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TIPOS DE SOLUCIÓN DE UN S.E.L(m,n)
1. Rango fila de una matriz
Dada una matriz A de mxn, definimos el rango fila de A, denotado por r(A), como el
número de filas no nulas de la matriz 𝑨′ , donde 𝑨′ es la forma escalonada de A.
También podemos decir que r(A) es el número de pivotes de 𝐴′ .
1 2 2
1 2
2
Ej.: dada la matriz 𝐴 = (2 2 3) , y su forma escalonada 𝐴′ = (0 −1 −2) ,
3 1 2
0 0
3
podemos afirmar que el rango fila de A es 3 (número de pivotes de 𝐴′ ).
2. Para un S.E.L de ecuación AX=B, cuyo sistema escalonado equivalente es 𝐴′ X=D,
clasificamos las variables en dos grupos así:
i. Variables Básicas o Principales: son aquellas que corresponden a columnas de 𝐴′
que tienen pivotes.
ii. Variables Libres o Parámetros: son las que corresponden a columnas de 𝐴′ que no
tienen pivotes.
Ejemplo:
Dado el siguiente S.E.L
𝐴
+
2𝐵
5𝐵
−
+
2𝐶
𝐶
+
−
4𝐷
2𝐷
𝐷
+
+
+
𝐸
5𝐸
2𝐸
= 7
= 1
= 4
Cuya matriz de coeficientes en su forma escalonada es
1 2
𝐴 = (0 5
0 0
′
−2 4 1
1 −2 5)
0
1 2
Entonces tenemos:
 Variables básicas: A, B,D (corresponden a columnas donde hay pivotes)
 Variables libres: C, E (corresponden a columnas donde no hay pivotes)
3. Sistema consistente
Un S.E.L con ecuación matricial AX=B es consistente si y sólo si r(A) = r(A | B), en
caso contrario se dice que el S.E.L es inconsistente, es decir, el sistema tiene solución si
y sólo si el rango fila de la matriz A es igual al rango fila de la matriz aumentada del
sistema.
4. Si AX=B es consistente, entonces el sistema tiene:
i. Solución única: cuando el r(A) = k = n, donde n es el número de incógnitas del
sistema.
ii. Infinitas soluciones: cuando r (A) = k, con k < n, en este caso existen (n-k)
variables libres.
En resumen tenemos que al solucionar un S.E.L podemos obtener:
a. Ninguna solución
b.Solución única
c. Infinitas soluciones
5. Ejercicios (para trabajar en clase):
a. Para el sistema de ecuaciones dado:
i. Determine la matriz de coeficientes.
ii. Escriba la ecuación matricial correspondiente.
iii. ¿Para qué valores de t, con t   el siguiente sistema tiene:



ninguna solución.
solución única
infinitas soluciones
X + 3Y + 5Z = 4
5X + 16Y+ (t2 + 12)Z = t+26
3X + 9Y + (t2 -1)Z =t + 16
b. Realice el mismo análisis para el siguiente sistema:
X + 2Y + 4Z = 3+t
2X + Y+ 10Z = 11
3X + 6Y + (t2 + 3)Z =4t + 6
c. Problema de aplicación:
Una sección de producción de una empresa dispone de tres tipos de
máquinas, designadas por A, B y C, que producen tres productos diferentes.
La capacidad de producción diaria de cada máquina se muestra en la
siguiente tabla:
Máquina
A
B
C
Productos
1
100
300
40
2
160
50
150
3
100
50
90
La sección ha recibido una orden de producción para un día específico,
discriminada así: 2700 unidades del artículo 1; 3030 unidades del artículo 2;
1950 unidades del artículo 3.
i. Calcule el número de máquinas de cada tipo que deben programarse para
satisfacer exactamente la orden de producción.
ii. Si un criterio posterior recomienda escoger la opción que demande el
menor número de máquinas pero utilizando los tres tipos, ¿cuál es la
mejor solución?
iii. Si la sección sólo dispone para programar en ese día de 8 máquinas tipo
A, 6 máquinas tipo B y 12 tipo C, ¿cuál es la mejor opción?
d. Problema de aplicación:
El servicio seccional de salud puede construir tres tipos de unidades intermedias:
( I , II , III ) con el propósito de atender a la población en servicios de cirugía,
atención materno – infantil, y consulta externa. La capacidad de atención
semanal de cada unidad se da en el siguiente cuadro:
Unidad
I
II
III
Servicios
Cirugía
10
0
20
Materno – infantil
20
10
30
Consulta externa
30
0
60
Las estadísticas realizadas indican que para el próximo año se requieren atender
semanalmente: Cirugía menor 80 pacientes, materno – infantil 210 pacientes y
consulta externa 240 pacientes.
i.
¿Cuántas unidades de cada tipo deberán construirse, si se requiere
atender toda la población que demanda el servicio y cada unidad debe
operar a su máxima calidad?
ii.
Si los recursos del servicio seccional de salud alcanzan para construir
máximo 5 unidades del tipo I, 8 unidades del tipo II y 3 unidades del
tipo III ¿cuál es la mejor opción?
iii.
Si los recursos del servicio seccional de salud alcanzan para construir
máximo 6 unidades del tipo I, 5 unidades del tipo II y 3 unidades del
tipo III ¿cuál es la mejor opción?