‫אלגוריתמים – דף נוסחאות‪ .‬כללי‬ ‫‪1‬‬ ‫טענה‪ :‬כל ‪ 2‬מ התכונות הבאות גוררת את השלישית‪:‬‬ ‫קשתות‪.‬‬ ‫(‪ )1‬גרף קשיר (‪ )2‬חסר מעגלים (‪ )3‬בעל‬ ‫(*) בעץ בין כל זוג צמתים קיים מסלול אחד ויחיד‪.‬‬ ‫(*) בגרף עם מעגל אוילר אין גשר‪.‬‬ ‫מסלול אוילר –מסלול בגרף אשר עובר על כל קשת בדיוק פעם אחת‪.‬‬ ‫(‪ )1‬גרף לא מכוון וקשיר מכיל מסלול אוילר ⟺ בגרף ‪ 2‬צמתים מדרגה‬ ‫אי‪-‬זוגית והיתר מדרגה זוגית‪ )2( .‬גרף מכוון וקשיר מכיל מסלול אוילר‬ ‫כך ש‪, -‬‬ ‫⟺ קיימים ‪ 2‬צמתים‬ ‫מתקיים‬ ‫ולכל שאר הצמתים‬ ‫‪.‬‬ ‫מעגל אוליר ‪ )1( -‬גרף לא מכוון וקשיר מכיל מעגל אוילר ⟺ כל הדרגות‬ ‫‪:‬‬ ‫זוגיות‪ )2( .‬גרף מכוון וקשיר מכיל מעגל אוילר ⟺ לכל‬ ‫‪.‬‬ ‫(*) בגרף לא מכוון‪ ,‬אם נוסיף לגרף עם מסלול אויילר קשת בין ‪2‬‬ ‫הצמתים מדרגה אי‪-‬זוגית אז נקבל מעגל אויילר‪.‬‬ ‫גשרים – גשר הוא קשת שהסרתה תהפוך את הגרף ללא קשיר‪)1( .‬‬ ‫בגרף בעל גשר אין מעגל אויילר‪ )2( .‬קשת אינה גשר ⟺ היא נמצאת‬ ‫על מעגל פשוט בגרף‪ .‬גרף לא מכוון וקשיר ניתן לכיוון לגרף קשיר‬ ‫בחוזקה ⟺ אין בו גשרים‪.‬‬ ‫אפשר לחלק את ל‪ 2-‬קב'‬ ‫גרף דו"צ – גרף לא מכוון נקרא דו"צ‬ ‫‪.‬‬ ‫המקיימים‬ ‫כך שאין‬ ‫זרות‬ ‫רשימת שכנויות – לכל צומת מצביע לרשימת השכנים שלו‪.‬‬ ‫יתרון‪ :‬חסכוני במקום‪ .‬חיסרון‪ :‬הרבה זמן להגיע לקשת ספציפית‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מטריצ שכנויות –‬ ‫יתרון‪ :‬קצת זמן להגיע לקשת ספציפית‪ .‬חיסרון‪ :‬מבזבז הרבה מקום‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ – BFS‬חיפוש לרוחב‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫‪ :Kruskal‬בכל שלב נחפש קשת במשקל מינימלי שמחברת ‪ 2‬רכיבי‬ ‫קשירות שונים של ‪ ,‬נחבר אותם ונוסיף את הקשת ל‪ . -‬הקשתות‬ ‫‪.‬‬ ‫ממוינות ע"פ משקל בסדר עולה‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫(*) הפלט של קרוסקל תלוי אך ורק בסדר הממוין של הקשתות ויכול‬ ‫לחשב כל עפ"מ‪ .‬מסקנה‪ :‬אם כל המשקלים שונים‪ ,‬אז יש עפ"מ יחיד‪.‬‬ ‫‪ ,‬אז ניתן לבצע מיון בזמן‬ ‫(*) אם פונ' המשקל היא‬ ‫( ‪ -‬פונ' אקרמן ההפוכה‪,‬‬ ‫לינארי‪ ,‬ונקבל‬ ‫)‪.‬‬ ‫פונקציה עולה ממש‪ ,‬אם נגדיר משקל חדש‬ ‫טענה‪ :‬תהי‬ ‫אז‪ T :‬עפ"מ לפי ⟺ ‪ T‬עפ"מ לפי ‪.‬‬ ‫עפ"מים באותו גרף עם אותה פונ' ‪ ,‬אז אם נסדר את‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫משקלי הקשתות בצורה ממוינת נקבל‪:‬‬ ‫קב' הקשתות של שמשקלן‬ ‫טענה‪ :‬עבור ‪ 2‬עפ"מים ו‪ , -‬תהי‬ ‫ו‪-‬‬ ‫מוגדרת באותה דרך‪ ,‬אז הגרפים‬ ‫לכל היותר ‪ ,‬והקב'‬ ‫מחזיקים בדיוק באותם רכיבי קשירות‬ ‫טענה‪ :‬אם נוסיף קשת לעץ פורש היא תסגור מעגל יחיד‪.‬‬ ‫‪ - Single Source Shortest Paths‬מק"בים מ‪-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫מסלול קצר ביותר מצומת לכל צומת אחרת בגרף (בהתחשב במשקל‬ ‫על הקשתות)‪ .