‫פיסיקה ‪ - 2‬מאגר שאלות ופתרונות מלאים‬ ‫קיבול‪:‬‬ ‫מצאו את הקיבול של מערכת המכילה שתי קליפות כדוריות מוליכות בעלות מרכז משותף ורדיוסים ‪ a‬ו‬ ‫‪ . b‬נתון‪) . a < b :‬קבל כדורי(‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫השיטה למציאת קיבול היא להניח מטען חיובי‪ , + Q ,‬על אחת הקליפות‪ ,‬ומטען שלילי‪ , − Q ,‬על הקליפה‬ ‫‪Q‬‬ ‫= ‪ , C‬כדי לקבל את‬ ‫השנייה‪ .‬לחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הקליפות ואז לחלק עפ"י הנוסחה‪:‬‬ ‫‪∆V‬‬ ‫הקיבול‪ .‬שימו לב‪ ,‬שהקיבול אמור להיות חיובי ותלוי במימדי הקבל בלבד )רדיוסים( ולא במטען‪.‬‬ ‫נניח מטען חיובי על הקליפה החיצונית‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ - kQ ‬‬ ‫‪ kQ ‬‬ ‫‪ kQ kQ  kQ kQ‬‬ ‫‪b−a ‬‬ ‫‪∆V = -∫  2 dr = −   = − ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪= kQ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪a  a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ r a‬‬ ‫‪ b‬‬ ‫‪ ab ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫והקיבול הוא‪:‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫=‬ ‫) ‪ b − a  k (b - a‬‬ ‫‪kQ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ab ‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫=‬ ‫‪∆V‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫קיבול‬ ‫שני כדורים מוליכים טעונים מרוחקים מאוד זה מזה‪ .‬הכדורים בעלי רדיוסים ‪ R1‬ו‪ R2 -‬ובמצב‬ ‫ההתחלתי אינם טעונים כלל‪ .‬מחברים את הכדורים בחוט מוליך דק לסוללה כמוראה באיור‪ ,‬ונותנים‬ ‫למערכת להתייצב )להגיע לשיווי משקל אלקטרוסטטי(‪ .‬מתח הסוללה הוא ‪ . V0‬נתונים‪. V0 , R1 , R2 :‬‬ ‫א‪ .‬מהו המטען על כל כדור?‬ ‫ב‪ .‬מהו הקיבול של מערכת‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫הכדורים המוליכים?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬הנעלמים הם המטען על כל אחד מהכדורים‪ ,‬לצורך העניין נקרא להם ‪ q1‬ו ‪. q 2‬‬ ‫נחשב את הפוטנציאל על כל כדור‪ .‬הסוללה יוצרת הפרש פוטנציאלים ‪ V0‬בין הקליפות‪:‬‬ ‫‪kq 2‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫= ‪ϕ2‬‬ ‫‪kq 2 kq1‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪= V0‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪kq1‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫⇒‬ ‫= ‪ϕ1‬‬ ‫‪ϕ 2 − ϕ 1 = V0‬‬ ‫סכום המטען של שתי הקליפות מתאפס )החלנו במצב שהוא שווה לאפס‪:‬‬ ‫‪q1 + q 2 = 0‬‬ ‫בסה"כ שתי משוואות עם שני משתנים‪ .‬נפתור‪:‬‬ ‫‪ R + R1  V0‬‬ ‫= ‪‬‬ ‫‪⇒ q 2  2‬‬ ‫‪ R1 R2  k‬‬ ‫‪V RR‬‬ ‫‪q1 = − 0 1 2‬‬ ‫) ‪k (R2 + R1‬‬ ‫‪kq 2 kq 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= V0‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫⇒‬ ‫‪q1 = − q 2‬‬ ‫‪V0 R1 R2‬‬ ‫) ‪k (R2 + R1‬‬ ‫= ‪q2‬‬ ‫ב‪ .‬כדי לחשב קיבול נניח תיאורטית מטען על כל אחד מהכדורים )המטען שווה בגודל והפוך בסימן(‬ ‫ונחשב את הפרש הפוטנציאלים שנוצר בין הכדורים‪:‬‬ ‫‪kq‬‬ ‫‪R2‬‬ ‫= ‪ϕ2‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪kq‬‬ ‫‪R1‬‬ ‫‪q 2 = q , q1 = − q ⇒ ϕ1 = −‬‬ ‫) ‪kq kq kq (R2 + R1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪R2 R1‬‬ ‫‪R2 R1‬‬ ‫= ‪∆ϕ = ϕ 2 − ϕ1‬‬ ‫כעת נמצא את הקיבול עפ"י הגדרת הקיבול‪:‬‬ ‫‪R2 R1‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫) ‪∆ϕ kq (R2 + R1 ) k (R2 + R1‬‬ ‫‪R2 R1‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫קיבולשאלה ‪) 4‬שאלה ‪ 4.16‬מחוברת הקורס(‬ ‫‪b‬‬ ‫קבל גלילי בנוי ממוליך גלילי פנימי ארוך בעל רדיוס ‪ a‬הנתון בתוך חללו‬ ‫‪a‬‬ ‫של מוליך גלילי חיצוני שרדיוסו ‪) b‬ראו שרטוט(‪ .‬התווך בין הגלילים הינו‬ ‫ריק‪ .‬אם נתון כי פוטנציאל המוליך הפנימי הוא ‪ V‬ופוטנציאל‬ ‫‪L‬‬ ‫המוליך הפנימי הוא אפס‪ ,‬חשבו את‪:‬‬ ‫א‪ .‬צפיפות המטען האורכית )מטען ליחידת אורך( על כל אחד‬ ‫ממוליכי הקבל‪.‬‬ ‫ב‪ .‬השדה החשמלי במרחק ‪ r‬מציר האורך של המוליך הגלילי הפנימי‪.‬‬ ‫ג‪ .‬את קיבול הקבל ליחידת אורך‪.‬‬ ‫הדרכה‪ :‬חשבו קודם את הקיבול וממנו את צפיפות המטען באמצעות הגדרת הקיבול‪ .‬את השדה‬ ‫החשמלי חשבו באמצעות חוק גאוס‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫ג‪ .‬נניח שהמטען הפנימי הוא החיובי‪ ,‬השדה בתווך שבין הגלילים הוא )חוק גאוס(‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ε 0 L ⋅ 2πr‬‬ ‫=‪⇒ E‬‬ ‫'‪σ ⋅ 2 π aL' qL‬‬ ‫=‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪ε 0L‬‬ ‫= '‪⇒ E ⋅ 2 π rL‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪2 π aL‬‬ ‫=‪σ‬‬ ‫נחשב את הפרש הפוטנציאלים‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫∫ ‪∆V = − ∫ E ⋅ d r = −‬‬ ‫‪qdr‬‬ ‫‪-q‬‬ ‫‪[ln(r )]ab = q ⋅ ln b ‬‬ ‫=‬ ‫‪ε L ⋅ 2 π r ε 0 L ⋅ 2π‬‬ ‫‪ε 0 L ⋅ 2π‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b 0‬‬ ‫הקיבול ליחידת אורך‪:‬‬ ‫‪C 2 πε 0‬‬ ‫=‬ ‫‪L‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ln ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫⇒‬ ‫‪2 π Lε 0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ln ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪⋅ ln ‬‬ ‫‪ε 0 L ⋅ 2π‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪q‬‬ ‫=‬ ‫‪∆V‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫א‪ .‬נחשב את צפיפות המטען‪:‬‬ ‫‪2 π Lε 0‬‬ ‫‪2πε 0‬‬ ‫‪q‬‬ ‫= = ‪⋅V ⇒ λ‬‬ ‫‪⋅V‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ln ‬‬ ‫‪ln ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪q = C ⋅ ∆V‬‬ ‫ב‪ .‬השדה החשמלי )נציב את המטען בביטוי שקיבלנו בהתחלה(‪:‬‬ ‫‪2 π Lε 0‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫⋅‪⋅V‬‬ ‫=‬ ‫‪ε 0 L ⋅ 2πr‬‬ ‫‪ε 0 L ⋅ 2πr‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ln ‬‬ ‫‪ln  ⋅ r‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫שאלה ‪) 2‬שאלה ‪ 4.5‬מחוברת הקורס(‬ ‫שני כדורים מוליכים בעלי רדיוסים ‪ a‬ו‪ b -‬טעונים במטענים שווים ומנוגדים ‪ , ± q‬בהתאמה‪ .‬מרכזי‬ ‫הכדורים מונחים על ציר ה‪ x -‬כאשר המרחק בין מרכזיהם הוא ‪ , d‬כמתואר באיור‪.‬‬ ‫נתונים ‪ . k , q , a , b‬הניחו כי המרחק בין הכדורים גדול כך שכדור אחד לא משפיע על משנהו‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהו השדה החשמלי בנקודה )‪ p( x,0‬הנמצאת על קו המחבר בין מרכזי הכדורים ?‬ ‫ב‪ .‬מהו הפרש הפוטנציאלים בין משטחי הכדורים ?‬ ‫‪4π ε 0‬‬ ‫הראו כי הקיבול של המערכת נתון בביטוי‬ ‫‪1 1 2‬‬ ‫‪+ −‬‬ ‫‪a b d‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫)‪p( x,0‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≈ ‪ , C‬ובתנאי ש ‪. d >> a, b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪d‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬שדה חשמלי של כדור מוליך טעון מחוץ לכדור הוא כמו של מטען נקודתי‪:‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫= ˆ‪⋅ i‬‬ ‫ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪4π ε 0 (d − x‬‬ ‫) ‪4π ε 0 (d − x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ˆ ‪1 ‬‬ ‫‪⋅i‬‬ ‫‪ 2+‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‬ ‫‪d‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪E2 = −‬‬ ‫ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4π ε 0 x‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= ‪E1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ q‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪E p = E1 + E 2 = ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪4π ε 0‬‬ ‫‪4π ε 0 (d − x ) ‬‬ ‫‪ 4π ε 0 x‬‬ ‫ב‪ .‬את הפרש הפוטנציאלים נמצא ע"י אינטגרל על השדה‪:‬‬ ‫‪d −b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫‪ 2+‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪4π ε 0  x‬‬ ‫‪4π ε 0‬‬ ‫‪(d − x ) ‬‬ ‫‪d −b‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫∫ ‪∆ϕ = − ∫ E ⋅ dr = −‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ x − (d − x ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ d − b + (d − a ) − b − a ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪− +‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4π ε 0  d − b (d − d + b ) a (d − a )  4π ε 0‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪q‬‬ ‫ג‪ .‬את הקיבול נמצא עפ"י הגדרת הקיבול‪:‬‬ ‫‪4π ε 0‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+ −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫) ‪b a (d − b ) (d − a‬‬ ‫=‬ ‫‪−q‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪− − ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4π ε 0  (d − b ) (d − a ) b a ‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪−q‬‬ ‫=‬ ‫‪∆ϕ‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫עבור המקרה בו מתקיים ‪: d >> a, b‬‬ ‫‪4π ε 0‬‬ ‫‪4π ε 0‬‬ ‫=‬ ‫‪1 1 1 1 1 1 2‬‬ ‫‪+ − −‬‬ ‫‪− −‬‬ ‫‪b a d d b a d‬‬ ‫≈‪C‬‬ ‫קיבול‪:‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫השיטה לחישוב קיבול היא‪ ,‬להניח מטענים הפוכים על הלוחות )במקרה זה צפיפויות מטען הפוכות כי‬ ‫הגלילים אינסופיים(‪ ,‬לחשב הפרש פוטנציאל בין שני הלוחות‪ ,‬ולחלק‪ .‬השרטוט המתאים מצורף‪:‬‬ ‫‪+σ‬‬ ‫‪−σ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪D-x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫תחילה נחשב את השדה שיוצר גליל אינסופי ע"י חוק גאוס‪:‬‬ ‫‪r r q in‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪∫ ⋅ dS = ε 0‬‬ ‫‪σ ⋅d‬‬ ‫‪ε0r‬‬ ‫=‪⇒ E‬‬ ‫‪σ ⋅ 2πd ⋅ L‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫= ‪E ⋅ 2πr ⋅ L‬‬ ‫השדה בין הגלילים מתקבל מסופרפוזיציה של השדות‪:‬‬ ‫‪r  σ ⋅d‬‬ ‫ˆ ‪σ ⋅d ‬‬ ‫‪E = −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪⋅i‬‬ ‫‪ ε 0 x ε 0 (D - x ) ‬‬ ‫שימו לב זה השדה על ציר ‪ x‬בלבד‪ ,‬וכיוונו מהגליל החיובי לגליל השלילי‪.‬‬ ‫נחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הלוחות‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪D −d‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪ σ ⋅d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪σ ⋅d ‬‬ ‫‪σ ⋅d‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪∆V = − ∫ E ⋅ d r = − ∫ −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪dx‬‬ ‫= ‪ dx‬‬ ‫‪‬‬ ‫∫‬ ‫‪ε 0 x ε 0 (D - x ) ‬‬ ‫‪ε 0 d  x (D - x ) ‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪σ ⋅d‬‬ ‫= ]) ‪[ln(x ) − ln(D − x )]dD−d = σ ⋅d [ln(D − d ) − ln(d ) − ln(d ) + ln(D − d‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪2σ ⋅d  D − d ‬‬ ‫‪⋅ ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪ d ‬‬ ‫ובחשב את הקיבול ליחידת אורך‪:‬‬ ‫‪σ ⋅ 2 πd ⋅ L‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪C σ ⋅ 2πd‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫=‬ ‫⇒‬ ‫=‬ ‫‪∆V‬‬ ‫‪∆V‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪∆V‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪ε0 π‬‬ ‫‪σ ⋅ 2 πd‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫⋅ ‪= σ ⋅ 2 πd‬‬ ‫=‬ ‫‪L 2σ ⋅d  D − d ‬‬ ‫‪D−d‬‬ ‫‪D−d‬‬ ‫‪⋅ ln‬‬ ‫‪2σ ⋅d ⋅ ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪ d ‬‬ ‫‪ d ‬‬ ‫‪ d ‬‬ ‫קיבול – חומר דיאלקטרי‬ ‫נתון קבל לוחות‪ ,‬בין לוחות הקבל נמצאים חומרים דיאלקטרים כמשורטט‪:‬‬ ‫‪2d‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪k1‬‬ ‫‪k3‬‬ ‫‪d‬‬ ‫מצאו את הקיבול של קבל זה‪.‬‬ ‫המרחק בין לוחות הקבל הוא‪ .3d :‬שטח לוחות הקבל הוא‪. A :‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫קיבול של קבל לוחות עם חומר דיאלקטרי‪:‬‬ ‫‪εA‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫וניתן להתייחס לקבל הזה בצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪C3‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫‪C4‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪ε1 A‬‬ ‫= ‪C1‬‬ ‫‪4d‬‬ ‫‪ε3A‬‬ ‫‪2d‬‬ ‫= ‪C2 = C4‬‬ ‫‪ε2A‬‬ ‫‪4d‬‬ ‫= ‪C3‬‬ ‫ולפיכך הקיבול של קבל כזה יהיה‪:‬‬ ‫‪ε3A ‬‬ ‫‪ε1‬‬ ‫‪ε2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2d  2ε 3 + ε 1 2ε 3 + ε 2 ‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪C3 C 4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪C1 C 2‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫קיבול – חומר דיאלקטרי‬ ‫לקבל לוחות קיבול ‪ ,C 0‬מוסיפים חומר דיאלקטרי בין לוחות הקבל בעל קבוע דיאלקטרי שתלוי ב ‪: x‬‬ ‫‪k (x ) = x + 1‬‬ ‫וציר ה ‪ X‬מופיע בשרטוט‪:‬‬ ‫‪X‬‬ ‫) ‪k (x‬‬ ‫‪d‬‬ ‫מצאו את הקיבול של הקבל‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫ניתן להתייחס לבעיה כאל אלמנטים קטנים של קבלי לוחות הנמצאים בטור ואז לסכום ע"י אינטגרציה‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫]) ‪[ln(1 + x )]0d = 1 [ln(1 + d‬‬ ‫∫‬ ‫‪ε0A‬‬ ‫‪C 0 k ( x )ε 0 A ε 0 A 0 (1 + x ) ε 0 A‬‬ ‫⇓‬ ‫‪ε0A‬‬ ‫) ‪ln (1 + d‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫קיבול – חומר דיאלקטרי )שאלה ‪(4.15‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬נתון חומר דיאלקטרי‪:‬‬ ‫‪ε 2 − ε1‬‬ ‫‪⋅y‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ε (y ) = ε 1 +‬‬ ‫נחלק לאלמנטים דקים עפ"י השרטוט‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y=d‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪y=0‬‬ ‫‪L‬‬ ‫כל האלמנטים מחוברים בטור )חשוב לזהות את סוג החיבור כדי לדעת לבנות את האינטגרל נכון(‪ ,‬והגודל‬ ‫הדיפרנציאלי בכל קבל דיפרנציאלי הוא המרחק בין הלוחות‪. dy ,‬‬ ‫קיבול של קבל לוחות דיפרנציאלי‪:‬‬ ‫‪ε − ε1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪⋅ y ⋅ ε0A‬‬ ‫‪ ε1 + 2‬‬ ‫‪ε 0 εA ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪dC‬‬ ‫=‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫ההופכי של השקול בחיבור טורי שווה לסכום ההופכיים של האלמנטים‪:‬‬ d d ε − ε 1  1 1 dy 1  d  =∫ =∫ = ⋅ ln ε 1 + 2 ⋅ y  =  ε 2 − ε1  C dC 0  ε 0 A  ε 2 − ε1 d   0 ⋅ y ⋅ ε0A  ε1 + d      ε − ε1  d d ln ε 1 + 2 ⋅ d  − ln (ε 1 ) = [ln(ε 2 ) − ln(ε 1 )] =  ε 0 A (ε 2 − ε 1 )   d   ε 0 A (ε 2 − ε 1 ) = ε d ln 2 ε 0 A(ε 2 − ε 1 )  ε 1 C=    :‫התשובה הסופית‬ ε 0 A (ε 2 − ε 1 ) ε d ⋅ ln 2  ε1 q = C⋅V =    ε 0 A(ε 2 − ε 1 ) ε  d ⋅ ln 2   ε1  :‫ מטען על לוחות הקבל‬.