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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
2
Plan du cours
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
3
Plan du cours
Cours de Mathématiques - ASINSA-1
Systèmes d’équations
linéaires et déterminant
1
Systèmes d’équations linéaires
1
Systèmes d’équations linéaires
2
Un outil pratique : le déterminant
2
Un outil pratique : le déterminant
3
Étude de l’ensemble des solutions
3
Étude de l’ensemble des solutions
4
Résolution d’un système de Cramer
4
Résolution d’un système de Cramer
5
Résolution dans le cas général
5
Résolution dans le cas général
Frédéric STURM
Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon
Année académique 2011-2012
F. STURM, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
4
Définition
F. STURM, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon
Cours de Mathématiques - Première Année ASINSA
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
5
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Définition (compléments)
Une solution du système est un p-uplet (x1 , . . . , xp ) ∈
qui vérifie les n équations du système.
Définition 1.1
On appelle système rectangulaire de type (n, p) ou n × p :

a11 x1 + . . . + a1p xp = b1



 a21 x1 + . . . + a2p xp = b2
(S)
..

.



an1 x1 + . . . + anp xp = bn
b1 = b2 = . . . = bn = 0.
Deux systèmes linéaires sont équivalents s’ils ont le même
ensemble de solutions.
Un système peut aussi avoir moins d’équations que
d’inconnues : n < p (système sousabondant). C’est le cas
du système 3 × 5 suivant :

 2x1 − 3x2 + x3 + 6x4 − 6x5 = 3
2x1 − 2x2 + 2x3 + 4x4 − 6x5 = 4

−2x1 + 4x2 + x3 − 8x4 + 3x5 = 0
Remarque
Un système homogène de type (n, p) admet toujours au moins
une solution. C’est le vecteur
les coefficients aij ∈ K, 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 p,
les seconds membres bi ∈ K, 1 6 i 6 n.
(0, 0, . . . , 0) ∈ Kp
On appelle rang du système le rang de A = (aij )16i6n,16j6p .
qualifié de solution banale ou triviale.
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Enfin, un système peut avoir autant d’équations que
d’inconnues : n = p (système carré). C’est le cas du
système 3 × 3 suivant :

= m
 x1 + x2
x2 + x3 = 2

x1 + 2x2 + x3 = 3
Nous verrons que ce système n’admet aucune solution si
m 6= 1. Il en admet une infinité si m = 1 :
(x1 , x2 , x3 ) = (−1 + x3 , 2 − x3 , x3 ) avec x3 ∈ R.
ATTENTION Ce n’est pas parce qu’un système possède autant d’équations que d’inconnues qu’il possède nécessairement une solution. Le « bon » critère
porte non pas sur la taille du système mais sur son
rang.
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Cours de Mathématiques - Première Année ASINSA
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
8
Interprétation matricielle
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Plan du cours
Le système (S) s’écrit sous la forme matricielle suivante :
(EM) AX = B.
Les données sont A et B. L’inconnue est X :





b1
a11 · · · a1p
 b2 
 a21 · · · a2p 





A= .
..  , B =  ..  et X = 
..
 . 
 ..
.
. 
bn
an1 · · · anp

x1
..  .
. 
xp
1
Systèmes d’équations linéaires
2
Un outil pratique : le déterminant
3
Étude de l’ensemble des solutions
4
Résolution d’un système de Cramer
5
Résolution dans le cas général
L’équation (EM) s’écrit aussi sous la forme matricielle :
(EM′ )
x1 C1 + x2 C2 + . . . + xp Cp = B
où C1 , C2 , . . . , Cp désignent les colonnes de A.
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6
Un système peut avoir plus d’équations que d’inconnues :
n > p (système surabondant). C’est le cas du système
4 × 3 suivant :

