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PUITS DE POTENTIEL-ETATS LIES
Mécanique quantique : A ce stade, la quantification de l’énergie d’un objet quantique n’est toujours
pas apparue lors de la résolution de l’équation de Schrödinger. C’est maintenant le moment.
Pour les états de diffusion étudiés précédemment, toute énergie supérieure au minimum d’énergie
potentielle pouvait être affectée à la particule. Il était possible d’exhiber un état stationnaire lui
correspondant.
Nous allons maintenant considérer des états liés. Ils ne permettent pas à la particule de s’en aller à
l’infini. Nous constaterons alors que les conditions aux limites imposées à la fonction d’onde
entraînent la quantification de l’énergie.
I-
Particule dans un puits de potentiel infini.
C’est un modèle fort. Il conduit à des calculs simples et permet d’obtenir de bons ordres de grandeur.
i-
Le potentiel
Pour 0<x<L, V=0. V est infini sinon.
Possibilité de paramétrer le puits en mettant l’origine au centre
Essayer après avoir étudié ce paragraphe
ii-
La fonction d’onde
Elle est nulle dans les zones I (x<0) et III (x>L) où le potentiel est infini.
Dans la zone II, de potentiel nul, l’équation de Schrödinger s’écrit :
ℏ2 𝑑2 𝜓(𝑥)
−
= 𝐸𝜓(𝑥)
2𝑚 𝑑𝑥 2
Posons comme d’habitude 𝑘 =
√2𝑚𝐸
, homogène
ℏ
à un vecteur d’onde.
Il est commode de choisir ici une expression de la solution dans une base en sinus et
cosinus
𝜓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥)
On peut préférer privilégier les exponentielles complexes.
Essayer après avoir étudié ce paragraphe!
iii-
Les conditions aux limites et leurs conséquences.
Le potentiel aux frontières étant infini, la seule condition imposée à la fonction d’onde
est sa continuité en x=0 et x=L. La dérivée première par rapport à x peut présenter une
discontinuité finie.
La nullité de la fonction d’onde en x=0 donne B=0.
La nullité en x=L impose 𝑘𝐿 = 𝑛𝜋 car si l’on impose A=0, il n’y a plus de fonction d’onde
du tout.
Comme 𝐸 = (ℏ𝑘)2 /2𝑚, cela impose la quantification de l’énergie.
𝜋 2 ℏ2
ℎ2
2
𝐸𝑛 = 𝑛2
=
𝑛
2𝑚𝐿2
8𝑚𝐿2
Pour n=0, E=0 et 𝜓 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ne peut pas vérifier les conditions aux limites.
Pour n=1, on obtient donc l’état d’énergie minimale que l’on nomme le fondamental.
Pour n>1, on obtient 𝐸𝑛 = 𝑛2 𝐸1 qui montre que les niveaux d’énergie ne sont pas
équidistants.
L’énergie correspondant au fondamental, soit la plus basse énergie possible dans le
puits, est appelée énergie de confinement. Son ordre de grandeur peut se déduire
directement de l’inégalité de Heisenberg.
𝐿

La particule est partiellement localisée : Δ𝑥 = 2

L’inégalité de Heisenberg permet de calculer quantité de mouvement minimale
ℏ
Δp = 𝐿

