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Tercero Medio Cient´ıfico
Departamento de Matem´atica
Prof.: Francisca Vera Ferreira
Gu´ıa 3: Factorizaci´
on
Definici´
on: Factorizar una expresi´on algebraica (o suma de t´erminos algebraicos)
consiste en escribirla en forma de multiplicaci´on.
Factor com´
un (monomio y polinomio)
Aqu´ı, todos los t´erminos de la expresi´on presentan un factor com´
un, que puede ser un
monomio o un polinomio, por el cual se factoriza, es decir, el t´ermino com´
un es uno de los
factores de la multiplicaci´on. El otro se determina aplicando la multiplicaci´on algebraica.
Ejemplos:
5a6 10a2 20a3
−
−
3b2
21b
9b4
El t´ermino o factor com´
un de los numeradores es 5a2 y el de los denominadores es
5a2
3b; por lo tanto, el factor com´
un de la expresi´on es
y escribimos:
3b
Factoricemos la expresi´on
5a2
5a6 10a2 20a3
−
−
=
3b2
21b
9b4
3b
4a
a4 2
− − 3
b
7 3b
Factoricemos la expresi´on m(2a + b) − 3n(2a + b)
Aqu´ı podemos considerar el par´entesis (2a + b) como un solo t´ermino y podemos
factorizar por ´el. Entonces nos queda:
m(2a + b) − 3n(2a + b) = (2a + b)(m − 3n)
Observaciones
El proceso est´a completo si no es posible seguir factorizando dentro de los par´entesis
(o factores) obtenidos.
Por la propiedad conmutativa de la multiplicaci´on no importa el orden en que se
entregue el resultado.
1
Ejercicios
1. 21a6 − 14a5 + 56a7 =
2. 3a2 b − 6a3 b − 12ab3 =
3.
a2 b2 a3 b3 a2 b2
+ 2 − 3 =
x
x
x
4. ax + 4x + bx + 4b + cx + 4c =
5. xz 2 + a2 x + 2z 2 + 2a2 =
6. x6 y 9 z 12 + x6 y 8 z 6 + z 5 y 8 z 10 =
7.
4
16
2
a − ab − abc =
15
5
25
8.
x2 + y 2
− x2 − y 2 =
9a
Factor com´
un compuesto
Muchas veces, no todos los t´erminos de una expresi´on algebraica contienen un factor
com´
un, pero haciendo una adecuada agrupaci´on de ellos podemos encontrar factores comunes de cada grupo.
Ejemplos:
Factoricemos ac + ad + bc + bd
Si observamos, vemos que el primer y segundo t´ermino tienen el factor com´
un a y
el tercer y el cuarto t´ermino tienen b como factor com´
un. Asociamos y factorizamos
por parte:
ac + ad + bc + bd = (ac + ad) + (bc + bd) = a(c + d) + b(c + d) = (c + d)(a + b)
Factoricemos la expresi´on ax + bx + cx + ay + by + cy − az − bz − cz
Asociemos en el orden natural los tres primeros t´erminos, los tres siguientes y los
tres u
´ltimos:
ax+bx+cx+ay+by+cy−az−bz−cz = (ax+bx+cx)+(ay+by+cy)−(az+bz+cz) =
x(a + b + c) + y(a + b + c) − z(a + b + c) = (a + b + c)(x + y − z)
Observaci´
on: La forma de asociar no es u
´nica, pero la factorizaci´on si lo es.
2
Ejercicios:
1. 2ac − ad + 2bc − bd =
2. xu − xv − yu + yv =
3. bd − 3bf + 2cd − 6cf =
4. a2 c2 + a2 d2 + b2 c2 + b2 d2 =
5. 1 + b + a + ab =
6. a2 x2 y 2 + b2 x2 y 2 − 2a2 − 2b2 =
7. 2a − 2b + ax − bx =
8. 4 + 2c + 2d + 2a + ac + ad + 2b + bc + bd =
Diferencia de cuadrados
Recordemos que el producto de una suma de dos t´erminos por su diferencia es igual a
la diferencia de los cuadrados de ambos t´erminos. Aplicamos lo anterior en factorizaciones:
Ejemplos:
Factoricemos 9m2 − 16p2
9m2 es el cuadrado de 3m y 16p2 es el cuadrado de 4p. Entonces:
9m2 − 16p2 = (3m + 4p)(3m − 4p)
25
1
Factoricemos 2 − 2
a
4b
Usando el mismo razonamiento anterior vemos que la expresi´on se factoriza:
1
25
− 2 =
2
a
4b
1
5
+
a 2b
Ejercicios
1. a2 − 4b2 =
2. x2 − 0, 01y 2 =
3. m2 n2 − p2
4. 12a6 − 75b8 =
3
1
5
−
a 2b
5. 81c4 − 9d4 =
6. 45m6 − 80p8 =
7. 27x4 − 48y 2 =
8. 225 − a2 =
Trinomios ordenados
Definici´
on: Llamamos trinomio ordenado (seg´
un el grado) a una expresi´on de la forma
ax + bx + c, donde a, b, c, y x representan n´
umeros reales.
