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BACCALAUREAT GENERAL
Bac Blanc 2 avril 2015
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MATHEMATIQUES
Série S
Sujet pour les spécialistes
Durée de l’épreuve : 4 heures
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices et doit rédiger sur 3 copies :
• 1 copie pour les exercices 1 et 4
• 1 copie pour l’exercice 2
• 1 copie pour l’exercice 3
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l’appréciation des
copies.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée
Le sujet comporte 5 pages dont une page d’annexe
1
EXERCICE 1 (4 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples comportant quatre questions indépendantes.
Pour chaque question, une seule des quatre affirmations proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l’affirmation exacte.
Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse fait perdre 0,25
point ; une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de points. Si la somme des points est négative, la note pour
cet exercice est ramenée à 0.
Question 1
Dans un hypermarché, 70 % des clients sont des femmes. Une femme sur six achète un article au rayon bricolage,
alors que six hommes sur dix le font. Une personne, choisie au hasard, a fait un achat au rayon bricolage.
La probabilité que cette personne soit une femme a pour valeur arrondie au millième :
a. 0,700
b. 0,393
c. 0,117
d. 0,297
Question 2
Dans cet hypermarché, un modèle d’ordinateur est en promotion. Une étude statistique a permis d’établir que,
chaque fois qu’un client s’intéresse à ce modèle, la probabilité qu’il l’achète est égale à 0,25.
On considère un échantillon aléatoire de vingt clients qui se sont intéressés à ce modèle.
La probabilité qu’exactement quatre d’entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle a pour valeur arrondie au
millième :
a. 0,415
b. 0,004
c. 0,190
d. 0,750
Question 3
Cet hypermarché vend des téléviseurs dont la durée de vie, exprimée en année, peut être modélisée par une variable
aléatoire réelle qui suit une loi exponentielle de paramètre . La durée de vie moyenne d’un téléviseur est de dix ans,
ce qui se traduit par = .
La probabilité qu’un téléviseur pris au hasard fonctionne encore au bout de six ans a pour valeur arrondie au millième :
a. 0,600
b. 0,549
c. 0,451
d. 0,512
Question 4
Cet hypermarché vend des baguettes de pain dont la masse, exprimée en gramme, est une variable aléatoire réelle qui
suit une loi normale de moyenne 150 g.
La probabilité que la masse d’une baguette soit comprise entre 138 g et 162 g est environ égale à 0,954.
La probabilité qu’une baguette prise au hasard ait une masse supérieure à 155 g a pour valeur arrondie au centième :
a. 0,80
b. 0,45
c. 0,25
d. 0,20
EXERCICE 2 (5 points)
Pour tout entier naturel , on définit les nombres complexes
= 12
=
par
+
√
pour tout
∈ℕ
On note le module du nombre complexe : = | |
les points d’affixes .
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O. On note
1) a) Calculer ,
et .
b) Placer le point
et tracer les segments
et
sur le graphique de l’annexe, à rendre avec la copie.
c) Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe
d) Démontrer que le triangle !
est rectangle en
.
+
√
.
2) a) Démontrer que la suite " # est géométrique de raison .
b) La suite " # est-t-elle convergente ? Quelle interprétation géométrique peut-on alors faire ?
2
On note ℓ la longueur de la ligne brisée qui relie le point
, , ,…
On a donc, pour ≥ 1,
.
ℓ =,
-/
- -
=
+
3) a) Démontrer que pour tout entier naturel
b) Montrer que ℓ = 12√3 1 −
au point
+ ⋯+
:
=
√
en passant successivement par les points
.
c) Déterminer la limite éventuelle de la suite "ℓ #.
EXERCICE 3 (5 points)
Pour les candidats ayant choisi la spécialité mathématiques
Le Chiffrement de S. Hill (Lester S. Hill (1891-1961))
Le chiffrement de Hill est un chiffrement polygraphique, c’est-à-dire que l’on ne (dé)chiffre pas les lettres les unes
après les autres, mais par paquets, ici de deux lettres.
• Exemple pour coder le mot MATHEMATIQUE, on scinde en bloc de deux lettres : MA TH EM AT IQ UE
• On remplace les lettres par leur rang dans l’alphabet en partant de 0 :
A B C D E F G H I J K L
M N O P Q R S
T
U V W X Y
Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Les lettres 3- 45 3- d’un bloc de deux lettres sont codées en 6- et 6- tels que
6 = 9 × 3- + ; × 3où 9, ;, < et = sont des entiers naturels donnés.