‫ב‬ ⋅ V0 ‫ יוצרים מעטפת גאוס קובייתית שפאה אחת נמצאת בתוך הקבל‬:‫ חישוב השדה החשמלי ע"י חוק גאוס‬.‫ג‬ .(‫ השדה מחוץ לקבל שווה לאפס‬,‫ופאה שנייה נמצאת מחוץ לקבל )להזכירכם‬ q E⋅A = ⇒ ε 0ε E= (ε 2 − ε 1 )V0 ε A(ε 2 − ε 1 ) q 1 = 0 ⋅ V0 ⋅ = ε − ε1  ε 0εA ε   ε  ε − ε1  ε 0 A ⋅ ε 1 + 2 ⋅ y  d ⋅ ln 2  ⋅ ε 1 + 2 d ⋅ ln 2  ⋅ y   d d     ε1   ε1   :‫ אותו תרגיל עם חומר דיאלקטרי אחר‬.‫ד‬ ε − ε1 ε (x ) = ε 1 + 2 ⋅x L :‫ כך שהם מחוברים במקביל‬,‫מחלקים לאלמנטים מאונכים‬ x=0 x=L dx L x ‫נניח ששטח הלוחות‪A = b ⋅ L :‬‬ ‫השטח הוא שהופך להיות דיפרנציאלי עבור כל אלמנט‪:‬‬ ‫‪ε − ε1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪⋅ x  ⋅ ε 0 ⋅ b ⋅ dx‬‬ ‫‪ ε1 + 2‬‬ ‫‪ε 0 ε ⋅ dA ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪dC‬‬ ‫=‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ומכיוון שכל האלמנטים מחוברים במקביל‪ ,‬נמצא את השקול ע"י סכימה רגילה של האלמנטים‪:‬‬ ‫‪ε 2 − ε1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪⋅ x  ⋅ ε 0 ⋅ b ⋅ dx‬‬ ‫‪L  ε1 +‬‬ ‫‪ε ⋅b L‬‬ ‫‪ε − ε1 ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= 0 ∫  ε1 + 2‬‬ ‫= ‪⋅ x  ⋅ dx‬‬ ‫∫ = ‪C = ∫ dC‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d 0‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ε ⋅b ‬‬ ‫‪ε ⋅b ‬‬ ‫‪ε − ε1 2 ‬‬ ‫‪ε − ε1 2  ε 0 ⋅ b ‬‬ ‫‪ε − ε1 ‬‬ ‫‪= 0 ε 1 x + 2‬‬ ‫‪⋅ x  = 0 ε 1 L + 2‬‬ ‫= ‪⋅L ‬‬ ‫‪ε1L + 2‬‬ ‫= ‪⋅ L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪2L‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪2L‬‬ ‫‪d ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ε ⋅A‬‬ ‫) ‪(ε 2 + ε 1‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪2d‬‬ ‫קיבול )חומר דיאלקטרי( – שאלה ‪ 4.19‬מחוברת הקורס‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬נתון חומר דיאלקטרי‪:‬‬ ‫‪2d‬‬ ‫‪z+d‬‬ ‫= ) ‪ε (z‬‬ ‫נחלק לאלמנטים דקים עפ"י השרטוט‪:‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z=d‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫‪z=0‬‬ ‫כל האלמנטים מחוברים בטור )חשוב לזהות את סוג החיבור כדי לדעת לבנות את האינטגרל נכון(‪ ,‬והגודל‬ ‫הדיפרנציאלי בכל קבל דיפרנציאלי הוא המרחק בין הלוחות‪. dy ,‬‬ ‫קיבול של קבל לוחות דיפרנציאלי‪:‬‬ ‫‪ε εA ε 0 A 2d‬‬ ‫=‬ ‫⋅‬ ‫‪dC = 0‬‬ ‫‪dz‬‬ ‫‪dz z + d‬‬ ‫ההופכי של השקול בחיבור טורי שווה לסכום ההופכיים של האלמנטים‪:‬‬ d z2  d2  ( 1 1 z + d )dz 1 1 3d =∫ =∫ = ⋅  + d ⋅ z = ⋅  + d2  = C dC 0 2ε 0 Ad 2ε 0 Ad  2  0 2ε 0 Ad  2  4ε 0 A d C= 2ε 0 A 3d :‫ צפיפות מטען‬.‫ב‬ q = C ⋅ V0 = σ= 4ε 0 A ⋅ V0 3d q 4ε 0 = ⋅ V0 A 3d .‫ג‬ :‫ האנרגיה האגורה בקבל‬.‫ד‬ 1 1 4ε A U C = q ⋅ V0 = ⋅ 0 ⋅ V02 2 2 3d ‫קיבול )חומר דיאלקטרי( – ‪ 4.17‬מחוברת הקורס‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬תחילה נחשב קיבול של קבל כדורי רגיל )ללא חומר דאלקטרי(‪:‬‬ ‫השיטה למציאת קיבול היא להניח מטען חיובי‪ , + Q ,‬על אחת הקליפות‪ ,‬ומטען שלילי‪ , − Q ,‬על הקליפה‬ ‫‪Q‬‬ ‫= ‪ , C‬כדי לקבל את‬ ‫השנייה‪ .‬לחשב את הפרש הפוטנציאלים בין הקליפות ואז לחלק עפ"י הנוסחה‪:‬‬ ‫‪∆V‬‬ ‫הקיבול‪ .‬שימו לב‪ ,‬שהקיבול אמור להיות חיובי ותלוי במימדי הקבל בלבד )רדיוסים( ולא במטען‪.‬‬ ‫נניח מטען חיובי על הקליפה החיצונית‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ - kQ ‬‬ ‫‪ kQ ‬‬ ‫‪ kQ kQ  kQ kQ‬‬ ‫‪b−a ‬‬ ‫‪∆V = -∫  2 dr = −   = − ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪= kQ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪a  a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ r a‬‬ ‫‪ b‬‬ ‫‪ ab ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫והקיבול הוא‪:‬‬ ‫‪4 π ε 0 ab‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ab‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫) ‪ b − a  k (b - a ) (b - a‬‬ ‫‪kQ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ab ‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫=‬ ‫‪∆V‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫נתון מקדם דיאלקטרי‪:‬‬ ‫‪ε(r ) = B ⋅ r‬‬ ‫נחלק את הקבל לאלמנטים של קבלים כדוריים דקים )העובי דיפרנציאלי(‪ .‬הקיבול של אלמנט‪:‬‬ ‫‪b - a = dr‬‬ ‫‪ab = r 2‬‬ ‫‪4 πε 0 ε (r )r 2 4 π ε 0 Br 3‬‬ ‫=‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫האלמנטים מחוברים בטור‪ ,‬ולפיכך נסכום על ההופכיים כדי לקבל את ההופכי של השקול‪:‬‬ ‫= ‪dC‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪1  1 ‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a 2 − b2‬‬ ‫∫ = ‪= ∫ dC‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫⋅‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪4 π ε 0 B  2r 2  a‬‬ ‫‪8 πε 0 B  b 2 a 2 ‬‬ ‫‪8π ε 0 B a 2 b 2‬‬ ‫‪a 4 π ε 0 Br‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b2 − a 2‬‬ ‫=‬ ‫‪8π ε 0 Ba 2 b 2‬‬ ‫‪8πε 0 Ba 2 b 2‬‬ ‫‪b2 − a 2‬‬ ‫ב‪ .‬כדי למצוא את צפיפות המטען על כל אחד מהלוחות‪ ,‬נמצא את המטען על כל אחד מהלוחות ונחלק‬ ‫בשטח‪:‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪8π ε 0 Ba b‬‬ ‫= ‪Q = C ⋅ ∆V‬‬ ‫‪⋅ V0‬‬ ‫‪b2 − a 2‬‬ ‫‪2ε 0 Ba 2‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫=‬ ‫‪⋅ V0‬‬ ‫= ‪σb‬‬ ‫‪4πb 2 b 2 − a 2‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫‪2ε 0 Bb 2‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪⋅ V0‬‬ ‫‪4πa 2‬‬ ‫‪b2 − a 2‬‬ ‫הנחתי שהמטען החיובי על הלוח החיצוני‪ ,‬והמטען השלילי על הלוח הפנימי‪.‬‬ ‫‪σa = −‬‬ ‫חומר דיאלקטרי )שאלה ‪ 4.20‬מחוברת פיסיקה ‪(2‬‬ ‫בקבל כדורי שרדיוס מוליכו הפנימי הוא ‪ a‬ורדיוסו החיצוני הוא ‪ , b‬כמתואר באיור‪,‬נפח הקבל ממולא‬ ‫בחומר דיאלקטרי שקבועו היחסי משתנה עם המרחק ממרכז המערכת לפי הקשר‬ ‫‪ε2‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪, ε r (r ) = ε 1 +‬‬ ‫כאשר ‪ ε 1‬ו ‪ ε 2‬הם קבועים חיובים‪ .‬ידוע כי לקליפה הפנימית נטען מטען ‪ Q‬ואילו לקלפיה החיצונית‬ ‫נטען מטען ‪ . − Q‬נתונים‪. k , Q , ε 1 , ε 2 :‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את עצמת השדה החשמלי במרחק ‪ r‬ממרכז המערכת ‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את הפרש הפוטנציאלים בין מוליכי הקבל‪.‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ג‪ .‬חשבו את קיבול הקבל הכדורי‪.‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪arctan α ⋅ x‬‬ ‫=‬ ‫הדרכה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪∫αx‬‬ ‫‪εr‬‬ ‫פתרון‪ :‬אפשר לפתור את הסעיפים לפי הסדר‪ ,‬אני מעדיף לחשב קיבול לפני הפרש מתחים‪.‬‬ ‫א‪ .‬השדה החשמלי‪:‬‬ ‫ˆ‪r‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪ε ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4π ε 0  ε 1 + 22 ‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ˆ‪r‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪4π ε 0 ε r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫ג‪ .‬חשוב הקיבול יתבצע ע"י פירוק לקליפות כדוריות בעלות עובי דיפרנציאלי‪ ,‬האלמנטים מחוברים‬ ‫בטור‪:‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ε ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4π ε 0 ε 2  1 r 2 + 1‬‬ ‫‪ ε 1 + 22 ε 0 4π r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4π ε 0 ε 1 r + ε 2‬‬ ‫‪ε ε A‬‬ ‫‪r ‬‬ ‫‪ε2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dC = r 0 = ‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dr‬‬ ‫∫=‬ ‫∫=‬ ‫=‬ ‫∫⋅‬ ‫=‬ ‫‪C‬‬ ‫‪dC a‬‬ ‫‪ ε1 2‬‬ ‫‪ 4π ε 0 ε 2 a  ε 1 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ r + 1‬‬ ‫‪4π ε 0 ε 2  r + 1‬‬ ‫‪ε2‬‬ ‫‪ε2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪⋅ arctan 1 ⋅ b  − arctan  1 ⋅ a ‬‬ ‫=‬ ‫= ‪⋅  2 ⋅ arctan 1 ⋅ r ‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4π ε 0 ε 2  ε 1‬‬ ‫‪ 2  a 4π ε 0 ε 1ε 2 ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4π ε 0 ε 1ε 2‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪arctan 1 ⋅ b  − arctan  1 ⋅ a ‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫ב‪ .‬את הפרש המתחים נמצא עפ"י הגדרת הקיבול‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫=‬ ‫‪⋅ arctan 1 ⋅ b  − arctan 1 ⋅ a ‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ε‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪C 4π ε 0 ε 1ε 2 ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪∆V‬‬ ‫=‪C‬‬ ‫קיבול )חומר דיאלקטרי( ‪ -‬שאלה ‪ 4.18‬מחוברת הקורס‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫קיבול ליחידת אורך של קבל גלילי‪:‬‬ ‫‪C 2πε 0‬‬ ‫=‬ ‫‪L‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ln ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫נחלק את הקבל הנתון לשני אלמנטים גליליים הראשון עם חומר דיאלקטרי‪ ,‬והשני בלי חומר דיאלקטרי‪.‬‬ ‫האלמנטים מחוברים בטור‪:‬‬ ‫‪2πε 0‬‬ ‫‪2πε 0‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪L‬‬ ‫) ‪ 10R  ln (2‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 5R ‬‬ ‫‪2 πε 0 ε r‬‬ ‫‪2πε 0 ε r‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪L‬‬ ‫)‪ln (5‬‬ ‫‪ 5R ‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ R ‬‬ ‫)‪ε ⋅ ln (2 ) + ln (5‬‬ ‫‪L L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫) ‪ln (2‬‬ ‫)‪ln (5‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= r‬‬ ‫‪C C1 C 2 2 π ε 0 2 π ε 0 ε r‬‬ ‫‪2πε 0 ε r‬‬ ‫‪2πε 0‬‬ ‫)‪ln (5‬‬ ‫‪ln (2 ) +‬‬ ‫‪εr‬‬ ‫‪2πε 0 ε r‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪L ε r ⋅ ln (2 ) + ln (5‬‬ ‫חומר דיאלקטרי‬ ‫עבור הקבל מתרגיל ‪ 4.18‬מחוברת הקורס‪ ,‬פתרו את הסעיפים הבאים‪:‬‬ ‫מחברים את הקבל לסוללה המספקת מתח קבוע ‪. V0‬‬ ‫א‪ .‬מהי צפיפות המטען החופשי על כל מוליך ?‬ ‫ב‪ .‬מהי צפיפות המטען הקשור בתוך החומר הדיאלקטרי ומהי צפיפות המטען הקשור בכל דופן של‬ ‫החומר הדיאלקטרי ?‬ ‫ג‪ .‬מהו שדה ההעתקה ?‬ ‫ד‪ .‬מהו וקטור הקיטוב ?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪2π ε 0‬‬ ‫)‪ln (5‬‬ ‫‪ln (2 ) +‬‬ ‫‪εr‬‬ ‫‪C‬‬ ‫=‬ ‫‪L‬‬ ‫א‪ .‬צפיפות המטען החופשי‪:‬‬ ‫‪2π ε 0 ⋅ V0‬‬ ‫‪C ‬‬ ‫= ‪=   ⋅ ∆ϕ‬‬ ‫)‪ln (5‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ln (2 ) +‬‬ ‫‪εr‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ג‪ .‬תחילה נחשב את השדה החשמלי ) ‪( E 0‬שיוצר המטען החופשי במידה ואין חומר דיאלקטרי‬ ‫‪Q free‬‬ ‫)להזכירכם‪ :‬שדה חשמלי של גליל אינסופי מחוץ לגליל מתנהג כמו שדה חשמלי של תיל אינסופי(‪ .‬ע"י‬ ‫‪r‬‬ ‫שדה זה ניתן למצוא את שדה ההעתקה ) ‪:( D‬‬ r λ free Q free E0 = rˆ = rˆ = 2π ε 0 r 2π ε 0 Lr r r D = ε 0 E0 = ε 0V0 2πε0 ⋅ V0 V0 1 ⋅ rˆ = rˆ ln ( 5 ) 2π ε 0 Lr  ln ( 5 )  ln ( 2 ) +  ln ( 2 ) +  ⋅ Lr εr εr    ln ( 5 )   ln ( 2 ) +  ⋅ Lr εr   rˆ ‫ ( ניתן למצוא ע"י ביצוע דיברגנס על‬ρ induced ) ‫ את צפיפות המטען המושרה בתוך בחומר הדיאלקטרי‬.‫ב‬ :‫השדה החשמלי‬ r r D E ( R < r < 5R ) = = ε 0ε r ρinduced V0 rˆ  ln ( 5 )   ln ( 2 ) +  ⋅ ε r ⋅ Lr ε r           r r r  ε0 ∂  V0 V0  =0 rˆ = = ε 0∇ ⋅ E = ε 0 ∇ ⋅ ⋅ r⋅   r ∂r    ln ( 5 )  ln ( 5 )    ln ( 2 ) +   ln ( 2 ) +  ⋅ ε r ⋅ Lr   ⋅ ε r ⋅ Lr  εr  εr        ε r -‫ זה בגלל ש‬,‫שימו לב שיצא אפס‬,‫ יש לבצע את הדיברגנס המתאים לקורדינטות גליליות‬:‫)הערה‬ :‫ ( מוצאים באופן הבא‬σ induced ) ‫את צפיפות המטען בדופן של החומר הדיאלקטרי‬ E + ( r = 5R ) = σ induced = V0 ln ( 5 )    ln ( 2 ) +  ⋅ 5 LR εr   , E − ( r = 5R ) = .(‫קבוע‬ V0 ln ( 5 )    ln ( 2 ) +  ⋅ ε r ⋅ 5 LR εr       V0 V0 + −  = = ε 0 ∆E = ε 0 ( E − E ) = ε 0 −   ln ( 5 )  ln ( 5 )     ln ( 2 ) +  ⋅ 5 LR  ln ( 2 ) +  ⋅ ε r ⋅ 5 LR  εr  εr     ε 0V0  ε 0V0 1 ε r −1 1 −  =  ln ( 5 )   ε r   ln 2 + ln ( 5 )  ⋅ 5 LR ε r  ln ( 2 ) +  ⋅ 5 LR  ( )  εr  εr    ‫ בה נעזרים‬,‫ בסעיף הבא נראה שיטה קלה יותר‬.r=R ‫בצורה דומה ניתן למצוא את צפיפות המטען בדופן‬ .