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Chap9 Forme trigonométrique et forme exponentielle de nombres complexes
I Module , argument et forme trigonométrique d’un nombre complexe
Rappel : le plan complexe est le plan muni d’un repère orthonormé direct ( O ; 𝑢
⃗ ,𝑣)
1)Définitions
Soit M un point d’affixe z = a+ i b dans le plan complexe , a et b réels avec a et b réels non nuls
On appelle module de z
le réel positif noté r = |𝑧| =………
On appelle argument de z non nul
le réel noté arg(z)= ……
On appelle forme trigonométrique de z l’écriture de z
sous la forme
z = ………………….
avec a = ………
et b = ………….
Démonstration pour la forme trigonométrique
Soit M d’affixe z = a+ i b avec a et b réels non nuls
M est situé sur le cercle de rayon r = ….
si a>0 a= xM= OH= ……. avec MHO triangle rectangle en H
b= y M =OK=
donc cos ( 𝜃 ) =
et sin ( 𝜃 ) =
si a<0 a= xM = − OH =
Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique

z = ……………..
Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique
z = a + i b  …………………….
Applications
Ex1 : z1 = - 2 + 2 3 i
, z2 = -3i et z3 = 4 . Déterminer la forme trigonométrique des complexes z1 , z2 et z3 .
Ex2 : z1 = 2 ( cos (  ) + i sin (  ) )
6
ces deux complexes .
6
et z 2 = 2 ( cos (  ) - i sin (  )) . Déterminer la forme algébrique de
4
4
2)Propriétés z = a+ i b avec a et b réels
z = 0 équivaut …
z≠0
|𝒛̅|= ……..
et arg( 𝒛̅ )
|−𝒛| = …..
et arg( -z) =
z𝒛̅ = ……..
z est un réel équivaut à z= ……………………
z est un réel positif non nul équivaut à arg ( z ) = …………………..
z est un réel négatif non nul équivaut à arg ( z ) = …………………..
z est un imaginaire pur de partie imaginaire b >0
équivaut à arg ( z ) = ……………..
z est un imaginaire pur de partie imaginaire b <0
équivaut à arg ( z ) = ……………..
z = z’ équivaut à
Soit A et B dans le plan complexe
d’affixe zA= xA +i yA et zB = xB + i yB
alors AB = …………..
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ……..
⃗ ; 𝑨𝑩
et ( 𝒖
avec zA≠ zB
Démonstration
Soit M ( z ) tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵
équivaut à z = …….
Conséquences
Le cercle de centre I ( zI ) de rayon R est l’ensemble des points M ( z ) du plan tel que
La médiatrice du segment [ AB ] est l’ensemble des points M ( z ) du plan tel que
Applications
Ex1 : Soit dans le plan complexe les points A ( 2 + i ) , B ( 1 – i ) et C ( 1 + 3 i ) . montrer que le triangle ABC est
isocèle en A .
Ex 2: Déterminer l’ensemble des points M ( z ) dans le plan complexe tel que
1 z–2i = 4
2.  z + i  =  z – 2 - 3 i 
Ex3 : Déterminer l’ensemble des points M ( z ) dans le plan complexe tel que
1. arg ( z ) =  + k* 
2
,k  
2 . arg ( z - 2 i ) = 0 + k* 
,k  
3)Opération sur les modules et arguments
Soit deux complexes z et z’ non nuls :
Somme :  z + z’    z  +  z’
Produit :
 z x z’  = ……………
arg ( z z’ ) = …………………..+ k 2  , k  
 z n = …………..
arg (z n ) = …………..+ k 2  , k  
, pour tout entier naturel n
Formule de Moivre : ( cos (  ) + i sin ( ) ) n = …………………, pour tout entier naturel n
Quotient :
 1  = ……….
