‫פרק ‪ :4‬משפט ‪ ,Turán‬בעיית שיחזור‬ ‫מבוא לפרק‪:‬‬ ‫פרק זה נפתח במשפט טורן‪ ,‬על שם המתמטיקאי ההונגרי ‪ Paul (Pál) Turán‬שעבודתו העיקרית‬ ‫היתה בנושא תורת המספרים‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬נדון בבעיית שיחזור גרף מתת גרפים מסוימים שלו‪.‬‬ ‫משפט טורן‬ ‫משפט טורן היא דוגמה של תוצאה בתחום הנקרא "תורת הגרפים הקריטיים"‪ ,‬שהוא תחום העוסק‬ ‫בגרפים שהם "קריטיים" ‪ ,‬או קיצוניים‪ ,‬מבין כל אותם הגרפים בעלי תכונה מסוימת‪.‬‬ ‫התכונה שנחקרה כאן‪ :‬יהא ‪ G‬גרף מסדר ‪ . n‬מהו מספר המקסימלי של צלעות שהוא יכול להכיל‬ ‫(כפונקציה של ‪ ) n‬בלי שיוצר משולש? ומהי צורת הגרף מתקבל?‬ ‫כאן אותם גרפים בעלי מספר מקסימלי של צלעות הם "קריטיים" ביחס לתכונה של העדר משולשים‬ ‫בגרף‪ .‬שכן הוספת צלע אחת‪ ,‬ולו רק אחת‪ ,‬לגרף‪ ,‬הופכת אותו לגרף עם משולש(ים)‪.‬‬ ‫לשם מוטיבציה‪ ,‬נכוון שאלות אלו לסוג מסוים של גרפים מסדר ‪ , n‬דהיינו‪ ,‬לגרפים זוגיים שלמים‪:‬‬ ‫שאלה‪:‬‬ ‫נתון גרף זוגי שלם מסדר ‪ . n‬מהו מספר הצלעות שגרף זה יכול להכיל בלי שיהיה בו משולש? ומהי‬ ‫צורת הגרף?‬ ‫פתרון‪:‬‬ ‫לפי הנחתינו‪ ,‬הגרף הוא מהצורה ‪( , K x,n x‬גרף זוגי שלם מסדר ‪ .) n‬לגרף כזה‪ ,‬אכן אין משולש‬ ‫(למה???)‪ .‬עלינו לקבוע כמה קודקודים "להניח" בכל צד של הגרף הדו‪-‬צדדי כדי למקסם את המספר‬ ‫‪. K x ,n  x‬‬ ‫הצלעות בגרף ‪ .‬לשם כך‪ ,‬נחשב את מספר הצלעות בגרף‬ ‫‪n‬‬ ‫מתקבל‪, E( K x,n x )  x(n  x) ,‬וערך זה הוא מקסימלי עבור‬ ‫‪2‬‬ ‫(השלימי!!)‬ ‫‪( , x ‬למה?) ‪ .‬לכן התשובה היא ‪:‬‬ ‫א‪ .‬אם ‪ n  2s‬זוגי‪ ,‬מספר המקסמלי של צלעות שווה ___________‪ ,‬והגרף המתאים הוא‬ ‫?‪K?,n‬‬ ‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪1‬‬ ‫ב‪ .‬אם ‪ n  2s  1‬אי זוגי‪ ,‬מספר המקסימלי של צלעות שווה___________‪ ,‬והגרף המתאים הוא‬ ‫?‪K?,n‬‬ ‫מסתבר‪ ,‬שמבין כל הגרפים האפשריים מסדר ‪ , n‬הגרף "הקריטי" מבחינת העדר משולשים בו‪ ,‬זאת‬ ‫אומרת זה שנותן את מספר המקסימלי של צלעות‪ ,‬הוא גרף זוגי שלם‪.