‫בווקטור הקיטוב‬ :‫ וקטור הקיטוב‬.‫ד‬ r r P = ε 0 (ε r − 1)E = ε 0 (ε r − 1) ⋅ V0  ln (5)   ln (2 ) +  ⋅ ε r ⋅ Lr ε r   rˆ ‫את צפיפות המטען הקשור ניתן למצוא גם מתוך ווקטור הקיטוב‪ :‬לוקחים את הערך של וקטור הקיטוב‬ ‫הניצב לשטח )הוא‪ ,‬במקרה שלנו‪ ,‬גודל וקטור הקיטוב ממש(‪ ,‬ומציבים ‪ ,r=R --‬כדי לקבל את הערך‬ ‫המוחלט של הצפיפות ב‪ ,r=R-‬ומציבים ‪ r=5R‬כדי לקבל את הצפיפות ב‪:r=5R-‬‬ ‫‪ε 0 ( ε r − 1) ⋅V0‬‬ ‫‪ln ( 5 ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ln ( 2 ) +‬‬ ‫‪ ⋅ ε r ⋅ LR‬‬ ‫‪εr ‬‬ ‫‪‬‬ ‫= )‪) σ R = P⊥ (r = R‬הצפיפות מקום זה היא שלילית‪ ,‬אם הסוללה‬ ‫מחוברת עם הדק חיובי ללוח הפנימי‪ ,‬ואז המטען על הלוח הפנימי הוא חיובי‪ ,‬ועל הדופן הדיאלקטרית‬ ‫המטען הקשור המושרה הוא שלילי(‬ ‫‪ε 0 ( ε r − 1) ⋅V0‬‬ ‫‪ln ( 5 ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ln ( 2 ) +‬‬ ‫‪ ⋅ ε r ⋅ L ⋅ 5R‬‬ ‫‪εr ‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ) ‪ σ 5 R = P⊥ (r = 5 R‬השוו עם תוצאת הסעיף הקודם!‬ ‫התנגדות סגולית‬ :‫פתרון‬ : dx ‫ חישוב ההתנגדות מתבצע ע"י אינטגרל על אלמנטים קטנים של דיסקות בעובי‬.‫א‬ dL S dL = dx dR = ρ S = π ⋅ r2 dR = r= b−a x+a L  (b - a )  x + a ⇒ S = π⋅  L  2 ρdx b-a  π⋅ x + a  L  2 L   L   1 ρdx ρ  L    = R = ∫ dR = ∫ = − ⋅   2 ( ) b a π b a        (b - a )  0 x + a  π⋅ x + a   L 0   L     1 1  ρ  L   1 1  ρ  L  b − a  ρL ρ L  −  − =  =    −  = π  b - a    (b − a )L  a  π  b - a   a b  π  b - a  ab  πab + a   L     : a = b ‫ נבדוק את הגבול המתבקש‬.‫ב‬ ρL ρL ρL R= = = πab πa 2 S ‫התנגדות סגולית )שאלה ‪ 5.8‬מחוברת הקורס(‪.‬‬ ‫מוליך שהתנגדותו הסגולית ‪ ρ‬עוצב לצורה של חרוט קטום שהמרחק בין בסיסיו‬ ‫‪b‬‬ ‫‪ , L‬כמתואר באיור שמשמאל‪ .‬רדיוס בסיסי החרוט הם ‪ a‬ו‪ . b -‬תוכלו להניח כי‬ ‫‪a‬‬ ‫הזרם דרך כל שטח חתך מעגלי של החוט הקטום הוא זהה‪ .‬חשבו‪:‬‬ ‫א‪ .‬את התנגדות הנגד בין בסיסיו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬השדה החשמלי כפונקציה של המרחק מהבסיס הגדול של החרוט‪ ,‬כאשר‬ ‫הפרש הפוטנציאלים בין בסיסי החרוט הוא ‪. ∆V‬‬ ‫‪l‬‬ ‫ג‪ .‬הראו כי עבור ‪ a = b‬תצטמצם תשובתכם לנוסחה‬ ‫‪S‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪.R = ρ‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬חישוב ההתנגדות מתבצע ע"י אינטגרל על אלמנטים קטנים של דיסקות בעובי ‪: dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫) ‪ (b-a‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪, r‬‬ ‫‪x + a ⇒ S = π ⋅‬‬ ‫‪x + a‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dL = dx , S = π ⋅ r‬‬ ‫‪ρdx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ b-a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π ⋅‬‬ ‫‪x + a‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪dL‬‬ ‫=‬ ‫‪S‬‬ ‫‪dR = ρ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ρdx‬‬ ‫‪ρ  L ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪‬‬ ‫∫ = ‪R = ∫ dR‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫⋅‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪π   b-a   (b-a‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ (b-a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x + a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π ⋅‬‬ ‫‪x + a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ρ L ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  ρ  L   1 1  ρ  L  b − a  ρL‬‬ ‫‪− ‬‬ ‫‪− = ‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪π  b-a    (b − a )L‬‬ ‫‪ a  π  b-a   a b  π  b-a  ab  πab‬‬ ‫‪+ a‬‬ ‫‪  L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪ .‬נמצא הזרם דרך הנגד )ע"י חוק אוהם(‪:‬‬ ‫‪∆V πab ⋅ ∆V‬‬ ‫=‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ρL‬‬ ‫=‪I‬‬ ‫נחשב את ההתנגדות עד לנקודה מסוימת בנגד בתלות ב‪) x -‬זו ההתנגדות יחסית לנקודה בה נכנס הזרם(‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ρdx‬‬ ‫‪ρ  L ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ρL‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫∫ = ) ‪R(x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫⋅‬ ‫=‬ ‫⋅‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪π   b-a   (b-a‬‬ ‫‪π (b − a )  a (b − a )x‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪ (b-a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+ a ‬‬ ‫‪x + a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π ⋅‬‬ ‫‪x + a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪‬‬ :‫וע"י חוק אוהם נוכל לחשב את הפוטנציאל בנקודה זו‬   1  πab ⋅ ∆V ρL 1 = V ( x ) = ∆V − I ⋅ R( x ) = ∆V − ⋅ ⋅ − ρL π (b − a )  a (b − a )x + a    L     ab ⋅ ∆V  1 1  = ∆V − ⋅ − (b − a )  a (b − a )x + a  L   :‫את השדה החשמלי נמצא ע"י מינוס גרדיאנט על הפוטנציאל‬  r r ∂  ab ⋅ ∆V E = −∇ ⋅ V = − ∆V − ∂x  (b − a )     1 1  ⋅ iˆ = ⋅ −  a (b − a )x + a    L   ab ⋅ ∆V 1 1 (b − a ) ⋅ iˆ = ab ⋅ ∆V ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ iˆ 2 2 (b − a )  (b − a )x  L L  (b − a )x  + a + a    L   L  : a = b ‫ נבדוק את הגבול המתבקש‬.‫ג‬ R= ρL ρL ρL = 2 = πab πa S ‫התנגדות סגולית‬ ‫נגד שצורתו קונוס קטום בנוי מחומר בעל התנגדות סגולית ‪ ρ‬נתונה תלות הרדיוס ב ‪: x‬‬ ‫‪r ( x ) = ax + b‬‬ ‫‪x=0‬‬ ‫‪x=L‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את ההתנגדות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הראו כי כאשר ‪ a = 0‬מקבלים ביטוי לנגד גלילי‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מה ההתנגדות אם ‪. ρ = π ⋅10 3 Ωm , b = 0.1m , a = 0.1 , L = 1m‬‬ ‫ד‪ .‬הסבר את ההתנהגות בגבול ‪ b → 0‬ובגבול ∞ → ‪. a‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬חישוב ההתנגדות מתבצע ע"י אינטגרל על אלמנטים קטנים של דיסקות בעובי ‪: dx‬‬ ‫‪dL‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪dR = ρ‬‬ ‫‪dL = dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ρ  1 ‬‬ ‫‪ρ  1‬‬ ‫‪ρL‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫=‪− ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π ⋅ a  ax + b  0‬‬ ‫) ‪π ⋅ a  aL + b b  π ⋅ b(aL + b‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫) ‪S = π ⋅ r 2 ( x ) = π (ax + b‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪dR = ρ‬‬ ‫‪π (ax + b )2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪π (ax + b‬‬ ‫ב‪ .‬כאשר ‪: a = 0‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪R = ∫ dR = ∫ ρ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r (x ) = b‬‬ ‫כלומר‪ ,‬הרדיוס קבוע ובמילים אחרות זהו גליל‪ .‬נציב בביטוי עבור הנגד ונקבל‪:‬‬ ‫‪ρL‬‬ ‫‪π ⋅b2‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫ג‪ .‬נציב את הערכים בביטוי עבור הנגד )סעיף א'(‪:‬‬ ‫‪R = 50kΩ‬‬ ‫ד‪ .‬נבדוק את הגבולות‪:‬‬ ‫∞→‪b→0 ⇒ R‬‬ ‫צורת הנגד תהיה קונוס עם שפיץ כך שקיימת נקודה בנגד שעבורה ההתנגדות היא אינסופית )השפיץ(‪.‬‬ ‫במקרה השני‪:‬‬ ‫‪a→∞ ⇒ R→0‬‬ ‫כלומר שטח החתך של הנגד הוא אינסופי ולפיכך ההתנגדות תתאפס‪.‬‬ ‫התנגדות סגולית‪ ,‬חוק אוהם דיפרנציאלי‬ ‫תיל שאורכו ‪ L‬ושטח החתך שלו ‪ ,A‬מונח לאורך ציר ‪ .X‬התיל בנוי מחומר שהתנגדותו הסגולית משתנה‬ ‫לאורך לפי הקשר ‪ , ρ = ρ 0 e x L‬כאשר הקצה השמאלי נמצא ב ‪. x = 0‬‬ ‫א‪ .‬מהי התנגדותו של התיל?‬ ‫ב‪ .‬מחברים הפרש פוטנציאלים ‪ V‬בין קצוות התיל‪ .‬חשבו איך משתנה הפוטנציאל לאורך התיל‬ ‫)כפונקציה של ‪.( x‬‬ ‫ג‪ .‬איך משתנה השדה החשמלי לאורך התיל?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬התנגדות התיל‪:‬‬ ‫‪ρ = ρ0e x L‬‬ ‫‪ρ0 L‬‬ ‫]‪[e − 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ב‪ .‬הפרש פוטנציאלים כפונקציה של ‪: x‬‬ ‫=‬ ‫]‬ ‫‪L‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ρdL ρ 0 e x L dx‬‬ ‫= ‪dR‬‬ ‫=‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ρ e x L dx ρ0 L x L‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫‪R = ∫ dR = ∫ 0‬‬ ‫=‬ ‫‪e dx = 0 Le x L‬‬ ‫∫‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A 0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫[‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪VA‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪R ρ0 L‬‬ ‫]‪[e − 1] ρ0 L[e − 1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ρ x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪VA‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪V ex L −1‬‬ ‫= ) ‪V = I ⋅ R (x‬‬ ‫= ‪⋅ 0 ∫ e x L dx‬‬ ‫= ‪ex L 0‬‬ ‫]‪[e − 1‬‬ ‫]‪[e − 1‬‬ ‫‪ρ 0 L[e − 1] A 0‬‬ ‫ג‪ .‬נמצא שדה חשמלי לפי חוק אוהם דיפרנציאלי‪:‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪I‬‬ ‫⋅ = =‪E‬‬ ‫=‬ ‫‪ρ A ρ 0 e x L Aρ 0 e x L‬‬ ‫=‪I‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫] [‬ ‫התנגדות סגולית )שאלה ‪ 5.7‬מחוברת הקורס(‪.‬‬ ‫ניתן לשנות את ההתנגדות הסגולית‪ , ρ ,‬של חצי מוליך על ידי הוספה של זיהומים‪ .‬מוט העשוי חומר‬ ‫חצי מוליך מונח לאורך ציר ה‪ x -‬בין ‪ x = 0‬ל‪ . x = L -‬כתוצאה מההוספה של הזיהומים מציית המוט‬ ‫לחוק אוהם והתנגדותו הסגולית משתנה לפי הקשר ‪ . ρ ( x ) = ρ 0 e − x L‬קצה המוט הנמצא בנקודה ‪x = 0‬‬ ‫נמצא בפוטנציאל הגבוה ב ‪ V0‬מהקצה הנמצא ב ‪ . x = L‬נתון כי שטח החתך של המוט הוא ‪. A‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את התנגדותו של המוט‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו את השדה החשמלי במוט כפונקציה של המרחק ‪ x‬הנמדד מקצהו השמאלי של המוט‪.‬‬ ‫ג‪ .‬חשבו את הפוטנציאל במוט ) ‪ V ( x‬כפונקציה של ‪. x‬‬ ‫ד‪ .‬ציירו גרפים המתארים את ההשתנות של ) ‪ ρ ( x ) , E ( x ) , V ( x‬כפונקציה של ‪. x‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬נחלק את המוט לפרוסות בעלות שטח חתך ‪ A‬ואורך דיפרנציאלי ‪ . dx‬התנגדות התיל‪:‬‬ ‫‪ρ = ρ0 e − x L‬‬ ‫‪ρdL ρ0 e − x L dx‬‬ ‫=‬ ‫‪S‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪−x L‬‬ ‫‪ρ0 e dx ρ0 L x L‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫∫ = ‪R = ∫ dR‬‬ ‫=‬ ‫‪e dx = 0 − Le − x L‬‬ ‫∫‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A 0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫= ‪dR‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪ρ0 L‬‬ ‫‪1 − e −1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫]‬ ‫‪L‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫[‬ ‫ג‪ .‬נחשב את הזרם דרך הנגד‪ .‬נחשב את התנגדות הנגד כפונקציה של ‪ x‬יחסית לנקודה בה נכנס הזרם‪.‬‬ ‫את הפרש הפוטנציאלים כפונקציה של ‪ x‬נמצא ע"י חוק אוהם‪:‬‬ ‫‪V0‬‬ ‫‪V0 A‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪R ρ0 L‬‬ ‫‪ρ0 L 1 − e −1‬‬ ‫‪1 − e −1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ρ x‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫‪R( x ) = 0 ∫ e − x L dx = 0 − L ⋅ e − x L‬‬ ‫‪A 0‬‬ ‫‪A‬‬ ‫]‬ ‫)‬ ‫()‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪ρ0 L‬‬ ‫‪1 − e −x L‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫]‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫[‬ ‫(‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫‪V0 A‬‬ ‫‪ρ L‬‬ ‫‪V0‬‬ ‫‪⋅ 0 1 − e − x L = V0 −‬‬ ‫‪⋅ 1 − e−x L‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪ρ0 L 1 − e‬‬ ‫‪1− e‬‬ ‫]‬ ‫]‬ ‫=‪I‬‬ ‫[‬ ‫‪V ( x ) = V0 − I ⋅ R( x ) = V0 −‬‬ ‫ב‪ .‬שדה חשמלי נמצא ע"י ביצוע גרדיאנט על הפוטנציאל‪:‬‬ ‫ˆ ‪‬‬ ‫= ‪ ⋅ i‬‬ ‫‪−x L‬‬ ‫‪) ⋅ iˆ = (1 −Ve )  L1 ⋅ e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪V0‬‬ ‫‪∂ ‬‬ ‫‪E = −∇ ⋅ V = − V0 −‬‬ ‫‪⋅ 1 − e−x L‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪∂x ‬‬ ‫‪1− e‬‬ ‫‪−x L‬‬ ‫‪V ⋅e‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪L 1 − e −1‬‬ ‫()‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫ חוק אוהם דיפרנציאלי‬,‫התנגדות סגולית‬ :‫פתרון‬ :‫ נחלק לאלמנטים של דיסקות ונסכום טורית ע"י אינטגרל כדי לקבל התנגדות כוללת‬.‫א‬ σ0 σ= 1+ x L 2 a x  x  r = x + a = a  + 1  ⇒ S = π r 2 = πa 2  + 1  L L  L  1 dx 1 x dx dx  = = dR = ⋅  + 1 2 σ S σ0  L x   2 x  σ 0 π a 2  + 1 π a  + 1 L  L  L dx 1 = R=∫  σ 0 πa 2 2 x 0 σ 0 π a  + 1 L   L L ⋅ ln (2 ) x   L ⋅ ln  L + 1   = σ π a 2 [ln (2 ) − ln (1)] = σ π a 2   0  0 0 L :‫ נמצא זרם ע"י חוק אוהם‬.‫ב‬ 2 I= ∆Vσ 0 π a ∆V ∆V = = L ⋅ ln (2 ) R L ⋅ ln (2 ) 2 σ 0 πa : x ‫ נמצא צפיפות זרם ע"י חלוקת הזרם בשטח כפונקציה של‬.‫ג‬ 2 I j= = S(x ) E =σ ⋅ j= ∆Vσ 0 π a L ⋅ ln(2) x  πa  + 1 L  2 2 = ∆Vσ 0 π a 2 2 = ∆Vσ 0 2 x  x  L ⋅ ln(2)πa  + 1 L ⋅ ln (2) + 1 L  L  :‫ שדה חשמלי ניתן למצוא עפ"י חוק אוהם הדיפרנציאלי‬.‫ד‬ ∆Vσ 0 σ0 ⋅ 2 x  x 1 +  L ⋅ ln(2) + 1  L L  2 ‫התנגדות סגולית )שאלה ‪ 5.9‬מחוברת הקורס(‪ .‬חסר שרטוט!!!‬ ‫מדיסקה חלולה שעובייה ‪ w‬ורדיוסיה הפנימי והחיצוני הם ‪ a‬ו‪ , b -‬מייצרים נגד על ידי חיתוך הדיסקה‬ ‫החלולה לאורך קוטר באופן שמתקבלת צורה המזכירה פרסה )ראו איור משמאל(‪ .