Análisis Numérico I Facultad de Ingeniería-UBA 75.12 ANÁLISIS NUMÉRICO I FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 1er. Cuatrimestre 2015 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales por métodos iterativos Preparado por Miguel Ángel Cavaliere Objetivos:   Analizar los parametros que modifican la velocidad de convergencia de los métodos iterativos en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales utilizando en particular el método SOR cuya convergencia se encuentra garantizada para matrices simétricas definidas positivas si 1 ≤  < 2. Verificar experimentalmente la validez de los criterios usualmente utilizados para definir el corte del proceso iterativo respecto de su capacidad para acotar efectivamente el error de truncamiento. Desarrollo: A los efectos de desarrollar este trabajo práctico se utiliza la matriz de Hilbert definida por la expresión 1 . hij  (i  j  1) Dicha matriz es simétrica definida positiva y se caracteriza por ser muy mal condicionada presentando un número de condición que crece exponencialmente con su dimensión. De esta forma la convergencia del método SOR se encuentra teóricamente garantizada pero el mal condicionamiento de la matriz de Hilbert exige un gran número de iteraciones por lo que en la práctica no resulta útil su aplicación. Sin embargo, por esta característica su utilización a los fines académicos es muy adecuada para observar con claridad el efecto del parámetro de sobre-relajación  sobre la velocidad de convergencia del proceso iterativo. A su vez a los efectos de poder analizar la estimación del error de truncamiento que se realiza con los criterios de corte usuales, se fija el valor de la solución calculando el vector de términos independientes b de la siguiente manera: n bi   hij j 1 Cavaliere-Tarela Pág. 1/2 15/04/15 Análisis Numérico I Facultad de Ingeniería-UBA a) Implementar computacionalmente la resolución iterativa de un sistema de ecuaciones lineales H x = b mediante el método SOR para n ≥ 3 junto con el siguiente criterio de corte R (k )  RTOL donde R (k ) x  (k ) x x *  *  donde x* puede ser igual a x(k-1) o a la solución exacta. b) Utilizando un valor dado de n y RTOL, por ejemplo n=5 y RTOL=0.0001, resolver iterativamente el sistema de ecuaciones para distintos valores de  incluyendo el caso = 1 (Gauss Seidel). Registrar para cada uno de estos casos la cantidad de iteraciones necesarias para alcanzar la tolerancia RTOL utilizando la solución exacta en el criterio de corte. Se recomienda efectuar un barrido con un espaciamiento uniforme, por ejemplo  = 0.1, a los efectos de analizar la relación entre la cantidad de iteraciones necesarias para cumplir el criterio de corte y el valor de  utilizado. Luego será necesario refinar localmente el valor de  para obtener una estimación precisa del valor de optimo y una curva relativamente suave en la representación gráfica de esta relación. Iniciar siempre el proceso iterativo con el vector nulo. c) Repetir el análisis efectuado en el punto b) conservando el valor de n pero utilizando dos valores distintos de RTOL (uno mayor y otro menor que el valor utilizado previamente). d) Repetir el análisis efectuado en el punto b) conservando el valor de RTOL pero utilizando un valor mayor de n. Tener en cuenta que ello producirá un incremento del mal condicionamiento con lo cual este valor deberá ser lo suficientemente bajo como para permitir hacer todos los cálculos requeridos por el análisis en un tiempo de procesamiento razonable. e) Repetir el análisis efectuado en el punto b) pero utilizando para el criterio de corte los valores de la iteración anterior. En este caso se requiere respetar exactamente los mismos valores de . f) Presentar la información obtenida en forma ordenada y agrupada a los efectos de efectuar las comparaciones que permitan obtener conclusiones acerca de los objetivos del trabajo práctico pudiéndose incorporar, en caso que se considere relevante, información teórica disponible en la extensa bibliografía que existe sobre el tema. Se aclara que la calificación del trabajo práctico se basará fundamentalmente en este punto dado que los anteriores son meramente operativos. Comentario final: Los valores de n y RTOL indicados en el punto b) son indicativos pudiendo el alumno adoptar aquellos que considere mas adecuados. Cavaliere-Tarela Pág. 2/2 15/04/15