−x1 + x2 − 5x3 = −7



2x1 − x2 − x3 =
4
3x1 − 2x2 + 4x3 = 11



3x1 + 4x2 − 2x3 = 11
Kp
Un système est dit homogène si
où les inconnues sont les scalaires x1 , . . . , xp ∈ K et où les
données sont :
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
10
Le déterminant d’un système 2 × 2
a11 a12
a21 a22
x1
x2
=
b1
b2
xe1 =
.
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
det(αC1 + βC′1 , C2 ) = α det(C1 , C2 ) + β det(C′1 , C2 ).
On dit que le déterminant est linéaire par rapport à sa
première colonne.
a b − b1 a21
b1 a22 − a12 b2
et xe2 = 11 2
.
a11 a22 − a12 a21
a11 a22 − a12 a21
Le déterminant est aussi linéaire par rapport à sa
deuxième colonne. On dit alors que le déterminant est une
forme bilinéaire.
not.
Soient C1 , C2 appartenant à M2,1 (K).
det(B, C2 )
det(C1 , B)
xe1 =
et xe2 =
.
det(C1 , C2 )
det(C1 , C2 )
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13
C1 = C2
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
14
(S3×3 )
Pour tous C1 , C2 appartenant à M2,1 (K),


On dit que le déterminant est antisymétrique.
Pour tous C1 , C2 appartenant à M2,1 (K) et pour tout γ ∈ K,
det(C1 + γC2 , C2 ) = det(C1 , C2 ),


 

b1
 x1

 x2  =  b2  .

x3
b3
(C1 ∧ C2 ) · C3 = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
x1 C1 + x2 C2 + x3 C3 = B
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Le déterminant du système 3 × 3 est l’élément de K défini par :
a
11 a12 a13 not. déf.
det(A) = a21 a22 a23 = (C1 ∧ C2 ) · C3 .
a31 a32 a33 Conséquence
Si det(A) 6= 0 alors il existe un unique triplet (xe1 , xe2 , xe3 ) solution
du système 3 × 3. En effet,
xe1 =
(C1 ∧ B) · C3
(C1 ∧ C2 ) · B
(B ∧ C2 ) · C3
, xe2 =
, xe3 =
.
(C1 ∧ C2 ) · C3
(C1 ∧ C2 ) · C3
(C1 ∧ C2 ) · C3
xe1 =
det(B, C2 , C3 )
det(C1 , B, C3 )
det(C1 , C2 , B)
, xe2 =
, xe3 =
.
det(A)
det(A)
det(A)
not.
En notant det(A) = det(C1 , C2 , C3 ), on a :
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16
−a31 a22 a13 − a21 a12 a33 − a11 a32 a23 .
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
17
Règle de Sarrus
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Propriétés (forme trilinéaire alternée)
Pour se souvenir de la formule :
déf.
det(A) = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
−a31 a22 a13 − a21 a12 a33 − a11 a32 a23 ,
on peut utiliser la disposition pratique suivante :
a11
a12 a13
a13 a11
a12
ց
ր
ր
ր
ց
ց
a21
a22 a23
a23 a21
a22
ց
ց
ր
ց
ր
ր
a
a32 a33
a33 a31
a32
31
et on convient que :
les flêches descendantes (ց) correspondent aux termes
précédés du signe positif ;
les flêches montantes (ր) correspondent aux termes
précédés du signe négatif.
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15
Rappelons que :
avec C1 , C2 et C3 les trois colonnes de A.
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
On obtient enfin :
h
i
x3 (C3 ∧ C1 ) · C2 = (B ∧ C1 ) · C2 .
|
{z
}
{z
}
|
= (C1 ∧ C2 ) · C3
= (C1 ∧ C2 ) · B
Commençons par récrire le système sous la forme
det(C1 , C2 + γC1 ) = det(C1 , C2 ).
Cours de Mathématiques - Première Année ASINSA
On obtient aussi :
h
i
x2 (C2 ∧ C1 ) · C3
= (B ∧ C1 ) · C3 .
|
{z
}
{z
}
|
= −(C1 ∧ C2 ) · C3
= −(C1 ∧ B) · C3
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3
d’écriture matricielle :

a11 a12 a13

 a21 a22 a23


a31 a32 a33
det(C2 , C1 ) = −det(C1 , C2 ).
det(C1 , C2 ) = 0.
Manipulons cette égalité vectorielle.
On obtient :
h
i
x1 (C1 ∧ C2 ) · C3 = (B ∧ C2 ) · C3 .
On considére le système 3 × 3 suivant :