z
 z  = …………
z'
arg ( 1 ) = ……………+ k 2  , k  
z
avec z ≠ 0
arg ( z ) = ………………………..+ k 2  , k   avec z’ ≠ 0
z'
interprétation géométrique : Soit dans le plan complexe les points A ( zA ) , B ( zB ) , C ( zC ) et D (zD )
AB
CD
=
et
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =
( 𝑪𝑫
Démonstrations
Somme z + z’    z  +  z’ ( inégalité triangulaire)
M ( z)
et N ( z’ )
et P ( z+ z’)
Produit Soit z = r ( cos(𝜃) + i sin (𝜃)) et z’ = r’ ( cos ( 𝜃’) + i sin (𝜃’) ) avec r et r’ deux réels positifs
z z’= r r’(
Montrons par récurrence que  z n = …
arg (z n ) = …………..+ k 2  , k   , pour tout entier naturel
n
 z 0 = …
arg (z 0 ) =
Hypothèse de récurrence supposons que pour un n donné  z n = …
Montrons alors sous cette hypothèse que  z
 = …
n+1
arg (z n ) = …………..+ k 2 
arg (z n+1 ) = …………..+ k 2 
 z n+1 =
arg (z n+1 ) =
Conclusion par hérédité :  z n = …
arg (z n ) = …………..+ k 2  , k   , pour tout entier naturel n
Formule de Moivre : Z = cos (  ) + i sin ( )
Donc  Z n = …
arg (Z n ) =
|𝑍| = ………………………….. et arg ( Z)=
donc Zn =
Inverse Soit z non nul tel que z = r (cos (  ) + i sin ( ) )
1
𝑧
=
1
r (cos (  ) + i sin ( ) )
=
1
1
𝑟
cos (  ) + i sin ( )
=
1
𝑟
Quotient
 z  = |𝒛 ×
z'
𝟏
|
𝒛′
𝟏
arg ( z ) = arg(𝒛 × 𝒛′ ) =
z'
interprétation géométrique : Soit dans le plan complexe les points A ( zA ) , B ( zB ) , C ( zC ) et D (zD )
AB
CD
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑨𝑩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =
( 𝑪𝑫
Applications
Ex1 : soit dans le plan muni d’un repère orthonormé direct ( O ; 𝑢
⃗ ,𝑣)
B(2) , C ( -1 + i ) D ( 1-3i) . Montrer que BCD est un triangle isocèle et rectangle en B
𝑧−2𝑖
Ex2 : Déterminer l’ensemble des points M ( z ) tel que |
| =1
Ex3 Déterminer l’ensemble des points M ( z ) tel que
𝑧−1−𝑖
𝑧−2
soit
𝑧+𝑖
réel
Ex4 1) déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes : z = √3 – i
𝑧
z’ = 1 – i et Z = 𝑧′
𝜋
𝜋
2) Déterminer la forme algébrique de Z 3) En déduire la valeur exacte de cos ( 12 ) et de sin (12)
Ex5 : soit z = √3 + i
a) forme trigonométrique de z b) En déduire la forme algébrique de z 10
II Notation exponentielle d’un nombre complexe
1)Définitions :
Soit f la fonction qui à tout réel  fait correspondre un nombre complexe z z = f(  ) = cos  + i sin 
a. Pour tous réels  et  ’ : f (  +  ’ ) =
Donc f (  +  ’ ) =
Donc f est une fonction transformant une somme en produit comme la fonction exponentielle
b. Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ , donc f est dérivable sur ℝ .
f ‘ (  ) = - sin (  ) + i cos 
, or
i f (  ) = i cos  - sin  = f ‘ (  )
de plus f ( 0 )= cos 0 + i sin 0 = 1
Cette propriété est à relier à la propriété suivante
g fonction définie et dérivable sur ℝ g(x)= 𝒆𝒌𝒙 avec k réel équivaut g’(x)=
or ici f ’( 𝜃 )= i f(𝜃 ) et f(0 ) = 1
donc f( 𝜃 ) = ………
soit cos  + i sin  =
Définition1 :
Pour tout réel  , le complexe z de module 1 et d’argument le réel  a une unique écriture appelée forme
exponentielle définie par z =
Interprétation géométrique :
les points images des complexes z =
sont situés sur
Exemples :
1=
; -1 =
i=
;-i=
j=
Définition2 :
Tout nombre complexe non nul de module r = |𝒛| et d’argument le réel  = arg z + k ×2 
Alors z s’écrit de manière unique
sous la forme z =
Forme exponentielle de z
interprétation géométrique :
Les points M d’affixe z =
sont tels que
Les points M ( z ) situés sur le cercle de centre I ( z I ) , de rayon r sont tels que
2)Règles de calcul sur la forme exponentielle :
Elles se déduisent des propriétés des modules et arguments d’un complexe z non nul z , la forme trigonométrique a les
mêmes règles de calcul que la notation exponentielle et que la fonction exponentielle
Pour tous réels r et r’ strictement positifs et pour tous réels  et  ’ , n entier naturel
e i  e i  ’ = …….
1
( e i  )n =
𝑒 𝑖𝜃
= ̅
= 𝑒
𝑒 𝑖𝜃
𝑒 𝑖𝜃′
=
e i  = e i  ’ équivaut à
pour tout réel  et pour tout réel r strictement positif , pour n dans
Formules de MOIVRE : ( e i  )n =
cos( 𝜽 ) =
Formules d’EULER :
et sin ( 𝜽 ) =
Démonstration e i  =
𝑒 −𝑖𝜃 =
Applications
Ex1 Déterminer la notation exponentielle des complexes : z1 = -2i
Ex2 Calculer (1+i)10
; ( 1+ i√3 ) 15
z2 = 3
et z3 = √3 + i
; ( 2+2i)4 ( √3 + i ) 5
Ex3 a) Placer dans le plan complexe les points A ( 2 𝑒
𝑖
𝜋
4
)
B(
3
2
2𝜋
𝜋
𝑒 −𝑖 2 )
b)Déterminer la forme algébrique de zA , zB et zC
Ex4 Soit un point M ( z) situé sur le cercle de centre I (2+i ) et de rayon r =3
Exprimer z en fonction de 𝜃= ( 𝑢
⃗ ; 𝑂𝑀)
Ex5 : Linéariser cos²(𝜃) et sin²(𝜃) faire de même pour cos3(𝜃) et sin3(𝜃)
Linéariser une expression signifie : écrire l’expression sans puissance
et C ( √3
𝑒𝑖 3 )