑥 𝜋 𝑑𝑥𝑑𝑘. Exprimer la contribution au courant électrique 𝑑𝐼 qui traverse le fil, dans le sens des 𝑥 croissant, d’un électron dont le vecteur d’onde est compris entre 𝑘 et 𝑘 + 𝑑𝑘 en fonction de 𝑒, 𝑣𝑥 et 𝑘. 5) Le fil quantique est disposé entre deux métaux, soumis à une différence de potentiel de 𝑈. Dans le métal 1, du côté 𝑥 < 0, les électrons de conduction ont une énergie 𝐸1 et dans le métal 2 , du côté 𝑥 > 𝑙, les électrons de conduction ont une énergie 𝐸2 = 𝐸1 − 𝑒𝑈. Montrer que l’intensité du courant peut se mettre sous la forme 𝐼 = −𝐺𝑈. Donner l’expression et la valeur numérique de 𝐺 ainsi que celle de 𝑅 = 1/𝐺. 5) Paquet d’onde Gaussien : On considère une particule libre non relativiste se déplaçant selon l’axe 𝑂𝑥 à la vitesse +∞ 1 𝑣0 = 𝑝0 /𝑚. Sa fonction d’onde normalisée s’écrit : 𝜓(𝑥, 𝑡) = ∫−∞ 𝑔(𝑘) exp(𝑖(𝑘𝑥 − √2𝜋 2𝜎2 1 𝜔(𝑘)𝑡)) 𝑑𝑘 𝑜ù 𝑔(𝑘) = ( 𝜋 2 2 )4 exp(−𝜎 (𝑘 − 𝑘0 ) ) a la forme d’une gaussienne centrée sur 1 𝑘 = 𝑘0 dont la mi-largeur à hauteur sur √𝑒 est prise égale à ∆𝑘 = 𝜎√2, de sorte que lorsque 𝑘 varie de 𝑘0 à  ∆𝑘 , sa valeur maximale 𝑔(𝑘0 ) est réduit d’un facteur √𝑒. On donne les intégrales suivantes : +∞ ∫−∞ exp(−𝜎 2 (𝑢 + 𝑣))2 𝑑𝑢 = √𝜋 𝜎 et +∞ 1 𝜋 ∫−∞ 𝑢2 exp(−𝑏𝑢2 )𝑑𝑢 = 2𝑏 √𝑏 1) Donner l’expression de la densité linéique de probabilité 𝜌(𝑥, 𝑡 = 0) à l’instant initial. Tracer son allure et discuter physiquement ce résultat. Donner en particulier la position du centre du paquet d’ondes ainsi que sa largeur ∆𝑥𝑜 . A quoi correspond physiquement cette largeur ? Comment évolue la localisation de la particule avec ∆𝑥𝑜 ? 2) Exprimer |𝑔(𝑘)|2 et discuter le sens physique de cette grandeur. En procédant comme en (1), donner l’expression de sa largeur ∆𝑘 et discuter physiquement ce résultat. 3) Vérifier la relation d’incertitude d’Heisenberg. 5) Donner l’expression de 𝜓(𝑥, 𝑡) On ne cherchera pas à calculer l’intégrale. 3 ℏ𝑘 2 4) En tenant compte de la relation de dispersion 𝜔(𝑘) = 2𝑚 le calcul complet (non demandé ici) conduit à une densité de probabilité donnée par : ℏ𝑘 𝑡 (𝑥 − 𝑚0 )2 2 1 𝜌(𝑥, 𝑡) = √ 𝜎 𝑒𝑥𝑝 [− ] ℏ2 𝑡 2 ℏ2 𝑡 2 𝜋 2 [1 + ] 2𝜎 (1 + ) 4𝑚2 𝜎 4 4𝑚2 𝜎 4 Quelle est la position 𝑥𝑐 du centre de cette gaussienne ? Ce résultat était-il prévisible ? 5) Exprimer la largeur ∆𝑥(𝑡) de 𝜌(𝑥, 𝑡) à l’instant 𝑡 en fonction de ∆𝑥0 Conclure sur l’évolution du paquet d’onde entre 0 et 𝑡. 6) Falaise de potentiel : Une particule de masse 𝑚 et énergie 𝐸 approche une falaise de potentiel définie par : pour 𝑥 < 0, 𝑉(𝑥) = 0 et pour 𝑥 > 0, 𝑉(𝑥) = −𝑉𝑜 . 1) Quel est le mouvement classique ? 2) Résoudre l’équation de Schrödinger dans les deux domaines. 3) Quelle est la probabilité pour qu’une particule d’énergie 𝐸 = 𝑉𝑜 /2 fasse demi-tour ? Commenter. 