 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
Soient C1 , C2 appartenant à M2,1 (K).
∃γ ∈ K C2 = γ C1 =⇒ det(C1 , C2 ) = 0.
=⇒
On dit que le déterminant est une forme alternée.
Le déterminant d’un système 3 × 3
Conséquences
12
Soit C2 ∈ M2,1 (K). Pour tous C1 , C′1 dans M2,1 (K) et pour
tous α, β dans K,
En notant det(A) = det(C1 , C2 ), on a :
Manipulons ce système. On obtient le système suivant :
(
(a11 a22 − a12 a21 ) x1 = b1 a22 − a12 b2
.
(a11 a22 − a12 a21 ) x2 = a11 b2 − b1 a21
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Propriétés (forme bilinéaire alternée)
Conséquence
Si det(A) 6= 0 alors il existe un unique couple (xe1 , xe2 ) ∈ K2
solution du système 2 × 2. En effet,
d’écriture matricielle :
11
Le déterminant du système 2 × 2 est l’élément de K défini par
a
a12 déf.
not.
= a11 a22 − a12 a21 ∈ K.
det(A) = 11
a21 a22 On considère le système 2 × 2 suivant :
(
a11 x1 + a12 x2 = b1
(S2×2 )
a21 x1 + a22 x2 = b2
!
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Cours de Mathématiques - Première Année ASINSA
Soient C2 , C3 dans M3,1 (K). Pour tous C1 , C′1 dans M3,1 (K)
et α, β dans K2 ,
det(αC1 +βC′1 , C2 , C3 ) = α det(C1 , C2 , C3 )+β det(C′1 , C2 , C3 ).
Le déterminant est linéaire par rapport à sa 1ère colonne.
Le déterminant est aussi linéaire par rapport à sa 2ème
colonne et à sa 3ème colonne. On dit que le déterminant
est une forme trilinéaire.
Soient C1 , C2 , C3 appartenant à M3,1 (K).
C1 = C2 ou C1 = C3 ou C2 = C3 =⇒ det(C1 , C2 , C3 ) = 0.
On dit alors que le déterminant est une forme alternée.
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18
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
19
Conséquences
Le déterminant ne change pas lorsque l’on ajoute à l’une
des colonnes une combinaison linéaire des deux autres
colonnes. Par exemple, pour tous C1 , C2 , C3 dans M3,1 (K)
et γ1 , γ2 dans K,
det(C1 , C2 , C3 + γ1 C1 + γ2 C2 ) = det(C1 , C2 , C3 ).
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22
Déterminant d’une matrice carrée
déf.
det(A) =
n h
X
i=1
Par convention, si n = 1, c’est-à-dire si A = (a11 ), alors
déf.
det(A) = a11 .
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
25
En développant par rapport à la deuxième ligne, on a :
0
(−) 1 (+) 6(−) 9(+) 1 6 9 0 6 9 2
−7
0
0
= −2 3 1 3 − 7 1 1 3 .
1
3
1
3
2 6 5 5 6 5 5
2
6
5
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23
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
24
Soit n un entier naturel non nul.
det(In ) = 1.
Soit A une matrice carrée d’ordre n sur K. A est inversible
si, et seulement si, det(A) 6= 0.
Pour tous A, B ∈ Mn (K), det(A × B) = det(A) × det(B).
En particulier, si A est inversible alors
det(A−1 ) =
Si tous les éléments d’une rangée d’une matrice sont nuls
alors son déterminant est nul. Par exemple,
2 2 0 2 2 0 0 0 0 = 0 = 12 1 0 .
3 0 0 3 0 1 Si l’on permute deux rangées parallèles d’une matrice
alors son déterminant change de signe. Par exemple,
0 2 0 2
0 0 5 −1 2 = − −1 5 2 ,
0 3 1 3
0 1 2
5 −1 2 0 0 5 −1 2 = − 2
0 0 .
3
0 1
3
0 1 Cours de Mathématiques - Première Année ASINSA
1
.
det(A)
Pour tout A ∈ Mn (K), det(A) = det(AT ).