‬‬ ‫להלן הטענה המדויקת‪:‬‬ ‫משפט ‪ -4.1‬משפט ‪Turán‬‬ ‫‪n2 ‬‬ ‫המספר המקסימלי של צלעות בגרף חסר משולשים מסדר ‪ n‬הוא ‪ .  ‬יתר על כן‪ ,‬מספר זה מתקבל‬ ‫‪ 4 ‬‬ ‫אך ורק בגרף ‪. K  n   n ‬‬ ‫‪ 2  , 2 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫תזכורת‪ :‬הביטוי ‪t ‬‬ ‫ל‪ , t -‬וכן ‪ t ‬מכונה "פונקצית התקרה" של ‪ , t‬המספר השלם הקטן ביותר שגדול או שווה ל‪. t -‬‬ ‫הוא "הערך השלם" של ‪ , t‬דהיינו המספר השלם הגדול ביותר הקטן או שווה‬ ‫תרגיל‪:‬‬ ‫בדקי את תשובותייך לשאלות מקודם‪-‬האם הן כמו המשפט?‬ ‫נוכיח את המשפט עבור ‪ n  2s‬מספר זוגי‪ ,‬ונשאיר את המקרה האי זוגי כתרגיל ‪.‬‬ ‫הנה המשפט במקרה זה‪.‬‬ ‫משפט ‪ 4.1‬ז‪ -‬משפט ‪– Turán‬המקרה הזוגי‬ ‫(א) המספר המקסימלי של צלעות בגרף חסר משולשים מסדר ‪ n  2s‬הוא ‪. s 2‬‬ ‫(ב) יתר על כן‪ ,‬מספר זה מתקבל אך ורק ב‪. K s,s -‬‬ ‫לפני שניגש להוכחת המשפט‪,‬‬ ‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪2‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף המתקבל מגרף ‪ G‬על ידי הסרת קבוצת קודקודים ' ‪ V‬ממנו וכן כל הצלעות המחברות‬ ‫אל אחד או יותר מקודקודי ' ‪ V‬מסומן על ידי ' ‪. G \ V‬‬ ‫לדוגמה‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , K 5 \ {a, b}  K 3‬כאשר ‪ a, b‬הם ‪ 2‬קודקודים כל שהם‪ ,‬שכן הסרת הקודקודים ‪a, b‬‬ ‫גורמת גם להורדת הצלעות ‪. ab, ac, ad, ae, bc, bd, be‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ , C n \ {a}  Pn1‬כמודגם באיור עבור ‪. n  6‬‬ ‫הוכחת משפט ‪ 4.1‬ז‬ ‫נוכיח באינדוקציה על ‪. s‬‬ ‫‪ ‬יהי ‪ . s  1‬סדר הגרף הוא ‪ .2‬לגרף מסדר ‪ 2‬אין אפשרות למשולשים ‪ ,‬וניתן לחבר עד צלע אחת‪.‬‬ ‫אכן מתקבל ‪ K1,1‬כך שהמשפט תקף עבור ‪. s  1‬‬ ‫‪ ‬נניח שהמשפט (בשני חלקיו) תקף עבור ‪ s‬כל שהוא ‪ ,‬ויהא ‪ G‬גרף בעל ‪2(s  1)  2s  2‬‬ ‫קודקודים‪ ,‬חסר משולשים‪.‬‬ ‫(א) ראשית כל‪ ,‬עלינו להוכיח כי מספר הצלעות ב‪ G -‬הוא לכל היותר ‪( , ( s  1) 2‬זאת אומרת‪ ,‬צ"ל‬ ‫‪. ) E(G)  (s  1) 2‬‬ ‫יהיו ‪ u, v‬שני שכנים בגרף‪.