‬מוליכותה הסגולית של‬ ‫הדיסקה ‪ . σ‬מחברים את הנגד בין שני המשטחים הקדמיים למקור המח המספק הפרש פוטנציאליים ‪. V0‬‬ ‫תוכלו להניח כי הזרם זורם לאורך חצאי מעגלים‪ .‬חשבו‪:‬‬ ‫א‪ .‬את התנגדות הנגד‪.‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ב‪ .‬את וקטור צפיפות הזרם ‪. j‬‬ ‫ג‪ .‬את הפוטנציאל החשמלי כפונקציה של הזווית הקוטבית ‪ φ‬בהנחה כי הפוטנציאל החשמלי‬ ‫בנקודה בה הזרם יוצא הוא אפס‪ .‬קחו את ‪ φ‬להיות אפס בנקודה בה הזרם נכנס‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬מחלקים לאלמנטים חצי מעגליים )רדיוס ‪ , r‬עובי ‪ ( dr‬בעלי שטח חתך דיפרנציאלי ואורך של חצי‬ ‫מעגל‪ .‬האלמנטים מחוברים במקביל‪:‬‬ ‫‪L =π r , dS = w ⋅ dr‬‬ ‫‪πr‬‬ ‫‪L‬‬ ‫=‬ ‫‪σ dS σ w ⋅ dr‬‬ ‫⋅‬ ‫‪π‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪dR‬‬ ‫‪σ w ⋅ dr σ w  b ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∫=‬ ‫∫=‬ ‫=‬ ‫⇒ ‪⋅ ln ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪dR a π r‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪σ w ⋅ ln ‬‬ ‫ב‪ .‬מכיוון שהאלמנטים מחוברים במקביל ניתן לחשב את הזרם דרך כל אלמנט ע"י חוק אוהם‪ .‬את הזרם‬ ‫על כל אלמנט נחלק בשטח החתך של האלמנט כדי לקבל את צפיפות הזרם‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ˆ ‪dI ˆ V0σ‬‬ ‫= ) ‪j (r‬‬ ‫= ‪⋅φ‬‬ ‫‪⋅φ‬‬ ‫‪πr‬‬ ‫‪dS‬‬ ‫ˆ ‪V0 ˆ V0σ w ⋅ dr‬‬ ‫= ‪⋅φ‬‬ ‫⇒ ‪⋅φ‬‬ ‫‪dR‬‬ ‫‪πr‬‬ ‫= ‪⇒ dI‬‬ ‫‪πr‬‬ ‫‪σ w ⋅ dr‬‬ ‫= ‪dR‬‬ ‫ג‪ .‬נחשב את הזרם דרך הנגד‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪V0 ⋅ σ w ⋅ ln ‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪I= 0‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪π‬‬ ‫נחשב את הפוטנציאל בזווית מסוימת‪:‬‬ ‫‪φ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪σ w ⋅ ln ‬‬ ‫‪V0 ⋅ φ‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪= V0 −‬‬ ‫‪φ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪σ w ⋅ ln ‬‬ ‫= ‪⋅φ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪π‬‬ ‫= ) ‪R(φ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪V0 ⋅ σ w ⋅ ln ‬‬ ‫⋅‪a‬‬ ‫‪V (φ ) = V0 − I ⋅ R(φ ) = V0 −‬‬ ‫‪π‬‬ ‫חוק לורנץ – תנועה מעגלית‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬נמצא את מהירות האלקטרון משיקולי אנרגיה‪:‬‬ ‫‪mv 2‬‬ ‫‪2qV‬‬ ‫=‪⇒ v‬‬ ‫= ‪qV‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ב‪ .‬המרחק המבוקש שווה לפעמיים רדיוס התנועה המעגלית‪ .‬את רדיוס התנועה ניתן למצוא משיקולי‬ ‫כוחות )של תנועה מעגלית (‪:‬‬ ‫‪mv 2‬‬ ‫‪= qvB‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪mv‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫‪qB‬‬ ‫‪2mv‬‬ ‫= ‪D = 2R‬‬ ‫‪qB‬‬ ‫ג‪ .‬האלקטרון יאבד את האנרגיה הקינטית שלו לטובת פוטנציאלית‪ ,‬ומכיוון שזה אותו שדה חשמלי‪ ,‬אז‬ ‫הוא יאבד את כל האנרגיה הקינטית שלו‪ ,‬כלומר‪ v = 0 :‬בנקודה ‪. O 2‬‬ ‫ד‪ .‬תנועת האלקטרון בשדה המגנטי נמשכת חצי זמן מחזור של תנועה מעגלית‪:‬‬ ‫‪T π‬‬ ‫= = ‪tB‬‬ ‫‪2 ω‬‬ ‫‪v‬‬ ‫=‪ω‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪πR‬‬ ‫= ‪tB‬‬ ‫‪v‬‬ ‫לזה צריך להוסיף את זמן התנועה בשדה החשמלי‪ .‬הזמן הלוך שווה לזמן חזור בשדה החשמלי‪ .‬את הזמן‬ ‫הזה ניתן למצוא באמצעות קינמטיקה‪:‬‬ qE m v = at a= v mv = a qEa 2mv t E = 2t = qEa t= :‫וזמן התנועה הכולל הוא‬ π R 2mv tB + tE = + v qEa ‫חוק לורנץ – תנועה מעגלית‬ ‫אלומת פרוטונים‪ ,‬כל אחד בעל אנרגיה קינטית של‬ ‫‪ , 1.6 ⋅ 10 −19 J‬מוכנסת לאזור בו שדה מגנטי הניצב לתנועתם‪.‬‬ ‫אורך האזור בו מופעל השדה המגנטי הוא ‪ 10‬ס"מ‪ .‬ביציאה‬ ‫מהאזור עם השדה המגנטי‪ ,‬האלומה מוסטת בזוית של ‪30 o‬‬ ‫ביחס לכיוונה המקורי‪ .‬מה כיוונו ועוצמתו של השדה המגנטי?‬ ‫‪v‬‬ ‫‪30 o‬‬ ‫‪v‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪10cm‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪30 o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪30 o‬‬ ‫‪10cm‬‬ ‫במהלך המעבר בשדה המגנטי התנועה היא מעגלית במהירות קבועה‪ .‬לפיכך מתקיימת משוואת כוחות של‬ ‫תנועה מעגלית‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪mv‬‬ ‫‪mv‬‬ ‫‪mv‬‬ ‫‪∑ Fr = R ⇒ qvB = R ⇒ B = qR‬‬ ‫את הרדיוס ניתן למצוא ע"י גיאומטריה של המעגל והזווית הנתונה )ראו שרטוט(‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫= ‪= sin30 ⇒ R‬‬ ‫=‬ ‫‪= 0.2 m‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪sin30 0.5‬‬ ‫את מהירות נמצא עפ"י האנרגיה הקינטית הנתונה‪:‬‬ ‫‪2 ⋅ 1.6 ⋅ 10 -19‬‬ ‫‪= 5.929 ⋅ 10 5 m s‬‬ ‫‪-31‬‬ ‫‪9.1 ⋅ 10‬‬ ‫‪2E k‬‬ ‫=‬ ‫‪m‬‬ ‫=‪v‬‬ ‫⇒‬ ‫‪mv 2‬‬ ‫‪= Ek‬‬ ‫‪2‬‬ ‫והשדה המגנטי הוא‪:‬‬ ‫‪−31‬‬ ‫‪mv 9.1 ⋅ 10 ⋅ 5.929 ⋅ 10‬‬ ‫=‬ ‫‪= 1.686 ⋅ 10 −5 Tesla‬‬ ‫‪−19‬‬ ‫‪qR‬‬ ‫‪1.6 ⋅ 10 ⋅ 0.2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫חוק לורנץ – תנועה ספירלית‬ ‫‪r‬‬ ‫פרוטון )מסה ‪ m‬מטען ‪ ( q‬נע בשדה מגנטי אחיד ˆ‪ , B = B 0 k‬כאשר הכוח המגנטי הוא הכוח היחיד‬ ‫‪r‬‬ ‫הפועל עליו‪ .‬מהירותו ההתחלתית של הפרוטון היא ˆ‪. v = v ˆi + v k‬‬ ‫‪0z‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪0x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מצאו את הכוח הפועל על הפרוטון ברגע ההתחלתי‪.‬‬ ‫מצאו את תאוצת הפרוטון‪ .‬היווכחו שהתנועה היא קומבינציה של תנועה מעגלית )כאשר‬ ‫מסתכלים מ"למעלה" כלפי מישור ‪ ,(xy‬ותנועה במהירות קבועה בכיוון ‪.z‬‬ ‫מצאו את רדיוס הסיבוב של הפרוטון‪.‬‬ ‫מצאו את המהירות הזוויתית של הפרוטון‪.‬‬ ‫מהו המרחק שעובר הפרוטון לאורך ציר ‪ Z‬במהלך זמן מחזור?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬הכוח הפועל בהתחלה‪:‬‬ ‫) ()‬ ‫(‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪F = qv 0 × B = q v 0x ˆi + v 0z kˆ × B 0 kˆ = qv 0x B 0 ˆj‬‬ ‫ב‪ .‬תאוצת הפרוטון היא תאוצה רדיאלית בלבד‪ ,‬היות ובכיוון ציר ‪ Z‬לא פועל כוח‪:‬‬ ‫‪qv‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪= 0x 0‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ג‪ .‬רדיוס הסיבוב‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪mv‬‬ ‫‪mv‬‬ ‫‪mv‬‬ ‫‪∑ Fr = R ⇒ qv 0x B 0 = R0x ⇒ R = qB0x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ד‪ .‬מהירות זוויתית‪:‬‬ ‫‪v 0x‬‬ ‫‪v 0x‬‬ ‫‪qB 0‬‬ ‫‪qB 0‬‬ ‫=‪ω‬‬ ‫=‬ ‫⋅ ‪= v 0x‬‬ ‫=‬ ‫‪mv 0x‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪mv 0x‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪qB 0‬‬ ‫ה‪ .‬מרחק במהלך זמן מחזור‪:‬‬ ‫‪2π 2π m‬‬ ‫=‪T‬‬ ‫=‬ ‫‪ω qv 0x‬‬ ‫‪2π mv 0z‬‬ ‫‪qv 0x‬‬ ‫= ‪z = v 0z ⋅ T‬‬ ‫כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי‬ ‫במעגל חשמלי המורכב משני חצאי מעגל בעלי רדיוסים ‪ a‬ו‪) b-‬ראה‪/‬י‬ ‫תרשים( זורם זרם ‪ .I‬המעגל החשמלי נמצא בשדה מגנטי אחיד ‪ B‬הניצב‬ ‫למישור המעגל‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהו הכוח השקול הפועל על חלק בתיל )הכוונה לכל אחת‬ ‫מהקשתות וכל אחד משני המקטעים הישרים(?‬ ‫ב‪ .‬מהו הכוח השקול הפועל על התיל?‬ ‫‪I‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪r‬‬ ‫⊗‪B‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫* הכוח הפועל על הקשת עם רדיוס הגדול )כיוון הזרם ניצב לשדה המגנטי(‪:‬‬ ‫‪F1 = ILB = I ⋅ 2b ⋅ B‬‬ ‫וכיוונו כלפי מעלה‪.‬‬ ‫* הכוח הפועל על הקשת עם הרדיוס הקטן‪:‬‬ ‫‪F2 = ILB = I ⋅ 2a ⋅ B‬‬ ‫וכיוונו כלפי מטה‪.‬‬ ‫* הכוח הפועל על התיל האופקי הימני‪:‬‬ ‫‪F3 = ILB = I ⋅ (b - a ) ⋅ B‬‬ ‫וכיוונו כלפי מטה‪.‬‬ ‫*הכוח הפועל התיל האופקי השמאלי‪:‬‬ ‫‪F4 = ILB = I ⋅ (b - a ) ⋅ B‬‬ ‫וכיוונו כלפי מטה‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הכוח השקול הוא‪:‬‬ ‫‪F = F1 - F2 - F3 - F4 = 2IbB − 2IaB - I(b - a )B − I(b − a )B = 0‬‬ ‫כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נחלק את התיל למספר קטעים ונרשום את הכוח לכל חלק‪.‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪π‬‬ ‫עבור החלקים האופקיים נקבל ˆ‪ F = IL × B = ILB sin = I 6 RB = −0.075 Ry‬את הכיוון נקבל‬ ‫‪2‬‬ ‫מכלל יד ימין‪.‬‬ ‫עבור רבע המעגל נתבונן בכל רכיב של הכוח בנפרד‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪F = IL × B ⇒ dF = IdL × B = IBdL sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪IB cos θ Rdθ = − IBR‬‬ ‫‪IB sin θ Rdθ = − IBR‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∫‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪Fx = ∫ IBdL cos θ‬‬ ‫‪3π‬‬ ‫∫‬ ‫‪π‬‬ ‫= ‪Fy = ∫ IBdL sin θ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪π‬‬ ‫עבור הקטע האנכי נקבל ˆ‪F = IL × B = ILB sin = I 2 RB = 2 IBRx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪R‬‬ ‫עבור החלק המשופע נמצא תחילה את זווית השיפוע ‪⇒ θ = 35.36o‬‬ ‫‪3R‬‬ ‫= ‪sin θ‬‬ ‫נמצא את רכיבי הכוח‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ‪= − IBRx‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Fx = IBL sin θ = IB 3R‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ˆ‪= − 2 IBRy‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪Fy = IBL cos θ = IB 3R‬‬ ‫בכיוון ‪ x‬נקבל שסכום הכוחות הוא ‪) 0‬זה הגיוני מפני שיש סימטריה בציר התנועה האנכי של הזרם(‪,‬‬ ‫ובכיוון ‪ y‬נקבל שסכום הכוח הוא‬ ‫‪( −7 − 2 ) IBR = −1.05R‬‬ ‫כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי‬ ‫נתונים שלשוה תיילים מקבילים היוצרים משולש שווה שוקיים‪ ,‬כך שבסיסו השווה ל ‪ 2‬ס"מ מקביל‬ ‫לרצפה והקודקוד השלישי נמצא מרחק ‪ h‬מתחת לבסיס‪ .‬הזרמים על התיילים היוצרים את הבסיס הם‬ ‫‪ 250‬אמפר‪ ,‬ואילו הזרם על התיל התחתון הוא ‪ 100‬אמפר‪ .‬ידוע כי צפיפות המסה של התיל התחתון היא‬ ‫‪ 0.04‬ק"ג למטר וכי הכוח השקול הפועל עליו הוא אפס‪ .‬חשבו את ‪. h‬‬ ‫‪250 A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪250 A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪100 A‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫כדי לפתור תרגיל זה יש לצייר את דיאגרמת הכוחות הפועלים על התיל‪ .‬יש בסה"כ שלושה כוחות‪ :‬כוח‬ ‫כבידה‪ ,‬וכוחות משיכה אל שני התיילים האחרים )הממוקמים גבוה יותר(‪.‬‬ ‫דורשים ששקול הכוחות יהיה אפס וממשוואת ציר ה ‪ Y‬ניתן לבודד את ‪.h‬‬ ‫מצב זה הוא מצב יציב‪.‬‬ ‫‪250 A‬‬ ‫‪250 A‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪θ θ‬‬ ‫‪100 A‬‬ ‫‪mg‬‬ ‫הנתונים הם‪:‬‬ ‫? = ‪I 2 = 100 A µ = 0.04 kg m h‬‬ ‫‪I1 = 250 A‬‬ ‫‪a = 0.01 m‬‬ ‫נרשום משוואת כוחות שמתאפסת‪:‬‬ ‫‪− µg = 0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪a + h2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⋅‬ ‫‪2µ 0 I 1 I 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2π a + h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⇒ ‪= 0 ⇒ 2Fcosθ − µg‬‬ ‫‪πµgh 2 - µ 0 I1 I 2 h + πµga 2 = 0‬‬ ‫קיבלנו משוואה ריבועית עם הנעלם ‪. h‬‬ ‫‪∑F‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪µ 0 I1 I 2 h‬‬ ‫⇒ ‪= µg‬‬ ‫‪π a2 + h2‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫שאלה ‪) 1‬שאלה ‪ 7.25‬מחוברת הקורס(‪.‬‬ ‫תיל ישר באורך ‪ l‬הנושא זרם ‪ I‬במגמה המתוארת באיור‪ ,‬מונח לאורך ציר ה‪ . y -‬עובי התיל זניח‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בנקודה ‪ P‬הנמצאת על ציר ה‪ z -‬ובגובה ‪ z‬מעליו‪ .‬מרחקי האנך מן‬ ‫הנקודה ‪ P‬לתיל‪ ,‬אל קצות התיל הם ‪. l 2 , l 1‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את השדה המגנטי במצב בו הנקודה ‪ P‬מעל אמצע החוט‪.‬‬ ‫‪z‬‬ ‫ג‪ .‬חשבו את השדה המגנטי במצב בו הנקודה ‪ P‬מעל אחד מקצות המוט‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ד‪ .‬למה תצטמצם תוצאתכם לסעיף ב' עבור ‪? l >> z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫‪l1‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נחלק את המוט לאלמנטים בעלי אורך דיפרנציאלי ונחשב את השדה המגנטי שיוצר כל אלמנט בנקודה‬ ‫‪z‬‬ ‫‪:P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫ˆ‪⋅ k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y +z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪⋅ ˆj +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ˆ‪, r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y +z‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪ˆ ‬‬ ‫⋅‬ ‫‪k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y + z 2 ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪− l1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪y + z2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= ‪d l = dy ⋅ ˆj , r = y ⋅ ˆj + z ⋅ kˆ , r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪⋅ dy ⋅ ˆj × ‬‬ ‫‪⋅ ˆj +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ y +z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪z‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ˆ‪r µ 0 I ⋅ d l × r‬‬ ‫‪µ0 I‬‬ ‫= ‪dB‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4π r‬‬ ‫‪4π y + z 2‬‬ ‫(‬ ‫ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪µ 0 I ⋅ z ⋅ dy‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪4π y + z‬‬ ‫=‬ ‫כדי למצוא את השדה נבצע את אינטגרל על כל התיל‪:‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ˆ‪ ⋅ i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ −l1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ˆ‪ ⋅ i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כיוון ציר ‪ x‬הוא כלפי חוץ‪.