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- LYCÉE L OUIS PAYEN Classe de TS
Cours J-L NEULAT
Mathématiques
Exercices de révisions
1 Nombres complexes
E XERCICE 1
(a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z 2 − 2z + 4 = 0. Les solutions seront
notées z ′ et z" , z ′ désignant la solution dont la partie imaginaire est positive. Donner les solutions
sous forme algébrique puis sous forme exponentielle.
¡ ¢2 007
(b) Donner la valeur exacte de z ′
sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
¡ − →
¢
2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct O; →
u ,−
v ; (unité graphique: 1 cm).
p
p
(a) Montrer que les points A d’affixe 1 + i 3 et B d’affixe 1 − i 3 sont sur un même cercle de centre 0
dont on précisera le rayon.
Tracer ce cercle, puis construire les points A et B.
1.
(b) Evaluer les angles du triangle O AB.
(c) Soit J le milieu du segment [OB]. Calculer la distance A J .
(d) Démontrer que trois fois la somme des carrés des côtés du triangle O AB est égal à 4 fois la somme
des carrés des trois médianes.
E XERCICE 2
¡ − →
¢
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O, →
u, −
v . On note i le nombre complexe tel que
i2 = −1. On considère le point A d’affixe z A = 1 et le point B d’affixe zB = i.
À tout point M d’affixe z M = x+iy, avec x et y deux réels tels que y 6= 0, on associe le point M ′ d’affixe z M ′ = −iz M .
On désigne par I le milieu du segment [AM]. Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point M n’appartenant
pas à (OA), la médiane (OI ) du triangle O AM est aussi une hauteur du triangle OB M ′ (propriété 1) et que B M ′ =
2OI (propriété 2).
π
1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend z M = 2e−i 3 .
(a) Déterminer la forme algébrique de z M .
p
(b) Montrer que z M ′ = − 3 − i. Déterminer le module et un argument de z M ′ .
¡ − →
¢
(c) Placer les points A, B, M, M ′ et I dans le repère O, →
u, −
v en prenant 2 cm pour unité graphique.
Tracer la droite (OI ) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l’aide du graphique.
2. On revient au cas général en prenant z M = x + iy avec y 6= 0.
(a) Déterminer l’affixe du point I en fonction de x et y.
(b) Déterminer l’affixe du point M ′ en fonction de x et y.
(c) Écrire les coordonnées des points I , B et M ′ .
(d) Montrer que la droite (OI ) est une hauteur du triangle OB M ′ .
(e) Montrer que B M ′ = 2OI .
2 ANALYSE : LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, INTÉGRALES, AIRES
2
E XERCICE 3
¡ − →
¢
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O; →
u ,−
v ; (unité graphique: 2 cm).
Soit A le point d’affixe 4. On note d la droite d’équation x = 4, privée du point A.
z −4
À tout point M, différent de A, d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que z ′ =
.
4−z
1.
(a) Soit B le point d’affixe 1 + 3i .
Déterminer l’affixe du point B ′ associé au point B. Placer les points B et B ′ sur une figure.
(b) Soit x un nombre réel différent de 4. On note R le point d’affixe x.
Déterminer l’affixe du point R ′ associé au point R. Placer R ′ sur la figure.
(c) Soit y un nombre réel non nul. On note S le point de d d’affixe 4 + i y.
Déterminer l’affixe du point S ′ associé à S. Placer S ′ sur la figure.
(d) Démontrer que z ′ = 1 si et seulement si M ∈ d.
2. Soit M un point n’appartenant pas à d, différent de A.
On se propose de déterminer une méthode de construction du point M ′ connaissant le point M.
(a) Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de 4, |z ′ | = 1.
(b) Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de 4 :
z′ − 1
∈R
z −4
Montrer que la droite (S ′ M ′ ) est bien définie et parallèle à la droite (AM).
(c) Déduire des questions 2.a. et 2.b., une construction géométrique du point M ′ connaissant le point
M. Appliquer cette méthode à la construction du point C ′ associé au point C d’affixe 2 + i .
E XERCICE 4
¡ − →
¢
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O; →
u ,−
v ; (unité graphique: 1 cm). Soient les
nombres complexes:
p
p
3+1
3−1
+i
et
zo = 6 + 6i d’image A o
a=
4
4
Pour tout n entier naturel non nul, on désigne par A n le point d’affixe zn , définie par zn = a n zo .