7) Particule quantique dans un puits fini : Une particule de masse m est placée dans un puits de potentiel modélisé par : 𝑉(𝑥) = 0 pour −𝑎 < 𝑥 < +𝑎 et 𝑉(𝑥) = 𝑉𝑜 pour |𝑥| > 𝑎. 1) On s’intéresse aux états liés. Quelles sont les valeurs limites possibles de l’énergie ? 2) Ecrire l’équation de Schrödinger indépendante du temps dans les différentes zones. √2𝑚𝐸 √2𝑚(𝑉 −𝐸) 𝑜 On pose 𝑘 = ℏ et 𝐾 = et donner les expressions des fonctions d’onde dans les ℏ trois zones de l’espace. 3) Vu la forme du potentiel, on admet que les fonctions d’onde des états stationnaires sont soit paires, soit impaires. En déduire les relations : 𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) = 𝐾𝑎 ou 𝑘𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) = −𝐾𝑎. 2𝑚𝑎2 𝑉𝑜 ℏ2 4) Etablir la relation (𝑘𝑎)2 + (𝐾𝑎)2 = 5) Interpréter graphiquement les solutions dans le plan de coordonnées (𝑘𝑎, 𝐾𝑎) à l’aide de la figure. 6) Existe-t-il toujours des états liés ? A quelle condition existe-t-il un seul état lié ? 7) Que deviennent les solutions dans le cas où le puits devient très profond ? 𝐾𝑎 𝑘𝑎 0 𝜋 2 𝜋 Indications 1) Critère Quantique : Pour chaque question, il faut trouver une grandeur 𝑆 homogène à énergie*temps ; 2) Trouver la vitesse des particules à partir de l’énergie et utiliser 𝑆 = 𝑥. 𝑚𝑣 ; 3) trouver la vitesse des particules à la température 𝑇 et utiliser 𝑆 = 𝑥. 𝑚𝑣. 2) Etude d’une naine blanche : 4 1) Il faut faire une étude dimensionnelle et ne pas oublier que cette énergie est négative ; 2) Dans l’étoile le nombre de protons est égal au nombre d’électrons et la masse de l’étoile provient essentiellement des protons ; 3) Utiliser la relation d’Heisenberg pour lier la variable d’espace à la quantité de mouvement ; 4) L’énergie totale est une fonction de R et l’équilibre 𝑑𝐸(𝑅) correspond à un minimum de l’énergie totale donc à 𝑑𝑅 = 0 ;5) Comparer la masse volumique de l’étoile à des masses volumiques de corps denses. 3) Oscillateur harmonique quantique : 2) La probabilité doit être une grandeur normée ; 3) Réfléchir aux maxima et aux minima de probabilité dans le mouvement classique ; 4) remplacer 𝜑(𝑥) dans l’équation de Schrödinger mais 𝐸𝑜 ne doit pas dépendre de 𝑥. 4) Fil quantique : 1) La probabilité d’avoir l’électron entre 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝑙 est de 1 ; 2) Utiliser l’équation de Schrödinger indépendante du temps pour trouver l’énergie de l’électron ; sa vitesse le long de l’axe 𝑂𝑥 est égale à la vitesse de groupe ; 4) Supposer que la probabilité qu’un électron traverse la surface 𝑆 pendant le temps 𝑑𝑡 est égale à la probabilité d’avoir un électron à une distance 𝑣𝑥 𝑑𝑡 de la surface ; 5) Il faut intégrer dans le sens des 𝑘 croissants, c’est-à-dire de 𝑘2 à 𝑘1 . 