‬‬ ‫‪µ 0 I ⋅ z ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ˆ‬ ‫= ‪⋅i‬‬ ‫‪4π  z 2 y 2 + z 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪l1‬‬ ‫‪ ⋅ iˆ = µ 0 I  l 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4π z  l 22 + z 2‬‬ ‫‪l 12 + z 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r µ0 I ⋅ z l2‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫= ‪B = ∫ dB‬‬ ‫∫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4π −l1 y + z 2‬‬ ‫(‬ ‫‪− l1‬‬ ‫‪µ 0 I  l 2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪4π z  l 22 + z 2‬‬ ‫‪l 12 + z 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪l‬‬ ‫ב‪ .‬ניקח את קצות המוט להיות במרחק שווה מראשית הצירים‪ ,‬כלומר‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ . l 1 = l 2‬נציב בביטוי‬ ‫שקיבלנו בסעיף א'‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ l‬‬ ‫ˆ ‪‬‬ ‫ˆ‪⋅ i‬‬ ‫= ‪⋅i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4π z‬‬ ‫‪+ z2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r µ0 I ‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪l‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4π z‬‬ ‫‪ 2 l + z2 2 l + z2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪ .‬נזיז את ראשית הצירים לקצה השמאלי של המוט‪ ,‬כלומר‪ . l 2 = l , l 1 = 0 :‬נציב בביטוי שקיבלנו‬ ‫בסעיף א'‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ l‬‬ ‫= ˆ‪ ⋅ i‬‬ ‫ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r µ I‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪B = 0 ‬‬ ‫‪4π z  l 2 + z 2‬‬ ‫ד‪ .‬עבור ‪: l >> z‬‬ ‫ˆ ‪µ0 I ⋅ l ˆ µ0 I‬‬ ‫=‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪2π z‬‬ ‫⋅ ‪4π z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שדה מגנטי של תיל אינסופי!‬ ‫= ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4π z‬‬ ‫≈ ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪+ z2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4π z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫חוק ביו‪-‬סבאר‪) :‬שאלה ‪ 7.26‬מחוברת הקורס(‪.‬‬ ‫הראו כי גודל השדה המגנטי במרכזה של לולאה מלבנית )נק' ‪ ( P‬שאורכה ‪l‬‬ ‫‪2µ 0 I ⋅ l 2 + w 2‬‬ ‫ורוחבה ‪ w‬הנושאת זרם ‪ I‬שווה ל‪:‬‬ ‫‪π lw‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪P‬‬ ‫= ‪ . B‬למה תצטמצם‬ ‫תוצאתכם בגבול ‪? l >> w‬‬ ‫‪l‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫תחילה יש למצוא את השדה המגנטי שיוצר תיל סופי בנקודה הנמצאת בניצב למרכזו )באותו אופן כמו‬ ‫בתרגיל ‪ 7.25‬סעיף ב'(‪ .‬נציב בביטוי של השדה המגנטי את הנתונים המתאימים לשאלה זו‪ .‬הצלע‬ ‫העליונה ותחתונה יצורות את אותו שדה מגנטי והצלע הימנית והשמאלית יוצרות את אותו שדה מגנטי‪ .‬כל‬ ‫ארבעת השדות באותו כיוון )כלפי חוץ(‪ .‬שדה מגנטי של צלע תחתונה )ששווה לזה של העליונה(‪:‬‬ ‫ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪πw l +w‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ l‬‬ ‫= ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪w l‬‬ ‫‪w‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 4 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪+ z2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪w‬‬ ‫⇒‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4π z‬‬ ‫=‪z‬‬ ‫שדה מגנטי של צלע ימנית )ששווה לזה של השמאלית(‪:‬‬ ‫ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ w‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪πl w +l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ w‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l w‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪+ z2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫=‪⇒ B‬‬ ‫‪4π z‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪l=w ,‬‬ ‫=‪z‬‬ ‫השדה המגנטי הכולל במרכז המלבן‪:‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= ‪B = BUp + BDown + BRight + BLeft‬‬ ‫= ˆ‪⋅ i‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ w‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⋅ iˆ +‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ w‬‬ ‫‪⋅ iˆ +‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ l‬‬ ‫‪⋅ iˆ +‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ l‬‬ ‫‪πw l +w‬‬ ‫‪πl w +l‬‬ ‫‪πl w +l‬‬ ‫‪2µ 0 I ⋅ w‬‬ ‫‪2µ 0 I‬‬ ‫ˆ ‪ l w‬‬ ‫=‬ ‫‪⋅ iˆ +‬‬ ‫= ˆ‪⋅ i‬‬ ‫= ‪ + ⋅i‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪πw l +w‬‬ ‫‪πl w +l‬‬ ‫‪π w +l w l ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪πw l +w‬‬ ‫‪2µ 0 I ⋅ l‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2µ 0 I‬‬ ‫ˆ ‪ l 2 + w 2  ˆ 2µ 0 I w 2 + l 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪ ⋅ i‬‬ ‫‪⋅i‬‬ ‫‪π wl‬‬ ‫‪π w 2 + l 2  wl ‬‬ ‫=‬ ‫בגבול ‪: l >> w‬‬ ‫‪r 2µ 0 I w 2 + l 2‬‬ ‫ˆ ‪2µ 0 I l 2 ˆ 2µ 0 I‬‬ ‫ˆ‬ ‫=‪B‬‬ ‫≈ ‪⋅i‬‬ ‫= ‪⋅i‬‬ ‫‪⋅i‬‬ ‫‪π wl‬‬ ‫‪π wl‬‬ ‫‪πw‬‬ ‫‪w‬‬ ‫זהו שדה מגנטי בנקודה הנמצאת בדיוק במרכז בין שני תילים אינסופיים )כאשר המרחק מכל תיל‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪.‬‬ ‫חוק ביו‪-‬סבאר‪) :‬שאלה ‪ 7.28‬מחוברת הקורס(‪.‬‬ ‫תיל דק מקופל לצורת מצולע משוכלל בעל ‪ n‬צלעות החסום ע"י מעגל שרדיוסו ‪ . R‬ידוע כי התיל נושא‬ ‫זרם ‪. I‬‬ ‫‪µ 0 In‬‬ ‫א‪ .‬הראו כי גודל השדה המגנטי במרכז המצולע נתון ע"י ) ‪tan (π n‬‬ ‫‪2π R‬‬ ‫= ‪.B‬‬ ‫ב‪ .‬הראו כי בגבול ∞ → ‪ n‬גודלו של השדה המגנטי במרכז המצולע הוא כגודלו של השדה המגנטי‬ ‫במרכזה של לולאה מעגלית‪.‬‬ ‫פתרון‪) :‬כללי‪ ,‬לאו דווקא למשושה(‬ ‫א‪ .‬נוסחה לחישוב הזווית‪ , θ ,‬שהגדרתי בשרטוט המצולע‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‪⇒ θ‬‬ ‫‪2θ‬‬ ‫‪2θ n = 2π‬‬ ‫‪2θ‬‬ ‫‪2θ‬‬ ‫‪2θ‬‬ ‫‪2θ‬‬ ‫‪θ R‬‬ ‫‪z‬‬ ‫כאשר‪ ,‬במקרה של המצולע‪:‬‬ ‫‪z = R ⋅ cosθ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪l = 2 R ⋅ sinθ‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שדה מגנטי שיוצר תיל אחד באורך ‪ l‬בנקודה הנמצאת בניצב למרכז התיל‪ ,‬במרחק ‪ z‬ממרכז התיל‪:‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ l‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫‪+ z2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪4π z‬‬ ‫נציב בביטוי של השדה המגנטי‪ ,‬ונכפול ב‪ n -‬צלעות‪ ,‬כדי לקבל את השדה במרכז המצולע )שימו‪0‬לב‬ ‫שכל הצלעות יוצרות שדה מגנטי באותו כיוון‪ ,‬לתוך הדף‪ ,‬ולכן נתין לחבר באופן פשוט(‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪µ 0 In ⋅ tanθ‬‬ ‫‪4π ⋅ R ⋅ sin 2 θ + R 2 ⋅ cos 2 θ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪n ⋅ µ 0 I ⋅ R ⋅ sinθ‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪4 R ⋅ sin θ‬‬ ‫⋅ ‪4π R ⋅ cosθ‬‬ ‫‪+ R 2 ⋅ cos 2 θ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪µ In ⋅ tanθ µ 0 In‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫=‬ ‫) ‪tan (π n‬‬ ‫‪4π R‬‬ ‫‪2π R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ב‪ .‬נשתמש בזהות‪θ << 1 ⇒ tanθ ≈ θ :‬‬ ‫במקרה שלנו‪:‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π  π‬‬ ‫≈ ‪→ 0 ⇒ tan  ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪µ In‬‬ ‫‪µ In π µ In‬‬ ‫‪B = 0 tan (π n ) ≈ 0 ⋅ = 0‬‬ ‫‪2π R‬‬ ‫‪2π R n‬‬ ‫‪2R‬‬ ‫הביטוי שאליו שואף השדה המגנטי הוא של שדה מגנטי של כריכה מעגלית‪.‬‬ ‫⇒ ∞→‪n‬‬ ‫חוק ביו‪-‬סבאר‪) :‬שאלה ‪ 7.41‬מחוברת הקורס(‪.‬‬ ‫טבעת שרדיוסה ‪ R‬העשויה מחומר מבודד טעונה במטען כללי ‪ Q‬המפולג לאורכה בצורה אחידה‪.‬‬ ‫הטבעת סובבת במהירות זוויתית קבועה ‪ ω‬מסביב לציר הניצב למישורה ועובר במרכזה‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את השדה המגנטי שיוצרת הטבעת הסובבת בנקודה ‪ P‬הנמצאת על הציר בגובה ‪ z‬מעל‬ ‫מישורה‪.‬‬ ‫‪z‬‬ ‫ב‪ .‬מה יקרה אם הטבעת תסתובב בכיוון הפוך?‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪R‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫הזרם שיוצרת המטען בטבעת שנמצא בתנועה הוא )נסתכל על מחזור שלם של סיבוב(‪:‬‬ ‫‪∆Q Q Qω‬‬ ‫= =‬ ‫‪∆t T‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫=‪⇒ I‬‬ ‫כעת נתייחס למצב שטבעת מעגלית שזורם בה הזרם שחישבנו‪ .‬מבט צד של המערכת‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪dB‬‬ ‫‪dL = R ⋅ d ϕ , r = z 2 + R 2‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= ‪sinθ‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪µ I ⋅ dL‬‬ ‫‪µ I ⋅ R ⋅ dϕ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪dB z = 0 2 ⋅ cosθ ⋅ kˆ = 0 2‬‬ ‫⋅‬ ‫= ˆ‪⋅ k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4π r‬‬ ‫‪4π z + R‬‬ ‫‪z +R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ˆ ‪µ I ⋅ R ⋅ dϕ‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪⋅k‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪4π z 2 + R 2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪I‬‬ ‫)‬ ‫= ‪, cosθ‬‬ ‫)‬ ‫‪ω‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫‪2π‬‬ ‫=‪T‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪R‬‬ ‫שימו לב‪:‬‬ ‫•‬ ‫ישנן שתי זוויות‪ , θ :‬שהיא זווית קבועה‪ .‬ו‪ ϕ -‬שהיא זווית שמשתנה לפי מיקום האלמנט‬ ‫בטבעת‪.‬‬ ‫•‬ ‫לא רשמתנו את הרכיבים האופקיים של השדה המגנטי מכיוון שלאחר האינטגרל הם יתאפסו‬ ‫)משיקולי סימטריה(‪.‬‬ ‫נבצע את האינטגרל לפי הזווית על כל הטבעת‪:‬‬ ‫ˆ‪⋅ k‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ R 2‬‬ ‫)‬ ‫‪2 32‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫(‬ ‫‪2 z +R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪⋅ kˆ ⋅ ∫ d ϕ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‬ ‫‪µ0 I ⋅ R 2‬‬ ‫‪2 32‬‬ ‫(‬ ‫‪4π z + R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= ‪B = ∫ dB z‬‬ ‫נציב את הביטוי לזרם שקיבלנו בהתחלה ונקבל את התשובה הסופית‪:‬‬ ‫‪µ 0 R 2 Qω‬‬ ‫ˆ ‪Qω‬‬ ‫= ‪⋅k‬‬ ‫ˆ‪⋅ k‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪4π z + R‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫⋅‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫‪µ0 R 2‬‬ ‫(‬ ‫‪2 z2 + R2‬‬ ‫= ˆ‪⋅ k‬‬ ‫‪µ0 I ⋅ R 2‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫(‬ ‫‪2 z2 + R2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫חוק ביו‪-‬סבאר‪:‬‬ ‫נתון מוליך נושא זרם ‪ I‬על פי התרשים‪ a .‬הוא הרדיוס הפנימי ו ‪ b‬הרדיוס החיצוני‪ .‬מהו השדה המגנטי‬ ‫בנקודה ‪?P‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫שדה מגנטי של קשת רדיוס ‪ R‬עם זוית ‪ α‬כלשהי במרכז המעגל‪:‬‬ ‫‪µ 0I α‬‬ ‫‪µ 0 Iα‬‬ ‫‪R‬‬ ‫⋅‬ ‫‪d‬‬ ‫‪α‬‬ ‫=‬ ‫‪4π R‬‬ ‫‪4 π R 2 ∫0‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫עפ"י ביטוי זה הקשת הגדולה יוצרת במרכז‪:‬‬ ‫‪µ0I π µ0I‬‬ ‫= ⋅‬ ‫‪4 π b 3 12 b‬‬ ‫= ‪Bb‬‬ ‫וכיוון השדה לתוך הדף‪.‬‬ ‫הקשת הקטנה יוצרת במרכז‪:‬‬ ‫‪µ0I π µ0I‬‬ ‫= ⋅‬ ‫‪4 π a 3 12 a‬‬ ‫= ‪Ba‬‬ ‫וכיוון השדה מחוץ הדף‪.‬‬ ‫שני התיילים הישרים לא יוצרים שדה מגנטי בנקודה ‪ ,P‬מכיוון שהיא נמצאת על המשכם )כך הזווית בין‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ dL‬ל ‪ r‬היא אפס או ‪ 180‬מעלות והמכפלה הוקטורית של חוק ביו‪-‬סבאר מתאפסת(‪.‬‬ ‫השדה השקול‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪µ I µ I µ I1 1‬‬ ‫‪B P = B a + B b = 0 − 0 = 0  − ‬‬ ‫‪12 a 12 b 12  a b ‬‬ ‫מחוץ לדף‪.‬‬ ‫חוק ביו‪-‬סבאר )דומה לשאלות ‪ ,7.25‬ו ‪ 7.26‬מחוברת הקורס(‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬נבנה את האינטגרל‪:‬‬ ‫‪µ 0 Idl × rˆ µ 0 Idlsinθ‬‬ ‫=‬ ‫‪4πr 2‬‬ ‫‪4π r 2‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪r‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫‪r = x 2 + D2‬‬ ‫= ‪sin θ‬‬ ‫= ‪dB‬‬ ‫‪dl = dx‬‬ ‫‪µ 0 Idx‬‬ ‫‪µ 0 IDdx‬‬ ‫‪D‬‬ ‫⋅‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4π x + D‬‬ ‫‪x 2 + D 2 4π x 2 + D 2‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪µ 0 IL‬‬ ‫‪L2‬‬ ‫‪+ D2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪4 πD‬‬ ‫)‬ ‫= ‪dB‬‬ ‫(‬ ‫‪µ 0 IDdx‬‬ ‫‪2 32‬‬ ‫‪+D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫ 4π(x‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ב‪ .