‬‬ ‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪3‬‬ ‫(ברור שיש ‪ 2‬שכנים בגרף‪ ,‬כי אם לא כן‪ ,‬אין צלעות כלל ב ‪ G‬ואז‪,‬במקרה זה ‪ ,‬התנאי‬ ‫‪ E(G)  (s  1) 2‬מתקיים באופן טריוויאלי)‪.‬‬ ‫נתבונן בתת גרף }‪ G'  G \ {u, v‬של ‪ G ' . G‬גרף מסדר ‪, 2s‬כמו באיור‪.‬‬ ‫נשים לב ש ' ‪ G‬הוא גרף מסדר ‪ . 2(s  1)  2  2s‬יתר על כן‪ G ' ,‬חסר משולשים‪ ( ,‬כי ' ‪G‬‬ ‫התקבל מ‪ , G -‬גרף חסר משולשים‪ ,‬על ידי הורדת צלעות וקודקודים)‪ .‬לכן ' ‪ G‬גם מקיים את‬ ‫הנחות האינדוקציה ‪.‬‬ ‫לכן לפי הנחת האינדוקציה ‪ . E(G' )  s 2 ,‬יהא ‪ t  v‬שכן כל שהוא של ‪ u‬ב‪ . G -‬נשים לב ש‪-‬‬ ‫‪ t‬לא יכול להיות גם שכן של ‪ v‬ב‪ , G -‬כי אז ‪ G‬היה מכיל את המשולש ‪. utv‬‬ ‫המסקנה מכך‪ :‬אין ל ‪ u‬ול ‪ v‬שכנים משותפים ב ‪. G‬‬ ‫אם כן‪ ,‬מבין ‪ 2s‬קודקודי ' ‪ , G‬אם ‪ k‬מהם הם שכני ‪ u‬ב‪ , G -‬אזי מספר קודקודי ' ‪ G‬שהם‬ ‫שכני ‪ v‬ב‪ G -‬הוא קטן או שווה ‪. 2s  k‬‬ ‫ניתן לראות המחשת הענין באיור (המתייחס רק לשכנים של ‪ u‬ושל ‪.) v‬‬ ‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪4‬‬ ‫צלעות המתאימות‬ ‫לשכני ‪ .V‬מספרם‬ ‫לכל היותר ‪2s-k‬‬ ‫‪ K‬צלעות המתאימות ל‪K-‬‬ ‫שכני ‪.U‬‬ ‫אין שכנים משותפים ל‪ U -‬ול‪-‬‬ ‫‪ ,V‬שאם כן‪ ,‬יווצר משולש!‬ ‫כעת נחשב את מספר הצלעות ב‪ . G -‬מספר זה הוא לכל היותר מספר הצלעות ה"פנימיות " של ' ‪G‬‬ ‫(אותן צלעות שלא מופיעות באיור הנ "ל‪ ,‬אך ידוע לנו שמספרן‪ ,‬לפי הנחת האינדוקציה הוא לכל‬ ‫היותר‬ ‫‪ ,) s 2‬ועוד ‪ 1‬המתאים לצלע‬ ‫‪ , uv‬ועוד מספר שכני ‪ u‬ב‪ , G -‬דהיינו ‪ , k‬ועוד מספר שכני ‪ v‬ב‪, G -‬‬ ‫מספר הקטן או שווה ‪. 2s  k‬‬ ‫לפי כל זה‪ ,‬נקבל‪:‬‬ ‫*‬ ‫‪ 1  k  2s‬‬ ‫‪k‬‬ ‫מקסימום שכני ‪v‬‬ ‫שכני ‪u‬‬ ‫‪uv‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪ , E (G) ‬שהוא ‪ , ( s  1) 2‬כמבוקש‪.‬‬ ‫מקסימום צלעות ב ' ‪G‬‬ ‫(ב) נשאר לנו לקבוע את צורת הגרף הקריטי (המקסימלי) הזה בעל ‪ 2(s  1)  2s  2‬קודקודים‪ ,‬ובעל‬ ‫‪ ( s  1) 2‬צלעות‪ .