2
En general, los trinomios pueden proceder:
de la multiplicaci´on de un binomio por s´ı mismo (o un cuadrado de binomio); por
ejemplo: (a + 7)2 = a2 + 14a + 49
de la multiplicaci´on de dos binomios con un t´ermino com´
un; por ejemplo: (a + 2)(a +
2
6) = a + 8a + 12
o de la multiplicaci´on de dos binomios de t´erminos semejantes: (2x + 1)(x + 2) =
2x2 + 5x + 2
Ejemplos:
Factoricemos x2 + 10x + 25
Observamos que el primer t´ermino (x2 ) y el u
´ltimo (25) son los cuadrados de x y
5, respectivamente, y adem´as el t´ermino central (10x) corresponde al doble del producto de x y 5; entonces la expresi´on es un cuadrado de binomio y as´ı:
x2 + 10x + 25 = (x + 5)2
Factoricemos y 2 + 13y + 36
Aqu´ı vemos que tanto el primer t´ermino como el tercero corresponden a cuadrados
exactos (de y y de 6, respectivamente), pero el t´ermino central (13y) no corresponde
al doble del producto entre y y 6 (es decir, a 12y); en este caso, el trinomio puede
corresponder al producto de dos binomios con un t´ermino com´
un, que ser´ıa y.
Buscamos entonces dos n´
umeros cuyo producto sea igual a 36 (el u
´ltimo t´ermino del
trinomio) y el producto del t´ermino com´
un (y) por la suma de estos n´
umeros sea
igual al t´ermino central (13y). Los n´
umeros son +9 y +4.
En efecto: +9 · +4 = 36 y 9 + 4 = 13
Entonces: y 2 + 13y + 36 = (y + 9)(y + 4)
4
Factoricemos 2x2 − 3x − 2
En este ejemplo, el primer t´ermino no es cuadrado exacto de un t´ermino entero.
Amplifiquemos por el cociente de x2 (en este caso, por 2) para obtener un primer
t´ermino como en los ejemplos anteriores, es decir, un cuadrado exacto.
2x2 − 3x − 2
/ · 22
4x2 − 6x − 4
2
Podemos aplicar al numerador el razonamiento de los ejemplos anteriores (porque el
primer t´ermino ya es un cuadrado exacto) y entonces trataremos de factorizar como
producto de dos binomios con un t´ermino com´
un que en este caso es 2x.
Buscamos dos n´
umeros que multiplicados sean igual a −4 y cuya suma sea igual a
−3 (pues al multiplicar la suma por el t´ermino com´
un 2x se debe obtener −6x).
Los n´
umeros son −4 y 1 y as´ı, la factorizaci´on de la expresi´on simplificada es:
(2x − 4)(2x + 1)
4x2 − 6x − 4
=
2
2
Ejercicios
1. x2 + 14 + 49 =
2. 9x2 − 30xy + 25y 2 =
3. a2 + a +
1
=
4
4. 1 + 6z + 9a2 =
5. x6 + 2x3 + 1 =
6. 3x2 + 14x + 8 =
7. 5x2 − 18x + 9 =
8. 18a2 − 18a + 4 =
5
Sumas o diferencias de cubos
Los factores de una diferencia de cubos son:
x3 − y 3 = (x − y)(x2 + xy + y 2 )
Los factores de una suma de cubos son:
x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 )
Ejemplos:
Factoricemos a3 − 8 Observamos que a3 es el cubo de a y que 8 es el cubo de 2. Se
trata de una diferencia de cubos, por lo tanto:
a3 − 8 = (a − 2)(a2 + 2a + 4)
Factoricemos x3 + 27
El t´ermino x3 es el cubo x y 27 es el cubo de 3. Aqu´ı tenemos una suma de cubos y
por lo tanto:
x3 + 27 = (x + 3)(x2 − 3x + 9)
Ejercicios
1. x3 + p3 =
2. −1 − b3 =
3. 8a3 +
1
=
b3
4. 125t3 −
1
=
z3
5. x1 2 − y 1 2 =
6. a2 7 + b2 7 =
7. 0, 001 −
a6
=
b3
8. a6 − 1 =
6