Partie A
1. Mettre z1 , et a 2 sous forme algébrique.
Écrire z1 sous forme exponentielle et montrer que a 2 =
1 iπ
e 6.
2
2. Exprimer z3 puis z7 en fonction de z1 et a 2 ; en déduire l’expression de z3 et z7 sous forme exponentielle.
3. Placer les points A o , A 1 , A 3 et A 7 images respectives des complexes zo , z1 , z3 et z7 .
Partie B
Pour tout n entier naturel, on pose |zn | = r n .
1. Montrer que, pour tout n de N, r n = 12
à p !n+1
2
.
2
2. En déduire que la suite (r n )n∈N est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
3. Déterminer la limite de la suite (r n ) et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
4. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que O A p 6 10−3 et donner alors une mesure de l’angle orienté
³ −−−→´
→
−
u , O Ap .
3
2 Analyse : logarithmes, exponentielles, intégrales, aires
E XERCICE 5
Soit f la fonction définie sur R par
2
f (x) = x + ln 4 + x
e +1
et (C) sa représentation graphique dans un repère du plan.
1. Déterminer la limite de f en +∞, et sa limite en −∞.
2. Calculer, pour tout réel x : f (x) + f (−x). Que peut-on en déduire pour le point A(0;1 + ln 4) ?
3. Étudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation.
4.
(a) Justifier que, pour tout réel m, l’équation f (x) = m admet une solution unique dans R.
(b) Déterminer un encadrement d’amplitude 10−1 de la solution a de l’équation f (x) = 3. justifier la
réponse.
(c) Pour quelle valeur de m le nombre −a est-il la solution de l’équation f (x) = m ?
5.
2e x
.
(a) Montrer que pour tout réel x : f (x) = x + 2 + ln 4 − x
e +1
(b) Montrer que la droite (∆) d’équation y = x + ln 4 et la droite (∆′ ) d’équation y = x + 2 + ln 4 sont des
asymptotes de la courbe (C).
Etudier la position de la courbe (C) par rapport à son asymptote (∆).
6. On considère un réel positif α.
(a) Que représente l’intégrale I (α) =
Zα
0
[ f (x) − x − ln 4] d x ?
¶
2e α
(b) Montrer que I (α) = 2ln α
.
e +1
(On pourra utiliser le résultat de la question 5.a.).
µ
(c) Calculer α pour que I (α) = 1, puis donner une valeur approchée de α à 10−1 près.
E XERCICE 6
Partie 1
On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique en annexe 1
représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
h(t) =
a
1 + be−0,04t
où a et b sont des constantes réelles positives, t est la variable temps exprimée en jours et h(t) désigne la hauteur
du plant, exprimée en mètres.
On sait qu’initialement, pour t = 0, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.
Déterminer les constantes a et b afin que la fonction h corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.
Partie 2
On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction f définie sur [0 ; 250] par
f (t) =
2
1 + 19e −0,04t
1. Déterminer f ′ (t) en fonction de t ( f ′ désignant la fonction dérivée de la fonction f ).
En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 250].
2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m.
2 ANALYSE : LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, INTÉGRALES, AIRES
4
3.
(a) Vérifier que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 250] on a :
2e0,04t
f (t) = 0,04t
e
+ 19
Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [0 ; 250] par
³
´
F (t) = 50ln e0,04t + 19
est une primitive de la fonction f .
(b) Déterminer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [50 ; 100].
En donner une valeur approchée à 10−2 près et interpréter ce résultat.
4. On s’intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la
fonction f .
La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t.
En utilisant le graphique donné ci-dessos, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la
hauteur du plant.
hauteur (en mètres)
2,0
1,8
y =2
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
temps t (en jours)
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
E XERCICE 7
Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f (x) = xex .
¡ − →
¢
On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal O, →
ı , − .
Soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1].
