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niveau seconde - Chapitre 11: probabilités - échantillonnage
Ch11 :probabilités - échantillonnage
1. Probabilités
(a) probabilité d’un évènement
(b) Réunion et intersection de deux évènements ; formule :p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B)
2. Échantillonnage
(a) notion d’échantillon
(b) Intervalle de fluctuation d’une fréquence au seuil de 95 %
p : proportion du caractère dans une population
f : fréquence observée dans un échantillon de taille n. (n > 25 et 0.2 < p < 0.8
(c) Réalisation d’une simulation
(d) Concevoir et mettre en œuvre, exploiter des simulations concrètes ( tableur ou calculatrice)
(e) Exploiter et faire une analyse critique d’un résultat d’échantillonnage.
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niveau seconde - Chapitre 11: probabilités - échantillonnage
I Probabilités et fréquences
I-A Modélisation d’une expérience aléatoire
I-A-a) Expérience aléatoire
(i) Étude
1 : on lance un dé cubique , et on note le numéro de la face supérieure.Cette expérience est un expérience aléatoire
::::::::
dont les issues possibles sont : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii) Définition
: une expérience est dite aléatoire lorsqu’on ne peut pas prévoir l’issue de l’expérience.
:::::::::::
I-A-b) L’Univers Ω
(i) Définition
: L’univers est l’ensemble de tous les résultats possibles . On le note : Ω
:::::::::::
(ii) Étude
1 :suite Ω = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
::::::::::::
(iii) Définition
: chaque résultat possible s’appelle une "issue" ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
:::::::::::
I-B Choix d’un modèle
I-B-a) Définition :
Définir un modèle de probabilité pour une expérience aléatoire consiste à :
– préciser l’ensemble des n ( n ∈ N) issues possibles : Ω = {x1 ; x2 ; . . . ; xn }
– attribuer à chacune des issues xi (i ∈ {1; 2; . . . ; n}) un nombre pi , positif ou nul, appelé probabilité de xi telle
que :
p1 + p2 + . . . + p n = 1
I-B-b) Étude 2 ( 1re méthode) : déterminer un modèle de probabilité par observation statistique de
fréquences
On lance deux dés cubiques en même temps, et on note la somme des nombres de la face supérieure.
(i) Soit : Ω = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
(ii) Chaque élève lance les deux dés 50 fois, et remplit ensuite les deux premières lignes du tableau ci-dessous :
Ensuite, il faut récupérer les résultats d’autres élèves pour compléter le reste du tableau.Observez ensuite
l’évolution des fréquences.
issue
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
......
Lancers n
ni
50
%
ni
100
%
ni
1000
%
(iii) Lorsqu’on répète l’expérience aléatoire n fois de façon indépendante, la fréquence f d’une issue a tendance à se stabiliser ,lorsque n devient grand, autour d’une valeur p
p devient alors la probabilité de l’issue
I-B-c)
2e méthode : calcul grâce à un modèle théorique basé sur l’équiprobabilité
Modèle à choisir quand :
– on tire au hasard
– les dés sont équilibrés
– les boules sont indiscernables au toucher, etc . . .
Applications : no 18, no 20 p 208.
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II Probabilités
II-A Étude 3 : Probabilité d’un évènement
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes, et on note la carte obtenue.
Calculer la probabilité de l’évènement A "la carte est un valet" et B "la carte obtenue est un pique".
Vocabulaire : un évènement est une partie - ou sous-ensemble - de Ω.
Résolution :
• Ω = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
C ar d (Ω) = . . . . . .
• Modèle choisi : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
nombre d’issues favorables à A C ar d (A) . . . . . .
Donc :
p(A) =
=
=
nombre d’issues possibles
C ar d (Ω) . . . . . .
nombre d’issues favorables à B C ar d (B ) . . . . . .
Donc :
p(B ) =
=
=
nombre d’issues possibles
C ar d (Ω) . . . . . .
II-B Évènements particuliers
II-B-a) Évènement contraire
L’évènement contraire de A, noté . . . . . . . . . est réalisé par les évènements élémentaires - évènement à une seule
issue - qui ne réalisent pas A.
