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2de
Chap. 7 : TD n°4 de trigonométrie périodicité et autre
1. Périodicité
Une fonction F définie sur ℝ est périodique de période T>0 si ∀ x∈ℝ , F  xT =F  x  où T est le plus
petit nombre vérifiant cette égalité. Évidemment, on a aussi ∀ x∈ℝ , ∀ k ∈ℤ , F  xkT = F  x . Par
exemple, sin, cos et tan sont des fonctions périodiques de période 2  (pour sin et cos) ou  (pour tan).
2
2
a) Montrer que la fonction f : x  sin 3x est une fonction périodique de période 3 (calculer f  x 3  ).
Pour montrer cela, il faut prouver que ∀ x∈ℝ , sin 3 x2 =sin 3 x (périodicité de la fonction sin),
2
2
2
calculons f  x 3 =sin 3 x 3 =sin 3 x2=sin3 x  . La fonction f a donc pour période 3 .
Pour cette fonction, il y a exactement 3 périodes complètes dans un intervalle de longueur 2  .
b) Montrer que la fonction g : x  cos (2x+3) est une fonction périodique de période  (calculer
g  x ).
Calculons g  x=cos 2 x3=cos 2 x 2 3=cos 2 x3= g  x  . La fonction g a donc
pour période  . Pour cette fonction, il y a exactement deux périodes complètes dans un intervalle de
longueur 2  .
Quelle est la période de la fonction illustrée ci-contre? Expliquer pourquoi.
La fonction illustrée est nommée f et on lit que f  x =3 sin x cos 2 x 3 . Cette fonction est donc la
somme de deux expressions f 1  x =3 sin x et f 2  x =cos  2 x3 . La
première est une expression de période 2  (c'est la fonction sin
multipliée par un coefficient qui ne change rien à la périodicité) tandis que
la seconde est une expression de période  (c'est g(x)). On observe sur le
graphique que la période de f est environ 6,3 ce qui est une valeur
approchée de 2  . La période d'une fonction somme n'est pas la somme
des périodes : c'est le premier multiple commun des deux périodes. Ici
l'expression f 1  x =3 sin x impose à la période globale d'être un multiple
de 2  , tandis que l'expression f 2  x =cos  2 x3 impose à la période
globale d'être un multiple de  . Le premier multiple commun de  et 2  est évidemment 2×=2 
qui est donc la période de f.
c) D'une façon générale, montrer que la fonction h : x  cos (ax+b) est une fonction périodique de période
2
a .
Calculons h  x 2a =cos  a x 2a b=cos a x2 b=cos a xb=h x  . La fonction h a donc
2
bien pour période a . Pour cette fonction, il y a exactement a périodes complètes dans un intervalle de
longueur 2  . On a, évidemment la même chose pour la fonction h' : x  sin (ax+b) et quelque chose de

pas très différent pour la fonction h'' : x  tan (ax+b) : la période est, cette fois, a .
d) Quelles sont les périodes des fonctions F 1 et F 2 définies par
F 2  x =cos 5 x−3 ? Déduisez-en la période
de
la
fonction
F
définie
par
F  x =F 1  xF 2  x  .
D'après la question c), les périodes de F 1 et
F 2 sont 23 et 25 . Pour trouver la période
de la fonction F, somme de F 1 et F 2 , il faut
2
trouver le premier multiple commun de 3 et
2
2
4
5 . On doit donc chercher parmi
3 ,
3 ,
6
8
10
2
4
6
3 ,
3 ,
3 , etc. et parmi
5 ,
5 ,
5 ,
8
10
5 ,
5 , etc. lequel est le premier dans les
6
10 
deux listes. C'est 3 = 5 =2  , donc la
période de F est 2  . Si on trace la courbe de F, on s'aperçoit de cela.


De même, quelle est la périodicité de G x=cos 4 x− 2 cos 6 x 3  ?
F 1  x=sin 3 x1
et
En notant G  x=G 1  x G2  x , les périodes de G1
2

2

et G 2 sont 4 = 2 et 6 = 3 . Pour trouver la période
de la fonction G, somme de G1 et G 2 , il faut trouver


le premier multiple commun de 2 et 3 . On doit donc
chercher parmi 2 , 22 = , 32 , 42 =2  , etc. et

2
3
4
parmi 3 , 3 , 3 = , 3 , etc. lequel est le premier
dans les deux listes. C'est évidemment  , donc la
période de G est  . Si on trace la courbe de G, on
s'aperçoit de cela.
Remarque : Nous avons mis sur la courbe, les points
d'intersection avec l'axe des abscisse (en vert) pour
montrer le nombre de solutions de l'équation G  x=0
sur l'intervalle [0 ;  ] contenant une période complète
de G.
Tentons une généralisation : Si H 1 et H 2 sont des fonctions périodiques de périodes T 1 et T 2 , quelle
est la période de la fonction H =H 1H 2 (notation abrégée ad hoc de la somme de deux fonctions) ?
La période de H est PPCM( T 1 ; T 2 ), où la fonction PPCM donne le Plus Petit Multiple Commun de deux
nombres. La notation PPCM est un peu abusive car elle est définie en arithmétique, avec des entiers, alors
qu'ici nos périodes T 1 et T 2 ne sont pas des entiers.
Certains se demandent comment déterminer PPCM(a;b), d'une façon générale : y a t-il une formule? Non
je ne crois pas. Une proposition d'une élève : pour déterminer PPCM( 23 ; 25 ), on peut faire 23 × 25 = 53
ce qui donne les coefficients pour déterminer le PPCM : le numérateur (ici 5) pour la période qu'on a
2
2
2
2
inversé (ici 5 ), et le dénominateur (ici 3) pour l'autre période (ici 3 ). Ainsi ici, PPCM ( 3 ; 5 )=
3×2
= 5×25  =2  . Est-ce que ça répond à la question dans tous les cas ? Regardons l'exemple suivant où 6
3
2
2
2
9
9
3
et 9 ne sont pas premiers entre eux : pour déterminer PPCM( 6 ; 9 ), si on fait 6 × 2  = 6 = 2 a t-on
= 2×26  = 23 ? Oui, c'est bien le cas.
PPCM( 26 ; 29 )= 3×2
9
Y a t-il un algorithme général pour déterminer PPCM(a;b)? Oui, bien sûr. Lorsqu'on a des nombres entiers
(en arithmétique), il faut décomposer les nombres en facteurs premiers, et ensuite on prend chacun des
facteurs premiers des deux décompositions avec l'exposant le plus élevé. Par exemple 360= 2 3×32×51 et
525= 31×52 ×71 et donc PPCM(360;525)= 2 2×32 ×52×71=6300 . Dans notre situation, en ce qui concerne
nos fonctions trigonométriques où les périodes ne sont pas entières, il vaudrait mieux se fier à un
algorithme pratique qui essaie tous les multiples de a et de b, jusqu'à en trouver un identique.
• Partir de x=a et y=b
• Tant que x≠y, si x>y alors ajouter b à y, sinon ajouter a à x
• Afficher x, le PPCM
Remarque : si vous réalisez cet algorithme, vous ne trouverez pas toujours une solution par exemple
PPCM(  ;1) n'existe pas car  n'étant pas un nombre rationnel, ses multiples ne seront jamais entiers... Il
faut prévoir une limitation à la boucle « tant que » qui risquerait de ne jamais finir...
e) La tension (ou l'intensité) d'un courant alternatif est modélisée par une fonction sinusoïdale : par
exemple u=u 0 sin  t où u 0 est la tension de crête (l'amplitude du signal) en Volts (V), et  sa pulsation
en rad/s. Quelle est la période de ce signal (en s) ? On l'a vu, c'est 2 =T .
1
La fréquence du signal est l'inverse de la période, soit T (mesurée en Hz ou période/s).
Quelles sont la période et la pulsation d'un courant de fréquence 50 Hz ?
1
1
Si f = T =50 Hz , c'est que T = f =0,02 s.
2
On a donc 2 =0,02 et la pulsation est = 0,02 =100  . La tension u s'écrit donc u=u 0 sin100 t  .
2) Questions diverses
1
a) Sachant que ≤x≤2  et que cos x= 3 , en vous aidant du cercle trigonométrique
2
2
1
8
• déterminer la valeur exacte de sin x : sin x  =1−cos x  =1− 9 = 9 . Comme ≤x≤2  ,
8
−2 2
d'après le cercle trigonométrique, on doit avoir sin x≤0 , et donc sin x=− 9 = 3 . Si on voulait


