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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Razones trigonométricas de los ángulos de un triángulo rectángulo eran esas
relaciones entre los lados de dicho triángulo rectángulo.
Seno: Se define el seno del ángulo como el cateto opuesto dividido entre la hipotenusa
del triángulo.
Coseno: En este contexto, se define el coseno del ángulo como el cateto adyacente
dividido entre la hipotenusa del triángulo.
Tangente: se define como el cociente entre el cateto opuesto dividido entre el cateto
adyacente. O, lo que es lo mismo, el cociente entre el seno y el coseno de dicho
ángulo.
Cosecante: La cosecante del ángulo es la razón inversa del seno. Es el cociente de la
hipotenusa dividido entre el cateto opuesto.
Secante: La secante del ángulo es la razón inversa del coseno. Es el cociente de la
hipotenusa dividido entre el cateto adyacente.
Cotangente: La cotangente del ángulo es la razón inversa de la tangente. Es el
cociente del cateto adyacente dividido entre el cateto opuesto.
=
=
=
=
=
=
MIDIENDO EN GRADOS Y RADIANES
Objetivos de Aprendizaje
 Entender las medidas en radianes.
 Convertir de grados a radianes.
 Convertir de radianes a grados.
Sabes que hay diferentes unidades de medida para medir la misma cosa. Por ejemplo,
la longitud se puede medir en pies y metros y la temperatura se puede medir en grados
39
Centígrados y grados Fahrenheit. Normalmente usamos fórmulas para convertir entre
distintas unidades de medida.
También hay dos maneras de medir ángulos. Sabes cómo medirlos en grados. Ahora
aprenderás a medirlos en radianes y cómo convertir entre éstas unidades de medida.
Mientras que los grados se usan en las actividades diarias como en la construcción y la
topografía, la medida en radianes se usa para muchos cálculos, como la velocidad y
distancia de los satélites alrededor de la Tierra.
MEDIDA EN RADIANES
Para poder definir los radianes, es necesario introducir el
concepto de ángulo central. Un ángulo central es un ángulo
cuyo vértice está en el centro de un círculo. En el círculo
siguiente, el centro es el punto O, la longitud del radio es r, y
∠
es el ángulo central.
Definición radianes. Unidad de medida basada del largo
del arco
Convirtiendo medidas en ángulos

Grados a radianes: Multiplica valor radian por
radianes y se divide por 180

radianes por 180 y se divide por
Radianes
a
grados:
Multiplicar
radianes.
 180 =  360 = 2 360 en contra de las manecillas del reloj
40
numero
de
CIRCULO UNITARIO
ÁNGULOS Y MEDIDAS
La palabra trigonometría proviene del griego Tri=3, Gono=Ángulos, Metria=Medidas.
Es una rama de la matemática que nos ayuda a resolver problemas relacionados y
haciendo cálculos con las medidas de los ángulos y ángulos de un triangulo.
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen:
a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.
280
sin =
= 0.6747 ⇒ = sin 0.6747 = 42°43′
415
= 90° − 42°43 = 47°57′
= cos
= 415 ∗ cos 42°43′ ⇒ 415 ∗ 0.7381 = 306.31
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B =
22°. Resolver el triángulo.
= 90° − 22° = 68°
= = 45 ∗
22° ⇒ 45 ∗ 0.3746 = 16.85
= cos 22° = 45 ∗ cos 22° ⇒ 45 ∗ 0.9272 = 41.72
41
TRIANGULO EQUILÁTERO
El triángulo equilátero tiene los tres lados y
ángulos iguales.
Perímetro de un triángulo equilátero:
=3∗
Altura de un triángulo equilátero:
1
=ℎ +
⇒ =ℎ + ⇒
2
4
=
Área de un triángulo equilátero:
=
−
4
⇒ℎ=
⇒
−
4
=ℎ ⇒ℎ
3
√3
⇒ℎ=
4
2
√
ELEMENTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO
En un triángulo equilátero coinciden el ortocentro, baricentro,
circuncentro e incentro.
El centro de la circunferencia es el baricentro y la altura coincide
con la mediana, por tanto el radio de la circunferencia circunscrita
es igual a dos tercios de la altura.
=
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en
dos partes iguales.
1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una
circunferencia de cualquier amplitud.
2. Desde los puntos de corte de la circunferencia con
los lados del ángulo se trazan dos circunferencias
con el mismo radio.
3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las
circunferencias es la bisectriz.
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BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO
Las bisectrices de un triángulo son cada una de las rectas
que dividen a un ángulo en dos ángulos iguales.
El incentro es el punto de corte de las tres bisetrices.
El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el
triángulo.
ÁREAS Y PERÍMETROS
Perímetro. En matemáticas, el perímetro es la suma de las longitudes de los lados de
una figura geométrica.
Área: es la medida de la superficie de una figura; es decir, la medida de su región
interior.
PERÍMETRO Y ÁREA DEL CUADRADO
Perímetro: El perímetro de un cuadrado es cuatro veces el valor del
lado:
=
∗
Área: El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud del lado:
PERÍMETRO Y ÁREA DEL RECTÁNGULO
Perímetro: El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, por
tanto:
=
∗
+
∗
Área: El área de un rectángulo es el producto de la longitud
de los lados:
=
∗
PERÍMETRO Y ÁREA DE UN PARALELOGRAMO.
Perímetro:
=
∗
+
∗
= (
+
)
Área: El área de un paralelogramo es igual al producto de la
base por la altura:
=
∗
43
=
PERÍMETRO Y ÁREA DE UN ROMBO
Área: El área del rombo es igual al producto de diagonal (D) por
diagonal (d) dividido entre dos.
∗
=
Perímetro: El perímetro del rombo es cuatro veces el valor del
lado.
=
∗
Área de un segmento del rombo
=
+
2
2
=
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRAPECIO
Área: El área del trapecio es igual a la semisuma de las
=
bases dividido entre 2 por la altura.
∗
Perímetro: Para calcular el perímetro de un trapecio
cualquiera se suma el valor de los cuatro lados.
=
+
+
+
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO
Perímetro: Suma de sus lados.
=
+ +
Área: El área de un triángulo es el producto de uno de sus
lados por la altura sobre él dividido entre dos.
=
∗
Base de un triángulo es cualquiera de sus lados, y la altura
es el segmento perpendicular a la base por el vértice opuesto.
ÁREA Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
Longitud: La Longitud de una circunferencia es igual al valor de
su diámetro multiplicado por (PI):
=
∗ ó
=
∗
∗
Área del círculo: El área de un círculo es igual al valor de su radio
elevado al cuadrado multiplicado por (PI):
=
=
= 3.14159265358979 …
44
Diámetro:
=2∗
LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA
=2∗
∗ ∗
360
Área de un sector circular:
=
∗
∗
Ejemplos de aplicación:
Ejemplo 1: ¿Cuál es el cálculo del área sombreada de la siguiente
figura?
Solución:
=
−
50.26 ⇒
⇒
= (8) − 3.1416 ∗ (4) ⇒ 64 − 3.1416 ∗ 16 ⇒ 64 −
= 13.73
Nota: Si el diámetro de la circunferencia es 8, el radio será la mitad
de esto:
= =4
Ejemplo 2: ¿Cuál es el cálculo del área sombreada de la siguiente
figura?
Solución:
=
−
2
⇒
=
(8) − 3.1416 ∗ (4)
64 − 3.1416 ∗ 16 64 − 50.26 13.73
⇒
⇒
⇒
⇒
2
2
2
2
= 6.87
45