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Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Cálculo 2 Para Ingeniería
Cristián Burgos G.
Curvas en
Problema 1.
R2
, Coordenadas Polares
Para las siguiente curvas denidas paramétricamente, determine la ecuación de la recta tangente en el
punto dado y además,
d2 y
dx2
1. x = 2 cos t ; y = 2 sin t , t =
π
4
2. x = t − sin t ; y = 1 − cos t , t =
π
3
3. x = t + et ; y = 1 − et , t = 0
Problema 2.
1. Demuestre qu el área de la región encerrada por el arco de la cicloide y el eje X es 3πa2 . Las ecuaciones paramétricas
de esta curva son:
x = a(θ − sin θ)
y = a(1 − cos θ)
2. Obtenga el área encerrada por la elipse (∗) , donde t ∈ [0, 2π]
x = a cos t
y = b sin t
(∗)
3. Obtenga el área acotada por el eje Y y la curva
x = t − t2
y = 1 + e−t
Problema 3.
1. Deduzca a partir del concepto de Integral de Riemann que la longitud de curva L para una curva parametrizada de
la forma x = x(t) e y = y(t) es:
s
ˆ
b
L=
a
dx
dt
2
+
dy
dt
2
dt
2. Para el caso pasrticular en que y = f (x), y usando el punto anterior, demuestre que:
ˆ
b
p
1 + (f 0 (x))2 dx
L=
a
Problema 4.
Calcule la longitud de curva de las siruientes funciones parametrizadas:
1. x = cos t ; y = t + sin t , 0 ≤ t ≤ π
3
2. x =
t2
(2t + 1) 2
;y=
,0≤t≤4
2
3
3. x = 8 cos t + 8t sin t ; y = 8 sin t − 8t cos t , 0 ≤ t ≤
4. x = ln (sec t + tan t) − sin t ; y = cos t , 0 ≤ t ≤
Problema 5.
π
2
π
3
Encuentre las áreas de revolución al hacer rotar la curva en torno a los ejes indicados:
1. x = cos t ; y = 2 + sin t , 0 ≤ t ≤ 2π , en torno al eje X
2
√
√
√
√
t2 √
+ 2 · t − 2 , − 2 ≤ t ≤ 2 , en torno al eje Y
2
π
3. x = ln(sec t + tan t) − sin t ; y = cos t , 0 ≤ t ≤ , en torno al eje X
3
2. x = t + 2 ; y =
Problema 6.
Escriba las siguientes curvas polares en su forma cartesiana:
1. r cos θ = 2
2. r cos θ + r sin θ = 1
3. r =
5
sin θ − 2 cos θ
4. r = csc er cos θ
5. r sin θ = ln r + ln cos θ
Problema 7.
Transforme las siguientes curvas cartesianas a su forma polar:
1. x − y = 3
2.
x2
y2
+
=1
9
4
3. y 2 = 4x
4. x2 + (y − 2)2 = 4
5. x2 − y 2 = 1
Problema 8.
Dada la curva en coordenadas polares:
r = 2 + 2 cos θ
π
1. Determine a pendiente de la tangente a la curva en θ =
6
2. Esboce el gráco en el plano ΘR
3. Esboce el gráco en el plano XY
Problema 9.
Dada la curva en coordenadas polares:
√
r = 2 cos 2θ
π
π
1. Analice el tipo de simetría que ella tiene y ubique en el plano XY los puntos (θ, r(θ)) para: θ = 0, ± , ± , bosqueje
6
4
el gráco de la curva señalando el sentido de movimiento.
2. Determine los valores de θ ∈ R para los cuales la tangente es paralela al eje X
3. Calcule el área de la región encerrada por la curva
4. Calcule el área de la supercie de revolución generada cuando gira el arco de la curva que está en el primer cuadrante
en torno al eje X
Problema 10.
Dada la curva
p
r = 4 5 − 4 sin2 θ
1. Explique para qué valores de θ ∈ R , r dene un número real.
2. Estudie las simetrías que tiene la curva.
3. Analice el acotamiento de la curva.
4. Bosqueje el gráco de la curva en el plano XY , dándose algunos valores y señalando el sentido de movimiento.
5. Calcule el valor de la pendiente de la curva para θ =
Problema 11.
π
.
4
3
1. Calcule el área de la región del plano, acotada por la cardioide r = 2(1 + cos θ)
2. Encuentre el área que se encuentre dentro de la circunferencia r = 1 y fuera de la cardioide r = 1 − cos θ.
3. Calcule el área compartida por las cardioides r = 2(1 + cos θ) y r = 2(1 − cos θ).
√
4. Calcule el área fuera de la circunferencia r =
Problema 12.
3 y dentro de la lemniscata r2 = 6 cos (2θ)
Se tiene que la longitud de curva L para t ∈ [α, β] se calcula mediante:
ˆ
β
s
L=
α
dy
dt
2
+
dx
dt
2
dt
Demuestre que si hacemos la sustitución x = r(θ) cos θ e y = r(θ) sin θ la longitud de curva en coordenadas polares queda
denida mediante:
s
ˆ
β
r2 +
L=
α
Problema 13.
dr
dθ
2
dθ
(∗)
Usando la fórmula (∗), calcule la longitud de curva de las siguientes curvas en coordenadas polares:
1. El cicloide r = 1 − cos θ
2. La curva r = eθ , θ ∈ [0, 2π]
3. La curva r = a(1 − sin θ)
Problema 14.
Se tiene el cardioide r(θ) = 2a(1 + cos θ)
1. Demuestre que el área de la región encerrada por la curva es A = 6πa2
2. Su longitud de curva es L = 16a
4
3
3. El volumen del sólido de revolución generados al rotar la mitad de la curva en torno al eje X es V = a2 π(2a + 1).
Nota: el volumen de revolución en coordenadas polares es la fórmula
V =
2
π
3
ˆ
b
r3 sin θdθ
a