Etude 3 (suite) :nommer l’évènement B¯ , puis calculer p(B¯ ).
¯ :" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " ; C ar d (B¯ ) = . . . . . . . . .. Donc : p(B)
¯ = ...............
B
¯ = . . . . . . . . . ⇔ p(B)
¯ = 1 − p(B)
Remarque : p(B) + p(B)
II-B-b) Évènements incompatibles
Deux évènements incompatibles ne peuvent se réaliser simultanément .
Étude 3 (suite) :Donner deux évènements incompatibles, que vous nommerez C et D.
Calculer ensuite p(C ) et p(D). Applications : no 28 p 208.
II-C Étude 4 :Union et intersection d’évènements
On lance un dé à 20 faces numérotées de 1 à 20.
II-C-a) Union de deux évènements
(i) Déterminer l’univers Ω : Ω = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
Card(Ω) = . . . . . .
(ii) citer deux évènements élémentaires et leur probabilité.( le modèle choisi sera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(iii) Déterminer l’évènement A :"Obtenir un nombre multiple de 5" en citant les évènements élémentaires le
composant : A = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
Card(A) = . . . . . .. Donc :p(A) = . . . . . . . . .
(iv) Déterminer l’évènement B :"Obtenir un nombre multiple de 7" en citant les évènements élémentaires le
composant : B = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
Card(B) = . . . . . .. Donc :p(B) = . . . . . . . . .
(v) Déterminer l’évènement A ∪ B :" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "
en citant les évènements élémentaires le composant : A ∪ B = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
Card(A ∪ B) = . . . . . ..
Donc :p(A ∪ B) = . . . . . . . . . . . . . . .
II-C-b) Intersection de deux évènements
(i) Déterminer l’évènement C :"Obtenir un nombre multiple de 2" en citant les évènements élémentaires le
composant : C = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
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Card(C) = . . . . . .. Donc :p(C) = . . . . . . . . .
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(ii) Déterminer l’évènement A ∩ C :" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "
en citant les évènements élémentaires le composant : A ∩ C = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
Card(A ∩ C) = . . . . . ..
Donc :p(A ∩ C) = . . . . . . . . . . . . . . .
(iii) Déterminer l’évènement A ∪ C :" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "
en citant les évènements élémentaires le composant : A ∪ C = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}
Card(A ∪ C) = . . . . . ..
Donc :p(A ∪ C) = . . . . . . . . . . . . . . .
(iv) Calculer : p(A ∪ C) + p(A ∩ C) = . . . . . . . . . . . . et p(A) + p(C) = . . . . . .. Que remarquez-vous ?
(v) Calculer : p(A ∩ B) + p(A ∪ B) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . et p(A) + p(B) = . . . . . .. Que remarquez-vous ?
Conclusion :soit deux évènements A et B
p(A ∩ B) + p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
remarque : si A et B sont incompatibles, alors :p(A ∩ B ) = 0
II-D Représenter une situation
II-D-a) Étude 5 :arbre de probabilité
Dans un sac, on met les lettres L, U, N et E. On tire successivement les 4 lettres du sac ( sans les remettre à chaque fois). On
a ainsi formé un mot de 4 lettres ( qui n’ont pas forcément de
signification).
On note Ω l’ensemble des mots de 4 lettres qu’on peut ainsi
former.
(i) A l’aide de l’arbre ci-contre, déterminer le nombre d’éléments de Ω.
Card(Ω) = . . . . . .
(ii) Quelle est la probabilité d’obtenir le mot "LUNE" ?
P("LUNE") = . . . . . . . . . . . .
(iii) Soit A l’évènement "Obtenir un mot commençant par N".
Déterminer p(A).
P(A) = . . . . . . . . . . . .
(iv) Soit B l’évènement "Obtenir un mot commençant par
EL". Déterminer p(B ).
P(B) = . . . . . . . . . . . .