iv-
On en déduit une énergie minimale qui a l’ordre de grandeur de 𝐸1
(Δ𝑝)2
𝑝2
ℏ2
=
=
2𝑚
2𝑚
2𝑚𝐿2
Normalisation des états stationnaires et représentation graphique.
La condition de normalisation de l’état d’énergie 𝐸𝑛 s’écrit
𝐿
𝑛𝜋𝑥
∫ 𝐴2𝑛 𝑠𝑖𝑛2
𝑑𝑥 = 1
𝐿
0
Un calcul simple, consistant à retenir une fonction d’onde réelle avec 𝐴𝑛 > 0, conduit à
2
𝐴𝑛 = √𝐿 . 𝐴𝑛 indépendant de n.
On en déduit les représentations graphiques souhaitées de 𝜓𝑛 et 𝜌𝑛 .
Pour ces états stationnaires, la fonction d’onde étant réelle, l’expression du courant de
probabilité rappelée ci-dessous montre clairement la nullité du courant.
1
𝜕𝜓(𝑥, 𝑡) ∗
⃗⃗⃗
𝐽𝑝 =
[ℜ𝑒 (−𝑖ℏ
𝜓 (𝑥, 𝑡))]𝑢
⃗⃗⃗⃗𝑥
𝑚
𝜕𝑥
Reprendre tout cela à titre d’exercice en plaçant l’origine au milieu du puits. On voit
apparaître des états symétriques pour n impair et antisymétriques pour n pair.
II-
Généralités sur les états liés.
 La partie spatiale de la fonction d’onde des états stationnaires peut être choisie
réelle. En effet
𝐸



si Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝜓(𝑥)𝑒 −𝑖 ℏ 𝑡 est solution de l’ES, 𝜓(𝑥) est solution de 𝐻𝜓 = 𝐸𝜓
Considérons alors le conjugué de l’équation de Schrödinger.
En simplifiant par le terme temporel, on voit que 𝜓 ∗ (𝑥) vérifie aussi 𝐻𝜓 = 𝐸𝜓
Leur demi-somme, soit un réel, vérifie cette même équation linéaire.
On peut donc choisir d’exprimer les fonctions d’onde spatiales des états liés sur
une base de fonctions réelles
Le courant de probabilité correspondant à cette fonction réelle est donc
visiblement nul. (formule ci-dessus)
L’état de repos est incompatible avec les relations de Heisenberg. Si la largeur du
puits est connue, on peut en déduire l’ordre de grandeur de l’énergie de
confinement. C’est l’énergie minimale d’une particule dans le puits. Un exemple
de calcul est proposé en exercice pour l’oscillateur harmonique.
La connaissance de l’ordre de grandeurs des dimensions pour un noyau, un
atome, une molécule, une nanostructure permet de calculer les ordres de
grandeurs des énergie de confinement, soit celui des énergies accessibles, soit
celui des photons émis ou absorbés lors des transitions.
III-
Puits de profondeur finie
 Le modèle est moins grossier que le précédent.
 A largeur du puits égale, la particule est moins bien localisée que dans le cas du
puits infini. En conséquence, l’énergie de confinement est plus faible.
 Pour mieux profiter des symétries et invariances, on placera l’origine au milieu
du puits.
 La suite se traite parfaitement sous forme d’exercice qui montre l’intérêt des
états symétriques et anti-symétriques.
Exercice sur puits fini.
IV-
Double puits. Effet tunnel entre les deux puits.



La lecture des pages à du document 92 à 97 ci-dessous est édifiante.
Cours Dalibard
Un exercice est proposé sur la feuille de TD
L’animation (université Colorado) est parlante
V-
Puits multiples.
 Ils sont une modélisation forte de potentiels périodiques observés dans des
solides par exemple. Si la périodicité est l alors V(x-l) = V(x)=V(x+l).
 Pour une chaîne infinie de puits, la densité de probabilité doit dans ce cas être
invariante par translation de l, ce qui amène à rechercher la fonction d’onde sous
la forme 𝜓(𝑥) = 𝑒 𝑖𝑞𝑥 𝑢(𝑥) où u(x) est périodique de période l. (Le terme de
phase disparait avec son conjugué dans la densité de probabilité).
 Les conditions de continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée première en
deux positions distantes de l conduisent aux énergies possibles.
 On observe des bandes d’énergie permises et des bandes d’énergie interdites.
Les bandes permises sont remplies en accord avec la règle de Pauli. C’est la base
pour l’étude de la conduction de l’électricité dans les solides (métaux, semiconducteurs, composites)