Sur la courbe C , tracée ci-dessous, on a placé les points A et B d’abscisses respectives a et 1. On a tracé les
segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbe C . On
a placé les points A′ (a ; 0) et B′ (1 ; 0).
5
y
B
2,5
2,0
1,5
C
1,0
A
0,5
O
0,2
0,4
A′
0,6
0,8
B′1,0
x
Le but de l’exercice est de déterminer la valeur du nombre réel a pour laquelle l’aire de la partie du plan hachurée
en annexe est minimale.
PARTIE A :
1. Montrer que
Z1
0
xex dx = 1.
Les élèves, qui ne savent pas intégrer par parties, pourront remarquer qu’une primitive de xex est xex − ex .
´
1³
2.
(a) Donner l’aire du triangle OAA′ et montrer que l’aire du trapèze ABB′A′ est égale à −a 2 ea + aea − ae + e .
2
¢
1¡ a
(b) En déduire que l’ aire de la partie du plan hachurée est égale à
ae − ae + e − 2 .
2
PARTIE B :
Soit g la fonction définie sur [0 ; + ∞[ par
¡
¢
g (x) = x ex − e + e − 2.
1. Soit g ′ la fonction dérivée de la fonction g . Calculer g ′ (x) pour tout réel x de [0 ; + ∞[.
Vérifier que la fonction dérivée seconde g ′′ est définie sur [0 ; + ∞[ par
g ′′ (x) = (2 + x)e x
2 ANALYSE : LOGARITHMES, EXPONENTIELLES, INTÉGRALES, AIRES
6
2. En déduire les variations de la fonction g ′ sur [0 ; + ∞[.
3. Établir que l’équation g ′ (x) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle [0 ; + ∞[.
Déterminer une valeur approchée de α à 10−1 près.
4. En déduire les variations de la fonction g sur [0 ; + ∞[.
5. En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu’il existe une valeur de a pour laquelle
l’aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de a.
E XERCICE 8
³
´
On considère l’équation (E) d’inconnue x réelle : ex = 3 x 2 + x 3 .
Partie A : Conjecture graphique
Le graphique ci-dessous ³donne la
´ courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction f
définie sur R par f (x) = 3 x 2 + x 3 telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.
5
4
3
2
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
1
−1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
À l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur encadrement par
deux entiers consécutifs.
Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique
1.
(a) Étudier selon les valeurs de x, le signe de x 2 + x 3 .
(b) En déduire que l’équation (E)n’a pas de solution sur l’intervalle ] − ∞ ; − 1].
(c) Vérifier que 0 n’est pas solution de (E).
7
2. On considère la fonction h, définie pour tout nombre réel de ] − 1 ; 0[∪]0 ; + ∞[ par :
³ ´
h(x) = ln 3 + ln x 2 + ln(1 + x) − x.
3.
Montrer que, sur ] − 1 ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[, l’équation (E) équivaut à h(x) = 0.
(a) Montrer que, pour tout réel x appartenant à ] − 1 ; 0[ ∪ ]0 ; + ∞[, on a :
h ′ (x) =
−x 2 + 2x + 2
.
x(x + 1)
(b) Déterminer les variations de la fonction h.
(c) Déterminer le nombre de solutions de l’équation h(x) = 0 et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.
(d) Conclure quant à la conjecture de la partie A.
3 Suites
E XERCICE 9
On considère deux suites numériques (un ) et (v n ) définies par :
uo = 1 ;
un+1 =
5un + 3
un + 3
;
vn =
un − 3
un + 1
1. Démontrer que (v n ) est une suite géométrique.
2. Démontrer que (v n ) est croissante.
3. Démontrer que pour tout entier n > 0 : un =
4. la suite (un ) est-elle convergente ?
3n+1 − 1
.
3n + 1
E XERCICE 10
1. On considère la fonction f définie par : f (x) = xe −x .
Tracer la tableau de variation de f et sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
2. On considère la suite (un ) définie sur N par
(
3
2
∀n ∈ N
uo =
un+1 = un e −u n
(a) Utiliser le graphique précédent pour tracer uo , u1 , u2 . Que peut-on conjecturer concernant la suite
(un ) ?
(b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : un > 0.
(c) Démontrer que la suite (un ) est décroissante.
(d) La suite (un ) est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.
3. On considère la suite (w n ) définie sur N par w n = ln un .
(a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : un = w n − w n+1 .
(b) On pose : S n = uo + u1 + ... + un .
Démontrer que : S n = w o − w n+1 .
(c) En déduire lim S n .
3 SUITES
8
