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Álgebra abstracta II
Nombre/Código:
Abril 2015
Guillermo Mantilla
Tarea 11
1. (a) Muestre que el polinomio x3 − 3x + 1 ∈ Q[x] es irreducible.
3
(b) Utilice la identidad trigonométrica cos(3θ) = 4 cos (θ) − 3 cos(θ) para verificar que 2 cos
2π
9
es
3
una raíz de x − 3x + 1.
(c) Muestre que el poligono regular de 9 lados, Eneágono, no se puede construir con regla y compas.
Equivalentemente el ángulo 2π
3 no puede ser trisecado.
2. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado. Muestre que K es infinito.
3. Sea K un cuerpo de característica p > 0. Muestre que la función Frobp : K → K definida por x 7→ xp es
un monomorfismo de anillos. A éste homorfismo se le conoce como el homomorfismo de Frobenious.
n
4. Sea p un primo y sea Fp el cuerpo de p elementos. Sea n un entero positivo y sea fn (x) := xp − x ∈ Fp [x].
(a) Muestre que fn (x) no tiene raíces repetidas.
(b) Sea Fpn el cuerpo de descomposición de fn (x) y sea S ⊆ Fpn el conjunto de las raíces de fn (x).
Muestre que S es un cuerpo y concluya que S = Fpn .
(c) Muestre que |Fpn | = pn y que más aun Fpn es el único cuerpo, módulo isomorfismo, con esta cardinalidad. En otras palabras muestre que si L es un cuerpo tal que |L| = pn entonces Fpn ∼
= L.
n
(Sugerencia: Muestre que si α ∈ L entonces (α)p = α.)
5. Sea K un cuerpo tal que K tiene característica 0 o K es finito. Muestre que K es perfecto. (Recuerde
que un cuerpo es perfecto si cualquier extensión finita es separable.)
6. Sea α ∈ R definido como α :=
X 1
. Utilice el siguiente Teorema1 de Liouville para mostrar que α es
10i!
i≥0
transcendente
sobre
Q. (Sugerencia: Muestre que para todo entero N > 0 existen p, q ∈ Z con q > 1 tales
p 1
que 0 < α − < N ).
q
q
Teorema (Liouville). Sea α ∈ R \ Q, i.e., un irracional real, tal que [Q(α) : Q] = n. Entonces existe C > 0 tal
que para todos p, q ∈ Z con q > 0 se tiene que
α − p ≥ C .
q qn
1 Existen
pruebas elementales del teorema de Liouville; en la siguiente página pueden encontrar una.
Prueba del Teorema de Liouville.
Proof. Sea f (x) ∈ Z[x] un polinomio primitivo de mínimo grado2 tal que f (α) = 0. Supongamos por contradicción
que
la conclusión del teoremaes falsa. Entonces para todo
C > 0 existirían p, q ∈ Z with q > 0 tal que
p
C
1
1
α − <
. Tomando C0 = min
,
. Note que:
q qn
2 maxt∈[α−1,α+1] |f 0 (t)|
• C0 < 1,
• para toda t ∈ [α − 1, α + 1] se tiene que |f 0 (t)| <
1
.
C0
0
Por las hipótesis existen p, q ∈ Z tales que α − pq < C
q n ≤ C0 < 1, en particular
de esto, y de el teorema del valor medio, que existe t ∈ [α − 1, α + 1] tal que
f (α) − f p = |f 0 (t)| α − p .
q
q
Como f (α) = 0, y gracias a que |f 0 (t)| <
1
, se tiene que
C0
p < α−
C0 f
q p
q
∈ [α − 1, α + 1]. Se sigue
p .
q
Dado que f is irreducible, y α es irracional, f (r) 6= 0 para todo r ∈ Q. En particular
f p = A
q qn
donde A es un entero positivo. Por lo tanto
C0
C0 A
f p < α −
≤
=
C
0
qn
qn
q p C0
lo cual es una contradicción ya que se supone que α − < n .
q
q
p q
2 f se obtiene multiplicando el polinomio minimal de α por entero positivo de tal forma que los coeficientes sean enteros y primos
relativos