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Series de Fourier
Eduardo Ibarra Garcí
a Padilla
El producto interior
En clase vimos las siguiente relaciones:
1 Π
Ù sinHnxL sinHmxL dx = ∆mn
Π -Π
1 Π
Ù cosHnxL cosHmxL dx = ∆mn
Π -Π
1 Π
Ù sinHnxL cosHmxL dx = 0
Π -Π
Donde ∆mn es la delta de Kronecker, la cual vale 0 si m¹n, y 1 si m=n.
Esas tres relaciones son un producto interior de las funciones sin(x) y cos(x) y nos dicen que las funciones sin(x) y cos(x) son ortogonales.
Esto lo verán con mayor claridad en álgebra lineal, pero por ahora digamos que si dos funciones son
ortogonales, no existe proyección del sin(x) sobre el cos(x) y viceversa, i.e. que no podemos expresar
al cos(x) como una suma de sin(x) ni viceversa.
Coincido en que sin(x) = cos(x- Π/2) pero no es a esto a lo que me refiero, sino a que no puedo escribir:
cos(nx)=Ú¥
n=1 an sinHnxL
La magia de la Serie de Fourier
Teorí
a
La serie de Fourier es una herramienta súper poderosa para descomponer funciones en té rminos de
senos y cosenos.
La idea escribir una función periódica como una suma de senos y cosenos:
f HxL =
ao
2
+ Ú¥
n=1 an cosHnxL + bn sinHnxL
donde
ao =
an =
bn =
1 Π
Ù f HxL dx
Π -Π
1 Π
Ù f HxL cosHnxL dx
Π -Π
1 Π
Ù f HxL sinHnxL dx
Π -Π
Printed by Wolfram Mathematica Student Edition
f HxL =
2
ao
2
+ Ú¥
n=1 an cosHnxL + bn sinHnxL
serie de fourier.nb
donde
ao =
an =
bn =
1 Π
Ù f HxL dx
Π -Π
1 Π
Ù f HxL cosHnxL dx
Π -Π
1 Π
Ù f HxL sinHnxL dx
Π -Π
Ejemplo
Hagamos un ejemplo, una función cuadrada que valga 1 de 0 a Π y -1 de -Π a 0 y se extiende periódicamente con periodo 2Π.
En este caso, como la función es impar, todos los té rminos an = 0 para n=0,1,2,...,¥
Basta calcular los té rminos bn , los cuales son:
0
bn = 1 A- Ù-Π sinHnxL dx + Ù0 sinHnxL dxE
Π
Π
0
Π
1
@cos HnxLD-Π - 1 @cos HnxLD0
nΠ
nΠ
bn = 2 @1 - cosHnΠLD
nΠ
bn = 2 A1 - H-1Ln E
nΠ
bn = 2 A1 + H-1Ln+1 E
nΠ
bn =
De aquí
podemos inferir que sólo sobreviven los té rminos impares, i.e. bH2 n+1L =
Por lo tanto la serie se lee como:
f HxL = +Ú¥
n=0 J
4
N sin@H2 n + 1L xD
H2 n+1L Π
Grafiquemos
N
In[229]:=
4
f@N_, x_D := â
n=0
Sin@H2 n + 1L xD
H2 n + 1L Π
Printed by Wolfram Mathematica Student Edition
4
H2 n+1L Π
serie de fourier.nb
In[256]:=
3
Plot@8f@1, xD, f@3, xD, f@5, xD, f@50, xD<, 8x, - 2 Π, 2 Π<,
PlotLabel ® "Serie de Fourier la Onda Cuadrada", AxesLabel ® 8"x", "fHxL"<,
ImageSize ® Large, PlotLegends ® Placed@8"N=1", "N=3", "N=5", "N=50"<, 80.87, 0.8<D,
BaseStyle ® 8FontSize ® 16<D
Serie de Fourier la Onda Cuadrada
fHxL
N=1
1.0
N=3
N=5
0.5
N=50
Out[256]=
-6
-4
-2
2
4
6
x
-0.5
-1.0
Pueden ver que conforme tomemos más té rminos, la serie converge a la función deseada. El efecto de
borde que es donde existe la discontinuidad es un tema que hoy en dí
a se sigue estudiando en las
matemáticas.
Fin
Printed by Wolfram Mathematica Student Edition