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RESUMEN DE
CONCEPTOS
TEÓRICOS
MATEMÁTICAS 3º ESO
TEMA 2
Teorema fundamental de
los radicales
Si se multiplican o dividen
el índice del radical y el
exponente del radicando
por un mismo número
natural distinto de cero,
se obtiene un radical
equivalente
si
n
€
a≥0
q
a =
€
n⋅m
a
q⋅m
(m ≠ 0)
TEMA 6
Teorema del resto
El teorema del resto permite conocer el resto de una
división de un polinomio entre otro de la forma x-a, sin
necesidad de realizarla
El resto R de la división de un polinomio P(x)
entre x-a es igual al valor numérico del polinomio
en x=a, es decir: R=P(a)
Demostración del teorema del resto
El teorema se puede deducir con facilidad partiendo de la
definición de división.
P(x) = d(x)⋅ C(x) + R
P(x) = (x − a)⋅ C(x) + R
€
Si calculamos P(a)
0
P(a) = (a − a)⋅ C(a) + R
P(a) = R
Como queríamos demostrar
TEMA 6
Teorema del factor
El teorema del factor nos permite conocer los factores de la
forma x-a de un polinomio.
Este teorema es consecuencia directa del teorema del resto.
Si el valor numérico del polinomio P(x) en x=a es
0, entonces P(x) tiene como factor x-a y por tanto
P(x) puede escribirse de la forma
P(x)=(x-a)ŸC(x)
Demostración del teorema del factor
Dado el polinomio P(x), si se cumple que P(a)=0, sabemos por el
teorema del resto que el resto de dividir P(x) entre x-a es 0:
P(a) = 0
Resto de dividir P(x) entre x-a es 0 (R=0)
P(x) = (x − a)⋅ C(x) + R
0
P(x) = (x − a)⋅ C(x)
Es decir P(x) puede expresarse como un
producto de factores. Uno de los cuales es (x-a)
TEMA 8
Fórmula de Bhaskara
Dado el polinomio P(x), si se cumple que P(a)=0, sabemos por el
teorema del resto que el resto de dividir P(x) entre x-a es 0:
ax 2 + bx + c = 0
#
−b +
% x1 =
2
−b ± b − 4ac %
$
x=
2a
%
−b −
%& x 2 =
2
b − 4ac
2a
b 2 − 4ac
2a
Deducción de la fórmula de Bhaskara
Vamos a partir de la forma general de una ecuación de segundo grado
ax 2 + bx + c = 0
Forma general de la ecuación
Primero multiplicamos ambos miembros por 4a.
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0
€
(multiplicar por 4a)
Restamos b2 de ambos miembros
4a 2 x 2 + 4abx + b 2 − b 2 + 4ac = 0
€
(completamos el cuadrado)
(2ax + b) 2 − b 2 + 4ac = 0
Despejar x
€ Despejamos la x
€
(2ax + b) 2 = b 2 − 4ac
2ax + b = ± b 2 − 4ac
En realidad son dos
€
soluciones (una para + otra
€
para -)
#
−b +
%
x
=
−b ± b 2 − 4ac % 1
$
x=
2a
%
−b −
%& x 2 =
b 2 − 4ac
2a
b 2 − 4ac
2a
Para la Suma de n-términos consecutivos de
una progresión aritmética
1
2
3
4
5
6
7
8
4+5=9
3+6=9
2+7=9
1+8=9
a1+an=a2+an-1=cte
Arriba se han escrito los ocho primeros términos de la progresión aritmética de término
general an = n+1. Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a
la suma de dos términos equidistantes a éstos. Esta importante propiedad va a
permitir determinar la suma de todos los términos de una progresión aritmética, por
grande que ésta sea.
TEMA 4
Suma de n-términos consecutivos de una
progresión aritmética
La suma de los ntérminos de una sucesión
aritmética y la misma
suma de términos
ordenados de forma
inversa
Sn = a1 + a2 + a3 +... + an−1 + an
Sn = an + an−1 +... + a3 + a2 + a1
2Sn = ( a1 + an ) + (a2 + an−1 ) + (a3 + an−2 ) +... + (an−2 + a3 ) + ( an−1 + a2 ) + ( an + a1 )
Sumamos término a término y agrupamos por parejas los términos
que se encontrarían equdistantes
TEMA 4
Suma de n-términos consecutivos de
una progresión aritmética
Observamos que si sumamos términos equidistantes es igual a la suma de los
términos primero y último.
a2 = a1 + d
a3 = a1 + 2d
an−1 = an − d
an−2 = an − 2d
a2 + an−1 = a1 + an
a3 + an−2 = a1 + an
(...)
an−1 = a1 + n ⋅ d
a2 = an − n ⋅ d
an−1 + a2 = a1 + an
Sustituimos en la expresión anterior cada pareja de términos equidistantes por la
suma del primero más el último.
2Sn = ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + ( a1 + an ) +... + ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + ( a1 + an )
Despejamos Sn.
Sn
a1 + an )
(
=
⋅n
2
TEMA 4
Suma de n-términos consecutivos de
una progresión geométrica
La suma de los n-términos de una sucesión geométrica se puede escribir como:
Sn = a1 + a2 + a3 +... + an−1 + an
(1)
Multiplicando por la razón r en cada término de la ecuación
r ⋅ Sn = r ⋅ ( a1 + a2 + a3 +... + an−1 + an )
Aplicamos distributiva
r ⋅ Sn = r ⋅ a1 + r ⋅ a2 + r ⋅ a3 +... + r ⋅ an−1 + r ⋅ an
Por tratarse de una progresión geométrica cuando multiplicamos un término por la
razón r, obtenemos el término siguiente, por ello, la expresión quedaría así:
r ⋅ Sn = a2 + a3 + a4 +... + an + r ⋅ an
(2)
TEMA 4
Suma de n-términos consecutivos de una
progresión geométrica
Partiendo las expresiones (1) y (2) obtenidas con anterioridad y restándolas
término a término
r ⋅ Sn = a2 + a3 + a4 +... + an + r ⋅ an
Sn = a1 + a2 + a3 +... + an−1 + an
0
0
(2)
(1)
0
r ⋅ Sn − Sn = −a1 + ( a2 − a2 ) + ( a3 − a3 ) +... + ( an − an ) + r ⋅ an
r ⋅ Sn − Sn = −a1 + r ⋅ an
Sacamos factor común Sn
Sn (r −1) = r ⋅ an − a1
TEMA 4
Suma de n-términos consecutivos de una
progresión geométrica
Despejamos Sn
r ⋅ an − a1
Sn =
r −1
a n = a1 ⋅ r n−1 tendríamos
r ⋅ an − a1 r ⋅ a1 ⋅ r n−1 − a1 a1 ⋅ (r n −1)
Sn =
=
=
r −1
r −1
r −1
Si expresáramos
Otra forma de expresar la suma de n-términos
r ⋅ an − a1
Sn =
r −1