1 0
1 1 0
1
0 1 −1 6= 0, d’où  0 1 −1  est inversible.
1 0
0 1 0
0
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
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3 h
i
X
(−1)i+1 ai1 det A(i,1)
Proposition 2.1
Règles de calcul
Puisque le déterminant d’une matrice et celui de sa matrice
transposée sont égaux, on peut aussi développer le
déterminant suivant n’importe quelle ligne. Par exemple, en
développant par rapport à la première ligne, on a :
(+)
2
0(−) 0(+) = 2 −1 2 = −2.
5
−1 2
0 1 3
0
1
a13 .
a23 On a développé le déterminant par rapport à sa 1ère colonne.
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Le calcul d’un déterminant est indépendant du choix de la
colonne par rapport à laquelle on effectue le développement.
Par exemple,
2(+)
0 0 −1 2 (−)
− 5 0 0 + 3 0 0 .
−1 2 = 2 5
0 1 −1 2 0 1 (+)
3
0 1 2
0(−) 0 2 0 = −2.
5 −1(+) 2 = − 3 1 (−)
3
0
1
où j prend une valeur quelconque entre 1 et n, et où A(i,j)
est une matrice carrée d’ordre n − 1 sur K. Elle s’obtient
en supprimant dans A la i-ième ligne et la j-ième colonne.
a
a13 +a31 12
a22
a33
où
est la matrice carrée d’ordre 2 obtenue en supprimant
dans A la i-ième ligne et la 1ère colonne. Cette remarque
motive la définition du déterminant d’ordre n sous forme
récurrente.
On utilise aussi la notation : det(A) = det(C1 , C2 , · · · , Cn )
où C1 , C2 , . . . , Cn désignent les colonnes de A.
i
(−1)i+j aij det A(i,j)
a
a23 −a21 12
a32
a33
i=1
not.
Le déterminant de A est défini par récurrence sur n par
= a11 a22
a32
A(i,1)
Remarque
Définition 2.1
Soit A une matrice carrée d’ordre n sur K.
a11 (+) a12 a13
a21 (−) a22 a23
a31 (+) a32 a33
det(A) =
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
21
Utilisant une écriture plus concise,
+a31 (a12 a23 − a22 a13 ).
Or, d’après ce qui précède,
a22 a23 a32 a33 = a22 a33 − a32 a23 ,
a12 a13 a32 a33 = a12 a33 − a32 a13 ,
a12 a13 a22 a23 = a12 a23 − a22 a13 .
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
On a donc obtenu que :
= a11 (a22 a33 − a32 a23 ) − a21 (a12 a33 − a32 a13 )
Si l’on permute deux colonnes parmi les trois, alors le
déterminant change de signe. Par exemple, pour tous
C1 , C2 , C3 dans M3,1 (K),
det(C1 , C2 , C3 ) = −det(C3 , C2 , C1 ) = − −det(C2 , C3 , C1 ) .
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
20
Un déterminant d’ordre 3 peut se décomposer en une
combinaison linéaire de 3 déterminants d’ordre 2. Par exemple,
a
11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23
a31 a32 a33 −a31 a22 a13 − a21 a12 a33 − a11 a32 a23
Si une des colonnes est combinaison linéaire des deux
autres alors le déterminant est nul. Par exemple, pour tous
C1 , C2 , C3 dans M3,1 (K),
∃(γ1 , γ2 ) ∈ K2 C3 = γ1 C1 +γ2 C2 =⇒ det(C1 , C2 , C3 ) = 0.
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
26
Cours de Mathématiques - Première Année ASINSA
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Si deux rangées parallèles d’une matrice sont égales alors
son déterminant est nul. Par exemple,
2 2 0 7 2 0 5 5 2 = 0 et 9 4 1 = 0.