•
8
2 2
que 0≤x≤ , on aurait sin x≥0 , et donc on aurait sin x= 9 = 3 .
−1 1
déterminer une valeur approchée de x sachant que cos  3 ≈1,23096 rad.
La calculatrice donne, pour la fonction cos−1 , un angle de l'intervalle [ 0 ; ] . Donc ici, comme on
veut que x ∈[  ; 2 ] , on doit prendre l'opposé de la valeur donnée (elle a même cosinus) et
ajouter 2  pour revenir dans l'intervalle qui nous concerne. On a donc ici
x=2 −cos−1  13 ≈2 −1,230959417 rad, soit x≈5,05222589 rad.
b) Sachant que 2 ≤ x≤ 32 et que sin x= −1
4 , en vous aidant du cercle trigonométrique
2
2
1
15

3
• déterminer la valeur exacte de cos x : cos x  =1−sin x  =1− 16 = 16 . Comme 2 ≤ x≤ 2 ,
= −415 . Si on
d'après le cercle trigonométrique, on devrait avoir cos x≤0 , et donc cos x=− 15
16
≤ x≤ 2 , on aurait cos x≥0 , et donc on aurait cos x= 15
voulait que −
= 15
.
2
16
4
−1 −1
• déterminer une valeur approchée de x sachant que sin  4 ≈−0,25268 rad.
 
La calculatrice donne, pour la fonction sin−1 , un angle de l'intervalle [− 2 ; 2 ] . Donc ici, comme
 3
on veut que x ∈[ 2 ; 2 ] , on doit déjà ajouter  et enlever la valeur donnée (pour prendre celle qui
≤ x≤ 2 , alors −
≤−x≤ 2 et, en ajoutant  , on obtient
a même sinus). Si −
2
2

− 2 ≤− x≤ 2 ,
≤− x≤ 32 .
et
on
a
bien
On
a
donc
ici
2
−1 −1
x=−sin  4 ≈0,2526802551 rad, soit x≈3,394272909 rad.


c) En vous aidant des courbes des fonctions sin et cos, résoudre sur ℝ l'inéquation cos x≥sin x .
Nous avons colorié en gris clair les zones où la courbe de la fonction cos et au-dessus de la courbe de la
fonction sin. On voit que les points qui réalisent cette condition, pour la partie représentée, vérifient
−3
≤x ≤ 4 ou 5
≤ x≤ 94 . En réalité, on a −3
2 k ≤ x≤ 4 2 k  , ces intervalles d'amplitude  se
4
4
4
répétant jusqu'à l'infini, modulo 2  .
 
d) On sait que cos 2 x=2 cos x 2−1=1−2 sin x 2 pour tout x ∈[− 4 ; 4 ] (voir le cours), on sait donc que
la fonction f définie par f  x =cos 2 x−2 cos x 21 est nulle sur cet intervalle.
On veut étendre cette propriété, notée P, à ℝ .
Montrer que f est paire mais que l'on ne peut en déduire aucune extension de l'intervalle de validité de P.

Montrer alors que f  x 2 =− f  x  et que f est périodique de période  . Conclure.
f −x =cos −2 x−2cos −x 21=cos 2 x −2cos x 2 1= f  x  donc f est paire. Mais cela ne nous
 
apporte rien de plus, à priori, car l'intervalle où l'on sait que f(x) = 0 est [− 4 ; 4 ] . C'est un intervalle

d'amplitude 2 centré sur 0. La parité ne nous permet pas d'en déduire directement que la propriété P est
 

vraie sur [− 2 ; 2 ] , ou sur [ 0 ; ] , un intervalle d'amplitude  . Il faut déterminer f  x 2  :
f  x 2 =cos 2 x  2 −2 cos  x 2 21=cos 2 x−2 −sin x21=−cos 2 x−2sin x21 .
Or, on a vu que 2 cos x 2−1=cos x2−sin x 2=1−2sin x 2 . On reconnaît donc que :
−cos 2 x−2sin x21=−cos  2 x2cos x2−1=−cos 2 x−2cos x21=− f  x  .

Donc, finalement, f  x 2 =− f  x  .


