‫פרק ‪ :3‬משפט ההיכרויות ומשפט ‪Kőnig‬‬ ‫מבוא לפרק‪:‬‬ ‫בפרק זה ניעזר במונחים שפיתחנו עד כה‪ ,‬כדי להוכיח כמה משפטים‪.‬‬ ‫נפתח במשפט שלפעמים מכונה "משפט לחיצת הידיים"‪ ,‬בעקבות הניסוח הבא‪:‬‬ ‫משפט ‪3.1‬‬ ‫בכל קבוצה של ‪ n  6‬אנשים‪ ,‬או שיש ביניהם שלשה אנשים שכל שניים מהם לחצו יד זה לזה ‪ ,‬או שיש‬ ‫ביניהם שלשה אנשים שאף שנים מהם לא לחצו ידיים זה לזה ‪.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪ .1‬ייתכן ושתי האופציות מתקיימות בו זמנית‪ -‬הביאי דוגמה למצב כזה!‬ ‫‪ .2‬ניסוחים חלופיים‪:‬‬ ‫א‪ .‬בכל מפגש בין לפחות ‪ 6‬אנשים‪ ,‬לפחות אחת מבין ‪ 2‬האופציות הבאות מתקיימות ‪:‬‬ ‫או שיש ביניהם ‪ 3‬אנשים‪ ,‬שכולם מכירים אחד את השני ‪ ,‬או שיש ביניהם ‪ 3‬אנשים ‪,‬כך שאף אחד מבין‬ ‫השלושה לא מכיר אף אחד אחר בשלשה זו‪.‬‬ ‫ניסוח א' הוא אותו ניסוח כפי שהבאנו אותו בפרק מבוא‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בכל גרף ‪ G‬מסדר לפחות ‪ ,6‬או ‪ G‬או ‪ G‬מכיל משולש‪.‬‬ ‫במשולש בגרף‪ ,‬הכוונה (כצפוי?!) לשלשה קודקודים‪ ,‬שכל אחד מחובר לשניים האחרים על ידי צלע‪-‬‬ ‫צורה זו של גרף מוכרת לכן כבר מפרק ‪ 2‬כ‪ C 3 -‬או ‪. K 3‬‬ ‫ג‪ .‬בכל צבעיה של צלעות הגרף ‪ K 6‬בשני צבעים‪ ,‬קיים לפחות משולש אחד חד גוני ‪.‬‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪1‬‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫הוכיחי שקילות בין הניסוחים השונים!‬ ‫הדרכה‪ :‬לשם כך‪ ,‬עלייך להראות‬ ‫‪ .1‬שהניסוח במשפט הוא שקול לכל אחד מהגירסאות א' ו‪-‬ג'‪.‬‬ ‫‪ .2‬שגירסה ב' ‪ ,‬שבה מדובר גם על גרפים מסדרים יותר גבוהים מ‪ ,6-‬גוררת אחריה את (אחת‬ ‫מ)הגירסאות האחרות‪ ,‬וכן‪,‬‬ ‫‪ .3‬אם בכל צבעיה של צלעות הגרף ‪ K 6‬בשני צבעים‪ ,‬קיים לפחות משולש אחד חד גוני‪ ,‬אזי‬ ‫בכל גרף ‪ G‬מסדר לפחות ‪ ,6‬או ‪ G‬או ‪ G‬מכיל משולש‪.‬‬ ‫הוכחת משפט ‪:3.1‬‬ ‫נוכיח את גירסה ג'‪.‬‬ ‫ראי גם המאמר מעשה בשש נקודות על ידי פרופסור עמוס אלטשולר המופיע באתר‬ ‫תמצאי מספר וריאציות ויישומים שונים של המשפט ‪ .‬ההוכחה הבאה שוחזרה משם ‪.‬‬ ‫אלף אפס שם‬ ‫נתבונן ב‪ K 6 -‬שצלעותיו צבועות בשני צבעים (שחור וירוק )‪ ,‬ויהי ‪ x‬קדקוד בגרף זה ‪.‬מן הקדקוד ‪ x‬יוצאות‬ ‫בדיוק חמש צלעות ‪ -‬אחת לכל אחד מחמשת הקדקודים האחרים ‪ .