3 3 1 7 2 0 Si l’on multiplie par α ∈ K tous les éléments d’une rangée
alors son déterminant est multiplié par α. Par exemple,
3 1 1 1 1 1 12 4 4 3 1 0 = 4 3 1 0 = 4 × 3 1 1 0 .
3 0 1 1 0 1 3 0 1 En particulier,
∀α ∈ K ∀A ∈ Mn (K)
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det(αA) = αn det(A).
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27
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
28
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
1+i
1 −32i
3
1+i
3
car C1 + 2 C2 = C3 .
Le déterminant ne change pas lorsque l’on ajoute à une
rangée une combinaison linéaire des autres rangées
parallèles (et uniquement des autres rangées parallèles).
Par exemple,
1 1 1 1 1 4 1 1 0 = 1 1 3 1 0 1 1 0 3 1 − 2i
3
1+i
3
1+i
3
1+i
3
1+i
3
1 − 2i
3
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
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31
Interprétation vectorielle
f (~x ) = ~b.
l’application linéaire f : Kp −→ Kn canoniquement
associée au système,
le vecteur ~b = (b1 , b2 , . . . , bn ) de Kn .
L’ensemble des solutions de (EV) est défini par
o
n
déf.
S = ~x ∈ Kp | f (~x ) = ~b .
Un outil pratique : le déterminant
3
Étude de l’ensemble des solutions
4
Résolution d’un système de Cramer
5
Résolution dans le cas général
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
32
Nous avons vu qu’une équation homogène n’est jamais
impossible (elle admet toujours ~0Kp pour solution).
Et si elle n’est pas homogène ?
Proposition 3.1
Soit ~b un vecteur de F .
Si ~b ∈
/ Im f alors S = ∅.
Si ~b ∈ Im f (l’équation (EV) est dite compatible) alors
S = ~x 0 + ~x part | ~x 0 ∈ Ker f
où ~x part est une solution particulière de (EV), c’est-à-dire :
~x part ∈ Kp
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
... et résumons-nous !
35
et f (~x part ) = ~b.
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Plan du cours
not.
Remarque : si on note r = rg f alors dimK (Ker f ) = p − r .
Supposons qu’il existe une solution particulière ~x part .
Supposons r = p (c’est-à-dire : dimK (Kerf ) =0).
Il n’y a alors qu’une seule solution : S = ~x part .
Supposons r < p (c’est-à-dire : dimK (Ker f ) > 1). Notons
~ 1, . . . , v
~ p−r ) une base de Ker f . Pour tout ~x ∈ S,
BKer f = (v
∃ ! (α1 , . . . , αp−r ) ∈ Kp−r
~x = ~x part +α1 v
~ 1 + . . . + αp−r v
~ p−r .
|
{z
}
∈ Ker f
Par conséquent, la forme générale d’une solution dépend
de p − r paramètre(s).
Il y a donc une infinité de solutions puisque p − r > 0.
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33
Discussion sur les solutions
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34
30
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
~y = (x1 + x2 , x2 + x3 , x1 + 2x2 + x3 ).
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
2
et l’équation vectorielle : f (~x ) = ~b où ~x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ,
~b = (m, 2, 3) ∈ R3 et f : ~x ∈ R3 7−→ ~y ∈ R3 avec
Nota bene : si ~b = ~0Kn alors S = Ker f 6= ∅.
Discutons un peu...
Systèmes d’équations linéaires
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l’équation matricielle :