4. On considère la suite (v n ) définie sur N par son premier terme v o (v o > 0) et, pour tout entier naturel n,
3
v n+1 = v n e −v n . Existe-t-il une valeur de v o différente de telle que, pour tout n, on ait un = v n ?
2
Si oui, préciser laquelle ?
0. (Utiliser le graphique de la question 2.a.)
E XERCICE 11
On considère la suite (I n ) définie pour n entier naturel non nul par :
Z1
2
In =
x n ex dx.
0
1.
2
(a) Soit g la fonction définie par g (x) = xex .
1 2
Démontrer que la fonction G définie sur R par G(x) = ex est une primitive sur R de la fonction g .
2
(b) En déduire la valeur de I 1 .
(c) À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal
à 1, on a :
n +1
1
In .
I n+2 = e −
2
2
Les élèves qui ne savent pas intégrer par parties admettront le résultat de la question.
(d) Calculer I 3 et I 5 .
2. On considère l’algorithme suivant :
Initialisation
Sortie
Affecter à n la valeur 1
1
1
Affecter à u la valeur e −
2
2
Tant que n < 21
1
n +1
Affecter à u la valeur e −
u
2
2
Affecter à n la valeur n + 2
Afficher u
Quel terme de la suite (I n ) obtient-on en sortie de cet algorithme ?
3.
(a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, I n > 0.
(b) Montrer que la suite (I n ) est décroissante.
(c) En déduire que la suite (I n ) est convergente. On note ℓ sa limite.
4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer la valeur de ℓ.
E XERCICE 12
Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.
Partie A
On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; + ∞[ par
f (x) =
³ x ´
1
.
+ ln
x +1
x +1
1. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
2. Démontrer que pour tout réel x de l’intervalle [1 ; + ∞[, f ′ (x) =
de la fonction f .
3. En déduire le signe de la fonction f sur l’intervalle [1 ; + ∞[.
1
x(x + 1)2
. Dresser le tableau de variation
9
Partie B
Soit (un ) la suite définie pour tout entier strictement positif par
un = 1 +
1 1
1
+ + ... + − ln n.
2 3
n
1. On considère l’algorithme suivant :
Variables:
i et n sont des entiers naturels.
u est un réel.
Entrée:
Demander à l’utilisateur la valeur
de n .
Affecter à u la valeur 0.
Pour
¯ i variant de 1 à n .
Initialisation:
Traitement:
Sortie :
¯
¯Affecter à u la valeur u + 1
¯
i
Afficher u .
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l’utilisateur entre la valeur n = 3.
2. Recopier et compléter l’algorithme précédent afin qu’il affiche la valeur de un lorsque l’utilisateur entre
la valeur de n.
3. Voici les résultats fournis par l’algorithme modifié, arrondis à 10−3 :
n
un
4
0,697
5
0,674
6
0,658
7
0,647
8
0,638
9
0,632
10
0,626
100
0,582
1 000
0,578
1 500
0,578
2 000
0,577
À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (un ) et son éventuelle
convergence.
Partie C
Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.
Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite (un ) telle que pour tout entier strictement
positif n,
1 1
1
un = 1 + + + ... + − ln n.
2 3
n
1. Démontrer que pour tout entier strictement positif n,
un+1 − un = f (n)
où f est la fonction définie dans la partie A.
En déduire le sens de variation de la suite (un ).
2.
(a) Soit k un entier strictement positif.
¶
Zk+1 µ
1 1
Justifier l’inégalité
−
dx > 0.
k x
k
Zk+1
1
1
dx 6 .
En déduire que
x
k
k
1
Démontrer l’inégalité ln(k + 1) − ln k 6
k
(1).
(b) Écrire l’inégalité (1) en remplaçant successivement k par 1, 2, . . . , n et démontrer que pour tout
entier strictement positif n,
1 1
1
ln(n + 1) 6 1 + + + ... + .
2 3
n
(c) En déduire que pour tout entier strictement positif n,un > 0.
3. Prouver que la suite (un ) est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.
4 GÉOMÉTRIE
10
4 Géométrie
E XERCICE 13
Pour chacune des questions, quatre propositions de réponse sont données dont une seule est exacte. Pour chacune
des questions indiquer, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une réponse exacte rapporte 1 point.
Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Il en est de même dans le cas
où plusieurs réponses sont données pour une même question.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal, t et t ′ désignent des paramètres réels.
• Le plan (P) a pour équation x − 2y + 3z + 5 = 0.