‬לפחות שלוש מתוך חמש צלעות אלה‬ ‫צבועות באותו צבע ‪ ,‬שחור או ירוק (אילולא כן ‪ ,‬מספר הצלעות השחורות היוצאות מ ‪-x‬אינו עולה על ‪,2‬‬ ‫ומספר הצלעות הירוקות היוצאות מ ‪-x‬אף הוא אינו עולה על ‪ ,2‬אך זה מסתכם בלכל היותר ארבע צלעות‬ ‫הצבועות בשחור או בירוק ‪ ,‬בעוד שמספר הצלעות היוצאות מ ‪-x‬הוא חמש!)‬ ‫בלי הגבלת הכלליות נוכל להניח אפוא שיוצאות מ ‪-x‬לפחות שלוש צלעות ירוקות ‪.‬נתבונן בשלוש צלעות‬ ‫אלה ‪:‬‬ ‫נסמנן ‪. xc,xb,xa‬עתה נתבונן בשלוש הצלעות ‪ . bc,ac,ab‬אם לפחות אחת מהן ירוקה (למשל ‪ (ab ,‬אזי‬ ‫לפנינו משולש ירוק (הוא המשולש שקדקודיו ‪ .( x,a,b‬אם אף אחת מה ן לא ירוקה ‪ ,‬אזי שלושתן שחורות ‪,‬‬ ‫ולפנינו משולש שחור (שקדקודיו ‪ .( c,b,a‬עד כאן הוכחת המשפט‪■ .‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪2‬‬ ‫שימי לב‪ :‬הביטוי "בלי הגבלת הכלליות"‪ ,‬פירושו‪ :‬מבין כמה אופציות‪ ,‬מותר לי להניח‬ ‫שדבר מסוים קרה‪ ,‬שאם לא כן‪ ,‬ומשהו אחר קרה‪ ,‬השיקול הוא דומה לחלוטין‪.‬‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫הוכיחי כי לא ניתן להחליף את המספר ‪ 6‬במשפט על ידי ‪ !5‬שאלה זו מופיעה בתרגיל ‪.3‬‬ ‫מושגים של מרחק בגרף‪:‬‬ ‫נוכחנו לראות שהמושג של מרחק אוקלידי אינו תופס מקום בנושא תורת הגרפים‪ .‬בכל זאת ‪ ,‬יש‬ ‫משמעות למונח של "מרחק בין שני קודקודים בגרף"‪ ,‬והיא קשורה לאורך מסילה ביניהם‪ .‬הנה‬ ‫ההגדרה המדויקת‪:‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫המרחק בין ‪ 2‬נקודות ‪ u, v‬בגרף ‪ G  V , E ‬מסומן על ידי ) ‪( d G (u , v‬או )‪) d (u, v‬‬ ‫והוגדר להיות‪:‬‬ ‫‪ ‬אורך המסילה הקצרה ביותר בין ‪ u‬ל ‪ v‬אם קיימת מסילה ביניהם ‪ ,‬ו‪-‬‬ ‫‪  ‬אם ‪ u, v‬במרכיבי קשירות שונים ‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫בגרף ‪ , d ( A, H )  5 ,2.1‬שכן המסילה הקצרה ביותר בין ‪ A‬ל‪ H-‬היא המסילה ‪,ABCFGH‬‬ ‫‪‬‬ ‫שהיא יותר קצרה מהמסילה ‪ ABCEDCFGH‬באורך ‪.8‬‬ ‫בגרף ‪ d ( P, J )   ,2.2‬שכן הנקודות ‪,P‬ו‪ J-‬נמצאות במרכיבי קשירות שונים ‪.‬‬ ‫מסילה בין ‪ u, v‬בעלת אורך הקצר ביותר נקראת מסילה גיאודזית‪.‬‬ ‫כך נוכל להגדיר את המרחק בין ‪ 2‬קודקודים להיות אורך מסילה גיאודזית ביניהם‪.‬‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪3‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫בגרף ‪ ,2.1‬המסילה ‪ ABCFGH‬היא מסילה גיאודזית בין ‪ A‬ל‪ , H-‬בעוד שהמסילה‬ ‫‪ ABCEDCFGH‬אינה גיאודזית‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫נחזור שוב לקובייה התלת מימדית ‪:‬‬ ‫נחפש מסילות בין הקודקודים ‪.1,7‬‬ ‫מסילות בין ‪ 2‬הקודקודים הללו הן‪:‬‬ ‫‪ .  