On en déduit que f(x) = 0 sur [− 4 ; 3 4 ] , un intervalle d'amplitude  .
Il ne reste plus qu'à montrer que f est périodique de période  :
f  x=cos 2  x−2 cos  x2−1=cos 2 x2−2 −cos x2−1=cos 2 x −2 cos x 2−1= f  x 
donc f est périodique de période  .
On peut alors enfin conclure que f(x) = 0 pour tout réel x, la propriété P est vraie sur ℝ .


e) Les valeurs exactes de cos 12 et sin 12 ne font pas partie des valeurs remarquables.
Déterminer leur valeur avec les formules de duplication : sin 2 x =2 sin x cos x et cos 2 x=2 cos x 2−1 .

 2
 .
Calculons d'abord sin 12 . Il vérifie, d'après la formule de duplication du cosinus, cos 6 =1−2sin 12
1−cos 6
1− 23
Donc sin 12 2= 2 = 2 = 2−4 3 et comme, d'après la position du point sur le cercle trigonométrique, on


doit avoir sin 12 0 , on a sin 12
=  2−2  3 . On peut aussi utiliser la croissance de la fonction sinus sur


[ 0 ; 2 ] : comme 0 12  2 , on doit avoir sin 0sin 12
sin 2  , soit 0sin 12
1 .

Vérifions avec la calculatrice : sin 12
≈0,2588190451 et  2−2  3 ≈0,2588190451 .

6− 2
Les calculatrices donnent souvent une valeur exacte, la mienne (casio fx-82ES PLUS) donne sin 12 =  4  .
 6− 2
4  2− 3 
Pourquoi a t-on 6 −4  2 =  2−2  3 ? Parce que  16 = 62 −216 2×6 = 8−21612 = 8−416 3 = 16 = 2−4 3 , ce qui est
bien le résultat attendu.

Pour cos 12 qui, ceci dit en passant doit être également positif, utilisons la propriété cos x 2sin x 2 =1 .
 2
 2
2− 3
2 3

Cela nous donne cos 12  =1−sin 12  =1− 4 = 4 , et donc cos 12
=  22  3 ≈0,9659 .

6 2
Ma calculatrice donne, ici encore, une expression plus simple que la notre cos 12 =  4  .
2
2de
Chapitre 7 : TD n°3 de trigonométrie sur les équations
1) Équations trigonométriques
a) Partie théorique : Les équations trigonométriques
élémentaires se ramènent à cos x=cos ou sin x=sin  ,
α étant un réel fixé.
L'équation cos x=cos a pour solutions réelles
x=±2 k  où k ∈ℤ , tandis que l'équation
sin x=sin 
x=2 k 
a pour solutions
et
x=−2 k  , k ∈ℤ .
Illustrer chacune de ces deux situations sur le cercle
trigonométrique.
À gauche, on a mis les 2 angles qui ont un même cosinus : ils sont symétriques par rapport à l'axe des
abscisses. Leurs valeurs principales sont donc opposées. On obtient toutes les valeurs possibles en ajoutant
ou retranchant un nombre entier de fois 2  , d'où la formule k ∈ℤ , x=±2 k  .
À droite, on a mis les 2 angles qui on un même sinus : ils sont symétriques par rapport à l'axe des
ordonnées, donc supplémentaires. Leurs valeurs principales sont donc égales à x et −x . On obtient
toutes les valeurs possibles en ajoutant ou retranchant un nombre entier de fois 2  , d'où la formule
k ∈ℤ , x=2 k  ou x =−2 k  .
1
b) Première équation : cos x= 2
1
Écrire l'équation cos x= 2 sous la forme cos x=cos  où α est un angle de [ 0 ;
 ] à déterminer.
On sait que cos  3 = 12 (angle d'un triangle équilatéral),

1
donc l'équation cos x= 2 s'écrit cos x=cos  3  .
Déterminer ensuite l'expression générale des solutions de l'équation cos x= 12 dans
±
ℝ , On en déduit que k ∈ℤ , x= 3 2 k  .
puis donner celles qui sont dans l'intervalle [ 0 ; 12  ].
Dans cet intervalle, les valeurs qui conviennent sont :

; 3 2 = 73 ; 3 4= 133 ; 3 6 = 193 ; 3 8 = 25
; 3 10 = 313 , et
3
3
−
2= 53 ; − 3 4= 113 ; − 3 6 = 173 ; − 3 8 = 233 ; − 3 10 = 29
; − 3 12= 35
3
3
3 .
Mettons ces douze valeurs dans l'ordre :

; 53 ; 73 ; 11
; 13
; 173 ; 193 ; 23
; 25
; 293 ; 313 ; 35
3
3
3
3
3
3 .
1
Retrouver sur la courbe de la fonction cos ci-dessous les solutions de cos x= 2 sur cet intervalle.
Sur la courbe ci-dessous nous avons mis les douze valeurs trouvées dans l'intervalle, ainsi qu'une
−
37
supplémentaire avant ( 3 <0) et une après ( 3 12  ).
− 3
c) Deuxième équation sin 2 x = 2
− 3
Écrire l'équation sin 2 x = 2 sous la forme sin 2 x =sin  où α est un angle de [

3
−
− 3
On sait que sin  3 = 2 (angle d'un triangle équilatéral) et donc que sin  3 = 2 .
−
−
− 3
L'équation sin X = 2 s'écrit sin X =sin 3  , ici on a sin 2 x =sin 3  .
−
−
2
;

2
] à déterminer.
Le cercle trigonométrique précédent nous montre cet angle de 3 en vert.
Déterminer ensuite l'expression générale de 2x (indication dans la partie théorique), puis diviser par 2 pour
− 3
obtenir l'expression générale des solutions de sin 2 x = 2 .
−
−
4
On en déduit que k ∈ℤ , 2 x= 3 2 k  ou 2 x=− 3 2 k = 3 2 k  et, en divisant par 2 et en
−
2
simplifiant, on obtient k ∈ℤ , x= 6 k  ou x= 3 k  .
Donner enfin les solutions qui sont dans l'intervalle [ −2  ; 2  ].
Dans cet intervalle, les valeurs qui conviennent sont :
−
−= −76  ; − 6 ; − 6 = 56 ; − 6 2 = 116 , et
6
2
−2 = −43 ; 23 −= −
; 23 ; 23 = 53 .
3
3
Mettons ces huit valeurs dans l'ordre :
−4 
; −76 ; −
; − 6 ; 2
; 56 ; 53 ; 11
3
3
3
6 .
La courbe ci-dessous représente la fonction f : x  sin 2x sur l'intervalle [ −2  ; 2  ].
− 3
Retrouver les solutions de l'équation sin 2 x = 2 sur cette courbe.