 


m
x1
1 1 0
 0 1 1   x2  =  2 
3
1 2 1
x3
L’inconnue est le vecteur ~x = (x1 , . . . , xp ) de Kp .
1
Cours de Mathématiques - Première Année ASINSA
Soit m ∈ R. On a équivalence entre le système réel 3 × 3 :

= m
 x1 + x2
x2 + x3 = 2 ,

x1 + 2x2 + x3 = 3
Les données sont :
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1 + i −3i
0 1 1 − 2i
3i
3i =
27 1+i
0 −3i 1 + i −3i
0 1 2−i
3i
0 =
27 1+i
0 −3i 3i 1 + i −3i = − = 1.
3i 27 2 − i
Exemple 3.1
Le système (S) peut s’écrire sous la forme vectorielle :
(EV)
1 + i 1 − 2i 1 + i
1 1 − 2i 1 + i 1 + i
27 1 + i 1 + i 1 − 2i
=
avec C3 ← C3 + 2C1 + C2 .
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Plan du cours
Exemple 2.1
Si une rangée est combinaison linéaire des rangées
parallèles alors son déterminant est nul. Par exemple,
2
0 2 5 −1 3 = 0
3
0 3 F. STURM, Pôle de Mathématiques, INSA de Lyon
29
En résumé, une équation vectorielle peut
ne possèder aucune solution ; c’est le cas si
~b 6∈ Im f ;
1
Systèmes d’équations linéaires
2
Un outil pratique : le déterminant
3
Étude de l’ensemble des solutions
4
Résolution d’un système de Cramer
5
Résolution dans le cas général
posséder une solution unique ; c’est le cas si
~b ∈ Im f et Ker f = {~0Kp };
en posséder une infinité ; c’est le cas si
~b ∈ Im f et Ker f 6= {~0Kp }.
Il n’y a pas d’autres cas de figure !
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
37
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Définition d’un système de Cramer
Interprétation vectorielle d’un système de Cramer
L’application linéaire f : Kn −→ Kn est bijective :
Définition 4.1
Un système linéaire de type (n, p) est dit de Cramer s’il
possède autant d’équations que d’inconnues (n = p) et si le
rang r du système vérifie :
Un système de Cramer est un système de la forme :

a11 a12 · · ·
a11 x1 + . . . + a1n xn = b1



a21 a22 · · ·
 a21 x1 + . . . + a2n xn = b2
avec .
..
..
..

..
.
.
.



an1 an2 · · ·
an1 x1 + . . . + ann xn = bn
ann
39
Proposition 4.1
Un système de Cramer possède une solution et une seule.
Ainsi, pour tout vecteur ~b de Kn , il existe une unique
e ∈ Kn . On a :
solution ~x
Gabriel Cramer
(1704, Genève - 1752, Bagnols-sur-Cèze)
e ) = ~b ⇐⇒ ~x
e = f −1 (~b).
f (~x
a1n
a2n
..
.
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
f ∈ GLK (Kn ).
r = n = p.
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38
Interprétation matricielle d’un système de Cramer
La matrice A carrée d’ordre n est inversible :
6= 0.
Les coordonnées xe1 , xe2 , . . . , xen de l’unique solution d’un
e = B sont :
système de Cramer d’équation matricielle AX
A ∈ GLn (K).
Ainsi, pour tout B ∈ Mn,1 (K), il existe une unique solution
e ∈ Mn,1 (K). On a :
X
∀j ∈ {1, 2, . . . , n} xej =
e = B ⇐⇒ X
e = A−1 B.
AX
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Proposition 4.2 (Formules de Cramer)
40
où C1 , C2 , . . . , Cn désignent les colonnes de la matrice A.
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
det C1 , . . . , Cj−1 , B, Cj+1 , . . . , Cn
det(A)
41
Plan du cours
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
42
Méthode de Gauss
Exemple 4.1
Considérons dans R le système 3 × 3 d’équation matricielle :


  
1
0 −1
x1
1
 0 −1
1   x2  =  1 
−1
2
0
1
x3
C’est un système de Cramer car son déterminant est non nul (il
vaut −1). Son unique solution est (xe1 , xe2 , xe3 ) ∈ R3 avec
˛
˛ 1
˛
˛ 1
˛
˛ 1
xe1 = ˛
˛ 1
˛
˛ 0
˛
˛ −1
0
−1
2
0
−1
2
˛
−1 ˛˛
1 ˛˛
0 ˛
˛
˛ 1
˛
˛ 0
˛
˛ −1
˛ , xe2 = ˛
˛ 1
−1 ˛˛
˛
˛ 0
1 ˛˛
˛
˛ −1
0 ˛
1
1
1
˛
−1 ˛˛
1 ˛˛
0 ˛
0
−1
2
˛
˛ 1
˛
˛ 0
˛
˛ −1
˛ , xe3 = ˛
˛ 1
−1 ˛˛
˛
˛ 0
1 ˛˛
˛
˛ −1
0 ˛
0
−1
2
0
−1
2
˛
1 ˛˛
1 ˛˛
1 ˛
˛.
−1 ˛˛
1 ˛˛
0 ˛
On obtient xe1 = 5, xe2 = 3 et xe3 = 4.
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Systèmes d’équations linéaires
2
Un outil pratique : le déterminant
3
Étude de l’ensemble des solutions
4
Résolution d’un système de Cramer
5
Résolution dans le cas général
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Un peu d’Histoire !
1
43
Qu’est-ce que la méthode de Gauss ? C’est une méthode de
résolution systématique d’un système linéaire de type (n, p) :

a x + a12 x2 + . . . + a1p xp = b1


 11 1

a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2p xp = b2
(S)
..