1,2,6,7  ,  1,4,8,7  ,  1,4,3,2,6,7  ,  1,2,6,5,8,7 ‬ויש עוד‪....‬‬ ‫בדיקה קלה מראה שרק המסילות ‪  1,4,8,7 ‬ו ‪  1,5,8,7  ,  1,5,6,7  ,  1,2,6,7 ‬הן מסילות‬ ‫גיאודזיות ‪,‬ולכן ‪. d (1,7)  3‬‬ ‫מסתבר שההגדרה הזו של מרחק "מתקבלת על הדעת"‪ ,‬שכן יש לו תכונות דומות למרחק‬ ‫האוקלידי‪ ,‬כפי שמשפט ‪ 3.2‬מראה‪.‬‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪4‬‬ ‫משפט ‪3.2‬‬ ‫הפונקציה ) ‪ d G (u , v‬היא מטריקה‪ .‬כלומר‪:‬‬ ‫א‪( .‬סימטריות)‪ :‬לכל שני קודקודים ‪d G (u, v)  d G (v, u ) , u, v  V‬‬ ‫ב‪ .‬לכל שני קודקודים ‪, d G (u, v)  0 , u, v  V‬ובנוסף ‪. u  v  d G (u, v)  0‬‬ ‫ג‪( .‬אי שיוויון המשולש )‪ :‬לכל ‪ u, v, w V‬מתקיים‪. d G (u, w)  d G (u, v)  d G (v, w) :‬‬ ‫הוכחת משפט ‪3.2‬‬ ‫הוכחות סעיפים א'ב' נובעות מההגדרה ומהעובדה שכל מסילה מ ‪ u‬ל ‪ v‬ניתנת להיפוך כדי ליצור מסילה‬ ‫מ ‪ v‬ל‪. u‬‬ ‫הוכחת ג' ‪:‬‬ ‫מקרה ‪ . d G (u, w)   :1‬במקרה זה‪ u, w ,‬נמצאים באותו מרכיב קשירות ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫תחילה נניח שגם ‪ v‬נמצא באותו מרכיב קשירות ‪.‬‬ ‫תהא ‪ p uv‬מסילה גיאודזית מ ‪ u‬ל ‪ , v‬ותהא ‪ p vw‬מסילה גיאודזית מ ‪ v‬ל ‪ , w‬כמודגם באיור‪.‬‬ ‫אזי צירוף המסילות ‪ p uv‬ולאחר מכן ‪ p vw‬היא מסילה (שנסמנה ‪ ) p uv p vw‬מ ‪ u‬ל ‪ , w‬ושימו לב שהיא‬ ‫לא בהכרח גיאודזית (כי אולי קיימת מסילה קצרה יותר מ ‪ u‬ל ‪ .) w‬לכן ‪:‬‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪5‬‬ ‫(א) אורך המסילה ‪ p uv p vw‬גדול או שווה ל )‪. d G (u , w‬‬ ‫(ב) אך אורך מסילה ‪ p uv p vw‬הוא סכום אורכי ‪ p uv‬ו ‪( , p vw‬שזה שווה )‪. (d G (u, v)  d G (v, w‬‬ ‫כך מ(א) ומ(ב) נקבל את הדרוש‪. d G (u, w)  d G (u, v)  d G (v, w) :‬‬ ‫‪‬‬ ‫נניח ש ‪ v‬נמצא במרכיב קשירות אחר‪.‬‬ ‫זה אומר ששני המרחקים )‪ d G (u, v), d G (v, w‬הם אינסופיים! בדקי שאז אי השיוויון מתקיים‬ ‫אוטומטית‪.‬‬ ‫מקרה ‪. d G (u, w)   :2‬‬ ‫ש ‪ u, w‬במרכיבי קשירות שונים ‪.‬‬ ‫על פי הגדרה‪ ,‬אם ‪ , d G (u, w)  ‬זה אומר ֶש‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ v‬לא נמצא באף אחד מהמרכיבים האלה‪ ,‬המצב המצטייר הוא כמו באיור‪.‬‬ ‫ולכן גם ‪ , d G (u, v)  d G (v, w)  ‬ואי השיוויון מתקיים ‪.