On voit mieux les valeurs des solutions lorsque la grille est découpée en multiples de 6

d) Troisième équation : sin 3 x=cos  4 −x 

Déterminer, les solutions de l'équation sin 3 x=cos  4 −x 

(remplacer, par exemple, le sinus à l'aide de la propriété sin X =cos 2 − X  , valable ∀ X ∈ℝ ).


Remplaçons le sinus par un cosinus comme indiqué, l'équation devient sin 3 x=cos  2 −3 x=cos 4 −x  .


Déduisons-en que, selon l'équation élémentaire, 2 −3 x =± 4 − x2 k  .


−
Cela conduit à, d'une part 2 −3 x = 4 −x 2 k  , soit −2 x= 4 2 k  . En divisant par −2 on trouve
x= 8 −k  et en posant k'=−k, x= 8 k '  . Comme k et k' sont des entiers indéterminés, on peut

aussi bien noter cela x= 8 k  .


−3 
D'autre part, on peut avoir 2 −3 x =− 4 − x2 k  et donc −4 x= 4 2 k  . En divisant par −4 et en
3
k
simplifiant, on trouve x= 16  2 (comme précédemment on a changé −k en k', puis k' en k).

Il y a donc deux familles de solutions : les unes se suivent tous les  , les autres tous les 2 .


9

17
D'une part, il y a 8 ; 8 = 8 ; 8 2 = 8 ; etc. ,
3
3

11
3
2
19
27 
35 
et d'autre part, il y a 16 ; 16  2 = 16 ; 16  2 = 16 ; 16 ; 16 ; etc.
Mettons ces valeurs dans l'ordre :

; 316 ; 1116 ; 98 ; 1916 ; 2716 ; 17
; 35
; etc.
8
8
16
Déterminer les solutions de cette équation dans l'intervalle ] 0 ; 2  ].
Les deux dernières solutions sont en dehors de cet intervalle.
Voyons ce que cela donne sur une représentation graphique : nous avons choisi de tracer la courbe

d'équation y=sin 3 x−cos  4 −x  , les solutions apparaissent alors comme les abscisses des points
d'intersection de cette courbe avec l'axe des abscisses. Pour plus de lisibilité, nous avons gradué l'axe des
abscisses en seizièmes de π.
e) D'autres équations

➢ Résoudre dans ℝ : cos x=sin 5 


Remplaçons le sinus par un cosinus, l'équation devient cos x=cos  2 − 5  . Déduisons-en que, selon


3
3
l'équation élémentaire, x=± 2 − 5 2 k =± 10 2 k  . Cela conduit à, d'une part x= 10 2 k  , et
−3 
3
3
23 
3
43
d'autre part x= 10 2 k  . Nous avons donc d'une part 10 , 10 2= 10 , 10 4 = 10 , etc. et d'autre
−3
−3
17 
−3
37 
3
part 10 , 10 2= 10 , 10 4 = 10 , etc. Il y a 2 solutions par tour, entre 0 et 2  il n'y a que 10
17
et 10 .
➢ Résoudre dans ℝ : cos 3 x=sin x

Remplaçons encore une fois le sinus par un cosinus, l'équation devient cos 3 x =cos  2 −x  . On a donc
3 x=± 2 −x 2 k  . Cela conduit à, d'une part 4 x= 2 2 k  , et d'autre part 2 x = −
2 k  . Nous
2


−
avons donc d'une part x= 8 k 2 , et d'autre part x= 4 k  .



5

9

3
13 

17 
Cela conduit à écrire les solutions 8 , 8  2 = 8 , 8 = 8 , 8  2 = 8 , 8 2 = 8 etc. et d'autre
−
−
3
−
7
part 4 , 4 = 4 , 4 2 = 4 , etc.

Il y a 4+2=6 solutions par tour, entre 0 et 2  il y a 8 ,
5
9
13
3
7
8 , 8 ,
8 , 4 et 4 .
Traçons la courbe de la fonction h : x  cos 3 x −sin x
sur l'intervalle [0; 2  ]. Faisons figurer les solutions de
l'équation sur cette courbe (en vert les 4 premières et en
violet les 2 dernières).
➢ Résoudre dans ℝ : sin 3 x=cos 2 x


Suivant le même principe, l'équation devient cos  2 −3 x =cos 2 x . On a donc 2 −3 x =±2 x2 k  . Cela
−
−
conduit à, d'une part −5 x= 2 2 k  , et d'autre part −x= 2 2 k  . Nous avons donc d'une part

x= 10
−2 k 5 , et d'autre part x= 2 2 k  . Remarquons




que x= 10 −2 k 5 ou x= 10 2 k ' 5 revient au même,
puisque k ou k ' =−k sont des entiers relatifs. Cela
conduit à écrire les solutions 10 , 10 2 5 = 510 = 2 ,

4 5 = 910 , 10 6 5 = 1310 , 10 8 5 = 17
10
10 , etc. et d'autre


5
part 2 , 2 2 = 2 , etc. Ces valeurs données par la 2ème
égalité sont redondantes (en double). Il n'y a donc que 5
solutions par tour (entre 0 et 2  ) comme on peut le voir
sur cet extrait de la courbe d'équation y= sin 3 x−cos 2 x
sur l'intervalle [0; 2  ].

➢ Résoudre dans [ 0 ; 2 [ : sin 2 x =cos  x− 3 




L'équation s'écrit cos  2 −2 x=cos  x− 3  . On a donc 2 −2 x=± x− 3 2 k  . Cela conduit à, d'une
− 3 2 k = −56 2 k  , et d'autre part −x= −
 3 2 k = −
2 k  . Nous avons donc
part −3 x = −
2
2
6
5


d'une part x= 18 2 k ' 3 , et d'autre part x= 6 2 k '  .
Comme expliqué plus haut, on a écrit dans ces 2 égalités,
directement k '=−k . Cela conduit à écrire les 3
5
solutions entre 0 et 2  de la 1ère égalité : 18 ,
5
2 3 = 1118 et 5
4 3 = 13
18
18
18 , la seule solution donnée

ème
par la 2 égalité est 6 , elle n'est pas redondante, il y a
donc 4 solutions par tour comme on peut le voir sur cet

extrait de la courbe d'équation y=sin 2 x−cos  x− 3  sur l'intervalle [0; 2  ] où la dernière solution est
marquée en violet (c'est la plus petite de l'intervalle).