‬מניחים שאין מעגלים שליליים‪.‬‬ ‫תכונות מק"בים‪ )1( :‬תת מסלול של מק"ב הוא מק"ב‪ )2( .‬א"ש‬ ‫‪ .‬אם‬ ‫אז‬ ‫המשולש‪ :‬אם‬ ‫צומת אחד לפני על מק"ב מ‪ -‬ל‪ v-‬אז יש שיוויון‪ )3( .‬אם כל‬ ‫‪.‬‬ ‫המשקולות הן ‪ ,1‬אז משקל מסלול=מס' הקשתות ונפתור עם‬ ‫‪ .‬נבצע‬ ‫פעולת ‪ – Relax‬מבוצע על קשת‬ ‫‪.‬‬ ‫השתנה אז‬ ‫‪ .‬אם‬ ‫‪ :Dijkstra‬לא עובד עם משקלים שליליים‪ .‬משתמשים בתור עדיפות‬ ‫ובקב' שהיא קב' הצמתים שהוצאנו‬ ‫שמנוהל ע"י המפתח‬ ‫מבקר ב‪( . -‬הוכחה באינדוקציה)‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬אם ‪ u‬נגיש מ‪, -‬‬ ‫מהתור ‪ .‬אחרי שמוציאים מ‪ -‬את הצומת המינימלי מבצעים‬ ‫טענה‪ :‬בכל רגע בתור נמצאים צמתים עם לכל היותר ‪ 2‬ערכי‬ ‫‪ ,‬אין לו השפעה‪)2( .‬‬ ‫לא צריך‬ ‫על כל שכניו ‪)1( :‬‬ ‫עוקבים בסדר עולה‪( .‬הוכחה באינדוקציה)‪.‬‬ ‫‪ .‬סיבוכיות‪ :‬ערימה רגילה ‪-‬‬ ‫יגרור פעולת‬ ‫‪ .‬הוכחה‪ :‬צמתים עם ערך אינסוף‬ ‫משפט‪ :‬לכל צומת ‪,‬‬ ‫‪ .‬ובאופן‬ ‫‪ .‬בערימת פיבונאצ'י –‬ ‫נוכיח כמעט ישירות ושאר הצמתים באינדוקציה‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כללי –‬ ‫לא השתמש בה לבניית ‪ ,‬מחברת‬ ‫(*) בגרף מכוון‪ ,‬כל קשת שה‪-‬‬ ‫‪ ,‬אז ניתן להשתמש במערך‬ ‫(*) אם פונ' המשקל היא‬ ‫‪ .‬בגרף לא מכוון כל‬ ‫צומת בשכבה כלשהי לצומת בשכבה‬ ‫במקום ערימה ולשמור מצביע לתא המינימלי שלא ריק במערך‪ ,‬ונקבל‬ ‫קשת מחברת צמתים באותה שכבה או בשכבות סמוכות‪.‬‬ ‫זה המסלול הכי ארוך שיכול‬ ‫(‬ ‫סיבוכיות של‬ ‫להיות כל הצמתים בשכבות‬ ‫(*) כדי לחלק את הגרף לקבוצות‪ ,‬נגדיר‬ ‫להיות לנו ולכן זה גודל המערך‪ .‬כל תא במערך מתאים לאורך מק"ב)‪.‬‬ ‫הזוגיות ו‪ -‬בשכבות האי זוגיות‪.‬‬ ‫‪ :Bellman–Ford‬עובד גם עם משקלים שליליים‪ .‬מאתחל‬ ‫מתקיים בסיום האלגוריתם‪:‬‬ ‫טענה‪ :‬לכל קשת‬ ‫על כל הקשתות בגרף‬ ‫‪ .‬מבצע‬ ‫ולכל שאר הצמתים‬ ‫במק"ב מ‪ -‬ל‪ -‬יש שיוויון)‪.‬‬ ‫(אם‬ ‫משפר אז יש‬ ‫פעמים‪ .‬אם לאחר מכן יש לקשת כלשהי‬ ‫צבעים‪ :‬לבן‪-‬עדיין לא ביקרנו בו‪ .‬אפור‪-‬נכנס לתור‪ .‬שחור‪-‬יצא מהתור‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מעגל שלילי בגרף ונחזיר שגיאה‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫‪ – DFS‬חיפוש לעומק‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫אז מצאנו את כל המק"בים‬ ‫ים באלג'‬‫טענה‪ :‬לאחר ביצוע‬ ‫ הזמן בו סיימנו את‬‫ הזמן בו נתקלנו ב‪ u-‬לראשונה‪.‬‬‫‪.‬‬ ‫מ‪ -‬שאורכם‬ ‫ הצומת הקודם שגילה את ‪.‬‬‫הטיפול ב‪. -‬‬ ‫טופולוגי‪ :‬בגרף מכוון א‪-‬ציקלי ניתן לבצע מיון טופולוגי ולרוץ על הצמתים‬ ‫עקרון הקינון ‪ -‬לכל צומת מתאים מרווח זמן חי‬ ‫על כל הקשתות שיוצאות‬ ‫‪ .‬אם ל‪ 2-‬אחד אחד לפי הסדר‪ ,‬ומכל צומת נבצע‬ ‫צמתים יש מרווחים מקוננים אז הצומת עם הרווח הקטן צאצא של‬ ‫‪.‬‬ ‫ממנו‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫האחר‪ .‬ואם יש להם מרווחים זרים אז אין קשר של צאצא בינהם‪.‬‬ ‫‪ – All-Pairs Shortest Paths‬מק"ב בין כל‬ ‫‪6‬‬ ‫ונניח‬ ‫עקרון המסלול הלבן – נניח ב‪ -‬יש מסלול‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ,‬ואחרת‬ ‫אז‬ ‫חיקוי ‪ :Bellman–Ford‬אם‬ ‫מגלה הוא ‪ .‬אזי כל שאר‬ ‫שהקודקוד הראשון במסלול שה‪-‬‬ ‫(הוכחה באינדוקציה)‪.‬‬ ‫ב‪-‬‬ ‫הצמתים יהיו צאצאים של‬ ‫ המשקל המינימלי מבין כל המסלולים מ‪ -‬ל‪ -‬שמכיל לכל היותר‬‫‪ ,‬כל‬ ‫שימושים‪ )1( :‬מציאת רכיב קשירות בגרף לא מכוון ‪ -‬נריץ‬ ‫נבצע‪:‬‬ ‫‪ .‬עבור כל‬ ‫קשתות‪ .‬נסמן‬ ‫נמצאים‬ ‫עץ בפלט שלו הוא רכיב קשירות‪ )2( .‬האם ‪ 2‬צמתים‬ ‫‪ .‬וזה שקול‬ ‫אז כן‪ .‬נבדוק ע"י‬ ‫באותו רכיב קשירות? אם הם באותו עץ אחרי ה‪-‬‬ ‫הליכה אחורה עם מצביעי ובדיקה שיש אותו אב‪ )3( .‬האם גרף נתון‬ ‫‪.‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫להכפלת מט'‪:‬‬ ‫קיימת קשת אחורית‪ )4( .‬מיון טופולוגי של‬ ‫מכיל מעגל? קיים מעגל‬ ‫זה משקל המק"ב מ‪ -‬ל‪. -‬‬ ‫איטרציות כאלה‪.‬‬ ‫נבצע‬ ‫כך‬ ‫גרף מכוון א‪-‬ציקלי (‪ – )DAG‬מסדר את הצמתים בסדר‬ ‫פעמים‬ ‫‪ ,‬אבל את הכפלת המט' ניתן לבצע‬ ‫‪ .‬נריץ ‪ DFS‬וסדר הצמתים יהיה הפוך סיבוכיות‪:‬‬ ‫מתקיים‬ ‫שלכל קשת‬ ‫נכפיל‬ ‫במקום [במקום‬ ‫( עם ערך מקסימלי)‪ )5( .‬מציאת גשרים‪ ,‬קודקודים‬ ‫לערכי‬ ‫‪.‬‬ ‫] ונקבל‬ ‫מנתקים ורכיבי קשירות – גרף לא מכוון וקשיר ניתן לכוון לגרף קשיר‬ ‫מצביע לצומת הקודם ל‪ -‬במק"ב שהתגלה עד כה מ‪ . -‬נעדכן‪:‬‬ ‫(*)‬ ‫בחוזקה ⟺ אין בו גשרים‪ )6( .‬מציאת רכיבי קשירות חזקה (רק"ח)‬ ‫‪.‬‬ ‫אז נבצע‬ ‫נתן לנו את הערך המינימלי החדש ל‪-‬‬ ‫אם‬ ‫על ונסדר את הצמתים לפי סדר‬ ‫בגרף מכוון ‪ )1( -‬נריץ‬ ‫אז יש מעגל שלילי בגרף‪.‬‬ ‫(*) אם קיים כך ש‪-‬‬ ‫יורד ונקרא לרשימה ‪ )2( .‬נבנה את הגרף ההפוך ‪ )3( .‬נריץ ‪DFS‬‬ ‫‪ :Floyd-Warshall‬נמספר את הצמתים‪" .‬גובה" המק"ב=האינדקס‬ ‫על ‪ ,‬כאשר הפרוצ' הראשית משתמשת ב‪ -‬בתור רשימת הצמתים‪.‬‬ ‫המקסימלי של צמתי המק"ב‪ .‬נבנה מק"ב לפי גובה עולה – לכל‬ ‫‪.‬‬ ‫השני הוא רק"ח‪ )*( .‬גרף העל הוא‬ ‫(‪ )4‬כל עץ ב‪-‬‬ ‫מ‪ -‬על ועל ‪.‬‬ ‫(*) כדי לבדוק אם גרף הוא קשיר חזק‪ ,‬נריץ‬ ‫)‪,‬‬ ‫נחשב את אורך המק"ב מ‪ -‬ל‪ -‬בגובה לכל היותר (נסמנו ב‪-‬‬ ‫אם בשני המקרים קיבלנו עץ יחיד‪ ,‬קשיר חזק‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫ונחשב כך‪:‬‬ ‫סיווג קשתות ‪ -‬לקשתות המשמשות להגדרת‬ ‫‪ :Johnson‬נהפוך את המשקולות לאי‪-‬שליליים ונריץ את דייקסטרה‬ ‫נקרא קשתות עץ‪ .‬האחרות מתחלקות ל‪ )1( :‬קשת‬ ‫‪.‬‬ ‫פעמים עם פונ' המשקלים ‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫קדמית‪ -‬מחברת אב קדמון לצאצא‪ )2( .‬קשת‬ ‫פונ' על הצמתים ונגדיר משקולות חדשים‬ ‫למה‪ :‬תהא‬ ‫אחורית‪ -‬מצאצא לאב קדמון‪ )3( .