5)Paquet d’onde Gaussien : 1) Transformer (𝑘 − 𝑘𝑜 )2 + 𝑖𝑘𝑥 en une somme de deux expressions, du type : −𝛼 2 (𝑘, 𝑥) + 𝛽(𝑥) et utiliser les intégrales données dans l’énoncé ; 2) |𝑔(𝑘)|2 étant encore une gaussienne on peut utiliser les indications de l’énoncé pour trouver sa largeur ; 3) Exprimer l’impulsion 𝑝 en fonction de 𝑘 et en déduire ∆𝑝 en fonction de ∆𝑘 ; 4) Retrouver l’expression de la vitesse de groupe pour une onde de de Broglie vecteur d’onde 𝑘𝑜 ; 5) Il suffit de remplacer 𝜎 2 par ℏ2 𝑡 2 𝜎 2 (1 + 4𝑚2 𝜎4 ) dans l’expression de Δ𝑥𝑜 6) Falaise de potentiel : 2) Aucune particule ne vient de 𝑥 = +∞ ; on a continuité de 𝜑(𝑥) et de 𝜑′(𝑥) en 𝑥 = 0 ; 3) Il faut calculer la probabilité de réflexion 𝑅 = ‖𝑗⃗𝑟 ‖ ‖𝑗⃗𝑖 ‖ et calculer sa valeur pour 𝐸 = 𝑉𝑜 /2. 7) Particule quantique dans un puits fini : 1) 𝐸 doit être inférieure à 𝑉𝑜 ; 2) La fonction d’onde doit rester finie pour 𝑥 = ±∞; 3) La fonction d’onde et sa dérivée doivent être continues en 𝑥 = ±𝑎; étudier les conséquences pour une fonction d’onde paire puis pour une fonction d’onde impaire ; 4) Exploiter les définitions de 𝑘 et de 𝐾 de l’énoncé ; 5) Les courbes bleues représentent 𝑘𝑎𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) et la courbe rouge – 𝐾𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) ; la courbe noire représente (𝑘𝑎)2 + (𝐾𝑎)2 = avoir un seul état il faut n’avoir qu’une seule intersection. 2𝑚𝑎2 𝑉𝑜 ℏ2 ; 6) Pour Solutions 1) Critère Quantique : 1) 𝑆 = 𝑃𝜈 2 ~1014 𝐽. 𝑠 ≫ ℏ , c’est classique ; 2) 𝑆 = 𝑟√𝑚2𝐸~10−34 𝐽. 𝑠, c’est quantique ; 3) 𝑆 = 𝑎𝑚√𝑘𝐵 𝑇~2. 10−34 𝐽. 𝑠, c’est quantique. 2) Etude d’une naine blanche : 1) 𝐸𝑝 = − ℏ2 𝑚𝑒 𝑅 𝐺𝑀2 𝑀 5/3 2( ) 𝑚 𝑅 − 𝑀 ; 2) 𝑁 = 𝑚 ; 3) 𝑉 = 𝐺𝑀2 𝑅 𝑅3 𝑁 ℏ 𝑀 1/3 ; 𝑝 = 𝑅 (𝑚) ; l’équilibre de l’étoile correspond à 𝑅 = 𝑀 5/3 ℏ2 ; 4) 𝐸𝑐 = 𝑚 𝑒 𝑅2 ℏ2 𝑚𝑒 𝐺𝑚5/3 𝑀1/3 (𝑚 ) ; 5) 𝐸 = ;6) 𝑅 = 8000 𝑘𝑚 ; on trouve donc une étoile de la masse du Soleil mais avec le volume de la Terre ce qui 5 correspond à une masse volumique 𝜇 = 109 𝑘𝑔. 𝑚−3. Si on calcule la masse volumique d’un métal très dense comme le plomb 𝜇(𝑃𝑏) = 2. 104 𝑘𝑔. 𝑚−3. 3) Oscillateur harmonique quantique : ℏ2 𝑑2 𝜑(𝑥) 1 2 1/4 1) − 2𝑚 𝑑𝑥 2 + 2 𝑚𝜔2 𝑥 2 𝜑(𝑥) = 𝐸𝑜 𝜑(𝑥) ; 2) 𝐴 = (𝜋𝑎2 ) 3) en mécanique classique 𝑥 = 0 est un minimum de probabilité et 𝑥 = ±𝑥𝑚 sont des maxima de probabilité ; de plus pour |𝑥| > 𝑥𝑚 , la probabilité est nulle ; en mécanique quantique pour le niveau d’énergie 𝐸𝑜 , 𝑥 = 0 est un maximum de probabilité et pour |𝑥| > 𝑥𝑚 , la probabilité est faible mais non ℏ𝜔 2ℏ nulle ; < 𝑥 >= 0 ; 4) 𝐸𝑜 = 2 et 𝑎2 = 𝑚𝜔 4) Fil quantique : 1 1) Forme d’OPPH, 𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑥𝑝(𝑖(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)) ; 𝑘 est le vecteur d’onde ; 𝐴 = ; 2) 𝐸= 𝑘 2 ℏ2 2𝑚 ; 𝑣𝑥 = ℏ𝑘 𝑚 ; 3) 𝑑𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 12,9 𝑘Ω . 5)Paquet d’onde Gaussien : 1) 𝜌(𝑥, 𝑡 = 0) = 𝜎 √2𝜋 = 1 𝑙 𝑒 ; 4) 𝑑𝐼 = − 𝜋 𝑣𝑥 𝑑𝑘 ; 5) 𝐺 = 2𝑒 2 ℎ √𝑙 = 7,73. 