2
➢ Résoudre dans [ 0 ; 2 [ : sin 3 x  3 =sin 3 −x 

2
Pour une fois, on va rester avec l'égalité des sinus. On a donc, soit 3 x 3 = 3 − x2 k  , soit
3 x 3 =− 23 −x 2 k  . Cela se transforme en, soit
4 x= 3 2 k  , soit 2 x =02 k  . Cela conduit à, d'une


part x= 12 k 2 , et d'autre part x=k  . Cela conduit à

écrire les 4 solutions entre 0 et 2  de la 1ère égalité : 12 ,


 2 = 712 , 12 = 13
3 2 = 19
12
12 et 12
12 , les 2 solutions
données par la 2ème égalité sont 0 et  , il y a donc 6
solutions par tour comme on peut le voir sur cet extrait de

2
la courbe d'équation y=sin 3 x 3 −sin  3 −x  sur
l'intervalle [0; 2  ].
➢ Résoudre dans [ 0 ; 2 [ : cos 2 x=sin 2 2 x
On peut commencer par écrire cos 2 x−sin 2 2 x= cos x−sin 2 xcos xsin 2 x=0 ,
chacun des facteurs pouvant s'annuler, on a

soit cos x−sin 2 x =0 c'est-à-dire cos x=sin 2 x =cos  2 −2 x ,



soit cos xsin 2 x =0 c'est-à-dire cos x=−sin 2 x=−cos  2 −2 x=cos− 2 −2 x=cos  2 2 x .
Remarquez l'utilisation dans cette dernière égalité de l'angle associé −x qui change le signe du cosinus.


On obtient donc les solutions en écrivant d'abord x=± 2 −2 x2 k  et x=± 2 2 x2 k  , puis
3 x= 2 2 k  , −x= −
2 k  , x= −
2 k  et 3 x= −
2 k  .
2
2
2



−
−

Finalement, on obtient x= 6 2 k 3 , x= 2 2 k '  , x= 2 2 k  et x= 6 2 k ' 3 .
Combien de solutions sur l'intervalle [0; 2  ]?






Faites les calculs et vérifiez sur la courbe qu'il y a les 6 nombres suivants : 6 , 2 , 5 6 , 7 6 , 3 2 et 9 6 .
2de
Chapitre 7 : TD n°2 sur les angles associés
1) Les angles associés
a) À tout réel x de l'intervalle ]−; ] , on peut associer
le point M du cercle trigonométrique correspondant à
IOM de mesure x rad.
l'angle 

➢ En supposant que x= 5 , citer d'autres angles
correspondant au même point M.
Il y a 5 , 5 2 = 115 , 5 −2 = −95 , 5 4 = 21
5 , etc.
➢ Quelle est la forme générale des mesures d'angles
correspondants au même point M.

2 k  , k étant un entier relatif.
5
b) M1 est le symétrique de M par rapport à (OI).
IOM 1 dans le cas où x= 5
➢ Donner une mesure de l'angle 

IOM 1= −
IOM 1=−
IOM =−x donc, dans le cas où x= 5 , 
5 .
➢ Citer d'autres angles correspondant au même point M1.
Il y a −5 , −5 2 = 95 , −5 −2 = −115  , −5 4 = 195 , etc.
➢ Quelle est la forme générale des angles correspondants au même point M1.
−
2 k  , k étant un entier relatif.
5
c) M2 est le symétrique de M par rapport à (OJ).
IOM 2 dans le cas où x= 5
➢ Donner une mesure de l'angle 

IOM 2=− 5 = 45 .
IOM 2=−
IOM =−x donc, dans le cas où x= 5 , 
➢ Citer d'autres angles correspondant au même point M2.
Il y a 45 , 45 2 = 145 , 45 −2 = −65 , 45 4 = 245 , etc.
➢ Quelle est la forme générale des angles correspondants au même point M2.
4
2 k  , k étant un entier relatif.
5
d) M3 est le symétrique de M par rapport à O.
IOM 3 dans le cas où x= 5
➢ Donner une mesure de l'angle 

IOM 3 = 5 = 65 .
IOM 3 =
IOM = x donc, dans le cas où x= 5 , 
➢ Citer d'autres angles correspondant au même point M3.
Il y a 65 , 65 2 = 165 , 65 −2 = −45 , 65 4 = 26
5 , etc.
➢ Quelle est la forme générale des angles correspondants au même point M3.
6
2 k  , k étant un entier relatif.
5
Autres angles associés importants : K étant le point de
coordonnées (1;1), M4 est le symétrique de M par rapport à
(OK), la droite d'équation y=x et M5 est le symétrique de M4
par rapport à (OJ).
IOM 4 .
➢ Donner d'autres mesures de l'angle 




IOM 4= 2 − IOM = 2 −x
donc, dans le cas où x= 5 ,
3
3


IOM 4= 2 − 5 = 3
2= 2310 , 3
−2= −17
10 . Il y a
10 ,
10
10
10 ,
3
3
4 = 43
2 k  , k étant un
10
10 , etc. La forme générale est 10
entier relatif.
IOM 5 .
➢ Donner d'autres mesures de l'angle 


7


IOM 5= 2  IOM = 2  x donc, dans le cas où x= 5 , 
IOM 5= 2  5 = 710 . Il y a 7
2 = 2710 ,
10 , 10
7

7
7
−2 = −13
4 = 47
2 k  , k étant un entier relatif.
10
10 , 10
10 , etc. La forme générale est 10
2) Lignes trigonométriques des angles associés
a) En s'aidant du cercle trigonométrique, exprimer les lignes trigonométriques des angles
−x , −x , x , 2 − x et 2  x en fonction de celles de x.
−x
−x
x
cos
cos x
−cos x
−cos x
sin x
−sin x
sin
−sin x
sin x
−sin x
cos x
cos x

2
−x

2
x
b) Quelques applications
➢ en utilisant les lignes trigonométriques exactes des angles remarquables vues en
cours, déterminer cos 76  , sin  56  , cos 43  , sin  103  .
7


− 3
cos  6 =cos  6 =−cos  6 = 2 .
sin  56 =sin − 6 =sin 6 = 12 .
cos  43 =cos  3 =−cos 3 = −1
2 .
10 

sin  3 =sin 2  3 =sin 3 =−sin 3 = −2 3 .
− 3

➢ Résoudre dans ℝ les équations suivantes : sin x= 2 et cos x=sin 5 

3
−
− 3
On sait que sin  3 = 2 (angle d'un triangle équilatéral) et donc que sin  3 = 2 . L'équation s'écrit
sin x=sin  −
 . On en déduit que k ∈ℤ , x= −
2 k  ou x=− −
2 k = 43 2 k  .
3
3
3