‬קשת חוצה‪-‬‬ ‫לכל קשת‪ ,‬אז מק"ב תחת ⟺‬ ‫)‬ ‫מחברת ‪ 2‬צמתים שאינם צאצא‪/‬אב קדמון‪.‬‬ ‫מק"ב תחת ‪.‬‬ ‫עובר על כל קשתות הגרף‪ ,‬בחלק מהן הוא משתמש‬ ‫(*) ה‪-‬‬ ‫‪ :‬נוסיף לגרף צומת חדש וקשתות מ‪ -‬לכל‬ ‫בניית פונ' כך ש‪-‬‬ ‫‪ ,‬ובשאר לא‪.‬‬ ‫להגדרת ‪ ,‬לבניית עץ ה‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫שאר הצמתים עם משקל ‪ .0‬נריץ בלמן‪-‬פורד מ‪ -‬ונקח‬ ‫ברגע ש‪ -‬בודק אותה‪)1( :‬‬ ‫(*) בגרף מכוון‪ ,‬מסתכלים על קשת‬ ‫לבן קשת עץ‪ )2( .‬אפור אחורית‪ )3( .‬שחור אם‬ ‫‪ - Network Flow‬זרימה ברשתות‬ ‫‪7‬‬ ‫אז חוצה‪.‬‬ ‫אז קדמית‪ ,‬אם‬ ‫‪ )2( .‬אנטי‬ ‫תכונות זרימה חוקית‪ )1( :‬אילוצי קיבול‬ ‫(*) בגרף לא מכוון יש רק ‪ 2‬סוגי קשתות – עץ ואחורית‪.‬‬ ‫‪ )3( .‬שימור זרימה‪ :‬לכל צומת‬ ‫סימטריה‬ ‫צבעים‪ :‬לבן‪-‬עדיין לא ביקרנו בו‪ .‬אפור‪-‬נתקלנו בצומת אך טרם סיימנו‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪)4( .‬‬ ‫מתקיים‬ ‫שחור‪-‬סיימנו את הביקור בצומת‪.‬‬ ‫ערך זרימה – סה"כ הזרימה הנכנסת ל‪ = -‬סה"כ הזרימה היוצאת מ‪: -‬‬ ‫‪ - MST‬עץ פורש מינימאלי (עפ"מ)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ )*( .‬נרצה למצוא‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫רשת שיורית ‪ : -‬עותק של שבו‬ ‫קשתות מ‪. -‬‬ ‫עץ פורש‪ :‬מכיל את כל הצמתים ו‪-‬‬ ‫לכל צומת בקב'‬ ‫קלט‪ :‬גרף לא מכוון עם פונ' משקלים‪ .‬תכונות‪ )1( :‬פורש את הגרף‪ )2( .‬זרימה בין קבוצות ‪ -‬הזרימה מכל צומת בקב'‬ ‫סכום המשקולות של הקשתות בעץ הוא המינימאלי מבין הפורשים‪.‬‬ ‫‪ .‬תכונות‪)1( :‬‬ ‫‪.‬‬ ‫גישה כללית – תת‪-‬קב' של נקראת קב' מבטיחה אם קיים עפ"מ‬ ‫קב' זרות אז‬ ‫‪ )3( .‬אם‬ ‫‪)2( .‬‬ ‫אז נקרא ל‪ -‬קשת בטוחה‬ ‫המכיל את ‪ .‬אם קב' מבטיחה ו‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫וכנ"ל עבור‬ ‫‪ .‬כל עוד‬ ‫עדיין קב' מבטיחה‪ .‬אלגו'‪:‬‬ ‫עבור אם‬ ‫‪ :Ford-Fulkerson‬כל עוד קיים מסלול משפר‪ ,‬נגדיל את ע"י הזרמה‬ ‫‪ .‬בסוף‬ ‫‪ ,‬מצא קשת בטוחה עבור ובצע‬ ‫נוספת לאורך המסלול‪ .‬מסלול משפר הוא מסלול מ‪ -‬ל‪ -‬ב‪( -‬קשתות‬ ‫נחזיר את ‪.‬‬ ‫הוא הקיבול המינימאלי מבין‬ ‫עם קיבול ‪ 0‬לא יופיעו ב‪.) -‬‬ ‫חתך שמכבד את (אין ב‪-‬‬ ‫טענה‪ :‬אם קב' מבטיחה ו‪-‬‬ ‫הקשתות במסלול משפר ‪ .‬נגדיר זרימה חדשה‪:‬‬ ‫קשת חוצה)‪ ,‬ו‪ -‬קשת חוצה קלה של החתך (משקלה מינימלי מבין‬ ‫הקשתות החוצות) אז קשת בטוחה עבור ‪.‬‬ ‫ו‪ -‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪ :Prim‬יש רכיב קשירות אחד ‪ ,‬ומוסיפים אליו בכל פעם צומת היושב‬ ‫על הקשת הקלה ביותר המחברת אותו ל‪ . -‬משתמשים בתור עדיפות‬ ‫‪ .‬סיבוכיות‪ :‬תלוי בקיבולים‪ .‬כאשר הזרימה היא‬ ‫‪ ,‬שלכל צומת מפתח המייצג את משקל הקשת הקלה ביותר‬ ‫בשלמים‪ ,‬יקח לכל היותר צעדים השווים לזרימה המקסימלית‪ .‬מחפשים‬ ‫‪ .