‬‬ ‫•‪u‬‬ ‫•‪w‬‬ ‫•‪v‬‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ v‬אכן נמצא באחד מהמרכיבים האלה‪ ,‬נניח בלי הגבלת הכלליות ‪ ,‬כי הוא באותו מרכיב כמו‬ ‫‪ , u‬אזי ‪ , d G (u, v)  ‬אך ‪ , d G (v, w)  ‬כי ‪ v, w‬במרכיבי קשירות שונים ‪ ,‬כך ששוב אי‬ ‫השיוויון מתקיים ‪.‬‬ ‫•‪w‬‬ ‫•‪U‬‬ ‫•‪v‬‬ ‫בכך הוכחנו את המשפט‪.‬‬ ‫הקוטר‪:‬‬ ‫בצורה אנלוגית להגדרת הקוטר במעגל‪ ,‬שהוא המרחק המקסימלי בין ‪ 2‬נקודות בו‪ ,‬ניתן להגדיר‬ ‫קוטר של גרף‪:‬‬ ‫הקוטר של גרף מודד את המרחק המקסימלי בין שתי נקודות כל שהן בגרף‪.‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫הקוטר של גרף ‪ 2.1‬שווה ‪ ,5‬כי המרחק המסימלי בין ‪ 2‬נקודות בגרף וא זה בין ‪,A‬ו‪,H-‬‬ ‫שהוא ‪ ,5‬כפי שכבר גילינו‪.‬‬ ‫הקוטר של גרף ‪( ,2.2‬או של כל גרף לא קשיר) הוא ‪. ‬‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪7‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫יהא ‪ G  V , E ‬גרף‪ .‬הקוטר של ‪ G‬מסומן על ידי ) ‪ d (G‬והוא אורך המסילה הגיאודזית הארוכה‬ ‫ביותר‬ ‫ב ‪ . G‬במילים אחרות‪. d (G)  max{ d G (u, v) | u, v  V } ,‬‬ ‫דוגמאות נוספות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫באיור לפניך גרף פשוט מסדר ‪ ,7‬ולידו טבלת המרחקים (המכונה שם בשם‬ ‫”‪ ("Shimbel distance‬מכל קודקוד למשנהו ‪ .‬מהטבלה רואים שקוטר הגרף שווה ‪.4‬‬ ‫שימו לב לכך ששתי התכונות הראשונות של מטריקה משתקפות מהטבלה‪ ,‬דהיינו לתכונות‬ ‫המרחק‬ ‫ה‪ 0-‬אך ורק בין נקודה לעצמו‪( ,‬תכונה א') וכן סימטריות של הטבלה ביחס לאלכסון הראשי‬ ‫(תכונה ב')‪.‬‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור גרף בעל יותר ממרכיב קשירות אחד‪,‬הקוטר הוא אינסופי ‪.‬‬ ‫למעשה‪ ,‬לרוב‪ ,‬הקוטר יחושב רק עבור גרפים קשירים‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪d (C 7 )  4‬‬ ‫‪‬‬ ‫לפנייך גרף הנקרא "גרף פטרסן"‪,‬על שם ‪, Julius Petersen‬מתמטיקאי על שמו נקרא הגרף ‪.‬‬ ‫בגרף זה שנעשה בה שימוש רב כדוגמה נגדית להפרכת השערות רבות בתורת הגרפים‪ .‬קל‬ ‫לראות שגרף פטרסן הוא גרף רגולרי מערכיות ‪ 3‬ומסדר ‪ .10‬קוטרו הוא ‪.2‬‬ ‫מעגלים בגרף‪:‬‬ ‫נפנה עתה לאפיון של גרפים זוגיים (ראי פרק ‪ )2‬על ידי אי קיום של מעגלים מאורך מסוים‪:‬‬ ‫המשפט הבא מכונה משפט ‪ Kőnig‬על שם המתמטיקאי ההונגרי בשם ‪: Dénes Kőnig‬‬ ‫ראשית כל‪ ,‬נביא טענת עזר‪:‬‬ ‫טענת עזר‪:‬‬ ‫‪ G‬הוא גרף זוגי ‪ ‬ניתן לצבוע את קבוצת קודקודיו‪ ,‬כל קודקוד או בכחול או באדום ‪ ,‬כך שאין שני‬ ‫שכנים בגרף צבועים באותו הצבע ‪.