3
On sait que sin x=cos 2 −x  et l'équation s'écrit cos x=cos  2 − 5 =cos 10  . On en déduit que
k ∈ℤ , x= 3
2 k  ou x= −310 2 k  .
10
2de
Chapitre 7 : TD n°1 sur les angles réels
1) Position sur le cercle trigo
Placer sur le cercle trigonométrique ci-contre les
vingt points M1 à M20, correspondants aux angles
exprimés en radians suivants :
2


M1 (0) ; M2 ( 4 ) ; M3 ( 6 ) ; M4 ( 3 );
−
−
3
M5 ( 3 ); M6 ( 2 ); M7 ( − ); M8 ( 4 );
9

4
M9 ( 12 ); M10 ( 2 ); M11 ( 12 ); M12 ( 3 );
−7 
13 
−4
M13 ( 6 ); M14 ( 3 ); M15 ( 3 ); M16 ( −21 );
−9 
23
−17 
−121
M17 ( 4 ); M18 ( 6 ); M19 ( 3 ); M20 ( 2 )
Nous avons indiqué une fois pour toutes les mesures
principales des angles remarquables afin de répondre
sans faillir (et sans calcul) à la question suivante
(entre autres).
2) Mesure principale
Déterminer la mesure principale des douze angles orientés exprimés en radians suivants, ainsi que le
nombre de tours à ajouter ou enlever pour obtenir la mesure donnée :
9
4
−7 
13 
−4
23
−17 
−121
−21 −9 
mesure
12 
−
2
3
6
3
3
4
6
3
2
mes. princip.

0

2
−2
3
5
6

3
2
3

−
4
−
6

3
−
2
nb de tours
1
6
2
1
1
2
1
11
1
4
6
60
3) Lignes trigonométriques
Cours : M étant le point du cercle trigonométrique correspondant à
l'angle réel x, on note (cos x ; sin x) les coordonnées de M. cos x et sin
x sont aussi appelés lignes trigonométriques de l'angle réel x.
Exercice : Donner les lignes trigonométriques exactes des angles
suivants (à partir de maintenant, sauf précision contraire, les angles
sont exprimés en radians) :


2
angle
0
3
4
6
cosinus
1
2
3
2
2
sinus
0
2
1
2
3
2
angle
−
3
−
2
3
4

12
cosinus
1
2
0
− 2
2
 2 3
Sinus
− 3
2
−1
2
 2− 3

2
−1
2
2
2
2

Les valeurs exactes de cos 12 et sin 12 ne font pas partie des valeurs remarquables mais on peut les
calculer avec des formules qui seront justifiées plus tard, appelées formules de duplication du cosinus et du
sin 2 x =2 sin x cos x (duplication du sinus)
sinus. Voici ces formules :
2
2
2
cos 2 x=1−2sin x  =cos x  −sin x  (duplication du cosinus)


 2
Calculons d'abord sin 12 . Il vérifie, d'après la formule de duplication du cosinus, cos 6 =1−2sin 12  .
Donc
sin 12 2=
1−cos 6
2
=
1− 23
2
= 2−4 3
trigonométrique, on doit avoir
et comme, d'après la position du point M11 sur le cercle


sin 12
0 , on a sin 12
=  2−2  3 . Vérifions avec la calculatrice :

sin 12
≈0,2588190451 et  2−2  3 ≈0,2588190451 . Les calculatrices donnent souvent une valeur exacte, la
mienne (casio fx-82ES PLUS) donne sin 12 =  4  . Pourquoi a t-on 6 −4  2 =  2−2  3 ? Élevons la première
 6− 2
4  2− 3 
au carré:  16 = 62 −216 2×6 = 8−21612 = 8−416 3 = 16 = 2−4 3 , ce qui est bien le résultat attendu.

Pour cos 12 qui, ceci dit en passant doit être également positif, utilisons la propriété cos x 2sin x 2 =1 .
 2
 2
2− 3
2 3

Cela nous donne cos 12  =1−sin 12  =1− 4 = 4 , et donc cos 12
=  22  3 ≈0,9659 . Ma calculatrice

6 2
donne ici cos 12 =  4  , qui est une autre écriture (plus simple que la notre) de cette valeur exacte.

6− 2
2
4) Lignes trigonométriques incomplètes
Cours : Les lignes trigonométriques de tout angle réel x vérifient l'égalité suivante cos x 2sin x 2 =1 .
De plus, on sait que ∀ x∈ℝ , cos x∈[−1 ; 1 ] et sin x ∈[−1 ; 1] .
1
Exercice :
Sachant que 0≤x≤ et que cos x= 3 , déterminer la valeur exacte de sin x .
sin x 2=1−cos x 2=1− 19 = 89 . Comme 0≤x≤ , d'après le cercle trigonométrique, on
8
2 2
devrait avoir sin x≥0 , et donc sin x= 9 = 3 .

−

−1
Sachant que 2 ≤ x≤ 2 et que sin x= 4 , déterminer la valeur exacte de cos x .
−
≤ x≤ 2 , d'après le cercle trigonométrique, on devrait avoir
cos x 2=1−sin x 2=1− 161 = 15
2
16 . Comme
cos x≥0 , et donc cos x= 15
= 15
.
16
4

1
Sachant que ≤x≤2  et que cos x= 3 , déterminer la valeur exacte de sin x .
sin x 2=1−cos x 2=1− 13 = 23 . Comme ≤x≤2  , d'après le cercle trigonométrique, on devrait avoir
sin x≤0 , et donc sin x=− 23 = −32 = −3 6 .