‬במערך‬ ‫המחברת אותו ל‪ . -‬סיבוכיות‪ :‬בערימה רגילה ‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מסלול משפר קצר ביותר (מס' הקשתות) על הרשת השיורית ע"י‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬בערימת פיבונאצ'י ‪-‬‬ ‫לא ממוין ‪-‬‬ ‫‪ .‬מס' האיטרציות הוא‬ ‫הסיבוכיות תהיה מס' האיטרציות כפול עלות‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ,‬ובסה"כ‬ ‫היא‬ ‫והגרף קשיר לכן עלות‬ ‫‪.‬‬ ‫(*) אם מחפשים לדעת האם ערך זרימה גדול מ‪ -‬אז נקבל‪:‬‬ ‫‪ :MinCut-MaxFlow‬נגדיר חתך – חלוקה של ל‪ 2-‬קב' זרות‬ ‫‪ .‬הזרימה המקסימאלית שווה לקיבול החתך‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫המינימאלי‪ .‬ע"פ המשפט‪ ,‬התנאים הבאים שקולים‪ )1( :‬זרימה‬ ‫לא מכילה מסלול מ‪ -‬אל ‪)3( .‬‬ ‫מקסימאלית‪ )2( .‬הרשת השיורית‬ ‫‪.‬‬ ‫לאיזשהו חתך‬ ‫‪.‬‬ ‫מתקיים‬ ‫טענה‪ :‬לכל זרימה ולכל חתך‬ ‫‪.‬‬ ‫‪):‬‬ ‫טענה‪ :‬לכל זרימה ולכל חתך‬ ‫‪ :Edmonds-Karp‬נאתחל את הזרימה לזרימת אפס‪ .‬נבנה רשת‬ ‫על הרשת ונחפש מסלול קצר בין ל‪ . -‬נשפר את‬ ‫שיורית‪ .‬נריץ‬ ‫הזרימה לפי המקסימום שאפשר להזרים במסלול המשפר שמצאנו‪.‬‬ ‫נחזור על התהליך (בניית רשת שיורית מחדש וכו')‪ .‬סיבוכיות‪ :‬עלות של‬ ‫כי הגרף קשיר ומספר‬ ‫כפול מס' האיטרציות‪ .‬עלות‬ ‫‪.‬‬ ‫ולסיכום העלות היא‬ ‫האיטרציות חסום ע"י‬ ‫)‪,‬‬ ‫‪ :Dinic‬הרעיון הוא לבנות רשת שכבתית מהרשת השיורית (ע"י‬ ‫לחפש בה כמה שיותר מסלולים משפרים ורק כאשר לא נגיש יותר‪,‬‬ ‫לבנות רשת שיורית חדשה‪ .‬ברשת השכבתית מתעלמים מכל הקשתות‬ ‫‪.‬‬ ‫ההפוכות‪ .‬שיטת איתור המסלולים ברשת השכבתית דומה ל‪-‬‬ ‫כאשר "מסיימים" עם צומת מוחקים אותו וכל הקשתות הנכנסות אליו‪.‬‬ ‫כאשר מגיעים ל‪ -‬מזרימים זרימה מקסימאלית במסלול‪ ,‬מוחקים‬ ‫קשתות רוויות וממשיכים להתקדם מהאב של הקשת הרוויה הקרובה‬ ‫(בכל פאזה לכל היותר‬ ‫ביותר לצומת ‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫צעדים כפול מס' פאזות המקסימליות‪ ,‬שזה נגזר ממספר השכבות‬ ‫)‪.‬‬ ‫המקסימלי –‬ ‫רשתות ‪ :0/1‬קיבול כל קשת היא ‪( 1‬או ‪ .)0‬ברשתות כאלו כל פאזה של‬ ‫(כי במחיקה כל הקשתות במסלול רוויות)‪ .‬לכן‪,‬‬ ‫דיניץ' מתבצעת ב‪-‬‬ ‫)‪ .‬לעיתים ניתן‬ ‫(מדויק יותר‪:‬‬ ‫ריצת דיניץ כולה לוקחת‬ ‫למצוא חסם הדוק יותר ע"פ טיפוס‪.‬‬ ‫רשת מטיפוס ‪ – 1‬רשת בה אין קשתות מקבילות (או אנטי מקבילות)‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫סיבוכיות‪:‬‬ ‫רשת מטיפוס ‪ – 2‬רשת בה לכל צומת יש דרגת כניסה ‪ 1‬או דרגת יציאה‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .1‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫(*) טיפוס הרשת (‪ 1‬או ‪ )2‬נשמר גם ברשת השיורית‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬נניח זרימה נוכחית היא ‪ 0‬וערך זרימה מקסימאלית ‪ .