‬השדה המגנטי שיוצר קטע אנכי‪ ,‬מתקבל באותו אופן‪ ,‬כך שנותר רק לבצע את ההחלפה הבאה בביטוי‬ ‫שקיבלנו בסעיף א'‪:‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪µ 0 I ⋅ 2D‬‬ ‫→‪D‬‬ ‫‪µ 0I ⋅ D‬‬ ‫‪L2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪πL D 2 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪+ ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(2D )2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪L → 2D‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כל ארבעת הקטעים יוצרים שדה מגנטי באותו כיוון כך שהשדה במרכז הוא סכום של כולם‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪2µ 0 ID‬‬ ‫‪L2‬‬ ‫‪πL‬‬ ‫‪+ D2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪µ 0 IL‬‬ ‫‪L2‬‬ ‫‪2 πD‬‬ ‫‪+ D2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪µ0I ⋅ D‬‬ ‫‪L2‬‬ ‫‪πL‬‬ ‫‪+ D2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫⋅‪+ 2‬‬ ‫‪µ 0 IL‬‬ ‫⋅‪B = 2‬‬ ‫‪L2‬‬ ‫‪4 πD‬‬ ‫‪+ D2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2µ 0 I‬‬ ‫‪ L 2D ‬‬ ‫‪ 2D + L ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪+D‬‬ ‫‪4‬‬ ‫חוק ביו‪-‬סבאר‪) :‬דומה לשאלה ‪ 7.33‬ו ‪ 7.41‬מחבורת הקורס(‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬משיקולי סימטריה כיוון השדה המגנטי יהיה בכיוון החיובי של ציר ‪ z‬עבור ‪ z‬חיובי‪ ,‬ובכיוון השלילי‬ ‫של ציר ‪ , z‬עבור ‪ z‬שלילי‪.‬‬ ‫נחתוך את הטבעת לאלמנטים דיפרנציאליים ונסכום‪:‬‬ ‫‪µ 0 Idl‬‬ ‫= ‪dB z‬‬ ‫‪sinϕ‬‬ ‫‪4π r 2‬‬ ‫‪µ 0 Ia 2 dθ‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫(‬ ‫‪4π z 2 + a 2‬‬ ‫= ‪⇒ dB z‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪sinϕ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪µ 0 Ia 2‬‬ ‫(‬ ‫‪2 z2 + a 2‬‬ ‫‪dl = adθ‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫‪+ a2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪µ 0 Ia 2 dθ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r =z +a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪B = ∫ dB z‬‬ ‫‪∫ 4π(z‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ב‪ .‬גודל השדה המגנטי במרכז הטבעת‪:‬‬ ‫‪µ0I‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪2 32‬‬ ‫‪µ 0 Ia‬‬ ‫‪2(0 2 + a‬‬ ‫= )‪B(z = 0‬‬ ‫נדרוש שהשדה יהיה חצי ונמצא את ‪: z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪µ 0I‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪2 32‬‬ ‫‪= 2a 3‬‬ ‫‪= 3 4a 2‬‬ ‫‪µ 0 Ia‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫‪+ a2‬‬ ‫) (‬ ‫‪23‬‬ ‫(‬ ‫‪2 z2 + a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(z‬‬ ‫‪z 2 + a 2 = 2a 3‬‬ ‫)‬ ‫‪4 −1 a 2‬‬ ‫)‬ ‫‪4 −1 a 2‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫(‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪z2‬‬ ‫‪z=±‬‬ ‫ג‪ .‬נחשב את הרוטור של השדה המגנטי על ציר הסימטריה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ˆj = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ˆi − ∂  µ 0 Ia‬‬ ‫‪ ∂x  2 z 2 + a 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫ˆ‪k‬‬ ‫‪∂B z ˆ ∂B z ˆ ∂  µ 0 Ia 2‬‬ ‫∂‬ ‫=‬ ‫‪i−‬‬ ‫=‪j‬‬ ‫‪∂z‬‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪∂y  2 z 2 + a 2‬‬ ‫‪Bz‬‬ ‫(‬ ‫אחת ממשוואות מקסוול היא‪:‬‬ ‫המשמעות היא שבנקודות על ציר ‪ z‬לא זורם זרם )הזרם הוא בנקודות אחרות(‪.‬‬ ‫‪ˆj‬‬ ‫∂‬ ‫‪∂y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ˆi‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫∂‬ ‫= ‪∇×B‬‬ ‫‪∂x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r 1 ∂E‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪∇ × B = µ0 j + 2‬‬ ‫‪c ∂t‬‬ ‫חוק ביו‪-‬סבאר‬ ‫במעגל חשמלי המורכב משני חצאי מעגל בעלי רדיוסים ‪ a‬ו‪) b-‬ראה‪/‬י‬ ‫‪I‬‬ ‫תרשים( זורם זרם ‪ .I‬המעגל החשמלי נמצא בשדה מגנטי אחיד ‪ B‬הניצב‬ ‫למישור המעגל‪.‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ג‪ .‬מהו הכוח השקול הפועל על חלק בתיל )הכוונה לכל אחת‬ ‫מהקשתות וכל אחד משני המקטעים הישרים(?‬ ‫‪a‬‬ ‫ד‪ .‬מהו הכוח השקול הפועל על התיל?‬ ‫ה‪ .‬מהו השדה המגנטי )גודל‪+‬כיוון( הנוצר של ידי המעגל‬ ‫החשמלי במרכז המערכת?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫הגדרתי מערכת הצירים כך‪ :‬ציר ‪ x‬החוצה מהדף‪ ,‬ציר ‪ y‬ימינה וציר ‪ z‬מעלה‪.‬‬ ‫את הקשת העליונה סימנתי "‪ ,"1‬את הקטע הישר הימני "‪ ,"2‬את הקשת התחתונה "‪ ,"3‬ואת הקטע הישר‬ ‫השמאלי "‪."4‬‬ ‫א‪ .‬ניתן לחשב עפ"י המרחק בין קצוות כל חלק בתיל‪:‬‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫[‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ˆ‪F1 = IL1 × B = I ⋅ 2b ⋅ j × B ⋅ iˆ = −2bIB ⋅ k‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ˆ‪F2 = IL2 × B = I ⋅ − (b − a ) ⋅ j × B ⋅ iˆ = (b − a )IB ⋅ k‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ˆ‪F3 = IL3 × B = I ⋅ − 2a ⋅ j × B ⋅ iˆ = 2aIB ⋅ k‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ˆ‪F4 = IL4 × B = I ⋅ − (b − a ) ⋅ j × B ⋅ iˆ = (b − a )IB ⋅ k‬‬ ‫]‬ ‫]‬ ‫]‬ ‫ב‪ .‬הכוח השקול יתקבל ע"י חיבור וקטורי של כל הכוחות שחישבנו בסעיף א'‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪FTotal = F1 + F2 + F3 + F4 = −2bIB ⋅ kˆ + (b − a )IB ⋅ kˆ + 2aIB ⋅ kˆ + (b − a )IB ⋅ kˆ = 0‬‬ ‫‪r µ I‬‬ ‫ג‪ .‬נחשב את השדה המגנטי של כל חלק‪ .‬שדה מגנטי לכריכה מעגלית שלמה‪ . B = 0 :‬כל קשת יוצרת‬ ‫‪2R‬‬ ‫חצי מהשדה של כריכה מעגלית שלמה‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪µ I‬‬ ‫ˆ‪B3 = 0 ⋅ i‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪µ I‬‬ ‫ˆ‪B1 = 0 ⋅ i‬‬ ‫‪b‬‬ ‫התיילים הישרים מצריכים בניית אינטגרל )השדה שכל אחד מהן ייצור יהיה שווה לזה של התיל שני(‪.‬‬ ‫להלן פתרון כללי של שדה בנקודה ליד מוט ישר נושא זרם‪:‬‬ ‫נחלק את המוט לאלמנטים בעלי אורך דיפרנציאלי ונחשב את השדה המגנטי שיוצר כל אלמנט בנקודה‬ ‫‪z‬‬ ‫‪:P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫‪dy‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪l1‬‬ r r d l = dy ⋅ ˆj , r = y ⋅ ˆj + z ⋅ kˆ , r = r r µ 0 I ⋅ d l × rˆ µ0 I dB = = 2 2 4π r 4π y + z 2 ( = µ 0 I ⋅ z ⋅ dy ( 2 4π y + z 2 ) 32 ) 2 2 y + z2 y , rˆ = ⋅ ˆj + 2 y +z   y  ˆ ⋅ dy ⋅ j ×  ⋅ ˆj + 2  2   y +z  2 z 2 y +z ⋅ kˆ 2  ˆ ⋅ k  = 2  y + z 2  z ⋅ iˆ :‫כדי למצוא את השדה נבצע את אינטגרל על כל התיל‬ r r µ0 I ⋅ z l 2 dy B = ∫ dB = ∫ 2 4π −l1 y + z 2 ( = µ 0 I  l 2 l1 − 4π z  l 22 + z 2 l 12 + z 2  ) 32 µ I ⋅ z  y ⋅ iˆ = 0 4π  z 2 y 2 + z 2  l2   ⋅ iˆ =   l1   l2 l1  ⋅ iˆ = µ 0 I  −  4π z  l 22 + z 2 l 12 + z 2     ⋅ iˆ   .‫ הוא כלפי חוץ‬x ‫כיוון ציר‬ ‫במקרה של אחד התיילים הישרים בשאלה המקורית נציב את מיקום קצוות התיל המתאימים הצבתי את‬ :‫מקיום הקצוות של התיל השמאלי‬ l 1 = − a , l 2 = −b , z=a r r µ I  l2 l1 B4 = B2 = 0  − 4π z  l 22 + z 2 l 12 + z 2  =   ⋅ iˆ = µ 0 I  − b − − a  4π a  b 2 + a 2 a2 + a2    ⋅ iˆ =   µ0 I  − b 1 ˆ  ⋅i + 4π a  b 2 + a 2 2  :‫שדה מגנטי שקול במרכז‬ r r r r r r r r µI µ I  −b µI 1 BTotal = B1 + B2 + B3 + B4 = B1 + 2 B2 + B3 = 0 ⋅ iˆ + 0  +  ⋅ iˆ + 0 ⋅ iˆ = a b 4π a  b 2 + a 2 2  =  µ 0 I  4π a b 1 − + + 4π  ⋅ iˆ  4π a  b b2 + a2 2  ‫כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫הנתונים הם‪:‬‬ ‫‪I1 = 2 A I 2 = 1 A L = 0.5 m d = 0.2 m‬‬ ‫א‪ .‬בסעיף השדה המגנטי אחיד לכל אורך התיל )השדה המגנטי נוצר ע"י התיל האינסופי ותלוי במרחק‬ ‫מהתיל האינסופי(‪:‬‬ ‫‪µ 0 I1I 2 L‬‬ ‫‪2πd‬‬ ‫= ‪F = I 2 LB‬‬ ‫ב‪ .‬בסעיף זה השדה משתנה לאורך התיל‪ ,‬כך שיש לחלק את התיל לאלמנטים לחשב את הכוח‬ ‫הדיפרנציאלי על כל אלמנט ולבצע אינטגרל‪:‬‬ ‫‪µ 0 I1‬‬ ‫‪2π r‬‬ ‫⋅ ‪dF = I 2 ⋅ dL ⋅ B = I 2 ⋅ dr‬‬ ‫‪dr µ 0 I1 I 2  d + L ‬‬ ‫=‬ ‫‪ln‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪ d ‬‬ ‫‪d+L‬‬ ‫∫‬ ‫‪d‬‬ ‫‪µ II‬‬ ‫‪F = ∫ dF = 0 1 2‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫ג‪ .‬הכוח על הצלעות באורך ‪ a‬מתבטל )הכוח עליהן זהה בגודל והפוך בכיוון(‪ ,‬כך שצריך לחשב את‬ ‫הכוחות על שתי הצלעות האחרות המקבילות לתיל האינסופי‪ ,‬ולסכום וקטורית‪:‬‬ ‫‪µ 0 I1 I 2 L‬‬ ‫‪2πd‬‬ ‫‪µ 0 I1 I 2 L‬‬ ‫) ‪2 π (d + a‬‬ ‫‪µ 0 I1 I 2 L µ 0 I1 I 2 L‬‬ ‫‪µ I I L1‬‬ ‫‪1  µ 0 I1 I 2 La‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪= 0 1 2  −‬‬ ‫‪2πd‬‬ ‫) ‪2 π(d + a‬‬ ‫) ‪2 π  d (d + a )  2 π d (d + a‬‬ ‫= ‪Fd‬‬ ‫= ‪Fd + a‬‬ ‫= ‪FT = Fd − Fd + a‬‬ ‫כוח על תיל נושא זרם בשדה מגנטי‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬הכוח על התיל הישר הימני הוא כלפי מטה וגודלו‪:‬‬ ‫‪Fright = 2(b - a )IB‬‬ ‫הכוח על התיל הישר השמאלי הוא כלפי מטה‪ ,‬וגודלו‪:‬‬ ‫‪Fleft = 2(b - a )IB‬‬ ‫ב‪ .‬הכוח על תיל ברדיוס ‪ a‬הוא כלפי מטה וגודלו‪:‬‬ ‫‪Fa = 2aIB‬‬ ‫הכוח על התיל ברדיוס ‪ b‬הוא כלפי מעלה וגודלו‪:‬‬ ‫‪Fb = 2bIB‬‬ ‫ג‪ .‬הכוח השקול הוא סכום וקטורי של כל הכוחות‪:‬‬ ‫‪FT = Fb − Fa − Fright − Fleft = 0‬‬ ‫ד‪ .‬הכוח השקול גם במקרה זה היה מתאפס‪.‬‬ ‫כוח על מישור נושא זרם בשדה מגנטי‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫הנתונים הם‪:‬‬ ‫‪B0 = 4 T‬‬ ‫‪ρ = 1.7 ⋅ 10 −8 Ω ⋅ m ε = 5 ⋅ 10 -5 V‬‬ ‫‪a = 0.5 m d = 0.002 m‬‬ ‫‪B0 x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫א‪ .‬נחשב את התנגדות המסגרת‪:‬‬ ‫‪ρL‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫= ‪L = a S = a ⋅d ⇒ R‬‬ ‫נחשב את הזרם ע"י חוק אוהם‪:‬‬ ‫‪ε εd‬‬ ‫=‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ρ‬‬ ‫=‪I‬‬ ‫וצפיפות הזרם‪:‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫=‬ ‫‪ad ρd‬‬ ‫ב‪ .‬נחשב את הכוח ע"י אינטגרל‪:‬‬ ‫=‪j‬‬ ‫‪dF = dI ⋅ L ⋅ B‬‬ ‫‪B0 x‬‬ ‫‪= jd ⋅ B 0 xdx‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪B0 x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫⋅ ‪⇒ dF = jd ⋅ dx ⋅ a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪L=a‬‬ ‫‪dI = jdS = jd ⋅ dx‬‬ ‫‪x2 ‬‬ ‫‪jd ⋅ B 0 a 2‬‬ ‫= ‪F = ∫ dF = ∫ jd ⋅ B 0 xdx = jd ⋅ B 0  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2 0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫כיוון הכוח יהיה ימינה )בכיוון החיובי של ציר ‪( X‬‬ ‫ג‪ .‬גודל הכוח יישאר זהה‪ ,‬כיוון הכוח יהיה בכיוון ציר ‪. Y‬‬ ‫‪a‬‬ ‫כוח על תיל נושא זרם טבעת בעלת רדיוס ‪ R‬טעונה במטען כולל ‪ Q‬המפוזר אחיד לאורך‬ ‫הטבעת‪ .‬הטבעת מסתובבת סביב מרכזה במהירות זוויתית קבועה ‪ .ω‬הטבעת נמצאת על "קו התפר"‬ ‫בו משתנָה עוצמת השדה המגנטי מערך קבוע ‪) B1‬בתחום הימני( לערך קבוע אחר ‪) B2‬בצד שמאל(‪.‬‬ ‫מישור הטבעת ניצב לשדות‪ ,‬חצייה באזור בו שורר ‪ B1‬וחצייה השני באזור בו שורר ‪.B2‬‬ ‫א( מהו הזרם החשמלי ‪ I‬הנוצר על ידי תנועתה‬ ‫הסיבובית של הטבעת?‬ ‫‪B2‬‬ ‫‪B1‬‬ ‫ב( חשב‪/‬י את הכוח הכולל הפועל על טבעת‬ ‫הזרם‪ .‬הראה‪/‬י תוך שימוש באיור סכמאטי את‬ ‫‪ω‬‬ ‫כיווני הכוחות הפועלים‪.‬‬ ‫ג( מה הכוח הכולל הפועל על הטבעת במקרה ש‪-‬‬ ‫‪?B1=B2‬‬ ‫קו התפר בין השדות‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬את הזרם החשמלי נמצא ע"י הגדרת הזרם החשמלי‪ ,‬כלומר מטען ליחידת זמן‪ .‬נסתכל על נקודה‬ ‫כלשהי‪ ,‬כמות המטען העוברת בסיבוב שלם היא ‪ , Q‬הזמן של סיבוב שלם הוא זמן מחזור‪:‬‬ ‫‪∆q Q ωQ‬‬ ‫= =‬ ‫‪∆t T‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫=‪I‬‬ ‫⇒‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪ω‬‬ ‫=‪T‬‬ ‫ב‪ .‬הכוח השקול על חצי המעגל הימני פועל שמאלה‪ .‬והכוח השקול על חצי התיל השמאלי פועל ימינה‪.‬‬ ‫גודל הכוחות נקבע עפ"י המרחק בין קצות הקשת החצי מעגלית‪:‬‬ ‫‪ω QB1 R‬‬ ‫‪ωQ‬‬ ‫= ‪⋅ B1 ⋅ 2 R‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪ω QB2 R‬‬ ‫‪ωQ‬‬ ‫= ‪F2 = I ⋅ B2 ⋅ 2 R‬‬ ‫= ‪⋅ B2 ⋅ 2 R‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫= ‪F1 = I ⋅ B1 ⋅ 2 R‬‬ ‫ג‪ .‬הכוח הכולל במקרה ש ‪: B1 = B2‬‬ ‫‪ω QB1 R ω QB2 R‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪π‬‬ ‫= ‪FT = F2 − F1‬‬ ‫כוח על תיל נושא זרם‬ ‫קובייה בעלת צלע ‪ ,a‬העשויה מחומר מוליך מושלם‪ ,‬נעה באזור עם שדה‬ ‫מגנטי ‪ B‬היוצא מהדף‪ ,‬במהירות ‪ v‬המאונכת לשדה המגנטי‪ .‬בגלל הכוח‬ ‫‪B‬‬ ‫המגנטי הפועל על המטענים החופשיים במוליך הם נעים לכיוון אחת הפיאות‬ ‫ויוצרים שדה חשמלי‪ .‬התהליך מפסיק )מצב שיווי משקל( כאשר הכוח הכולל‬ ‫‪a‬‬ ‫הפועל על כל אחד מהמטענים החופשיים במערכת מתאפס‪ .‬הכוח הוא כוח‬ ‫לורנץ )מגנטי בגלל השדה המגנטי הנתון‪ ,‬וחשמלי בגלל היווצרות השדה‬ ‫החשמלי הנ"ל(‪.‬‬ ‫‪v‬‬ ‫א‪ .‬מהו השדה החשמלי הנוצר במוליך כתוצאה מתנועה זו?‬ ‫ב‪ .‬מצא‪/‬י את צפיפות המטענים בפאות הקוביה המוליכה‪ .‬הזניחו אפקטי‬ ‫שפה‪ ,‬כלומר חשבו את הצפיפות בקירוב של שטח פאה אינסופי‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מהו הפוטנציאל בין הפיאות?‬ ‫ד‪ .‬מהי כמות האלקטרונים העודפים בפיאה הטעונה שלילית?‬ ‫פתרון‪ :‬מערכת הצירים היא‪ :‬כיוון ‪ x‬ימינה‪ ,‬כיוון ‪ y‬לתוך הדף‪ ,‬וכיוון ‪ z‬כלפי מעלה‪.‬‬ ‫א‪ .‬נחשב את הכוח המגנטי הפועל על חלקיק בתוך הקובייה )חוק לורנץ(‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ˆ‪FB = −qvB ⋅ k‬‬ ‫נחשב את הכוח שמפעיל השדה החשמלי על החלקיק‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪FE = qE‬‬ ‫נדרוש שסכום הכוחות יתאפס כדי למצוא את גודל וכיוון השדה החשמלי‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ˆ‪E = vB ⋅ k‬‬ ‫‪r‬‬ ‫⇒ ‪qE − qvB ⋅ kˆ = 0‬‬ ‫ב‪ .‬השדה הוא אחיד כלומר בשכבה התחתונה יש צפיפות מטען חיובית ובשכבה העליונה יש צפיפות מטען‬ ‫שלילית‪ .‬צפיפויות המטען שוות בגודל והפוכות בסימן )המטען החיובי שיצא מלמעלה הצטבר למטה(‪.