′
 x = −2 + t + 2t
′
y = −t − 2t
• Le plan (S) a pour représentation paramétrique

z = −1 − t + 3t ′

 x = −2 + t
y = −t
• La droite (D) a pour représentation paramétrique

z = −1 − t
• On donne les points de l’espace M(−1 ; 2 ; 3) et N(1 ; − 2 ; 9).
1. Une représentation paramétrique du plan (P) est :


′
 x = t + 2t
 x = t
y = 1 − t + t′
y = 1 − 2t
b.
a.


z = −1 + 3t
z = −1 − t
2.

 x
y
c.

z
=
=
=
(a) La droite (D) et le plan (P) sont sécants au point A(−8 ; 3 ; 2).
t + t′
1 − t − 2t ′
1 − t − 3t ′

 x
y
d.

z
=
=
=
1 + 2t + t ′
1 − 2t + 2t ′
−1 − t ′
(b) La droite (D) et le plan (P) sont perpendiculaires.
(c) La droite (D) est une droite du plan (P).
(d) La droite (D) et le plan (P) sont strictement parallèles.
3.
(a) La droite (MN) et la droite (D) sont orthogonales.
(b) La droite (MN) et la droite (D) sont parallèles.
(c) La droite (MN) et la droite (D) sont sécantes.
(d) La droite (MN) et la droite (D) sont confondues.
4.
(a) Les plans (P) et (S) sont parallèles.

 x
y
(b) La droite (∆) de représentation paramétrique

z
plans (P) et (S).
=
=
=
t
−2 − t
−3 − t
est la droite d’intersection des
(c) Le point M appartient à l’intersection des plans (P) et (S).
(d) Les plans (P) et (S) sont perpendiculaires.
E XERCICE 14
³
−´
−ı , →
− , →
L’espace est rapporté au repère orthonormal O, →
k .
On considère les plans P et Q d’équations respectives :
x + y + z = 0 et 2x + 3y + z − 4 = 0.
1. Montrer que l’intersection des plans P et Q est la droite D dont une représentation paramétrique est :

 x
y

z
=
=
=
−4 − 2t
4 + t où t est un nombre réel.
t
11
2. Soit λ un nombre réel. On considère le plan P λ d’équation : (1 − λ)(x + y + z) + λ(2x + 3y + z − 4) = 0.
−
(a) Vérifier que le vecteur →
n (1 + λ ; 1 + 2λ ; 1) est un vecteur normal du plan P λ .
(b) Donner une valeur du nombre réel λ pour laquelle les plans P et P λ sont confondus.
(c) Existe-t-il un nombre réel λ pour lequel les plans P et P λ sont perpendiculaires ?
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D ′ , intersection des plans P et P −1 . Montrer
que les droites D et D ′ sont confondues.
4. On considère le point A(1 ; 1 ; 1). Déterminer la distance du point A à la droite D, c’est-à-dire la distance
entre le point A et son projeté orthogonal sur la droite D.
E XERCICE 15
On considère un cube ABCDEFGH d’arête
longueur 1.´
³ de−→
−→ −→
On se place dans le repère orthonormal A ; AB ; AD ; AE .
¶ µ
¶ µ
¶
µ
3
2
1
On considère les points I 1 ; ; 0 , J 0 ; ; 1 , K ; 0 ; 1 et L(a ; 1 ; 0) avec a un nombre réel appartenant à
3
3
4
l’intervalle [0 ; 1].
E
F
H
G
A
B
D
C
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).
2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique
µ
¶