(v) Exercices : no 57 , 60 p 210
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II-D-b) Étude 6 :diagramme de Venn
Dans un lycée, il y a 250 élèves qui font partie de l’association sportive : 120 élèves font partie de la section Badminton.
90 élèves de la section Football et 50 élèves des deux
sections. On désigne au hasard un élève de l’association
sportive, tous les élèves ayant la même chance d’être désignés.
On considère les évènements suivants :
– B :"l’élève fait partie de la section Badminton"
– F :"l’élève fait partie de la section Football"
(i) Remplir le diagramme de Venn ci-dessus avec les effectifs correspondants.
(ii) Calculer P (B ), P (F ) et P (B ∩ F ).
II-D-c) Étude 7 :tableau à double entrées
Cette représentation est indiqué lorsque les éléments sont classés selon deux critères différents.
Dans son mp3, Bryan a 250 chansons dont 50 sont sous forme de clips. La moitié de l’ensemble des chansons
françaises. Les autres sont des chansons internationales. De plus, il y a 40 chansons internationales sous forme de
clips. Bryan utilise le mode aléatoire de son mp3.
On considère l’univers Ω constitué des 250 chansons.
Soit les évènements :
– C :"obtenir un clip"
– F :"obtenir une chanson française"
– G :"parmi les chansons françaises, obtenir
une chanson sans clip"
C.française
C.Intern
Total
C. + Clip
C. sans clip
Total
(ii) Calculer P (C ), P (F ), P (G) et P (C ∪ F ).
(i) Remplir le tableau ci-contre.
(iii) Applications : no 15, no 30, no 38, no 42, no 48 p 208.
III Simulation
III-A But
Méthode statistique - par répétition d’un grand nombre d’expériences à la machine - qui permet de proposer
une réponse au problème posé en terme de probabilité.
III-B Étude 2 :validation du modèle sur machine
III-B-a) Calcul des probabilités avec un tableau à double entrée
Chaque issue est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , donc :
dé 2
dé 1
1
2
3
4
5
6
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1
2
3
4
5
p(2) = p(. . .) =
6
p(3) = p(. . .) =
p(4) = p(. . .) =
p(5) = p(. . .) =
p(6) = p(. . .) =
p(7) =
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...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
' ......%
' ......%
' ......%
' ......%
' ......%
...
' ......%
...
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III-B-b) Simulation sur tableur ( open office)avec choix du modèle
(i) Formule générant la variable aléatoire sur tableur : ALEA() permet d’obtenir un nombre x au hasard tel
que :x ∈ [0; 1] ; ALEA.ENTRE.BORNES(1 ;6) , un entier compris entre 1 et 6 ( simulation du lacer d’un dé).
(ii) Autre formule nécessaire : NB.SI(plage ;critère) qui permet de compter l’effectif de tel nombre dans un tableau.
(iii) Sur calculatrice :
(iv) Applications : no 73 p 210.
III-B-c) Résultats de la simulation sur tableur
Les tableaux contiennent les effectifs de sortie de chaque somme, leur pourcentages f , en comparaison de
la probabilité attendue p :
500 expériences
1000 expériences
10 000 expériences
III-B-d) Conclusion :
A grande échelle, les valeurs de f se confondent avec celles de p. L’essai à la main peut donc être remplacée par
une programmation machine.Le choix du modèle doit être pertinent en terme de probabilité
III-C Étude 8 :marche aléatoire et algorithmique(calculatrice)
Une puce se délace sur un axe graduée : à chaque saut, de manière
aléatoire et équiprobable vers la droite ou vers la gauche. Elle part de
l’origine et effectue une marche de 30 sauts. Analyser les algorithmes
suivants :
III-C-a) Algorithme :proposition
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III-C-b) Analyse des algorithmes :
(i) Programmer l’algorithme 1 et faire 100 expériences. Donner les fréquences de sortie de chaque position d’arrivée.
(ii) Que fait l’algorithme 2 ?
IV Échantillonnage
IV-A définition
Lorsqu’on répète n fois, de façon indépendante, une même expérience aléatoire, on obtient une série de n
résultats que l’on appelle échantillon de taille n.