‬אז מספר‬ ‫בטיפוס ‪.2‬‬ ‫ברשת כללית ו‪-‬‬ ‫השכבות הוא‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫זיווג מושלם‪ :‬משפט ‪ - Hall‬יהיה גרף דו"צ‬ ‫את קב' השכנים של צמתים של‬ ‫נסמן ב‪-‬‬ ‫‪ .‬לכל‬ ‫)‬ ‫ב‪ . -‬אז ל‪ -‬יש זיווג מושלם (כלומר זיווג בגודל‬ ‫‪.‬‬ ‫מתקיים‬ ‫לכל‬ ‫‪ .‬מס' הקשתות המינימלי‬ ‫גרף מכוון‪.‬‬ ‫משפט מנגר ‪-‬‬ ‫שצריך להסיר כדי לנתק את מ‪ -‬שווה למס' המקסימלי של מסלולים‬ ‫זרים בקשתות מ‪ -‬ל‪( -‬והם שווים לזרימה המקסימלית)‪.‬‬ ‫(*) כל הקשתות בחתך המינימלי רוויות (קיבול=‪.)0‬‬ ‫(*) אם נסיר את הקשתות בחתך המינימלי ננתק את הגרף‪.‬‬ ‫‪ - String Matching‬התאמת מחרוזות‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ,‬ומחרוזת תבנית‬ ‫קלט‪ :‬מחרוזת טקסט‬ ‫מטרה‪ :‬למצוא את כל המקומות ב‪ -‬בהם מופיע ‪.‬‬ ‫בשיטה נאיבית נוכל לבצע השוואה מכל מקום במחרוזת ‪ .‬זה מבוצע‬ ‫‪ .‬ראינו שיטת השוואות באמצעות טבלת שמבצעת את‬ ‫בזמן‬ ‫‪.‬‬ ‫ההשוואה בזמן‬ ‫‪ :KMP‬מחקה את האוטומט "ללא תלות" באות הקלט הבאה‪ - ( .‬מיקום‬ ‫– לאן להזיז‬ ‫‪ - ,‬כמה התאמה יש‪.‬‬ ‫ב‪ -‬ועליו מתבצע לולאת ה‪-‬‬ ‫אם הבדיקה נכשלה)‪ .‬קוראים את האות הבאה של‬ ‫את‬ ‫‪.‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪ )1( :‬כל עוד אין התאמה‬ ‫‪ )3( .‬אם‬ ‫(‪ )2‬אם יש התאמה‬ ‫‪( .‬ואז נקרא את‬ ‫נודיע שנמצאה התאמה ו‪-‬‬ ‫אורך‬ ‫)‪ )3*( .‬בפונ' של חישוב ה‪ : -‬במוקם‬ ‫האות הבאה ב‪-‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ .‬סיבוכיות‪ :‬בניית טבלת –‬ ‫יהיה ובשלב ‪ 3‬יתבצע‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ,‬סה"כ‬ ‫פרוצדורה ראשית ‪-‬‬ ‫שהוא גם סיפא‬ ‫– גודל הרישא ממש המקסימלית של‬ ‫(*)‬ ‫הוא סיפא‬ ‫המקסימלי כך ש‪-‬‬ ‫‪ ,‬כלומר‪ ,‬ה‪-‬‬ ‫ממש של‬ ‫‪.‬‬ ‫(ובהכרח גם רישא) של‬ ‫‪,‬‬ ‫אז‬ ‫(*) מחושבת רק מתוך ‪ .‬לדוגמא אם‬ ‫)‪.‬‬ ‫ואם התאמנו ‪ 4‬תווים נזוז ‪ 2‬מקומות‪( .‬גודל התזוזה שלנו הוא‬ ‫שערכה הוא גודל הרישא המקסימלית‬ ‫יכול לייצר גם את‬ ‫(*)‬ ‫)‪.‬‬ ‫בסיום ה‪-‬‬ ‫(‬ ‫של שהיא סיפא של‬ ‫( כאשר ב‪-‬‬ ‫(*) מס' הקריאות המקסימלי ל‪: -‬‬ ‫עבור גדול יותר)‪.‬‬ ‫‪ ,‬ו‪ -‬מורכב רק מתו זה‪ ,‬ו‪-‬‬ ‫רק תו אחד‪-‬‬ ‫‪ - Linear Programming‬תכנות לינארי‬ ‫‪9‬‬ ‫של‬ ‫ל‪-‬‬ ‫תרגום בעיות לצורה סטנדרטית – (‪ )1‬הפיכת‬ ‫המינוס‪ )2( .‬הפיכת ל‪ -‬של המינוס‪ )3( .‬הפיכת ל‪ -‬וגם ל‪. -‬‬ ‫כאשר נוסיף את‬ ‫(‪ )4‬הפיכת שלא חייב להיות חיובי ל‪-‬‬ ‫‪.‬‬ ‫התנאים‬ ‫‪ ,‬יכול להיות בפונ' המטרה מס'‬ ‫על צורת ה‪-‬‬ ‫(*) לאחר ביצוע‬ ‫‪.‬‬ ‫ללא מקדם‪ ,‬כלומר‬ ‫מכילה משתנים לא בסיסיים ו‪ -‬משתנים‬ ‫(*) כל צורת‬ ‫שקולות‪.‬‬ ‫צורות‬ ‫בסייסים‪ ,‬ולכן סה"כ יש‬ ‫ המשתנה בצד שמאל של האילוץ (והוא‬‫משתנה בסיסי בצורת‬ ‫גם לעולם לא יופיע בפונ' המטרה)‪ ,‬כל שאר המשתנים הם לא‪-‬בסיסיים‪.‬‬ ‫פיתרון פיזיבילי ‪ -‬הצבה כלשהי שמקיימת את כל האילוצים הדרושים‪.