3
3
′


 x = +t a −
4
4
, t′ ∈ R
y = t′



′
z = 1−t
3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, a =
Partie B
1
Dans la suite de l’exercice, on pose a = .
¶
µ 4
1
; 1; 0 .
Le point L a donc pour coordonnées
4
1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.
1
.
4
4 GÉOMÉTRIE
12
2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle
qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. .
On désigne par M le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’intersection
du plan (IJK) et de la droite (DH).
J
E
K
H
b
b
F
G
b
M
N
b
A
D
b
L
b
B
I
C
Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.
−
(a) Prouver que le vecteur →
n de coordonnées (8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan (IJK).
(b) En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x + 9y + 5z − 11 = 0.
(c) En déduire les coordonnées des points M et N
E XERCICE 16
Partie A
−
→
−
→ −
→
On rappelle que pour tous les points E et F de l’espace, EF2 = EF2 = EF· EF. Soient A et B deux points distincts de
l’espace et I le milieu de [AB].
1. Démontrer que, pour tout point M de l’espace, on a :
M A 2 + MB 2 = 2M I 2 +
1
AB 2
2
2. Déterminer la nature de l’ensemble (E) des points M de l’espace tels que
M A 2 + MB 2 = AB2
³
−´
−ı , →
− , →
Partie B L’espace est rapporté à un repère orthonormal O, →
k .
On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives : 3x + 4y + z − 1 = 0 et x − 2y − z + 5 = 0 et les points A et
B de coordonnées respectives (−1 ; 0 ; 4) et (3 ; − 4 ; 2).
1. Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On nomme (∆) la droite d’intersection des plans (P) et (Q).
(a) Montrer que le point A appartient à la droite (∆).
−
(b) Montrer que →
u (1 ; − 2 ; 5) est un vecteur directeur de la droite (∆).
(c) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (∆).
2. Soit (E ) l’ensemble des points M de l’espace tels que M A 2 + MB 2 = AB 2 . Déterminer l’ensemble des
points d’intersection de (E ) et de la droite (∆). On précisera les coordonnées de ces points.
13
5 Algorithmes
E XERCICE 17
Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste et aucun
d’eux n’a abandonné.
A la fin de la course, avant de procéder à un contrôle antidopage, les organisateurs font fonctionner l’algorithme
ci-dessous dans lequel :
• rand(1,
50) permet d’obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l’intervalle [1 ; 50]
• l’écriture x := y désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x.
Variables
Initialisation
Traitement
Sortie
a,b,c,d,e sont des variables du type entier
a := 0 ; b := 0 ; c := 0 ; d := 0 ; e := 0
Tant que (a = b) ou (a = c) ou (a = d) ou (a = e) ou (b = c) ou (b = d) ou (b = e)
ou (c = d) ou (c = e) ou (d = e)
Début du tant que
a := rand(1, 50) ; b := rand(1, 50) ;
c := rand(1, 50) ; d := rand(1, 50) ;
e := rand(1, 50)
Fin du tant que
Afficher a,b,c,d,e
1. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme :
L 1 = {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15} ; L 2 = {8,17,41,34,6} ; L 3 = {12,17,23,17,50} ; L 4 = {45,19,43,21,18} ?
2. Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
E XERCICE 18
On a démontré dans l’exercice 12 que la suite (un ) définie pour tout entier strictement positif par
un = 1 +
1 1
1
+ + ... + − ln n.
2 3
n
converge vers un réel γ.
Construire un programme en Visual basic permettant de trouver une valeur approchée de γ.
E XERCICE 19
On considère l’algorithme :
A et C sont des entiers naturels,
C prend la valeur 0
Répéter 9 fois
A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7.
Si A > 5 alors C prend la valeur C + 1
Fin Si
Fin répéter
Afficher C.
1. Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant
la valeur C affichée.
Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.
2. Programmer cet algorithme en Visual Basic.
3. Ecrire un programme qui prenne un entier N en entrée, qui répète N fois l’algorithme précédent et donne
en sortie un tableau donnant les fréquences des valeurs de X observées.
4. Faire fonctionner le programme précédent pour des très grandes valeurs de N et comparer les résultats
obtenus avec les résultats théoriques.
6 PROBABILITÉS ET STATISTIQUES
14
6 Probabilités et Statistiques
E XERCICE 20
La durée de vie, exprimée en semaines, d’un composant électronique est modélisée par une variable aléatoire X
qui suit une loi exponentielle.
Une étude statistique a montré qu’environ 50 % d’un lot important de ces composants sont encore en état de
marche au bout de 200 semaines.
ln 2
1. Montrer que λ =
.
200
2. Quelle est la durée de vie moyenne de ces composants électroniques ?
3. Quelle est la probabilité qu’un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 300
semaines ?
On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près.
4. Calculer la demi-vie de ces composants électroniques, c’est-à-dire le temps t tel que P(X 6 t) = 0,5.
E XERCICE 21
Un joueur dispose d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et de trois urnes U1 ,
U2 et U3 contenant chacune k boules, où k désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Il y a trois boules noires dans l’urne U1 , deux boules noires dans l’urne U2 et une boule noire dans l’urne U3 , et
toutes les autres boules contenues dans les urnes sont blanches. Les boules sont indiscernables au toucher.
Une partie se déroule de la façon suivante. Le joueur lance le dé :
• s’il obtient le numéro 1, il prend au hasard une boule dans l’urne U1 , note sa couleur et la remet dans
l’urne U1 ;
• s’il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l’urne U2 , note sa couleur et la remet
dans l’urne U2 ;
• si le numéro amené par le dé est ni le 1 ni un multiple de trois, il prend au hasard une boule dans l’urne
U3 , note sa couleur et la remet dans l’urne U3 .
On désigne par A, B, C et N les événements suivants :
• A : (( Le dé amène le numéro 1 )) ;
• B : (( Le dé amène un multiple de trois ))
• C : (( Le dé amène un numéro qui n’est ni le 1 ni un multiple de trois ))
• N : (( La boule tirée est noire. ))
1. Le joueur joue une partie.
5
.
3k
(b) Calculer la probabilité que le dé ait amené le 1 sachant que la boule tirée est noire.
1
(c) Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire soit supérieure à .
2
1
(d) Déterminer k pour que la probabilité d’obtenir une boule noire soit égale à
.
30
(a) Montrer que la probabilité qu’il obtienne une boule noire est égale à
2. Dans cette question, k est choisi pour que la probabilité d’obtenir une boule noire en jouant une partie
1
.
soit égale à
30
Le joueur joue 20 parties, indépendantes les unes des autres.
Calculer, sous forme exacte puis arrondie à 10−3 près, la probabilité qu’il obtienne au moins une fois une
boule noire.
E XERCICE 22
M. Lettré achète son journal de l’après-midi du lundi au vendredi entre 16 h et 16 h 30 au kiosque devant son
domicile. L’heure d’achat du journal suit une loi uniforme sur l’intervalle [16 ;16,5].
15
1. Quelle est la densité définissant la loi de probabilité pour l’heure d’achat du journal ?
2. Lundi midi : quelle est la probabilité que M. Lettré achète son journal entre 16 h 20 et 16 h 30 ?
3. Vendredi, 16 h 15 : le gérant du kiosque n’a pas encore vu M. Lettré. Quelle est la probabilité que celui-ci
achète son journal entre 16 h 20 et 16 h 30 ?
4. Mercredi, 15 h : à quelle heure le gérant peut-il « espérer» voir M. Lettré ?
E XERCICE 23
