1. No category

Vendredi 27 mars 2015 .
CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N° 10.
Classe de seconde 09. Salle 206.
La première feuille de ce devoir doit être une feuille double. Lisez bien l’énoncé. Vous pouvez faire les exercices
dans l’ordre que vous souhaitez, mais ne mélangez pas deux exercices différents. Le soin apporté à la présentation,
la clarté de la rédaction, sont des critères importants dans l’évaluation de la copie. Bon travail.
Exercice 1 : ( 10 points)
Les trois parties de ce problème sont indépendantes.
Première partie.
Dans un lycée, les résultats au baccalauréat général sont les suivants.
Série
Nombre de candidats
Taux de réussite
L
64
75 %
ES
95
80 %
S
160
85 %
Quel est le taux de réussite global de ce lycée ?
Deuxième partie.
La moyenne de trois nombres a , b et c est 29, celle des nombres a et b est 22 et celle des nombres b et c
est 39,5. Quels sont ces trois nombres ?
Troisième partie.
Le tableau ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de maths par 25 élèves d’une classe de
seconde.
1°) Calculer la note moyenne exacte.
2°) Compléter le tableau ci-dessus.
3°) Représenter graphiquement les fréquences cumulées croissantes.
4°) Déterminer graphiquement la médiane, les premiers et troisième quartiles. On laissera les traits apparents sur le
graphique.
5°) Donner l’intervalle inter quartile.
6°) Calculer l’écart interquartile et l’étendue de cette série de notes
7°) Représenter le diagramme en boites de cette série de notes.
1
Exercice 2 : ( 6 points)
La porte d’entrée d’un immeuble est munie d’un clavier de trois touches notées par les trois lettres A, B et C.
Le code qui déclenche l’ouverture de cette porte est formé d’une
série de deux lettres distinctes ou non.
1°) Recopier et compléter sur votre copie l’arbre de probabilités
ci-contre, qui dénombre l’ensemble des codes possibles.
2°) Déterminer le nombre de codes différents possibles.
3°) Déterminer, sous forme de fractions irréductibles, la probabilité
de chacun des événements suivants :
a) E : « Le code se termine par la lettre A ».
b) G : « Le code est formé de deux lettres différentes».
c) H : « Le code comporte au moins une fois la lettre A ».
Exercice 3 : ( 4 points)
Voici les résultats d’un sondage effectué en 2014 auprès d’un échantillon de 2000 personnes, concernant l’usage
d’Internet.
40 % des personnes interrogées déclarent être intéressées par l’usage d’Internet.
35 % des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes déclarent être
intéressées par l’usage d’Internet.
30 % des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85 % déclarent ne pas être
intéressées par l’usage d’Internet.
Les résultats seront toujours donnés sous forme de fractions irréductibles.
1°) Reproduire sur votre copie puis compléter le tableau suivant.
2°) On choisit au hasard une personne parmi les 2000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même
probabilité d’être choisie. On considère alors les deux événements suivants :
A : « La personne interrogée a moins de 30 ans ».
B : « La personne interrogée est intéressée par Internet ».
a) Calculer les probabilités P ( A) puis P ( B ) .
( )
b) Définir l’événement contraire A puis calculer P A .
c) Calculer enfin les deux probabilités P ( A ∩ B ) puis P ( A ∪ B ) .
3°) On sait dans cette question que la personne interrogée est intéressée par Internet, quelle est alors la probabilité
qu’elle est plus de 30 ans ?
2
Vendredi 27 mars 2015 . CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N° 10.
Classe de seconde 09. Salle 206. CORRECTIONS.
Exercice 1 : ( 10 points)
Les trois parties de ce problème sont indépendantes.
Première partie.
Le nombre de candidats présents est de 64 + 95 + 160 = 319
75
80
85
Et le nombre de candidats reçus est de :
× 64 +
× 95 +
× 160 = 260
100
100
100
260
D’où le taux de réussite global du lycée est alors de
0,815 , soit 81,5%
319
Deuxième partie.
Avec les hypothèses de ce problème, on obtient le système suivant :
a + b + c
= 29
 3
a + b + c = 87
44 + c = 87
c = 43
c = 43
c = 43

