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Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2008
Tema 5: POSTULADOS Y PRINCIPIOS GENERALES DE LA MECÁNICA CUÁNTICA SOLUCIONES
Ejercicio 1
a)
; (0,∞)
.
∞
0
.
lim
lim
La función no es cuadráticamente integrable ⇒ No es aceptable como
función de onda.
b)
; (0, ∞)
.
sinh
.
sinh
2
2
4
.
lim
1
8
∞
0
1
8
1
24
1
8
1
8
1
24
lim
.
∞
0
.
2
.
4
1
8
.
1
8
1
24
.
.
.
∞
0
1
24
lim
1
8
1
8
1
24
⇒ Es aceptable como función de onda.
c)
. cos
. cos
; (0,∞)
.
. cos
.
1
Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
. cos
4 4
2 cos
2 sin
∞
0
4
cos
16
2 cos
2 sin
∞
0
2
16
. cos
16
lim
1
8
1
16
2 cos
2008
2
1
.
2
1
8
2 sin
.
4
∞
0
1
16
lim
1
16
3
16
Es aceptable como función de onda.
d)
; (0, ∞)
.
∞
∞
1
2
.
lim
No es cuadráticamente integrable
onda.
1
2
lim
1
2
No es aceptable como función de
Ejercicio 2
/
4
/
4
.
1
.
4
2
/
. .
.
.
. .
. 2
1 .
/
.
4
2
4
/
. .
.
/
.
.
.
2
Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2
/
2
. .
2
.
2.16
π
/
.e
.
32
π
/
.
.
2 .
. dx
2
32
lim
/
2
.
2008
/
32
lim
2
.
∞
∞
. e
/
.
0
⇒ Ambas funciones son ortonormales entre sí.
.
/
4
. 2
1 .
. 2
1
2
2
1
2
.
1 .
. .
/
. .
4
.
/
.
/
. 2
/
.
4
/
1
4
1
2
.
1 .
1
2
. .
. .
/
.
2
.
/
.
2
.
.
.
3
Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
•
2008
El primer término dentro del paréntesis corresponde a la integral de una
función impar ⇒ su integral entre ±∞ es 0.
•
El segundo término dentro del paréntesis corresponde a la integral de la
función resuelta más arriba (en este mismo ejercicio), también igual a 0.
⇒ Ambas funciones son ortonormales.
Ejercicio 3
2
Consideramos
y
2
. sin
sin
,
2
.
. sin
sin
.
2
.
2
sin
sin
.
. sin
.
Se lleva a cabo un cambio de variable:
Límites de integración:
.
sin
. sin
2
sin
1
cos
2
0
. sin
.
0
.
1
cos
2
4
Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2008
Así:
2
.
1
1
sin 0
sin
cos
1
cos
2
1
.
1
cos
1
cos
2
.
.
1
sin
2
.
1
sin
0
0
0
0
0 (
Ambas funciones son ortonormales.
Ejercicio 4
a) ES dependiente del tiempo:
Ψ ,
Ψ ,
,
2
Ψ ,
Se considera una función potencial independiente del tiempo:
Ψ ,
Ψ ,
2
Ψ ,
Se buscan soluciones que se puedan expresar como Ψ ,
5
Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2008
Ψ ,
Ψ ,
ψ
Sustituyendo:
2
Dividiendo entre
:
1
1
2
Ambos miembros de la ecuación deben ser dependientes tanto de
como de
. Como la parte izquierda de la igualdad es independiente de , y el lado
derecho es independiente de , ambos lados deben ser iguales a una
constante, a la que llamaremos . Así, considerando el miembro derecho de la
igualdad:
1
2
ES independiente del tiempo.
b) Considerando el miembro izquierdo de la igualdad:
1
6
Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2008
.
ln
La constante
puede ser incluida en la expresión de
, por lo que se puede
expresar:
Ejercicio 5
Densidad de probabilidad: |Ψ
|Ψ , |
, |
e
Ψ
,
.
.Ψ ,
e
.
.
.
.
|
.
|Ψ , |
|
|
|
Ejercicio 6
a) Siendo
una función propia del operador , se cumple que:
(siendo a el valor propio de la función asociado al operador).
7
Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2008
b)
Multiplicando la primera ecuación a la izquierda por
.
.
e integrando:
.
.
Tomando la compleja conjugada de la segunda ecuación,
e integrando:
multiplicando por
.
.
.
.
Restando ambas ecuaciones:
.
Como
⇒
.
es hermítico,
.
.
.
.
0
0
⇒
.
0
⇒ Ambas funciones son ortogonales.
Ejercicio 7
8
Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2008
sin
Si
es hermítico, verifica que
.
♦
.
.
.
.
. sin
2
sin
2
sin
2
2
♦
.
sin
1
sin
2
. sin
sin
2
.
sin
2
sin
.
sin
2
2
sin
2
.
sin
.
.
.
9
Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
⇒ El operador
2008
es hermítico.
Ejercicio 8
a) ̂
.
̂
.
. .
Integrando:
ln
. .
.
. .
b)
. ̂.
.
. ̂ .
.
. ̂.
.
.
.
Utilizando la fórmula de integración por partes:
.
.
.
.
y definiendo
y
Se obtiene
.
Como
y
.
.
.
∞
∞
.
.
son funciones bien comportadas, se anulan cuando
∞
(sino, no serían cuadráticamente integrables).
10
Fisicoquímica Molecular Básica – CCBG – DETEMA
2008
.
.
El operador ̂ es un operador hermítico.
Ejercicio 9
a)
x
;
;
b)
̂
̂
̂
–
̂
11