Une entreprise fabrique des billes en verre de couleur, destinées ensuite à constituer des colliers ou des bracelets.
Le diamètre des billes produites est une variable aléatoire D, exprimée en millimètres, qui suit une loi normale
d’espérance 8 (diamètre théorique de la pro- duction) et d’écart type 0,4.
Toute bille produite est contrôlée en passant dans deux calibres, l’un de 8,5 et l’autre de 7,5 : elle est acceptée si
elle est assez petite pour passer dans le calibre de 8,5 et si, ensuite, elle est assez grande pour ne pas passer celui
de 7,5.
1. Quelle est la probabilité qu’une bille soit acceptée ?
2. Quelle est la probabilité qu’une bille ne passe pas le premier calibre ?
3. Quelle est la probabilité qu’une bille ayant passé le premier calibre passe le second calibre ?
4. On considère qu’une bille trop petite, qui passe les deux calibres, est définitivement perdue. La perte
financière est estimée à 0,1 ?
En revanche une bille trop grande, qui ne passe pas le premier calibre, est récupérée dans un dispositif
qui la réduit par ponçage puis est acceptée après cette rectification ; le coût de cette rectification est de
0,03 ?
Soit Z la variable aléatoire qui prend les valeurs 0,1 pour les billes trop petites, 0,03 pour les billes trop
grandes et 0 pour les billes passant les deux contrôles.
Quelle est l’espérance de Z ?
E XERCICE 24
Pour se distinguer de la concurrence, une entreprise de fabrication industrielle de galettes affirme qu’elle a disposé dans 15 % de ses galettes, une magnifique fève en forme de tour Eiffel. Pour le repas annuel des aînés, une
ville a commandé 50 galettes à cette entreprise.
1. Quelle hypothèse peut-on faire sur la proportion notée p de galettes fabriquées par cette entreprise qui
contiennent une fève en forme de tour Eiffel ?
2. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 de la fréquence observée de galettes qui
contiennent une telle fève dans un lot de 50 galettes achetées à cette entreprise.
3.
(a) Énoncer la règle de décision permettant d’accepter ou de rejeter l’hypothèse faite sur la proportion
p selon la fréquence observée de galettes qui contiennent une fève en forme de tour Eiffel dans un
lot de 50 galettes fabriquées par cette entreprise.
(b) Parmi les 50 galettes achetées par la ville, deux seulement contiennent la fève en forme de tour
Eiffel. Peut-on remettre en cause l’affirmation de cette entreprise ? Quel est le risque de se tromper
?
E XERCICE 25
Les résultats sportifs d’un club de football de la Ligue1 ne sont pas à la hauteur des objectifs fixés en début de
saison : la gronde des supporteurs se fait de plus en plus forte. Suite à une demande du président, 100 supporteurs
choisis au hasard ont été contactés pour répondre par oui ou par non à la question suivante : (( D’après vous, les
résultats sportifs du club sont-ils les conséquences des mauvais choix de l’entraîneur ? )). 56 d’entre eux ont
répondu oui.
1. Préciser la fréquence observée de supporteurs qui ont répondu oui à la question posée.
2. Déterminer l’intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion p de supporteurs qui
répondraient oui à la question posée.
16
6 PROBABILITÉS ET STATISTIQUES
3. Lors d’un entretien privé avec l’entraîneur, le président du club lui dit : (( 56 % des supporteurs pensent
que les résultats sportifs s’expliquent par vos choix ! Je suis également de cet avis. Vous comprenez donc
que je suis contraint de vous limoger )).
(a) Pourquoi l’argument du président pour limoger l’entraîneur n’est-il pas correct ?
(b) L’entraîneur lui répond : (( Vous détournez les chiffres à votre avantage. D’après votre petit sondage,
46 % tout comme 66 % des supporteurs répondraient oui à la question posée )). Justifier cette
intervention.