a + b





= 22
⇔ a + b = 44
⇔ a + b = 44 ⇔ a + b = 44 ⇔ a + 36 = 44 ⇔ a = 8

 2
b + c = 79
b + c = 79
b + 43 = 79
b = 36
b = 36





b + c
39,
5
=
 2

Conclusion, ces trois nombres valent a = 8 ; b = 36 et c = 43
3
Troisième partie.
1°) La note moyenne exacte : On utilise le centre des classes, ce qui donne :
272
2 × 1 + 4 × 2 + 6 ×1 + 8 × 5 + 10 × 4 + 12 × 1 + 14 × 7 + 16 × 3 + 18 × 1
= 10,88
, soit x =
x=
25
25
2°) Le tableau compléter :
3°) Graphiquement les fréquences
cumulées croissantes :
4°) Déterminer graphiquement la médiane, les premiers et troisième quartiles. On laissera les traits apparents sur le
graphique.
La note médiane de cette série de notes est l’abscisse du point qui a une fréquence cumulée égale à 0,5
(Correspondant à 50 %), on lit alors sur ce graphique, environ M e = 10,8
Le premier quartile de cette série de notes est l’abscisse du point qui a une fréquence cumulée égale à 0,25
(Correspondant à 25 %), on lit alors sur ce graphique, environ Q1 = 7,8
Le troisième quartile de cette série de notes est l’abscisse du point qui a une fréquence cumulée égale à 0,75
(Correspondant à 75 %), on lit alors sur ce graphique, environ Q3 = 14,3
5°) L’intervalle interquartile vaut [ 7,8;14,3]
6°) L’écart interquartile vaut 14,3 − 7,8 = 6,5 et l’étendue de cette série de notes vaut Max − Min = 19 − 1 = 18
7°) Le diagramme en boites de cette série de notes.
4
Exercice 2 : ( 6 points)
La porte d’entrée d’un immeuble est munie d’un clavier de trois touches notées par les trois lettres A, B et C.
Le code qui déclenche l’ouverture de cette porte est formé d’une série de deux lettres distinctes ou non.
1°) L’arbre de probabilités ci-dessous, qui dénombre l’ensemble des codes possibles.
2°) Le nombre de codes différents possibles.
Il y a 3 × 3 = 9 codes possibles
AA ; AB ; AC ; BA ; BB ; BC ; CA ; CB et CC
3°) Déterminer, sous forme de fractions irréductibles, la probabilité de chacun des événements suivants :
a) E : « Le code se termine par la lettre A ».
3 1
Ce qui donne AA ; BA et CA. Donc P ( E ) = =
9 3
b) G : « Le code est formé de deux lettres différentes».
Ce qui donne AB ; AC ; BA; BC ; CA et CB Donc P ( G ) =
6 2
=
9 3
c) H : « Le code comporte au moins une fois la lettre A ».
5
Ce qui donne AA ; AB ; AC ; BA et CA Donc P ( H ) =
9
Autre méthode, on utilise l’événement contraire
C’est-à-dire H , zéro fois la lettre A , soit BB ; BC ; CB et CC
4
4 5
Donc P H = donc P ( H ) = 1 − P H = 1 − =
9
9 9
( )
( )
5
Exercice 3 : ( 4 points)
Voici les résultats d’un sondage effectué en 2014 auprès d’un échantillon de 2000 personnes, concernant l’usage
d’Internet.
40 % des personnes interrogées déclarent être intéressées par l’usage d’Internet.
35 % des personnes interrogées ont moins de 30 ans et, parmi celles-ci, quatre cinquièmes déclarent être
intéressées par l’usage d’Internet.
30 % des personnes interrogées ont plus de 60 ans et, parmi celles-ci, 85 % déclarent ne pas être
intéressées par l’usage d’Internet.
1°) Le tableau.
Explications :
40 % des personnes interrogées déclarent être intéressées par l’usage d’Internet.
40
Donc j =
× 2000 = 800 , on en déduit k = 2000 − j = 2000 − 800 = 1200
100
35
35 % des personnes interrogées ont moins de 30 ans, donc c =
× 2000 = 700 et, parmi celles-ci, quatre
100
4
cinquièmes déclarent être intéressées par l’usage d’Internet, donc a = × 700 = 560 , on en déduit alors
5
b = c − a = 700 − 560 = 140
30
30 % des personnes interrogées ont plus de 60 ans donc i =
× 2000 = 600 , on en déduit alors
100
f = 2000 − 700 − 600 = 700 et, parmi celles-ci, 85 % déclarent ne pas être intéressées par l’usage d’Internet,
85
donc h =
× 600 = 510 , on en déduit alors e = k − b − h = 1200 − 140 − 510 = 550 , puis
100
d = f − e = 700 − 550 = 150 et enfin g = i − h = 600 = 510 = 90 .
2°) On choisit au hasard une personne parmi les 2000 interrogées. On suppose que toutes les personnes ont la même
probabilité d’être choisie. On considère alors les deux événements suivants :
A : « La personne interrogée a moins de 30 ans ».
B : « La personne interrogée est intéressée par Internet ».
a) Calculer les probabilités P ( A) puis P ( B ) .
P ( A) =
7
2
700
800
puis P ( B ) =
puis P ( B ) =
, ce qui donne P ( A ) =
20
5
2000
2000
6
( )
b) Définir l’événement contraire A puis calculer P A .
( )
A :"La personne intérrogée a 30 ans ou plus" et donc P A = 1 − P ( A ) = 1 −
13
7 20 − 7
=
, soit P A =
20
20
20
( )
c) Calculer enfin les deux probabilités P ( A ∩ B ) puis P ( A ∪ B ) .
A ∩ B :"La personne intérrogée a moins de 30 et est intéressée par Internet" et donc P ( A ∩ B ) =
P ( A ∩ B) =
7
25
On en déduit alors P ( A ∪ B ) = P ( A ) +P ( B ) − P ( A ∩ B ) =
P ( A ∪ B) =
560
, soit
2000
7 2 7
35 40 28
+ −
=
+
−
soit
20 5 25 100 100 100
47
100
3°) On sait dans cette question que la personne interrogée est intéressée par Internet, quelle est alors la probabilité
qu’elle est plus de 30 ans ?
Soit à trouver la probabilité notée par exemple p .
Il ya 800 personnes intéressée par Internet en tout et parmi celles-ci il y a 150+90 personnes qui on t plus de 30 ans,
3
50 + 90 240
donc p =
=
, ce qui donne p =
10
800
800
7