‬לשם כך‪:‬‬ ‫נניח ש ‪ G‬גרף בעל ‪ 2(s  1)  2s  2‬קודקודים‪ ,‬חסר משולשים‪ ,‬ועם מספר המקסימלי דהיינו ‪, ( s  1) 2‬‬ ‫של צלעות‪ .‬עלינו להוכיח ‪. G  K s1,s1 :‬‬ ‫על פי הנחתינו‪ ,‬ב‪ G -‬יש את המספר המקסימלי של צלעות‪ .‬אי לכךכל האישיוויונים ב * נהפכים‬ ‫לשיוויונים‪ .‬בין השאר‪ ,‬נקבל ‪. E(G' )  s 2‬‬ ‫ש ‪. G' K s,s‬‬ ‫אך על פי הנחת האינדוקציה סעיף ב'‪ ,‬זה אומר ֶש‬ ‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪5‬‬ ‫בנוסף‪ ,‬היות ול ‪ u‬יש ‪ k‬שכנים ב‪ , G -‬ל ‪ v‬יש בדיוק ‪ 2s  k‬שכנים ב‪( G -‬ולא פחות מכך)‪.‬‬ ‫נרשום בפנינו את צורת ' ‪. G‬‬ ‫ניזכר ש‪ . G' K s,s -‬לכן נסמן את קודקודי ' ‪ G‬על ידי ' ‪ V‬עם החלוקה '‪. V '  A'B‬‬ ‫‪‬‬ ‫כל צלע ב‪ G ' -‬מחברת קודקוד מ‪ A' -‬עם קודקוד מ‪ , B ' -‬כאשר ‪ G ' ( A'  B'  s‬זוגי)‬ ‫‪‬‬ ‫כל איבר ב‪ A' -‬מחובר לכל איבר ב‪ G ' ( . B ' -‬זוגי שלם)‪.‬‬ ‫לכן‪ ,‬אין ל ‪ u‬שכנים משתי הקבוצות (כי אחרת היה מתקבל משולש ) ‪.‬‬ ‫אי לכך‪ ,‬נסיק שכל ‪ k‬שכני ‪ u‬נמצאים באחת הקבוצות –בלי הגבלת הכלליות ב‪ , B ' -‬וכל ‪2s  k‬‬ ‫שכני ‪ v‬נמצאים ב‪- . A' -‬ראי איור ‪.‬‬ ‫אך ‪ , A'  B'  s‬דבר שנותן את המערכת הבאה של אישיוויונים ‪:‬‬ ‫‪k  s‬‬ ‫‪ , ‬שפתרונה ‪. k  s‬‬ ‫‪2 s  k  s‬‬ ‫נעיין שוב‪ ,‬בעזרת האיור האחרון‪ ,‬בקודקודי הגרף ‪ . G‬נסמן }‪ , A  A'{u‬אלה הקודקודים‬ ‫ה"אדומים"‪,‬ו‪ , B  B'{v} -‬אלה הקודקודים ה"כחולים" ‪.‬אכן קיבלנו את הדרוש ‪ A  B :‬היא חלוקה‬ ‫של קודקודי ‪ G‬לשתי קבוצות בגודל ‪ s  1‬כל אחת‪ ,‬כך שכל הצלעות האפשרויות בין ‪ 2‬הקבוצות‬ ‫נמצאות‪:‬‬ ‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪6‬‬ ‫במילים אחרות‪ ,‬קיבלנו ‪G  K s1,s1‬‬ ‫כמבוקש‪■ .‬‬ ‫בעיית השיחזור‪ ,‬והשערת ‪:Ulam‬‬ ‫באופן לא פורמלי‪" ,‬השערת השיחזור" בתורת הגרפים אומרת שניתן לקבוע גרף ביחידות על סמך‬ ‫תת הגרפים שלו‪ .‬ההשערה הועלתה על ידי המתמטיקאים ‪ Stanisław Marcin Ulam‬ותלמידו‬ ‫‪ . Paul Kelly‬לפני שנביא אותה נפתח בכמה דוגמאות והגדרות‪:‬‬ ‫ניזכר‪ :‬השערה‪( ,‬או בעיה פתוחה) במתמטיקה היא טענה שהועלתה על ידי מתמטיקאי‬ ‫אך עדיין לא ניתנה לה הוכחה ועדיין לא נמצאה דוגמה נגדית המפריכה אותה ‪.