"7# 8 6- = < × 3- + = × 3Le rang des lettres codées est - ≡ 6- [26] et - ≡ 6- [26]
6 ≡ - [26]
• On pose BBC ≡ FFC [26] ⟺ 8 CDE
CDE
6- ≡ - [26]
1. chiffrement de Hill
a. Montrer que le système "7# est équivalent à une relation matricielle H = I dont on précisera les
matrices I , et H.
•
b. Avec la clef de cryptage 9 = 9 , ; = 4 , < = 5 45 = = 7.
Vérifier que le mot « NOEL » se code en « RHCT » et coder le mot « MATH ».
2. a. Déterminer la matrice de cryptage correspondant à la clef :
9 = 9 , ; = 4 , < = 5 45 = = 7 .
b. la matrice est elle inversible ? Justifier votre réponse.
c. déterminer la matrice inverse . de ,
d. la matrice
connait
BC
BCDE
.
permet-elle de décoder un message, c’est-à-dire determiner
NC
NCDE
quand on
? Justifier votre réponse
3. Décryptage du chiffrement de Hill
On se propose déterminer la matrice O telle que
36P
Q ≡ OP
Q [26]
36O est la matrice de décryptage
a. Montrer l’existence d’un couple d’entiers relatifs "R, S# tel que :
"T #
43R − 26S = 1
b. Déterminer, à l’aide de l’algorithme d’Euclide, un couple "R , S # vérifiant l’égalité de Bezout "T #.
c. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs "R, S# vérifiant "T #.
d. Déterminer, le plus petit inverse positif de 43 modulo 26, c’est-à-dire l’entier 9 tel que 439 ≡ 1 [26].
7 −4
e. Déterminer la matrice 23
UV=RWV 26 . En déduire la matrice B de décryptage.
−5 9
f. Décoder le message « VZ VK UB KH JN ».
3
4.
Avec la clef de cryptage 9 = 3 , ; = 2 , < = 5 45 = = 7,
a. La matrice de cryptage est-elle inversible (dans l’ensemble des matrices réelles).
b. A est-elle inversible modulo 26 ?
c. Quelle conclusion peut-on faire sur l’utilisation de cette clef ?
5. BONUS ! Attaque du chiffrement de Hill.
Les deux bigrammes les plus fréquents dans la langue française sont pour 100 000 bigrammes :
Bigrammes
Nombres
ES
3318
DE
2409
Comme pour l’attaque du chiffrement affine pensez- vous possible d’utiliser cette statistique pour attaquer un texte
crypté à l’aide du chiffrement de Hill par bloc de deux caractères. Justifier votre réponse.
EXERCICE 4 (6 points)
On considère la fonction X, définie et dérivable sur l'intervalle ]0; +∞[, et telle que pour tout nombre réel 3, on a :
2 ln"3# + 1
X"3# =
.
3
On note X′ sa fonction dérivée et Γ sa courbe représentative dans le repère ci-dessous.
Soit B le point de Γ d'abscisse 1 .
1 . Déterminer les coordonnées exactes du point A, point d'intersection de la courbe Γ avec l'axe des abscisses.
2. a)
b)
c)
3. a)
b)
. `a"N#
Montrer que pour tout réel 3 de l'intervalle ]0; +∞[, on a X′"3# = N b .
En déduire les variations de X sur l'intervalle ]0; +∞[.
Déterminer les limites de la fonction X aux bornes de son ensemble de définition.
Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ au point B d'abscisse 1.
Etudier la position de la courbe Γ par rapport à cette tangente.
4. On note c le domaine défini par l'axe des abscisses, la courbe Γ et les droites d'équations 3 = 1 et 3 = 3.
a)
Par lecture graphique, encadrer par deux entiers l'aire de c, exprimée en unités d'aire.
b) On définit la fonction d sur l'intervalle ]0; +∞[ par d"3# = ln"3# × "ln"3# + 1#.
Montrer que d est une primitive de X sur l'intervalle ]0; +∞[.
Déterminer l'aire de c exprimée en unités d'aire.
5. On note Δ"5# le domaine limité par l'axe des abscisses, la courbe Γ.
et les droites d'équation 3 = 1 et 3 = 5.
a) Démontrer qu'il existe un unique nombre réel 5 tel que l'aire de Δ"5 # soit égale à 10 unités d'aires.
b) Déterminer un encadrement d'amplitude 0,01 de ce nombre réel.
4
ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE
NOM :
Annexe de l’exercice 2
5