.



an1 x1 + an2 x2 + . . . + anp xp = bn
avec, a priori, aucune condition ni sur l’entier n, ni sur l’entier p
(il faut, bien sûr, n > 1 et p > 1). On procède en trois étapes :
une étape d’élimination,
2
suivie d’une étape de discussion,
3
suivie (éventuellement) d’une étape de remontée.
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
1
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Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Étape d’élimination
Exemple 5.1
La méthode est due à
But : écrire le système (S) sous une forme échelonnée.
Karl Friedrich Gauss
Opérations utilisées : elles sont identiques à celles utilisées
dans la méthode des zéros échelonnés :
Multiplication de l’équation Ek par un scalaire α ∈ K∗ :
(1777, Brunswick - 1855, Göttingen)
Ek ←− αEk avec α ∈ K∗ .
En fait, la paternité de la méthode revient à
Addition à une équation d’un multiple d’une autre :
Ek ←− Ek + βEk ′ avec β ∈ K.
Liu Hui
(220, Chine - 280, Chine)
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Échange d’équations : Ek ←→ Ek ′ .
Échange de colonnes : Ck ←→ Ck ′ .
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Soit m ∈ R. Considérons dans R le système 3 × 3 suivant :

= m
 x1 + x2
x2 + x3 = 2 .
(S)

x1 + 2x2 + x3 = 3
Effectuons à partir du système (S) l’opération élémentaire
E3 ←− E3 − E1 , puis E3 ←− E3 − E2 . On obtient le système
échelonné :

=
m
 x1 + x2
′
x2 + x3 =
2 .
(S )

0 = 1−m
Le système (S′ ) est équivalent au système (S). Ici r = 2.
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45
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
46
(S′ )
0 =
..
.
br′ +1
0 =
bn′
x1′ = x1 ,
x2′ = x2 ,
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...,
S’il existe i ∈ {r + 1, . . . , n} tel que 6= 0 alors l’égalité
« 0 = bi′ » est absurde. Le système n’est pas compatible :
2
Si = 0 pour tout i ∈ {r + 1, . . . , n} alors le système est
6 ∅) : il existe au moins une solution (c’est
compatible (S =
un vecteur de Kp ) qui dépend de p − r paramètre(s).
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49
Les inconnues sont à présent les scalaires x1′ , x2′ , . . . , xr′ .
Ce sont les inconnues principales. Le système (S′′ ) est de
Cramer.
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Remarque
Reprenons l’exemple précédent. Soit m = 1 (S =
6 ∅).
Remplaçons (S′ ) par le système suivant :
x1 + x2 = 1
(S′′ )
x2 = 2 − x3
Si r = n alors le système échelonné équivalent (S′ ) s’écrit :
 ′ ′
′ x ′ + . . . + a′ x ′ + . . . = b ′
a11 x1 + a12

2
1n n
1



′
′ x ′ + . . . = b′

a22 x2′ + . . . + a2n
n
2
′
(S )
..
..

.

.