‬‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪9‬‬ ‫גרפים שניתן לצבוע אותם בשני צבעים בצורה זו נקראים גרפים בעלי מספר כרומטי ‪.2‬‬ ‫הוכחת טענת העזר‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫יהא ‪ G‬גרף זוגי‪ ,‬עם חלוקה ‪ . V  V1  V2‬צביעה של כל קודקודי ‪ V1‬באדום וכל קודקודי ‪ V2‬בכחול‬ ‫היא צביעה כנדרש‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫נניח שכל קודקודי הגרף צבועים או בכחול או באדום ‪ ,‬בצורה שאין שני שכנים בגרף צבועים באותו‬ ‫הצבע‪ .‬נסמן את קבוצת הקודקודים האדומים על ידי ‪ , V1‬ואת קבוצת הקודקודים הכחולים על ידי ‪. V2‬‬ ‫בדקי שהחלוקה ‪ V  V1  V2‬היא חלוקה המתאימה לזו של גרף זוגי‪.‬‬ ‫משפט ‪-3.3‬משפט ‪Kőnig‬‬ ‫גרף ‪ G‬הוא גרף זוגי ‪ ‬כל מעגליו בעלי אורך זוגי ‪.‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫יישום של משפט קוניג מראה מיד שהגרף הימני הוא זוגי – הרי אין בו מעגלים! (מצד שני‪,‬‬ ‫השתכנעי –מהי החלוקה?)‪ ,‬בעוד שהגרף ‪ C 7‬אינו זוגי‪.‬‬ ‫הוכחת משפט ‪:3.3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪10‬‬ ‫יהא ‪ G‬הוא גרף זוגי‪ ,‬עם חלוקה ‪ , V  V1  V2‬ויהי ‪  v1 , v2 ,.., vn , v1 ‬מעגל בו בעל אורך ‪, n‬‬ ‫כאשר‪ ,‬בלי הגבלת הכלליות ‪ ,‬נניח ש ‪ . v1  V1‬עלינו להראות כי ‪ n‬מספר זוגי‪.‬‬ ‫נביט במעגל ‪.  v1 , v2 ,.., vn , v1 ‬היות ו ‪ v 2 -‬שכן של ‪ , v1  V1‬ו‪ G -‬גרף זוגי‪ ,‬אנו מסיקים ש‪v2 V2 -‬‬ ‫‪ .‬כמו כן‪ , v3  V1 ,‬בהיותו שכן של ‪ . v 2‬ממשיכים בדרך זו לאורך קודקודי המעגל ‪ ,‬אנו מסיקים‬ ‫שקודקודים עוקבים שייכים לסירוגין לקבוצות ‪ V1‬ו‪ . V2 -‬היות ו"אחרי" ‪ n‬צלעות "חזרנו" לקודקוד‬ ‫‪ , v1  V1‬אנו מסיקים כי ‪ n‬חייב להיות מספר זוגי‪.‬‬ ‫‪:‬‬ ‫נניח כי כל מעגלי ‪ G‬בעלי אורך זוגי‪ .‬עלינו להוכיח כי ‪ G‬הוא גרף זוגי‪ ,‬זאת אומרת שניתן לחלק את‬ ‫קבוצת קודקודיו לחלוקה ‪ V  V1  V2‬מתאימה‪ ,‬כך שלכל הצלעות ב ‪ G‬קודקוד אחד מכל תת‬ ‫קבוצה ‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫תחילה נניח כי ‪ G‬גרף קשיר‪.‬‬ ‫לפי טענת העזר‪ ,‬מספיק להראות שניתן לצבוע את קודקודי ‪ G‬בצורה "חוקית" בשני צבעים‪.‬‬ ‫תהליך זה נחלק לשני חלקים ‪:‬‬ ‫א‪ .‬נכריז על כללי צביעת קודקודי ‪G‬‬ ‫ב‪ .