‬‬ ‫פיתרון בסיסי ‪ -‬הצבת ‪ 0‬בכל המשתנים הלא‪-‬בסיסיים(אלה שבצד ימין)‪.‬‬ ‫‪ :Simplex‬נבדוק שהפיתרון הבסיסי הוא פיזיבילי‪ ,‬במידה ולא נמצא‬ ‫שבה הפיתרון הבסיסי כן פיזיבילי‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬בכל שלב‬ ‫צורת‬ ‫‪ :‬נבחר משתנה בסיסי עם מקדם חיובי מפונ' המטרה (זהו‬ ‫נבצע‬ ‫המשתנה הנכנס ‪ -‬למשוואות) שאותו אנחנו רוצים להגדיל‪ ,‬ונחליף אותו‬ ‫מול אחד המשתנים הלא‪-‬בסיסיים (זהו המשתנה היוצא)‪ .‬לאחר ה‪-‬‬ ‫ים עד שכל‬‫חדשה‪ .‬נמשיך לבצע‬ ‫נקבל צורת‬ ‫המקדמים של כל המשתנים בפונ' המטרה שליליים‪ ,‬ואז הפיתרון‬ ‫‪ ,‬מס'‬ ‫האופטימלי הוא הפיתרון הבסיסי‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ,‬וסה"כ נקבל‪:‬‬ ‫הצעדים‬ ‫בחירת המשתנה היוצא ‪ -‬הוא המשתנה הנכנס‪ .‬נבחר את המשתנה‬ ‫היוצא ע"י המשוואה עם המשתנה הלא‪-‬בסיסי שהכי מגביל את הגדלת‬ ‫המשתנה הנכנס‪ ,‬כלומר המשתנה היוצא יהיה בעל המשוואה עם הערך‬ ‫‪.‬‬ ‫החיובי הקטן ביותר של‬ ‫(*) אם קיים פיתרון פיזיבילי והפיתרון האופטימלי חסום אז הפיתרון‬ ‫האופטימלי=לפיתרון האופטימלי של הבעיה הדואלית‪.‬‬ ‫(*) אם פיתרון לבעיה הרגילה ו‪ -‬פיתרון לבעיה הדואלית שלה‬ ‫וזהו פיתרון אופטימלי‪.‬‬ ‫אז‬ ‫ומתקיים‬ ‫(לפי משפט‬ ‫וזה בגלל שתמיד מתקיים‪:‬‬ ‫הדואליות החלש‪ :‬דואלית‪-‬עם מינימום רגילה‪-‬עם מקסימום)‪.‬‬ ‫הבעיה הרגילה‬ ‫הבעיה הדואלית‬ ‫הבעיה הדואלית‬ ‫הבעיה הרגילה‬ ‫) – פונ' המטרה תהיה‬ ‫מציאת פיתרון בסיסי פיזיבילי (בצורת‬ ‫ולכל משוואה נוסיף בצידה הימני‬ ‫‪ ,‬נוסיף את התנאי‬ ‫‪ .‬המשתנה היוצא ה‪ 1-‬יהיה זה שבעל הערך הכי קטן בפיתרון‬ ‫הבסיסי (הערך חייב להיות שלילי‪ ,‬כי אין פיתרון בסיסי פיזיבילי)‪ .‬לאחר‬ ‫ים עד שנמצא פיתרון אופטימלי‪ ,‬ובסוף נחזור לתוכנית‬‫מכן נבצע‬ ‫שהתחלנו איתה (זאת שללא ) ונציב בפונ'‬ ‫הלינארית בצורת ה‪-‬‬ ‫המטרה שלה את כל המשתנים הבסיסיים (כלומר‪ ,‬נציב את החלק הימני‬ ‫של המשוואות שלהם) שקיבלנו בפיתרון האופטימלי של התוכנית‬ ‫‪ .‬וכעת קיבלנו צורת‬ ‫הלינארית הסופית (זאת עם ה‪ ) -‬וכן נציב‬ ‫עם פיתרון בסיסי פיזיבילי‪.‬‬ ‫תכנות דינאמי‬ ‫‪10‬‬ ‫(*) שאלה‪ A :‬מערך של ‪ n‬מספרים ממשיים‪.‬‬ ‫צ"ל אלגו’ למציאת תת קבוצה של ‪ A‬שסכומה‬ ‫מקסימאלי אבל אסור לבחור ‪ 2‬איברים סמוכים‬ ‫מ‪ .A‬פתרון‪ :‬מטריצה ‪ M‬תכיל את הסכום‬ ‫המקסימאלי עם תתי סדרות המכילות רק‬ ‫איברים הקטנים שווים ל‪ .i‬מטריצה ‪ P‬תכיל זוג‬ ‫סדור עם קבוצה להוסיף לתת ופוינטר לאינדקס‬ ‫הבא של ‪ .P‬מאתחלים ‪ 2‬תאים ראשונים‪.‬‬ ‫עוברים על המערך לפי התנאים שבקוד‪ .‬לסיום‪,‬‬ ‫עוברים על המערך שוב מהסוף להתחלה ע"פ‬ ‫הפוינטר בזוג הסדור כשבכל שלב מוסיפים את‬ ‫האיבר שבחלק הראשון של הזוג הסדור‪.‬‬ ‫(*) שאלה‪ :‬אותו דבר אבל אורך תת הסדרה הוא לכל היותר ‪ .k‬פתרון‪:‬‬ ‫מריצים אלגוריתם דומה‪ ,‬אבל לכל סכום סדרה שומרים גם כמה איברים‬ ‫יש עד כה ועותק ממש של כל איברי תת הסדרה‪ .