‬‬ ‫נתייחס לכל אחת מהשכבות כלוח אינסופי‪:‬‬ ‫ˆ ‪σ‬‬ ‫‪⋅ k = vB ⋅ kˆ ⇒ σ = ε 0 vB‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫‪r σ‬‬ ‫=‪E‬‬ ‫⇒ ˆ‪⋅ k‬‬ ‫‪ε0‬‬ ‫ג‪ .‬פוטנציאל של שדה קבוע )לוח עליון פחות לוח תחתון(‪:‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪∆ϕ = − ∫ E ⋅ dr = − E ⋅ ∆z = −vBa‬‬ ‫ד‪ .‬כמות האלקטרונים בפאה השלילית‪:‬‬ ‫‪− ε 0 vBa ε 0 vBa‬‬ ‫‪q‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪−e‬‬ ‫‪−e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫= ‪q = −σ a = −ε 0 vBa ⇒ ne‬‬ ‫צפיפות זרם‬ ‫נתונה צפיפות זרם העובר לאורכו של מוליך גלילי )רדיוס ‪:( a‬‬ ‫ˆ ‪ b (r − a ) δ‬‬ ‫‪⋅k‬‬ ‫‪ ⋅e‬‬ ‫‪j (r ) =  r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) ‪(0 ≤ r ≤ a‬‬ ‫) ‪(r > a‬‬ ‫כאשר ‪ b , a‬ו‪ δ -‬הם קבועים מספריים‪.‬‬ ‫הביעו את הזרם הכולל דרך המוליך ) ‪ ,( I‬באמצעות ‪ b , a‬ו‪. δ -‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫=‬ ‫]‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪r r a b (r −a ) δ‬‬ ‫‪I = ∫ j ⋅ dS = ∫ ⋅ e‬‬ ‫‪⋅ 2π rdr = 2π b ⋅ ∫ e ( r −a ) δ dr = −2π b ⋅ δ ⋅ e (r −a ) δ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫[‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫]‬ ‫[‬ ‫‪= −2π b ⋅ δ ⋅ e 0 − e −a δ = 2π b ⋅ δ ⋅ e − a δ − 1‬‬ ‫חוק אמפר‬ :‫פתרון‬ :(‫ חיובי למעלה‬y ‫ השדה המגנטי הוא סופר פוזיציה של השדות של התיל והגליל )ציר‬.‫א‬ r  µ I µ 0I  ˆ B(x < d - b ) = − 0 − ⋅ j  2 π x 2 π (d − x )  r  µ I B(d − a < x < d + a ) = − 0  ⋅ ˆj  2π x  r  µ I µ 0I  ˆ B(d + b < x ) = − 0 + ⋅ j  2 π x 2 π(d − x )  :‫ השדה המגנטי שיצור הגליל בתוכו‬.‫ב‬ r r B ∫ ⋅ d l = µ 0 I in r r B ∫ ⋅ d l = B ⋅ 2πr B ⋅ 2πr = µ 0 ⋅ ) ( I ⋅ π r2 − a2 2 π b − a2 ( ) ( µ I(r − a ) B= (b − a ) µ 0 I in = µ 0 ⋅ jS = µ 0 ⋅ ( ( 2 ) ⇒ r  µ I (x - d ) − a B(d + a < x < d + b ) =  0 b2 − a 2  ( I ⋅ π r2 − a2 2 π b −a 2 2 ) 2 ) 2 0 2 ) − − µ I  ⋅ ˆj 0 2 π x  2 :‫ השדה המגנטי השקול בתוך הגליל‬.‫ג‬ ‫חוק אמפר‬ ‫צינור ארוך וחלול אשר רדיוסו החיצוני הינו ‪ R‬נושא זרם ‪) I‬מגמת הזרם לתוך הדף(‪ .‬במרחק ‪3R‬‬ ‫ממרכז הצינור ובמקביל לו נמצא מוליך ארוך נושא זרם ‪ .i‬מה צריך להיות גדלו וכיוונו של הזרם ‪i‬‬ ‫כדי שהשדה המגנטי בנקודה ‪) P‬במרחק ‪ 2R‬ממרכז הצינור( יהיה שווה בגדלו אך הפוך בכיוונו‬ ‫מהשדה המגנטי במרכז הצינור )נקודה ‪.(C‬‬ ‫ג‪P .‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪C R‬‬ ‫ב‪R .‬‬ ‫א‪R .‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫‪µ0I‬‬ ‫= ‪ , B‬מתאים גם לשדה מגנטי של יתל אינסופי וגם לשדה המגנטי של גוף בעל סימטריה‬ ‫הביטוי‪:‬‬ ‫‪2πr‬‬ ‫גלילית באזור המצא מחוץ לגליל‪.‬‬ ‫השדה המגנטי שיצור הצינור‪:‬‬ ‫‪µ0I‬‬ ‫‪µ I‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪2 π⋅ 2R 4 π R‬‬ ‫וכיוונו כלפי מעלה )נתון ש ‪ I‬זורם לתוך הדף(‪.‬‬ ‫השדה שיוצר התיל האינסופי צריך להיות כלפי מטה‪ ,‬כך שניתן לקבוע שכיוון הזרם בתיל צריך להיות‬ ‫לתוך הדף‪ .‬נכתוב דרושה לגודלו של השדה ומתוכה נמצא את גודל הזרם‪:‬‬ ‫‪µ i‬‬ ‫‪µ I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪B= 0 = 0‬‬ ‫=‪⇒ i‬‬ ‫‪2 π⋅ R 4 π R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חוק אמפר )שאלה ‪ 7.18‬מחוברת הקורס(‪.‬‬ ‫צינור ארוך דק דפנות אשר רדיוסו החיצוני הינו ‪ R‬נושא זרם ‪ i0‬המפולג בצורה אחידה‪ .‬כיוון הזרם‬ ‫בצינור הוא אל תוך הדף‪ .‬במרחק ‪ 3 R‬ממרכז הצינור מוצב תיל הנושא זרם חשמלי ‪ i‬במקביל לציר‬ ‫הצינור ובאותו כיוון )ראה איור(‪.‬‬ ‫א‪ .‬חשב את השדה המגנטי במרכז הצינור‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בנקודה ‪ P‬הנמצאת במרחק ‪ 2 R‬ממרכז הצינור‪.‬‬ ‫ג‪ .‬מה צריך להיות היחס בין הזרמים ‪ i‬ו‪ i0 -‬על מנת שעצמת השדה המגנטי השקול בנקודה‬ ‫‪ P‬תהיה שווה לזו שבמרכז הצינור אך הפוכה לו במגמה?‬ ‫‪i‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫פתרון‪ :‬בחרתי את כיוון ציר ‪ z‬מעלה‪.‬‬ ‫א‪ .‬השדה המגנטי במרכז הצינור מושפע רק מהתיל החיצוני ולא מהצינור עצמו‪ ,‬ניתן להסביר זאת ע"י‬ ‫חוק אמפר‪:‬‬ ‫‪B1 (r < R ) = 0‬‬ ‫⇒ ‪B1 ⋅ 2π r = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫‪r‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪0 in‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪∫ B ⋅ dl = µ‬‬ ‫⇒ ‪µ 0 I in = 0‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪(r < R‬‬ ‫כך שבנקודה במרכז הצינור קיים שדה מגנטי של תיל אינסופי במרחק ‪ 3R‬מהתיל‪:‬‬ ‫‪µ 0i‬‬ ‫‪µi‬‬ ‫ˆ‪⋅ kˆ = − 0 ⋅ k‬‬ ‫) ‪2π (3 R‬‬ ‫‪6π R‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪BA = −‬‬ ‫ב‪ .‬כל אחד מהגופים יוצר שדה של תיל אינסופי‪ ,‬נחשב ונחבר וקטורית כדי למצוא את השקול‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ˆ ‪µ 0 i0 ˆ µ 0 i0‬‬ ‫‪µi‬‬ ‫= ‪⋅k‬‬ ‫‪⋅k‬‬ ‫‪,‬‬ ‫ˆ‪B2 (r = R ) = − 0 ⋅ k‬‬ ‫) ‪2π (2 R‬‬ ‫‪4π R‬‬ ‫‪2π R‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪µi‬‬ ‫‪µi‬‬ ‫ˆ ) ‪µ (i − 2i‬‬ ‫‪B P = B1 + B2 = 0 0 ⋅ kˆ − 0 ⋅ kˆ = 0 0‬‬ ‫‪⋅k‬‬ ‫‪4π R‬‬ ‫‪2π R‬‬ ‫‪4π R‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= ) ‪B1 (r = 2 R‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪µi‬‬ ‫ג‪ .‬נדרוש‪ , B P = − B A = 0 ⋅ kˆ :‬נשווה לביטוי שקיבלנו בסעיף ב' ונבודד את הזרם‪: i ,‬‬ ‫‪6π R‬‬ ‫‪3i0 = 8i‬‬ ‫⇒‬ ‫‪⇒ 3i0 − 6i = 2i‬‬ ‫‪i0 − 2i i‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ˆ ‪µ 0 (i0 − 2i ) ˆ µ 0 i‬‬ ‫= ‪⋅k‬‬ ‫⇒ ‪⋅k‬‬ ‫‪4π R‬‬ ‫‪6π R‬‬ ‫‪i 3‬‬ ‫=‬ ‫‪i0 8‬‬ ‫חוק אמפר‬ ‫גלילים מוליכים אינסופיים מקבילים זה לזה והמרחק ביניהם ‪ .d‬רדיוס הגליל השמאלי ‪ a‬ורדיוס הימני ‪,b‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ודרכם זורמת צפיפות זרם אחידה ושווה ˆ‪ . J1 = J 2 = J 0 k‬נתונים‪ .x ,J0 ,b ,a ,D :‬כמו כן ידוע כי ‪.b>a‬‬ ‫‪D=d‬‬ ‫א‪ .‬מהו גודל השדה המגנטי הנוצר במרחב בין התיילים‪ ,‬במרחק ‪ x‬מהתיל השמאלי‬ ‫) ‪?( a < x < d − b‬‬ ‫‪ x‬נמדד ממרכז התיל השמאלי‪.‬‬ ‫‪J1‬‬ ‫‪J2‬‬ ‫ב‪ .‬מטען חיובי ‪ q‬נע במהירות ‪ v‬במקביל לתילים‪,‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪v‬‬ ‫בכיוון השלילי של ציר ‪) z‬ראה‪/‬י איור( בנקודה‬ ‫‪ .x=d/2‬מהו כיוון הכוח המגנטי שפועל על המטען?‬ ‫‪r‬‬ ‫ג‪ .‬מהו השדה המגנטי ‪ B‬בנקודה הנמצאת במרחק‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ממרכז התיל השמאלי?‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫פתרון‪ :‬ציר ‪ x‬מוגדר ימינה‪ ,‬ציר ‪ y‬מוגדר לתוך הדף‪ ,‬ציר ‪ z‬מוגדר ימינה‪.‬‬ ‫א‪ .‬תחילה נחשב את הזרם הכולל בכל גליל‪:‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪, I 2 = j 2 ⋅ S = j0 ⋅ π b 2‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪I1 = j1 ⋅ S = j0 ⋅ π a 2‬‬ ‫ציר ‪ x‬מוגדר‪ ,‬כך שראשיתו נמצאת במרכז הגליל השמאלי‪ ,‬וכיוונו החיובי ימינה‪ .‬נחשב את השדה‬ ‫החשמלי שיוצר הגליל השמאלי מבחוץ ‪,‬בנקודה הנמצאת מצידו הימני )כמו תיל אינסופי(‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪µI‬‬ ‫ˆ ‪µ j ⋅ π a 2 ˆ µ 0 j0 ⋅a 2‬‬ ‫‪B1 (x ) = 0 1 ˆj = 0 0‬‬ ‫=‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪2π r‬‬ ‫‪2π x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫נחשב את השדה החשמלי שיוצר הגליל הימני מבחוץ‪ ,‬בנקודה הנמצאת מצידו השמאלי )כמו תיל‬ ‫אינסופי(‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪µI‬‬ ‫ˆ ‪µ j ⋅ π b2‬‬ ‫ˆ ‪µ j ⋅b 2‬‬ ‫‪B2 ( x ) = − 0 2 ˆj = − 0 0‬‬ ‫‪j=− 0 0‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪2π r‬‬ ‫) ‪2π (d − x‬‬ ‫) ‪2 (d − x‬‬ ‫כדי לקבל את השדה השקול בנקודה הנמצאת בין הגלילים‪ ,‬נחבר את שני השדות שחישבנו באופן וקטורי‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪µ 0 j0 ⋅a 2 ˆ µ 0 j0 ⋅b 2 ˆ µ 0 j0  a 2‬‬ ‫ˆ ‪b2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪⋅ j‬‬ ‫= ) ‪B( x ) = B1 ( x ) + B2 ( x‬‬ ‫‪j−‬‬ ‫=‪j‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫) ‪2 (d − x‬‬ ‫‪2  x (d − x ) ‬‬ :‫ באמצעות חוק לורנץ‬.‫ב‬ r r µ j d B x =  = − 0 0 b 2 − a 2 ⋅ ˆj , v = −v ⋅ kˆ 2 d  r r  µ j   r r µ j qv F = qv × B = q  − 0 0 b 2 − a 2 ⋅ ˆj  × − v ⋅ kˆ  = − 0 0 b 2 − a 2 ⋅ i d   d  ( ) ( ) ( ) ( ) :'‫ נציב תא הערך הנתון בביטוי של השדה המגנטי שמצאנו בסעיף א‬.‫ג‬    2  2 r b 2 a  µ 0 j0  a  ⋅ ˆj = 3µ 0 j0 B x = − =  a 2 2a   3  2 2   d −    3   3  a b2  ˆ  −  ⋅ j ( ) 2 d − 2 a   ‫חוק אמפר‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬את השדה המגנטי מוצאים ע"י חוק אמפר‪:‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪∫ B ⋅ drl = µ I‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪∫ B ⋅ d l = B ⋅ 2π r‬‬ ‫‪0 in‬‬ ‫‪µ 0 Ir 2‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫= ‪⇒ B ⋅ 2πr‬‬ ‫‪µ 0 Ir 2‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫⋅‬ ‫=‬ ‫‪πa 2‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫⋅ ‪µ 0 I in = µ 0 ⋅ jS = µ 0‬‬ ‫⇒ ) ‪(0 < r < a‬‬ ‫‪µ 0 Ir‬‬ ‫‪2πa 2‬‬ ‫‪(a < r < b ) ⇒ µ 0 I in = µ 0 I ⇒ B ⋅ 2 π r = µ 0 I‬‬ ‫= ) ‪B(0 < r < a‬‬ ‫‪µ 0I‬‬ ‫‪2πr‬‬ ‫‪(a < r < b ) ⇒ µ 0 I in = 0 ⇒ B ⋅ 2 π r = 0‬‬ ‫= ) ‪B(a < r < b‬‬ ‫‪B(a < r < b ) = 0‬‬ ‫ב‪ .‬כיוון השדה המגנטי הוא בכיוון משיק לכיוון הרדיאלי‪ ,‬עפ"י חוק יד ימין‪.‬‬ ‫חוק אמפר ‪ +‬ביו‪-‬סבאר‪:‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬עבור לולאה מלבנית שצלע אחת שלה )באורך ‪ ( L‬בתוך הסליל וצלע שנייה שלה מחוץ לסליל‬ ‫)במרחק אינסופי מהסליל כך שניתן להניח שהשדה שם הוא אפס(‪ ,‬נרשום את חוק אמפר‪ .‬שימו לב‬ ‫שעבור שתי הצלעות הצדדיות אינטגרל המסלול מתאפס מכיוון שהשדה ניצב למסלול‪:‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪Amper' s Law : ∫ B ⋅ d l = µ 0 I in‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪∫ ⋅ d l = BL‬‬ ‫‪µ 0 I in = µ 0 InL ⇒ BL = µ 0 InL ⇒ B = µ 0 In‬‬ ‫ב‪.‬חישוב השדה המגנטי שיוצר סליל דק‪:‬‬ ‫‪µ 0 NIdl‬‬ ‫‪sinϕ‬‬ ‫‪4πr 2‬‬ ‫‪µ 0 NIR 2 dθ‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫(‬ ‫‪4π x 2 + R 2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪r‬‬ ‫= ‪⇒ dB z‬‬ ‫= ‪sinϕ‬‬ ‫‪µ 0 NIR 2‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫(‬ ‫‪2 x2 + R 2‬‬ ‫‪dl = adθ‬‬ ‫‪r2 = z2 + a 2‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪µ 0 NIR 2 dθ‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫‪+ R2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪dB z‬‬ ‫‪∫ 4π(x‬‬ ‫= ‪B = ∫ dB z‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ג‪ .‬צריך לבצע אינטגרל על שדה של סלילים דקים‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪µ 0 nIdx ⋅ R‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪12 ‬‬ ‫‪ − L‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪µ nIR  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪ 2⋅ 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + R2‬‬ ‫‪ R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪µ 0 NI‬‬ ‫‪4L2 + R 2‬‬ ‫)‬ ‫‪32‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪+ R2‬‬ ‫(‬ ‫‪2 x2 + R 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫ (x‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪µ 0 nIR‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪2 32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪µ 0 dI ⋅ R‬‬ ‫(‬ ‫‪2 x +R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪µ 0 nIdx ⋅ R‬‬ ‫)‬ ‫‪2 32‬‬ ‫= ‪dB‬‬ ‫‪+R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪∫ 2(x‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪µ 0 nI ‬‬ ‫‪µ 0 nIL‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪ 2 + R 2 ‬‬ ‫‪+ R2‬‬ ‫‪2 + R 2   2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫חוק אמפר )שאלה ‪ 7.17‬מחוברת הקורס(‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬בחרתי את כיוון ציר ‪ x‬לתוך הדף! נניח שבמוליך הפנימי הזרם פנימה ובחיצוני החוצה‪.‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫בסימטריה המתקיימת במוליך גלילי אינסופי‪ ,‬ניתן להשתמש בחוק אמפר‪ . ∫ B ⋅ d l = µ 0 I in :‬לסימטריה‬ ‫כזאת יוצרים לולאת אמפר מעגלית ברדיוס ‪ , r‬שמרכזה נמצא על ציר הסימטריה המרכזי‪ .