10 −5 𝑆; 𝑅 = 𝑥2 𝑒𝑥𝑝 (− 2𝜎2 ) ; la courbe obtenue est une gaussienne centrée sur O ; ∆𝑥 = 𝜎 ; on a plus de probabilité de trouver la particule au voisinage de O à ±∆𝑥 près ; 2) 1 |𝑔(𝑘)|2 représente la norme au carré de la transformée de Fourier de 𝜓(𝑥, 0) ∆𝑘 = ; 𝜎2 ℏ 3) ∆𝑥∆𝑝 = 2 > ℏ ; 4) 𝑥𝑐 = 𝑡. ℏ𝑘𝑜 𝑚 ℏ2 𝑡 2 = 𝑣𝑔 (𝑘𝑜 )𝑡 ; Δ𝑥(𝑡) = Δ𝑥𝑜 √1 + 4𝑚2 𝜎4 ; le paquet d’onde s’élargit avec le temps. 6) Falaise de potentiel : 1) En mécanique classique la particule franchit la falaise avec une vitesse plus grande pour 𝑥 > 0 ; 2) On pose 𝑘 = 𝑘−𝐾 √2𝐸𝑚 ℏ et 𝐾 = √2(𝑉𝑜 +𝐸)𝑚 ℏ 2𝑘 ; pour 𝑥 > 0, 𝜑(𝑥) = 𝐴 exp(𝑖𝑘𝑥) + 1−√3 2 𝐴𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑘𝑥) et pour 𝑥 < 0, 𝜑(𝑥) = 𝑘+𝐾 𝐴𝑒𝑥𝑝(𝑖𝐾𝑥) ; 3) 𝑅 = (1+√3) = 0,01. Ce résultat est purement quantique. 7) Particule quantique dans un puits fini : 𝑘+𝐾 ℏ2 𝑑2 𝜑(𝑥) 1) 0 < 𝐸 < 𝑉𝑜 ; 2) Pour |𝑥| > 𝑎 on a − 2𝑚 ℏ2 − 2𝑚 𝑑2 𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 + 𝑉𝑜 𝜑(𝑥) = 𝐸𝜑(𝑥) ; pour |𝑥| < 𝑎 on a = 𝐸𝜑(𝑥) ; ce qui donne pour 𝑥 > 𝑎: 𝜑(𝑥) = 𝐴 exp(−𝐾𝑥) ; pour −𝑎 < 𝑥 < 𝑎: 𝜑(𝑥) = 𝐵 exp(𝑖𝑘𝑥) + 𝐶𝑒𝑥𝑝(−𝑖𝑘𝑥) ; pour 𝑥 < −𝑎: 𝜑(𝑥) = 𝐴 exp(+𝐾𝑥) ; 3) Si la fonction d’onde est paire on a 𝑘𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) = 𝐾 et si la fonction d’onde est impaire on a 𝑘𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝑘𝑎) = 2𝑚𝐸𝑎2 2𝑚𝑎2 (𝑉 −𝐸) 2𝑚𝑎2 𝑉 𝑜 −𝐾𝑎 ; 4) 𝑘 2 𝑎2 = ℏ2 et 𝐾𝑎2 = d’où la relation : (𝑘𝑎)2 + (𝐾𝑎)2 = ℏ2 𝑜 ;5) ℏ2 Les solutions possibles sont les intersections du cercle avec les courbes bleues ou rouges ; 6) Il y a toujours une solution ; pour avoir une seule solution il faut 1 𝜋𝑛ℏ 2 augmente, 𝐸𝑛 = 2𝑚 ( 2𝑎 ) (solutions du puits infini). 𝑎√2𝑚𝑉𝑜 ℏ < 𝜋 2 ; 7) plus 𝑉𝑜 6 4) Puits rectangulaire infini tridimensionnel On considère une particule de masse m dans le puits de potentiel rectangulaire infini tridimensionnel : 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 pour 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎; 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏; 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑑 avec 𝑎 > 𝑏 > 𝑑 et 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∞ sinon. On donne l’équation de Schrödinger en régime stationnaire à trois dimensions : − ℏ2 2𝑚 𝑑2 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧) ( 𝑑𝑥 2 + 𝑑2 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑑𝑦 2 + 𝑑2 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧) 𝑑𝑧 2 ) + 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸𝑜 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) . 𝑛 𝜋𝑥 𝑛 𝜋𝑦 𝑛 𝜋𝑧 1) Montrer que 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐴𝑠𝑖𝑛 ( 1𝑎 ) 𝑠𝑖𝑛 ( 2𝑏 ) 𝑠𝑖𝑛 ( 3𝑑 ) où A est une constante et 𝑛𝑖 ∈ ℕ est bien une fonction d’onde stationnaire. Quelle est l’énergie 𝐸𝑛1 𝑛2 𝑛3 de cet état ? 2) Donner l’énergie 𝐸1 du niveau fondamental ainsi que 𝐸2 du premier niveau excité.