F´ısica del Estado S´olido Pr´actico 1 Estructura Cristalina 1. a) Demuestre que una red puntual infinita s´olo puede tener simetr´ıas de rotaci´on de orden 2, 3, 4 ´ o 6. Sugerencia: Considere que la traslaci´on no nula m´as peque˜ na de la red es un cierto vector ~a. Para excluir los ´ordenes n con n > 6, muestre que el vector ~a − ~a0 ser´ıa m´ as corto que ~a, siendo ~a0 el vector obtenido rotando ~a un ´angulo 2π/n. Para el orden 5, demuestre que el vector ~a0 + ~a00 es m´as corto que ~a, donde ~a00 se obtiene rotando ~a un ´ angulo −2π/5. b) En dos dimensiones, encuentre las restricciones que impone un plano de simetr´ıa en la red: 1) Considere primero un vector primitivo de translaci´on oblicuo al plano de simetr´ıa (figura 1a) y estudie la celda formada por ´el y su imagen, muestre que en este caso es posible definir una celda no primitiva, pero con vectores de translaci´on perpendiculares (red rectangular centrada). 2) A continuaci´ on considere que se tiene un vector primitivo normal al plano (figura 1b), un segundo vector puede estar contenido en el plano de simetr´ıa o ser oblicuo a ´el. En el segundo caso, muestre que existe s´olo una elecci´on del vector oblicuo compatible con la traslaci´on primitiva normal al plano de simetr´ıa y que resulta en la red rectangular centrada, por lo que s´olo importa el primer caso. m m (a) (b) Figura 1 c) A partir de los resultados anteriores, enumere los tipos de redes de Bravais posibles en el plano. 1 2. Considere el siguiente patr´ on, que se repite peri´odicamente en todas direcciones: qp db qp db qp db qp db qp db qp db qp db qp db qp db qp db qp db qp db qp Indique: a) Una celda unitaria rectangular; b) Una celda unitaria primitiva; c) La base de letras que forman el contenido de cada tipo de celda unitaria. 3. ¿Cu´al es la red de Bravais formada por los puntos con coordenadas cartesianas (n1 n2 n3 ) si: a) los ni son todos pares o todos impares? b) la suma de los ni es par? Sugerencia: dibuje los puntos de la red en cada plano con un valor fijo de n3 . 4. Red panal de abejas a) Para la red triangular en la figura 2a, halle un par de vectores primitivos y una celda primitiva. Dibuje la celda de Wigner-Seitz. Si la constante de red es a, halle la densidad superficial de puntos de esta red en t´erminos de a. b) La red panal de abejas en 2b no es de Bravais, pero puede ser escrita como una red de Bravais m´ as una base. Halle esta descomposici´on. NOTA: Est´ an dibujados puntos negros y blancos s´olo por claridad, es posible considerarlos iguales. √ c) Muestre que la separaci´ on en la red panal de abejas es d = a/ 3. d ) El grafeno es un arreglo de a´tomos de carbono en una red bidimensional panal de abejas con d = 2,45˚ A. Halle la densidad del grafeno en g/cm2 . d a (a) Red triangular (b) Red panal de abejas Figura 2 2 5. Considere las estructuras de la figura 3. En el NaCl (3a) los iones de Sodio y Cloro ocupan los v´ertices de dos redes fcc entrelazadas (a = 5,64˚ A). En el CsCl (3b) los iones de Cesio y Cloro forman redes sc entrelazadas (a = 4,12˚ A). En el ZnS (3c) los enlaces son tetra´edricos con ´atomos de distinto tipo en el centro y en los v´ertices, formando una estructura del tipo diamante (a = 5,42˚ A). Represente cada uno de estos cristales como una red m´as una base adecuada. (a) Cloruro de Sodio (b) Cloruro de Cesio (c) Zincblende Figura 3: Estructuras cristalinas 6. a) Muestre que una red bcc puede ser descompuesta en dos redes sc, A y B, con la propiedad de que ninguno de los vecinos m´as pr´oximos de A quede en A, y similarmente para la red en B. Muestre que an´alogamente red sc puede descomponerse en dos redes fcc y que una red fcc puede descomponerse en cuatro redes sc. b) Muestre que entre los sitios de vecinos m´as pr´oximos de una red fcc hay grupos de tres sitios de forma que cada sitio es un v´ertice de un tri´angulo equil´atero. 7. Estructura del diamante a) ¿Cu´ antos ´ atomos hay en la celda primitiva del diamante? b) ¿Cu´ al es la longitud en ˚ A de un vector primitivo de translaci´on? El par´ametro de red del diamante es a = 3,567˚ A. c) Demuestre que el ´ angulo entre los enlaces tetra´edricos en el diamante es de 109◦ 280 . d ) ¿Cu´ antos ´ atomos hay en la celda c´ ubica unitaria convencional? e) ¿Por qu´e el tetraedro elemental formado por cuatro ´atomos de carbono no es una celda unidad primitiva? 8. Empaquetamiento compacto hexagonal (hcp) Demuestre que la relaci´ on c/a para una estructura de empaquetamiento compacto hexagonal es: c = a r 8 ' 1,633 3 Nota: Si c/a es significativamente mayor que este valor, la estructura cristalina puede considerarse como que est´ a compuesta por planos de ´atomos de empaquetamiento compacto, estando apilados los planos en forma poco compacta. 3 ´ bicas y hexagonal 9. Caracter´ısticas de las redes cu Para las redes de Bravais c´ ubica simple (sc), c´ ubica centrada en el cuerpo (bcc), c´ ubica centrada en las caras (fcc) y empaquetamiento compacto hexagonal (hcp) calcule, en funci´on de los par´ ametros de red de la celda convencional: a) Volumen de la celda convencional. b) Puntos de la red por celda. c) Volumen de la celda primitiva. d ) Puntos de la red por unidad de volumen. e) N´ umero de vecinos m´ as pr´ oximos. f ) Distancia entre vecinos m´ as pr´oximos. g) N´ umero de segundos vecinos. h) Distancia entre segundos vecinos. i ) Fracci´ on de empaquetamiento. NOTA: Para el caso hcp puede ser de ayuda considerar primero el caso de una estructura hexagonal simple y utilizar luego el resultado del ejercicio 8. 10. ´Indices de Miller en la Red Hexagonal Demuestre que en el sistema de 4 ´ındices de Miller (h k i l) para estructuras hexagonales como la de la figura 4, la suma de los tres primeros debe ser nula; o sea: h + k = −i. Figura 4: Red hexagonal 11. Un cristal tiene una base de un ´atomo por punto de la red y un conjunto de vectores primitivos de translaci´ on (dados en un sistema cartesiano, en unidades de ˚ A): ~a = 3ˆi ~b = 3ˆj ˆ ~c = 1,5(ˆi + ˆj + k) ¿Cu´al es el tipo de red de Bravais de este cristal y cu´ales son los ´ındices de Miller del conjunto de planos m´ as densamente poblados con ´atomos? Calcule el volumen de la celda unitaria primitiva y convencional. 4