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ALN -IS 5.
Primer examen de evaluación alternativa
15 de abril de 2015.
Cuidar la redacción y la presentación. No se corregirán las soluciones
que no proporcionan las necesarias
explicaciones.
Problema 1. Consideramos

0

B1 =  1
2

2 2

−1 0 
1 3
1. Aplicar estrictamente el método de Gauss a B1 (enseñar todos los pasos).
2. Deducir de este cálculo su rango (explicando en una frase como ve el rango en la forma escalonada
obtenida).
Problema 2. Se considera:
D=
2
6
1
6
!
b=
,
−5
6
!
Se pide:
1. la descomposición LU de D (detallando los cálculos realizados para obtenerla).
2. resolver el sistema DX = b por el método LU, enseñando claramente los pasos del método.
Problema 3. Aplico el método de Gauss para escalonar una matriz C como indicado en la figura 1 (al
final de los enunciados). ¿Qué hago mal? Explicar.
Problema 4. Consideramos la matriz:

1

S1 =  1
1
1
1
3

1

3 
4
Se escalona por el método de Gauss por medio de las operaciones siguientes, en este orden:
F2 ← F2 − F1 ,
F3 ← F3 − F1 ,
F2 ↔ F3 ,
obteniendo la matriz

1

E= 0
0
1
2
0

1

3 
2
1. Explicar como se deduce de este cálculo el determinante de S1 .
2. Cada una de las operaciones elementales sobre filas realizada corresponde a la multiplicación a la
izquierda por una matriz “de operación elemental”. Indicar, para cada una de las tres operaciones, la
matriz que le corresponde (Indicar claramente a que operación corresponde cada matriz, y explicar en
una frase como se obtienen las matrices a partir de las operaciones).
Se realizan más operaciones elementales (a partir de E) hasta obtener la forma escalonada reducida por
filas R de la matriz S1 . Las operaciones elementales adicionales son, en el orden:
F2
F3
F1
F1
F2
← 1/2 · F2 ,
← 1/2 · F3 ,
← F1 − F2 ,
← F1 + 1/2 · F3 ,
← F2 − 3/2 · F3 ,
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2
y la forma escalonada reducida por filas R es

1

R= 0
0
0
1
0

0

0 
1
3. Deducir del cálculo la inversa de S1 . Describir también en una frase el método utilizado para hallar
dicha inversa.
Problema 5. Consideramos las tres matrices:



1 1 1
1



S1 =  1 1 3  ,
S2 =  1
1 3 4
0

0

2 ,
3
1
3
2

1

S3 =  1
0
1
3
2

0

2 ,
−1
Aplicando el algoritmo de Gauss, obtenemos los resultados siguientes:
Para S1 :
F2 ← F2 − F1 ,
F3 ← F3 − F1 ,
F2 ↔ F3 ,
obteniendo:

1

 0
0
1
2
0

1

3 
2
Para S2
Para S3
F2 ← F2 − F1 ,
F3 ← F3 − F2 ,
obteniendo:
F2 ← F2 − F1 ,
F3 ← F3 − F2 ,
obteniendo:


1

 0
0
1
2
0

0

2 
1
1

 0
0
1
2
0

0

2 
−3
Basándose en estos cálculos,
1. determinar cuales de las matrices S1 , S2 y S3 admiten una descomposición de Cholesky, y, si es el
caso, proporcionarla.
2. determinar cuales de las matrices S1 , S2 y S3 son simétricas definidas positivas.
Problema 6. Consideramos el sistema de ecuaciones de incógnitas ( x, y, z):


2y + 2z = 0

x − y
= 0

2 x + y + 3 z = 0
Su matriz de coeficientes es la matriz B1 del problema 1. Sea L0 su conjunto de soluciones.
1. Hallar la dimensión de la variedad L0 (indicar claramente el criterio utilizado). ¿De qué tipo es la
variedad L0 ? ¿Un plano? ¿Una recta? ¿Otro tipo de variedad?
2. Resolver el sistema y proporcionar una base de L0 .
Problema 7. En R4 , con coordenadas x1 , x2 , x3 , x4 , se dan dos variedades L1 y L2 . La variedad L1 es definida por generadores: L1 = L h(1, 0, 0, 0), (0, 1, −1, 1)i. La variedad L2 es el conjunto de las soluciones
del sistema:
(
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x2
− x4 = 0
Hallar la dimensión de L1 ∩ L2 , explicando claramente los cálculos realizados.
Problema 8. Se busca un polinomio P que cumpla las condiciones siguientes:
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P es de grado a lo sumo 3.
P(1) = 1.
P0 (1) = 0.
P(−1) = 1
P0 (−1) = 3.
Se pide:
1. Plantear el problema como un sistema de ecuaciones a resolver.
2. Resolver el sistema y determinar si existe un tal polinomio P, y, si procede, proporcionar un tal polinomio.
Figura 1: ¿Qué hago mal? (Problema 3)