′ x ′ + . . . = b′
ann
n
n
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52
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Exemple 5.3
Remarquons qu’il n’y a pas d’égalité de la forme « 0 = bi′ » !
Cela traduit le fait que le système est nécessairement
compatible. Il y a donc au moins une solution, c’est-à-dire
une seule ou une infinité.
L’étape de discussion est donc ici inutile. On peut passer
directement à l’étape de remontée.
avec ~x part = (−1, 2, 0) et Ker f = R(1, −1, 1).
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50
L’ensemble des solutions s’écrit ainsi :
S = ~x 0 + ~x part | ~x 0 ∈ Ker f
À l’issue de cette étape de remontée, les inconnues principales
x1′ , x2′ , . . . , xr′ s’expriment en fonction de xr′+1 , . . . , xp′ .
Discussion : le système est compatible. Il y a au moins une
solution qui dépend de 5 − 3 = 2 paramètres. Il y a donc
une infinité de solutions.
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
(x1 , x2 , x3 ) = (−1 + x3 , 2 − x3 , x3 ) avec x3 ∈ R.
On résout ensuite (S′′ ) en partant de la dernière équation,
puis en remontant jusqu’à la première équation.
Étape d’élimination : elle conduit au système échelonné
équivalent (r = 3) :

 2x1 − 3x2 + x3 + 6x4 − 6x5 = 3
x2 + x3 − 2x4
= 1

x3
− 3x5 = 2
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d’inconnues x1 , x2 et paramétré par x3 . On obtient : x2 = 2 − x3 ,
puis x1 = −1 + x3 . Une solution générale est un vecteur de R3
d’expression :
en supprimant les équations de la forme « 0 = 0 »,
en faisant passer aux seconds membres les xr′+1 , . . . , xp′ .
Considérons dans R le système 3 × 5 suivant :

 2x1 − 3x2 + x3 + 6x4 − 6x5 = 3
2x1 − 2x2 + 2x3 + 4x4 − 6x5 = 4

−2x1 + 4x2 + x3 − 8x4 + 3x5 = 0
Si m = 1 alors le système est compatible. Il y a au moins
une solution qui dépend de 3 − 2 = 1 paramètre. Il y a
donc une infinité de solutions.
r < p.
On commence par écrire le système (S′′ ) obtenu à partir
du système échelonné (S′ )
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Si m 6= 1 alors le système est incompatible. Il n’y a donc
pas de solution : S = ∅.
• Il y en a peut-être une infinité. C’est le cas si
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Étude d’un système sousabondant
Ici r = 2. Considérons les deux cas suivants :
r = p.
On procède en deux temps.
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bi′
• Cette solution est peut-être unique. C’est le cas si
Comment obtenir la (ou les) solution(s) ?
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48
Reprenons l’exemple précédent. Considérons donc le système
échelonné :

=
m
 x1 + x2
x2 + x3 =
2 .
(S′ )

0 = 1−m
S = ∅.
Étape de remontée
2
1
xp′ = xp .
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Exemple 5.2
bi′
arr′ xr′ + . . . = br′














47
Deux cas peuvent se produire :
′ , a′ , . . . , a′ sont tous non nuls
où les coefficients (pivots) a11
rr
22
et où (en l’absence de permutation des colonnes)
1
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Étape de discussion
À l’issue de l’étape d’élimination, nous nous retrouvons avec le
système (S′ ), échelonnée et équivalent à (S), de la forme :

′ x ′ + . . . + a′ x ′ + . . . = b ′

a′ x ′ + a12

2
1r r
1
 11 1

′
′
′
′
′


a

22 x2 + . . . + a2r xr + . . . = b2



.
.

..
..



C’est exactement le cas dans l’exemple qui suit !
Systèmes d’équations linéaires et déterminant
Étape de remontée : on résout le système :

 2x1 − 3x2 + x3 = 3 − 6x4 + 6x5
x2 + x3 = 1 + 2x4

x3 = 2 + 3x5
d’inconnues x1 , x2 et x3 et paramétré par x4 et x5 . On a :
x3 = 2 + 3x5 ,
x2 = −1 + 2x4 − 3x5 ,
x1 = −1 − 3x5 .
Une solution générale est un vecteur de R5 de la forme :
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = (−1−3x5 , −1+2x4 −3x5 , 2+3x5 , x4 , x5 )
où chacun des paramètres x4 et x5 parcourt R. L’ensemble
des solutions s’écrit ainsi :
avec ~x part = (−1, −1, 2, 0, 0)
S = ~x 0 +~x part | ~x 0 ∈ Ker f
et Ker f = Vect (0, 2, 0, 1, 0), (−3, −3, 3, 0, 1) .
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