2de
Chapitre 7 : Géodésique (plus courts chemins dans l'espace)
Les géodésiques sont les trajets minimaux qui généralisent la notion de ligne droite aux espaces courbes.
Nous envisagerons ici 2 espaces courbes : la surface d'une sphère et la surface d'un cylindre.
1) Trajets sur une sphère
Quelle est la longueur du chemin le plus court, joignant 2 points de la
surface d'une sphère ?
Par exemple, quelle est la distance la plus courte entre Madrid (3°W –
40°N) et Pékin (116°E – 40° N) ? Cette distance "à vol d'oiseau", c'est-àdire la plus courte, appelée aussi distance orthodromique, n'est pas mesurée
sur un petit cercle mais sur un grand (passant par le centre de la sphère
terrestre).
a) Distance sur un petit cercle
Ici, vous aurez remarqué que nous avons choisi 2 villes situées sur un
même parallèle (40°N), donc sur un même petit cercle parallèle à
l’Équateur. Notons r le rayon de ce petit cercle (r=AC sur notre coupe
contenant le méridien). Rappelons que l'angle de latitude se mesure sur
ce plan, ainsi 
OAC =
AOE =40 ° dans notre exemple.
Calculer la longueur de ce 40ème parallèle en prenant pour rayon de la
Terre R=6378 Km.
La longitude se mesure, par contre, sur un plan équatorial,
perpendiculaire au plan du méridien. La différence de longitude entre
les 2 villes vaut 116−(−3)=116+3=119°. Par conséquent la longueur du
petit arc de ce petit cercle nous donnera la distance entre les 2 villes (il
y a proportionnalité entre l'angle au centre et la longueur de l'arc de
cercle intercepté). On trouve r =R cos 
OAC ≈4886 Km. La longueur du
ème

40 parallèle est 2πr, donc 2  R cos OAC , soit 2π×6378×cos40°≈30698 Km.
En déduire la distance dite « à cap constant » ou loxodromique entre
Madrid et Pékin, c'est-à-dire la longueur de l'arc MB sur le petit cercle
en suivant ce 40ème parallèle Nord.
La distance entre Madrid et Pékin « à cap constant » ou loxodromique,
mesurée sur le 40ème parallèle Nord est donc égale à
119
×30698≈10147 Km .
360
b) Distance sur un grand cercle
La distance orthodromique est mesurée sur le grand cercle passant par
les deux villes, un cercle dont le centre est le centre de la sphère. Pour
se représenter ce grand cercle, nous l'avons tracé ci-contre en
perspective sur la vue équatoriale.
Montrons que l'angle entre les deux villes sur le plan de ce grand
cercle n'est plus 119° mais environ 82°. Pour cela examinons la
vue non déformée de ce grand cercle, sur laquelle nous faisons
figurer le milieu H du segment [MB] qui joint les deux villes (B
pour Beijing, le nom chinois de Pékin). La distance MH peut être
calculée de deux façons:
• sur le petit cercle, dans le triangle MCH rectangle en H
MCH = MH
(C est le centre du petit cercle) : on a sin 
MC et donc
119

MH =MC sin MCH ≈4886sin  2 ≈4210 Km .
•
sur le grand cercle, dans le triangle MOH rectangle en
MOH = MH
H (O est le centre de la sphère) : on a sin 
MO
et donc MH =MO sin 
MOH .
Identifier les 2 expressions de MH qui ont été trouvées et conclure quant-à l'angle 
MOB . Par
MH
MC sin 
MCH

identification, on en déduit que sin MOH = MO = MO
et donc, l'angle entre les 2 villes sur le grand

MCH
MOB=2 
MOH =2sin−1  MC sin
≈2sin−1  4210
≈82 ° .
cercle qui les joint, vaut 
MO
6378
Déterminer alors la distance orthodromique entre les deux
villes, c'est-à-dire la longueur de l'arc MB sur le grand cercle, et
le gain de longueur réalisé en suivant ce trajet plutôt que le
trajet à cap constant. Il ne reste plus qu'à effectuer notre calcul
de proportionnalité : la distance orthodromique (la plus courte
82
×2 6378≈9128 Km . La
entre les deux villes) est de 360
distance orthodromique est plus courte ici de plus de 1000 Km
(10147−9128=1019) !
NB : On peut montrer que cette distance calculée sur un grand cercle est
toujours le plus court trajet pour aller d'un point à un autre d'une sphère.
Pour réaliser une route en empruntant le trajet orthodromique, les
navires ou les avions doivent changer continuellement de cap. Le trajet
orthodromique (plus courte distance), lorsqu'il est tracé sur une carte en
projection de Mercator n'est pas une droite car la projection de Mercator
ne respecte pas les distances. Le trajet qui est droit sur ce type de carte est le trajet loxodromique qui correspond à un trajet
qui garde toujours la même direction (le même cap).
Pour aller de Paris à New York par la route
orthodromique il faut d'abord viser une direction plus
au nord du parcours loxodromique (car on est dans
l'hémisphère Nord), et tourner progressivement vers le
sud. Le trajet orthodromique Paris-New-York mesure
5833 Km, alors qu'en suivant une loxodromie, il est de
6077 Km, soit près de 250 Km de plus.
Pourquoi le trajet le plus court entre 2 points d'une sphère est-il l'arc de grand cercle passant par ces 2 points ?
Représentons des cercles admettant le même segment [AB] comme corde. Parmi tous les cercles possibles, celui qui
conduit au plus petit arc de cercle AB possible est celui qui a le plus grand rayon (car on se rapproche de la plus courte
distance qui est, comme chacun sait, la ligne droite qui correspond, comme chacun ne le sait pas, à un cercle de rayon
infini). Le plus grand rayon possible pour un petit cercle d'une sphère de rayon R étant le rayon R lui-même, l'arc de grand
cercle est toujours le plus court chemin sur la sphère.
c) Pour joindre 2 points d'un même parallèle, le gain de distance
obtenu en suivant une orthodromie est maximum lorsque les
points sont diamétralement opposés sur ce petit cercle. Dans ce
cas, le grand cercle est un méridien, il passe par le pôle.
Déterminer ainsi la distance entre Los Angeles (Califormie) et
Téhéran (Iran) sachant que les coordonnées des 2 villes sont les
suivantes :
La route tracée sur la
carte est la
loxodromie.
Déterminer la
distance
loxodromique
L.A.-Téhéran
en estimant que les 2
villes sont sur un
même parallèle.
Les villes sont grossièrement situées sur une même latitude (environ 34,5° Nord) donc sur un même petit
cercle de rayon r. La différence de longitude entre les 2 villes (notées dans la suite LA et TE) vaut 118,24−
(−51,41)=169,65°. Le rayon de ce petit cercle est r =R cos 
34,5 ° ≈5256 Km. La longueur de ce 34,5ème
parallèle est 2πr, environ 33026 Km. La distance loxodromique LA-TE vaut donc
169,65
×33026≈15563 Km .
360
Comme les 2 villes sont sur des méridiens quasiment opposés, on peut estimer que le trajet orthodromique
passe par le pôle Nord. En déduire une 1ère approximation de la distance orthodromique L.A.-Téhéran.
La différence de longitude entre les 2 villes valant 169,65°, ces villes sont presque opposées sur le petit
cercle (il manque un peu plus de 10° de longitude). Le trajet orthodromique passe approximativement par
le pôle Nord. Or nous connaissons l'angle à parcourir sur les méridiens : pour aller de LA au pôle Nord, on
se déplace en latitude de 34° à 90°, soit 56° sur le méridien qui mesure (c'est un grand cercle)
56
×40074≈6234 Km . pour aller du pôle Nord à TE, on se déplace
2 6378≈40074 Km , donc environ 360
en latitude de 90° à 35,6°, soit 54,4° sur le méridien qui mesure toujours (c'est quasiment le même grand
54,4
cercle) 2 6378≈40074 Km , donc environ 360 ×40074≈6056 Km . Le trajet orthodromique approché
(en passant par le pôle Nord), mesure environ 6234+6056=12290 Km, soit 3273 Km de moins que le trajet
loxodromique !
En appliquant le raisonnement vu plus haut pour 2 points d'un même parallèle, déterminer une 2 ème
approximation de cette distance orthodromique L.A.-Téhéran. Comparer avec la 1ère, puis comparer avec la
distance loxodromique.
Si on veut être plus précis, il faut déterminer la distance sur un vrai grand cercle. Commençons par calculer
la distance LA-TE en ligne droite : sur le petit cercle, dans le triangle MCH rectangle en H (C est le centre
MCH = MH
MH =MC sin 
MCH ≈5256 sin  169,65
≈5234 Km . Donc en
du petit cercle) on a sin 
MC et donc
2
ligne droite LA-TE=5234×2=10468 Km. Sur le grand cercle, dans le triangle MOH rectangle en H (O est le

