Enunciado TP 1 - 1er cuatrimestre 2015

Análisis Numérico I
Facultad de Ingeniería-UBA
75.12 ANÁLISIS NUMÉRICO I
FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
TRABAJO PRÁCTICO Nº 1
1er. Cuatrimestre 2015
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por métodos iterativos
Preparado por Miguel Ángel Cavaliere
Objetivos:


Analizar los parametros que modifican la velocidad de convergencia de los
métodos iterativos en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando
en particular el método SOR cuya convergencia se encuentra garantizada para
matrices simétricas definidas positivas si 1 ≤  < 2.
Verificar experimentalmente la validez de los criterios usualmente utilizados
para definir el corte del proceso iterativo respecto de su capacidad para acotar
efectivamente el error de truncamiento.
Desarrollo:
A los efectos de desarrollar este trabajo práctico se utiliza la matriz de Hilbert definida
por la expresión
1
.
hij 
(i  j  1)
Dicha matriz es simétrica definida positiva y se caracteriza por ser muy mal
condicionada presentando un número de condición que crece exponencialmente con su
dimensión. De esta forma la convergencia del método SOR se encuentra teóricamente
garantizada pero el mal condicionamiento de la matriz de Hilbert exige un gran número
de iteraciones por lo que en la práctica no resulta útil su aplicación. Sin embargo, por
esta característica su utilización a los fines académicos es muy adecuada para observar
con claridad el efecto del parámetro de sobre-relajación  sobre la velocidad de
convergencia del proceso iterativo.
A su vez a los efectos de poder analizar la estimación del error de truncamiento que se
realiza con los criterios de corte usuales, se fija el valor de la solución calculando el
vector de términos independientes b de la siguiente manera:
n
bi   hij
j 1
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Análisis Numérico I
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a) Implementar computacionalmente la resolución iterativa de un sistema de
ecuaciones lineales H x = b mediante el método SOR para n ≥ 3 junto con el
siguiente criterio de corte
R
(k )
 RTOL donde R
(k )
x

(k )
x
x
*

*

donde x* puede ser igual a x(k-1) o a la solución exacta.
b) Utilizando un valor dado de n y RTOL, por ejemplo n=5 y RTOL=0.0001,
resolver iterativamente el sistema de ecuaciones para distintos valores de 
incluyendo el caso = 1 (Gauss Seidel). Registrar para cada uno de estos casos
la cantidad de iteraciones necesarias para alcanzar la tolerancia RTOL utilizando
la solución exacta en el criterio de corte. Se recomienda efectuar un barrido con
un espaciamiento uniforme, por ejemplo  = 0.1, a los efectos de analizar la
relación entre la cantidad de iteraciones necesarias para cumplir el criterio de
corte y el valor de  utilizado. Luego será necesario refinar localmente el valor
de  para obtener una estimación precisa del valor de optimo y una curva
relativamente suave en la representación gráfica de esta relación. Iniciar siempre
el proceso iterativo con el vector nulo.
c) Repetir el análisis efectuado en el punto b) conservando el valor de n pero
utilizando dos valores distintos de RTOL (uno mayor y otro menor que el valor
utilizado previamente).
d) Repetir el análisis efectuado en el punto b) conservando el valor de RTOL pero
utilizando un valor mayor de n. Tener en cuenta que ello producirá un
incremento del mal condicionamiento con lo cual este valor deberá ser lo
suficientemente bajo como para permitir hacer todos los cálculos requeridos por
el análisis en un tiempo de procesamiento razonable.
e) Repetir el análisis efectuado en el punto b) pero utilizando para el criterio de
corte los valores de la iteración anterior. En este caso se requiere respetar
exactamente los mismos valores de .
f) Presentar la información obtenida en forma ordenada y agrupada a los efectos de
efectuar las comparaciones que permitan obtener conclusiones acerca de los
objetivos del trabajo práctico pudiéndose incorporar, en caso que se considere
relevante, información teórica disponible en la extensa bibliografía que existe
sobre el tema. Se aclara que la calificación del trabajo práctico se basará
fundamentalmente en este punto dado que los anteriores son meramente
operativos.
Comentario final: Los valores de n y RTOL indicados en el punto b) son indicativos
pudiendo el alumno adoptar aquellos que considere mas adecuados.
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