IV-B Étude 9 :Découverte de l’intervalle de fluctuation
Une urne contient 20% de boules jaunes et le reste en boules bleues. Elles sont indiscernables au toucher. On
simule le tirage d’une boule, qui est ensuite remise dans l’urne. Chaque tirage est donc indépendant du précédent.
(i) On propose de simuler 100 tirages successifs.Quel protocole proposez-vous pour effectuer cette simulation
sur calculatrice ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formule simulant le tirage : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(ii) voici deux exemples de graphiques représentant la répartition de la fréquence obtenue sur 100 tirages ; 50
répétitions de ces 100 tirages ont été effectués :
1
1
(iii) Calculez 0, 2 − p
et 0, 2 + p
. Quel est le pourcentage de valeurs comprises dans l’intervalle [0, 1; 0, 3]
100
100
dans le graphique 1 et dans le graphique 2 ?
Graphique 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Graphique 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV-C Définition de l’intervalle de fluctuation
Soit n la taille de l’échantillon et p la fréquence théorique d’apparition telle
que :
0, 2 ≤ p ≤ 0, 8
Il y a 95 % de chances que la fréquence observée f soit comprise dans l’in¸
·
1
1
( intervalle de fluctuation au seuil de 95 %)
tervalle p − p ; p + p
n
n
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IV-D Étude 10 :procés de Rodrigo (fait réel)
En novembre 1976 au Texas, Rodrigo Partida fut condamné à huit ans de prison pour cambriolage. Il attaqua
le jugement en invoquant le motif suivant : la désignation des jurés était discriminatoire à l’égard des Américains
d’origine mexicaine. Rodrigo Partida utilisa les statistiques pour démontrer que la proportion des jurés ne pouvait
pas être due au hasard....On se propose de revoir une partie de sa démonstration. Pour son procès, 870 personnes
ont été convoqués pour être jurés.
Parmi elles, 339 personnes étaient d’origine mexicaine. Dans ce comté du Texas, 79,1% de la population était d’origine mexicaine.
(i) Si on choisit au hasard 870 personnes, à quel intervalle de fluctuation, au seuil de 95%, doit appartenir la
fréquence des personnes d’origine mexicaine ?
(ii) Conclure.
IV-E Étude 11 :Poudlard
Dans une célèbre école du nom de Poudlard, les élèves sont répartis dans quatre maisons. La répartition des
2500 élèves est la suivante :
GRYFFONDOR
675
POUFSOUFFLE
624
SERDAIGLE
626
SERPENTARD
575
Drago, l’un des représentants de la maison Serpentard, veut se plaindre au directeur de cette école, car, selon lui,
le choix du nombre d’élèves par maison n’a pas pu se faire de façon aléatoire, et il se sent lésé. A-t-il raison ?
IV-F Étude 12 :statistiques de natalité(fait réel)
On suppose qu’en moyenne, 51% des nouveaux-nés sont de sexe masculin.
(i) Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence des garçons nouveaux-nés dans des
échantillons de taille 132 pris au hasard.
(ii) Dans une petite commune, il est né ,entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 6 garçons. Peut-on considérer, avec
5% de risque, que cette situation est le seul fruit du hasard ?
(iii) Au Canada, dans une réserve indienne, il est né ,entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 46 garçons. Peut-on
considérer, avec 5% de risque, que cette situation est le seul fruit du hasard ?
IV-G Étude 13 :élection
Un candidat à une élection souhaite savoir s’il pourra être élu dés le premier tour ( c’est-à-dire récolter plus de
50% des voix). Il organise un sondage portant sur un échantillon représentatif comportant 500 votants.
(i) En supposant que 50% de la population souhaite voter pour ce candidat, donner l’intervalle de fluctuation
au seuil de 95% pour un échantillon de 500 personnes.
(ii) Sur les 500 personnes interrogées, 223 disent qu’elles voteront pour ce candidat. Peut-il espérer être élu dés
le premier tour ?
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