MOH = MH
centre de la sphère) : on a sin 
MO et donc MH =MO sin MOH . Par identification, on en déduit

MCH
MOH = MH
= MC sin
que sin 
et donc, l'angle entre les 2 villes sur le grand cercle qui les joint, vaut
MO
MO

−1
MC
sin
MCH

MOB=2 
MOH =2sin  MO ≈2sin−1  5234
≈110,3 ° . Il ne reste plus qu'à effectuer notre calcul de
6378
proportionnalité : la distance orthodromique (la plus courte entre les deux villes) est de
110,3
×40074≈12278 Km . La distance orthodromique vraie (approximativement, les 2 villes n'ayant pas
360
exactement la même latitude) est plus courte que le trajet loxodromique de plus de 3285 Km, et plus courte
aussi de seulement 12 Km que par la route
passant par les pôles !
Certains
sites proposent de calculer
directement le trajet orthodromique. Ici, le
résultat pour LA-TE est de 12179 Km : 100 Km
de moins que nous ! Cela ne peut venir que de 2
causes : soit ils utilisent un rayon inférieur pour
la Terre, soit ils tiennent compte de l'écrasement
de la Terre aux Pôles. Examinons cela : une
interrogation sur le quart du trajet équatorial
donne 10001 Km, soit un rayon R≈6367 Km, un
peu plus de 11 Km en moins. Une interrogation
sur le trajet le long du méridien (de l'équateur au
Pôle Nord) donnant aussi 10001 Km, on en
déduit qu'ils ne tiennent pas compte de
l'écrasement de la Terre aux Pôles.
2) Géodésique sur un cylindre
Cylindre de rayon r et de hauteur h. Déterminons la géodésique (ligne la plus courte à la surface du
cylindre) joignant un point A et un point B opposé par rapport au centre du
cylindre. Celle-ci dépend du rapport entre r et h. Déterminer en fonction de
x=r/h et h,
• le trajet n°1 : ACB (passant par C le point diamétralement opposé à B
sur la base du cylindre).
r
Ce trajet « direct » mesure AB1=AC+CB= h2 r=h12 h =h 12 x  . Pour
la valeur r=6 et h=3, on trouve AB1=12+3=15.
• le trajet n°2 joignant directement A et B le long de la face courbée du
cylindre.
ème
Ce 2 trajet « direct » (on reste sur la même surface courbe, en allant au plus court) mesure comme la
diagonale AB du rectangle ACB, rectangle en C. Si on trace ce rectangle en vraies grandeurs, on voit que

r 2
cette longueur se calcule avec le théorème de Pythagore : AB2=  h 2 r 2=h 1 h  =h  1 x2 .
Pour la valeur r=6 et h=3, on trouve AB2=  3262≈  364≈19,09 (trajet en vert, rectiligne sur la
surface courbe déployée).
Montrer que comparer ces 2 trajets revient à
comparer 12 x et  1 x2 .
Pour avoir l'égalité entre ces 2 trajets, il faut que
h  1 x2=h12 x  soit, après avoir
simplifié par h,  1 x 2=12 x . En élevant
au carré cette expression, on obtient
Cette
1 x 2=12 x2=14 x 2 4 x .
relation se simplifie en 2−4 x 2−4 x=0 , puis
en x 2−4 x−4=0 . On a 2 solutions x=0
et 2−4 x−4=0 , ce qui conduit à r =0
2
r
(valeur pas très intéressante) et  −4 h −4=0
2−4 r =4 h
,
soit
ou
encore
4
r =  −4 h≈0,68 h . Lorsque r et h sont dans ce rapport, les trajets sont
2
égaux, sinon, lorsque r 0,68 h (c'est le cas quand r=6 et h=3 car
0,68h=2,04 et 6<2,04) le trajet AB1 (en passant par la base) est le plus
court, et lorsque r 0,68 h (c'est le cas quand r=1,5 et h=3 car
0,68h=2,04 et 1,5<2,04) le trajet AB2 (en restant sur la face courbe) est le plus court.
Conclure en donnant les rayons de 2 cylindres de hauteur 10 cm pour lesquels les trajets 1 et 2 sont,
respectivement, les géodésiques entre A et B.
Pour h=10, on a 0,68h=6,8 et donc, pour un cylindre de rayon compris entre 0 et 6,8 cm le trajet AB2 (en
restant sur la face courbe) est plus court et constitue la géodésique entre A et B, tandis que pour un cylindre
de rayon supérieur à 6,8 cm le trajet AB1 (en passant par la base) est plus court et constitue la géodésique
entre A et B. Pour le cylindre limite (de rayon 6,8 cm), il y a 2 géodésiques qui mesurent chacune 23,6 cm.
La fonction f qui donne la longueur du trajet géodésique en fonction de h est une fonction affine définie par
h 2×4
h=h 1  8−4 ≈2,362953864 h .
−4
2
2