‬הצד הימני של‬ ‫חוק אמפר מתאים לכל רדיוס שנבחר )אינו תלוי באזורים השונים של השדה המגנטי אלא רק בסימטריה(‪:‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪∫ ⋅ d l = B ⋅ 2π r‬‬ ‫כדי למצוא את השדה באזורים השונים נשנה את רדיוס הלולאה כך שבכל פעם הא תהיה באזור אחר‪,‬‬ ‫ונחשב בכל אזור את כמות הזרם העוברת דרך הלולאה‪:‬‬ ‫) ‪(r > R3‬‬ ‫‪⇒ µ 0 I in = I − I = 0‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫⇒ ‪∫ B ⋅ d l = µ 0 I in ⇒ B ⋅ 2π r = 0‬‬ ‫‪B (r > R3 ) = 0‬‬ ‫‪ R32 − r 2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= µ 0 I − µ 0 j 2π r − R = µ 0 I  2‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪µ I  R −r ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪⇒ B (R2 < r < R3 ) = 0 ⋅  23‬‬ ‫‪2π r  R3 − R22 ‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬ ‫‪µ0 I‬‬ ‫‪2π r‬‬ ‫‪ R32 − r 2‬‬ ‫‪⇒ B ⋅ 2π r = µ 0 I  2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ R3 − R 2‬‬ ‫‪⇒ µ 0 I in = µ 0 I‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪∫ ⋅ d l = µ 0 I in‬‬ ‫= ) ‪B (R1 < r < R2‬‬ ‫‪µ0 I r 2‬‬ ‫‪R12‬‬ ‫‪µ0 I r‬‬ ‫‪2π R12‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪( R 2 < r < R3‬‬ ‫‪µ 0 I in‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪I‬‬ ‫= ‪j2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪π R3 − R22‬‬ ‫‪,‬‬ ‫⇒‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪B ⋅ 2π r = µ 0 I‬‬ ‫= ‪µ 0 I in = µ 0 j1 ⋅ π r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ) ‪B (R1 < r < R2‬‬ ‫⇒‬ ‫‪µ0 I r 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪,‬‬ ‫⇒‬ ‫‪I‬‬ ‫= ‪j2‬‬ ‫‪π R12‬‬ ‫= ‪B ⋅ 2π r‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪(R1 < r < R2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪0 in‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪∫ B ⋅ dl = µ‬‬ ‫⇒‬ ‫) ‪(r < R1‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪∫ ⋅ d l = µ 0 I in‬‬ ‫חוק אמפר‪) :‬שאלה ‪ 7.23‬מחוברת הקורס(‪.‬‬ ‫‪y‬‬ ‫במוליך גלילי ארוך שרדיוסו ‪ a‬נקדחו שני חללים לאורך ציר‬ ‫‪Q‬‬ ‫הסימטריה כולו‪ ,‬שקוטרם ‪ , a‬כמתואר באיור משמאל‪.‬‬ ‫המוליך נושא זרם ‪ I‬בניצב למישור האיור ובמגמה החוצה‪.‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪a 2‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בנקודה ‪ P‬הנמצאת על ציר‬ ‫‪P‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ה‪ x -‬במרחק ‪ r‬ממרכז הגליל‪.‬‬ ‫‪a 2‬‬ ‫ב‪ .‬חשבו את השדה המגנטי בנקודה ‪ Q‬הנמצאת על ציר‬ ‫ה‪ y -‬ובמרחק ‪ r‬ממרכז הגליל‪.‬‬ ‫‪r‬‬ ‫הדרכה‪ :‬התייחסו לחללים הגלילים כאל מוליכים הנושאים‬ ‫זרם באותה צפיפות אולם במגמה הפוכה‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬ציר ‪ z‬לתוך הדף!‬ ‫נמספר את ה"גופים"‪:‬‬ ‫‪ .1‬גליל מלא רדיוס ‪ a‬שהזרם בו החוצה מהדף‪.‬‬ ‫‪ .2‬הגליל החלול העליון‪ ,‬בעל רדיוס ‪ , a 2‬אליו נתייחס כמלא שהזרם בו לתוך הדף‪.‬‬ ‫‪ .3‬הגליל החלול התחתון‪ ,‬בעל רדיוס ‪ , a 2‬אליו נתייחס כמלא שהזרם בו לתוך הדף‪.‬‬ ‫כדי לחשב את השדות בנקודות השונות מחשב את השדה שיוצר כל "גוף" ונחבר וקטורית‪.‬‬ ‫א‪ .‬נחשב את צפיפות הזרם במוליך‪ ,‬ובאמצעותה נחשב את ה"זרם" בכל אחד מה"גופים"‪:‬‬ ‫ˆ ‪2I‬‬ ‫‪⋅k‬‬ ‫‪π a2‬‬ ‫) ‪(in‬‬ ‫‪=−‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π  a 2 −‬‬ ‫‪(out ) ,‬‬ ‫‪a ‬‬ ‫‪ 2  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π  a 2 − 2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪⋅π  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪πa‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫= ‪I2 = I3 = − j ⋅ S2‬‬ ‫= ˆ‪⋅ k‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪j =−‬‬ ‫‪2I‬‬ ‫‪⋅ π a 2 = 2I‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪πa‬‬ ‫‪‬‬ ‫= ‪I 1 = j ⋅ S1‬‬ ‫נחשב השדה המגנטי שיוצר כל אחד מה"גופים" )כמו תילים אינסופיים( בנקודה ‪ P‬ונחבר וקטורית‬ ‫)הוספתי שני שרטוטים שמסבירים את הזוויות והכיוונים‪ ,‬של השדות שיוצרים כל אחד מהחללים(‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪a 2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪θ P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪B3‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪B2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪a 2‬‬ r µ I µ I B1 = 0 1 ⋅ ˆj = 0 ⋅ ˆj πr 2π r     r µ0 I 2 µ I a r   0 B2 = ⋅ − cos θ ⋅ iˆ − sinθ ⋅ ˆj = ⋅− ⋅ iˆ − ⋅ ˆj  = 2 2 2 2 a a  a a 2  2π r 2 + 4π r 2 + r2 +  2 r +  4 4  4 4  µ0 I µ0 I  a   a  = ⋅  − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  = ⋅  − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  2 2 2  a   2  π 4r + a  2  4π  r 2 +  4   ( ) ( )     r µ0 I 3 µ I a r   0 B3 = ⋅ cos θ ⋅ iˆ − sinθ ⋅ ˆj = ⋅ ⋅ iˆ − ⋅ ˆj  = 2 2 2 2 a a  a a 2  2π r 2 + 4π r 2 + r2 + 2 r +  4 4  4 4  µ0 I µ0 I a  a  ⋅  ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  = ⋅  ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  = 2 2 2  a  2  π 4r + a  2  4π  r 2 +  4   r r r r µ I µ0 I µ0 I  a  a  ⋅  − ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  + ⋅  ⋅ iˆ − r ⋅ ˆj  = BP = B1 + B2 + B3 = 0 ⋅ ˆj + 2 2 2 2 πr π 4r + a  2  π 4r + a  2  ( ) ( ( ) ) ( ) = µ0 I  2r 2  ˆ µ 0 I  2 r 2  ˆ µ 0 I  4r 2 + a 2 − 2r 2  ˆ 1 − 2   ⋅ j =  ⋅ j = ⋅ j = 1 − π r  4r + a 2  π r  4r 2 + a 2  π r  4r 2 + a 2  = µ 0 I  2r 2 + a 2  ˆ  ⋅ j π r  4r 2 + a 2  :(‫ מכיוון שאין זוויות‬,‫ )היא יותר פשוטה‬Q ‫ באותו אופן לנקודה‬.‫ב‬ r µ I µ I B1 = − 0 1 ⋅ iˆ = − 0 ⋅ iˆ 2π r πr r B3 = µ0 I 3 a  2π  r +  2  ⋅ iˆ = r B2 = , µ0 I a  4π  r +  2  r r r r µ I B P = B1 + B2 + B3 = − 0 ⋅ iˆ + πr µ0 I 2 a  2π  r −  2  ⋅ iˆ = µ0 I a  4π  r −  2  ⋅ iˆ ⋅ iˆ     µ0 I µ0 I µ I r r  ⋅ iˆ = ⋅ iˆ + ⋅ iˆ = 0  − 1 + +  a a πr   a a 4 r −  4 r +    4π r − 4π r + 2 2 2 2    ar ar   − 4r 2 − a 2 + r 2 + + r2 −   2 2 µ I 2 2  ⋅ iˆ = µ 0 I  − 2r − a = 0  πr  π r  4r 2 − a 2 4r 2 − a 2       ˆ  ⋅ i  ‫שדה מגנטי )סופרפוזיציה ע"י אינטגרל(‬ ‫ברצועה דקה וארוכה )אינסופית( ברוחב ‪ , a‬זורם זרם אחיד ‪) I‬לתוך הדף(‪ .‬חשבו את השדה המגנטי‬ ‫בנקודה ‪ , P‬הנמצאת במישור הרצועה‪ ,‬במרחק ‪ h‬מקצה הרצועה‪.‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪h‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫נחלק את הרצועה לאלמנטים דקים‪ ,‬ונתייחס לכל אלמנט כתיל איסופי‪ ,‬ונסכום על כל השדות שיוצרים כל‬ ‫האלמנטים‪:‬‬ ‫‪µ 0 ⋅ dI‬‬ ‫= ‪dB‬‬ ‫‪2πr‬‬ ‫‪µ ⋅ I ⋅ dr‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪dr ⇒ dB = 0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2 π ar‬‬ ‫‪µ 0 ⋅ I ⋅ dr µ 0 ⋅ I a + h dr µ 0 ⋅ I  a + h ‬‬ ‫‪ln‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 πar‬‬ ‫‪2 πa ∫h r‬‬ ‫‪2πa  h ‬‬ ‫‪a+h‬‬ ‫∫‬ ‫‪h‬‬ ‫= ‪dI = jdr‬‬ ‫= ‪B = ∫ dB‬‬ ‫חוק פאראדיי‪ -‬לנץ‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬ההתנגדות הכוללת‪:‬‬ ‫‪L ρ ⋅ 3a‬‬ ‫=‬ ‫‪S‬‬ ‫‪πd 2‬‬ ‫‪R=ρ‬‬ ‫ב‪ .‬השטף המקסימלי הוא כאשר השדה המגנטי ניצב למישור המשולש‪:‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪3a 2‬‬ ‫⋅ ‪ΦB = B ⋅ S = B‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ג‪.‬נתון זמן המחזור ‪ , T‬ניתן למצוא את המהירות הזוויתית‪:‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪3a 2‬‬ ‫⋅ ‪ΦB = B ⋅ S = B‬‬ ‫) ‪sin (ωt‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪∂Φ B‬‬ ‫‪3a 2‬‬ ‫=‪ε‬‬ ‫⋅ ‪= ωB‬‬ ‫) ‪cos(ωt‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3a 2‬‬ ‫⋅ ‪I max = ωB‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‪ω‬‬ ‫חוק פאראדיי‪ -‬לנץ )‪ 8.43‬מחוברת הקורס(‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬השטף המגנטי‪:‬‬ ‫‪r r d‬‬ ‫‪αt 2 d 2‬‬ ‫= ‪Φ B = ∫ B ⋅ dS = ∫ αt 2 d ⋅ ydy‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ב‪ .‬הכא"מ המושרה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ = αd 2 t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪∂Φ B‬‬ ‫‪∂  αt 2 d 2‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂t  2‬‬ ‫=‪ε‬‬ ‫ג‪ .‬הספק החום‪:‬‬ ‫‪ε 2 α 2d 4 t 2‬‬ ‫=‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫=‪P‬‬ ‫ד‪ .‬כמות האנרגיה שנפלטה בזמן הנתון‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪α 2d 4 t 2‬‬ ‫‪α 2d 4T3‬‬ ‫= ‪dt‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪3R‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∫ = ‪U = ∫ Pdt‬‬ ‫חוק פאראדיי ‪ -‬לנץ‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬נחשב עבור המקרה בו המסגרת נכנסת לתוך השדה המגנטי‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪r r d B0 x‬‬ ‫‪B d2‬‬ ‫∫ = ‪Φ B = ∫ B ⋅ dS‬‬ ‫‪Ldx = B 0 ∫ xdx = 0‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ב‪ .‬נחשב עבור המקרה בו המסגרת נעה כולה בתוך השדה המגנטי‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪B0 x‬‬ ‫‪B0 2 d‬‬ ‫‪B0 2‬‬ ‫) ‪B 0 (2Ld − L2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫‪Ldx‬‬ ‫=‬ ‫‪B‬‬ ‫‪xdx‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪d‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪L‬‬ ‫=‬ ‫‪d−L‬‬ ‫∫ ‪0‬‬ ‫‪∫ L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d -L‬‬ ‫‪d -L‬‬ ‫ג‪ .‬השטף גדל כך שכיוון הזרם יהיה כזה שנסה להקטין את השטף כלומר נגד כיוון השעון‪.‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫] [‬ ‫‪d‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫= ‪Φ B = ∫ B ⋅ dS‬‬ ‫גודל הזרם‪:‬‬ ‫‪ε B 0 Lv‬‬ ‫=‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫=‪I‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪∂Φ B‬‬ ‫‪∂ B 0 2Lvt − L2‬‬ ‫=‬ ‫‪= B 0 Lv‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪ε‬‬ ‫‪d = vt‬‬ ‫ד‪ .‬הספק חשמלי והספק מכני‪:‬‬ ‫) ‪ε 2 (B 0 Lv‬‬ ‫=‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪B 0 Lv‬‬ ‫‪(B 0 L)2 v‬‬ ‫‪ B 0 d B 0 (d − L ) ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪F = IBL = IL ‬‬ ‫= ‪ = IB 0 [d − (d − L )] = IB 0 L = R ⋅ B 0 L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪ L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‪P‬‬ ‫‪(B 0 Lv )2‬‬ ‫‪R‬‬ ‫= ‪P = Fv‬‬ ‫חוק פאראדיי –לנץ‬ ‫מסגרת מוליכה העשויה מתיל בצורת חצי מעגל והקוטר שלו מסתובבת סביב מרכז המעגל ‪ M‬נגד כיוון‬ ‫השעון במהירות זוויתית ‪ . ω = 5 rad sec‬מתחת למישור העובר דרך קו ‪ CD‬ומאונך למסגרת שורר‬ ‫שדה מגנטי אחיד ‪ , B = 0.4 T‬הנכנס לתוך דף השרטוט‪ .‬בזמן ‪ , t = 0‬הקוטר של חצי המעגל מתלכד עם‬ ‫‪ .CD‬נתונים‪ :‬רדיוס המעגל ‪ , a = 2 m‬התנגדות המסגרת ‪. R = 10 Ω‬‬ ‫א‪ .‬חשבו את השטף של השדה המגנטי דרך המסגרת כפונקציה של הזמן במשל חצי הסיבוב הראשון‬ ‫של המסגרת‪ .‬מהו קטע הזמן שאליו מתאימה הפונקציה?‬ ‫ב‪ .‬חשבו את הזרם המושרה במסגרת במשך חצי הסיבוב הראשון )גודל וכיוון(‪.‬‬ ‫ג‪ .‬חשבו כיצד ישתנה השטף‪ ,‬וכיוונו וגודלו של הזרם המושרה בחצי הסיבוב השני‪.‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫א‪ .‬השטף כפונקציה של הזמן‪:‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪Φ B = B ⋅ S = B ⋅ θa = B ⋅ aω t‬‬ ‫‪T‬‬ ‫החישוב נכון לקטע הזמן‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫< ‪.0 < t‬‬ ‫ב‪ .‬נמצא את הכא"מ המושרה ואז מחוק אוהם את הזרם‪:‬‬ ‫‪∂Φ B‬‬ ‫∂‬ ‫‪= (B ⋅ aω t ) = Baω‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪∂t‬‬ ‫‪ε Baω‬‬ ‫= =‪I‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫=‪ε‬‬ ‫כיוון הזרם יהיה כזה שירצה להקטין את השטף )היות והשטף גדל( כלומר ליצור שדה מגנטי בכיוון‬ ‫החוצה מהדף‪ ,‬כלומר נגד כיוון השעון‪.‬‬ ‫ג‪ .‬בחצי השני‪:‬‬ ‫‪ T‬‬ ‫‪Φ B = B ⋅ πa - aω t - ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫הזרם יהיה הפוך לכיוון הקודם‪.‬‬ ‫‪∂ ‬‬ ‫‪ T ‬‬ ‫‪B ⋅ π a - Baω t -  = − Baω‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪∂t ‬‬ ‫‪ 2 ‬‬ ‫=‪ε‬‬ ‫‪− Baω‬‬ ‫‪R‬‬ ‫=‪I‬‬ ‫השראות‪:‬‬ ‫חשבו את השראותו של טורואיד בעל שטח חתך מלבני רדיוס פנימי ‪ , a‬רדיוס‬ ‫חיצוני ‪ , b‬גובה ‪ h‬ומספר כריכותיו ‪ . n‬כלומר‪ :‬מימדי השטח החתך המלבני‬ ‫הם‪. (b − a ) × h :‬‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫בצד שמאל מופיע שרטוט מערכת הזרמים כפי שהיא נראית במבט מלמעלה על‬ ‫הטורואיד‪ .‬ניתן להסביר ע"י סימטריה בכיוון השדה החשמלי במרחב הוא בניצב‬ ‫לרדיאלי‪ ,‬כלומר בכיוון משיק‪ .‬לולאת האמפר המתאימה היא לולאה מעגלית בעלת‬ ‫רדיוס ‪) r‬הקו הכחול בשרטוט(‪ ,‬כך שהשדה המגנטי מקביל למסלול הלולאה‪.‬‬ ‫נחשב את צד ימין של חוק אמפר המתאים לבעיה זו‪:‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪∫ ⋅ d l = B ⋅ 2π r‬‬ ‫נחשב את צד שמאל של חוק אמפר‪ ,‬כלומר את הזרם העובר דרך הלולאה‪:‬‬ ‫‪µ 0 I in = µ 0 nI‬‬ ‫נשווה בין הצדדים ונבודד את השדה המגנטי‪:‬‬ ‫‪µ 0 nI‬‬ ‫‪2π r‬‬ ‫= ) ‪B(a < r < b‬‬ ‫⇒‬ ‫‪B ⋅ 2π r = µ 0 nI‬‬ ‫⇒‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪∫ ⋅ d l = µ0 I in‬‬ ‫בצד שמאל מופיע שרטוט של חתך של הטורואיד במבט מהצד )הקו‬ ‫‪h‬‬ ‫המקווקו הוא ציר הסימטריה במרכז הטורואיד(‪.‬‬ ‫השדה המגנטי דרך הכריכה הימנית בשרטוט הוא לתוך הדף‪ .‬נחשב את‬ ‫השטף דרך כריכה אחת ואז נכפול במספר הכריכות כדי לקבל את השטף‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫הכולל דרך כל כריכות הטורואיד‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪r r‬‬ ‫‪µ 0 nI‬‬ ‫‪µ 0 n 2 Ih b dr µ 0 n 2 Ih  b ‬‬ ‫∫ ⋅ ‪Φ B = n ⋅ ∫ B ⋅ dS = n‬‬ ‫= ‪⋅ h ⋅ dr‬‬ ‫∫⋅‬ ‫=‬ ‫‪⋅ ln ‬‬ ‫‪2π r‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ניתן לחשב את ההשראות עפ"י ההגדרה‪:‬‬ ‫‪Φ B µ0 n 2 h  b ‬‬ ‫=‬ ‫‪⋅ ln ‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‪L‬‬