‬‬ ‫נביט קודם ‪,‬בגרף ‪ G‬באיור הבא‪ ,‬וכן באוסף ‪ 4‬תת הגרפים } ‪ {G \ {v} | v V‬שלו‪.‬‬ ‫דוגמה ‪4.1‬‬ ‫הגדרה‪:‬‬ ‫יהא ‪ G  V , E ‬גרף‪ .‬אוסף הגרפים } ‪ {G \ {v} | v V‬נקרא חפיסה של ‪( G‬מלשון חפיסת‬ ‫קלפים)‪ ,‬ומסומנת )‪ . D(G‬כל אחד מהגרפים }‪ G \ {v‬נקרא קלף בחפיסה‪.‬‬ ‫שימי לב שדיברנו על האוסף } ‪ , {G \ {v} | v V‬שכן‪ ,‬כפי שנראה בדוגמה ‪ ,4.1‬שחפיסה אינה תמיד‬ ‫"קבוצה"‪ ,‬אלא עלולות להיות בה חזרות (שם }‪ , G \ {b}  G \ {d‬וכמו כן‪.) G \ {a}  G \ {c} ,‬‬ ‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪7‬‬ ‫השאלה הנשאלת‪ :‬האם ניתן לשחזר את ‪( G‬דהיינו לקבוע את ‪ G‬ביחידות‪ ,‬או "לדעת מה‬ ‫‪ G‬היה") מחפיסה שלמה שלו?‬ ‫ליתר דיוק‪:‬‬ ‫השערה ‪ - 4.2‬השערת ‪:Ulam‬‬ ‫שני גרפים מסדר ‪, n  2‬בעלי אותן חפיסות הם גרפים איזומורפיים ‪.‬‬ ‫הערות‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫ש ‪" G‬ניתן‬ ‫יהא ‪ G‬גרף עבורו השערת ‪ Ulam‬תקף‪ ,‬נאמר ש"יש ל ‪ G‬שיחזור יחיד"‪ ,‬או ֶש‬ ‫לשיחזור"‪-‬כי מספיק שיהיה לנו את )‪ , D(G‬כדי ש"נכיר" את ‪. G‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור ‪ n  2‬הטענה לא נכונה‪ .‬הוכיחי! (ראי תרגיל ‪.)4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ההשערה הוכחה לכל ‪ , 3  n  11‬אך לא הוכחה עבור ‪ n‬כללי‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫מה שהוכח בכיוון הוא ברוח אחרת ‪ :‬הוכח ש"כמעט כל גרפים" ניתנים לשיחזור‪ ,‬זאת‬ ‫אומרת ‪ ,‬ההסתברות שגרף מסדר ‪ n‬לא ניתן לשיחזור שואפת לאפס כאשר ‪ . n  ‬הּוכח‬ ‫אפילו של"כמעט כל גרפים"‪ ,‬מספיק להכיר רק שלשה קלפים לא איזומורפיים מהחפיסה‪,‬‬ ‫ולא כל החפיסה‪ ,‬כדי לשחזר את הגרף!!! מונחים והוכחות כגון אלו חורגים מנושא הקורס‪.‬‬ ‫סיכום נושאים ומונחים מפרק ‪:4‬‬ ‫‪‬‬ ‫גרף קריטי‬ ‫‪‬‬ ‫משפט טורן‬ ‫‪‬‬ ‫השערת ‪Ulam‬‬ ‫פרק ‪ - 4‬עמוד ‪8‬‬