‬נוכיח שבצביעה זו‪ ,‬אין שני שכנים צבועים באותו הצבע ‪.‬‬ ‫א‪ .‬כללי צביעת הקודקודים‬ ‫נבחר קודקוד ‪ u V‬כל שהוא‪ ,‬ונצבע אותו בכחול‪ .‬לכל קודקוד אחר‪ , v  V ,‬תהא ‪ p uv‬מסילה כל‬ ‫שהיא מ ‪ u‬ל ‪ . v‬נצבע את ‪ v‬בצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪ ‬נצבע אותו בכחול אם אורך המסילה ‪ p uv‬הוא מספר זוגי‪.‬‬ ‫‪ ‬נצבע אותו באדום אם אורך המסילה ‪ p uv‬הוא מספר אי זוגי‪.‬‬ ‫נשים לב שהצביעה לא תלויה במסילה הספציפית שבחרנו מ ‪ u‬ל ‪ . v‬שכן‪ ,‬תהא ‪ q uv‬מסילה אחרת‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪11‬‬ ‫מ ‪ u‬ל ‪ . v‬צירוף שתי המסילות הללו מהווה מעגל ב ‪ , G‬שאורכו סכום אורכי ‪ 2‬המסילות ‪ p uv‬ו ‪. q uv‬‬ ‫היות ועל פי הנחה‪ ,‬אורך המעגל הוא זוגי ‪ ,‬חייב להיות שאורכי ‪ 2‬המסילות בעלי אותה זוגיות ‪ ,‬ולכן‬ ‫שתי מסילות אלו היו נותנים אותו כלל צביעה ‪.‬‬ ‫ב‪ .‬בצביעה זו‪ ,‬אין שני שכנים צבועים באותו הצבע ‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬תרגיל! (ראי תרגיל ‪)3‬‬ ‫‪‬‬ ‫נניח ש ‪ G‬אינו קשיר‪ .‬יהיו ‪ G1 , G 2 ,.....G k‬מרכיבי הקשירות של ‪ . G‬נסמן ‪ ,‬לכל ‪ , 1  i  k‬את‬ ‫קבוצת קודקודי ‪ Gi‬על ידי ‪. V i‬‬ ‫אם כן‪ ,‬כל אחד מהגרפים ‪ G1 , G 2 ,.....G k‬מהווה (תת) גרף קשיר! יתר על כן‪ ,‬מאחר וכל מעגלי ‪G‬‬ ‫בעלי אורך זוגי‪ ,‬גם כל המעגלים בכל אחד מהגרפים הקשירים ‪ G1 , G 2 ,.....G k‬הם בעלי אורך זוגי‪.‬‬ ‫לכן על פי נכונות המשפט עבור גרפים קשירים‪ ,‬נקבל שכל אחד מתת הגרפים ‪ G1 , G 2 ,.....G k‬הוא‬ ‫גרף זוגי‪ .‬על פי הגדרה‪ ,‬זה אומר שלכל ‪ 1  i  k‬ניתן לחלק את ‪ Vi‬לחלוקה ‪. V i  V1i  V2i‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫‪i 1‬‬ ‫כעת‪ ,‬נסמן ‪ , V1   V1i‬ו‪ . V2   V2i -‬החלוקה ‪ V  V1  V2‬נותנת חלוקה מתאימה של ‪, V‬‬ ‫ולכן ‪ G‬גרף זוגי ■‪.‬‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪12‬‬ ‫דוגמה‪:‬‬ ‫ראי למשל‪ ,‬באיור הבא‪- ,‬שם רואים שכל הצלעות בגרף מחברות בין אברי‬ ‫‪ V1‬לאברי ‪. V2‬‬ ‫} ‪V12  {C1 , C 2 , C3‬‬ ‫} ‪V11  { A1 , A2 , A3 , A4 , A5‬‬ ‫} ‪V2 2  {D1 , D2‬‬ ‫} ‪V21  {B1 , B2, B3 , B4‬‬ ‫‪V 2  V12  V22‬‬ ‫‪V 1  V11  V21‬‬ ‫‪G  G1  G2‬‬ ‫‪V  V1  V2‬‬ ‫סיכום מונחים מפרק ‪:3‬‬ ‫‪‬‬ ‫משפט לחיצת הידיים‬ ‫‪‬‬ ‫מרחק בגרף‬ ‫‪‬‬ ‫מרחק היא מטריקה‬ ‫‪‬‬ ‫קוטר‬ ‫‪‬‬ ‫איפיון גרף זוגי על ידי אורכי המעגלים בו‬ ‫פרק ‪ - 3‬עמוד ‪13‬‬