‬אם הגענו לתת סדרה‬ ‫הגדולה מ‪ ,k‬נסיר מהעותק שלנו את האיבר הראשון (הוא הכי קטן)‬ ‫ונשים במקומו את האיבר הנוכחי (צריך גם לעדכן את הסכום להיות‬ ‫‪2‬‬ ‫הסכום הקודם פחות האיבר הראשון ‪ +‬האיבר הנוכחי)‪ .‬סבוכיות‪kn :‬‬ ‫(*) שאלה‪ :‬נתונה סדרת מספרים ממשיים‪ ,‬רוצים תת סדרה רציפה כך‬ ‫שהסכום מקס'‪ .‬פתרון‪ :‬מגדירים ‪ Si+‬ו‪ Si-‬פתרון אופטימלי עם‪/‬בלי ‪.xi‬‬ ‫חישוב הערכים‪ .Si-=max{Si-1+,Si-1-} ,Si+=max{Si-1+xi, xi} :‬בסוף‬ ‫}‪ .S=max{Sn+,Sn-‬סוף הסדרה= התא הראשון מהסוף כך ש‪.Si+=S-‬‬ ‫תרגילים ופתרונות‬ ‫‪11‬‬ ‫‪if(A [i-2]+A[i]>A[i‬‬‫)]‪1‬‬ ‫‪M[i]←A[i‬‬‫;]‪2]+A[i‬‬ ‫>‪P[i]←<{i},i-2‬‬ ‫‪else M[i]←A[i‬‬‫>‪1]; P[i]←< ,i-1‬‬ ‫(*) מציאת מעגל אויילר בגרף לא מכוון ‪ -‬נתחיל מסלול מצומת כלשהו‬ ‫עד שנחזור אליו ונסיר את כל הקשתות שעברנו עליהם‪ .‬אם במסלול יש‬ ‫את כל הקשתות שב‪ -‬אז סיימנו‪ ,‬אחרת נתחיל מסלול מאחד הצמתים‬ ‫שעברנו עליהם שדרגתו חיובית עד שנחזור אליו בחזרה‪ ,‬ואז נאחד בין ‪2‬‬ ‫המסלולים‪ .‬נחזור על התהליך‪.‬‬ ‫(*) מציאת מסלול אויילר בגרף לא מכוון – נוסיף קשת בין ‪ 2‬הצמתים‬ ‫שדרגתם אי‪-‬זוגית ואז נריץ את האלג' חמציאת מעגל של אויילר‪.‬‬ ‫(מק"ב ‪ -‬לפי מס' הקשתות)‬ ‫מצומת כלשהו וכל הצמתים‬ ‫(*) צביעת צמתים בגרף דו"צ – נריץ‬ ‫‪ ,‬כאשר‬ ‫(*) כפל מטריצות יעיל ‪ -‬נתונה סדרה של מט'‬ ‫‪ .‬רוצים למצוא סדר הכפלה עם מס' מינימלי של פעולות‪ .‬במרחק אי‪-‬זוגי יהיו אדומים וכל הצמתים במרחק זוגי יהיו כחולים‪.‬‬ ‫בגודל‬ ‫ואם אין ‪ 2‬צמתים באותה שכבה‬ ‫(*) האם הגרף הוא דו"צ – נריץ‬ ‫= המחיר‬ ‫‪ .‬נסמן‬ ‫הוא‬ ‫במט'‬ ‫למשל כפל מט'‬ ‫שיש בינהם קשת אז גם אין מעגל באורך אי‪-‬זוגי ולכן הגרף הוא דו"צ‪.‬‬ ‫ו‪-‬‬ ‫‪ .‬נגדיר‬ ‫המינימלי של כפל המט'‬ ‫כאשר‬ ‫(*) גרף המק"בים מ‪ -‬בגרף לא מכוון ‪ -‬זהו גרף‬ ‫‪ .‬נחשב את‬ ‫‪ .‬אלג' ה‪-‬‬ ‫יהיה‬ ‫‪ .‬ובסוף‬ ‫) כאשר‬ ‫לפי סדר עולה של (‬ ‫זורק ‪ 2‬סוגי קשתות בגרף לא מכוון‪ )1( :‬בין צמתים מאותה רמה‪ )2( .‬בין‬ ‫‪.‬‬ ‫המחיר האופטימלי‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫כך שנזרוק רק קשתות‬ ‫צמתים מרמות עוקבות‪ .‬נשנה את האלג' ה‪-‬‬ ‫(*) חישוב תת‪-‬סידרה משותפת מקסימלית – מקבלים ‪ 2‬מחרוזות‬ ‫בין צמתים מאותה רמה ונקבל ש‪ -‬מייצג את גרף המק"בים מ‪. -‬‬ ‫(‬ ‫כאשר‬ ‫) ורוצים למצוא סדרה המופיעה באותו סדר אך (*) גרף המק"בים מ‪ -‬ל‪ -‬בגרף מכוון – זהו גרף‬ ‫את‬ ‫לא בהכרח באותו רצף ב‪ 2-‬המחרוזות באורך מקסימלי‪ .‬נסמן ב‪-‬‬ ‫‪ .‬אלג' ה‪-‬‬ ‫הרישא של האיברים הראשונים של ‪ ,X‬וב‪ -‬את האיבר ה‪ -‬של ‪.‬‬ ‫זורק ‪ 3‬סוגי קשתות בגרף מכוון‪ )1( :‬בין צמתים מאותה רמה‪)2( .‬‬ ‫‪ )3( .‬בין צומת מרמה לצומת‬ ‫בין צומת מרמה לצומת ברמה‬ ‫כך שלא נזרוק קשתות מסוג (‪,)2‬‬ ‫‪ .‬נשנה את אלג' ה‪-‬‬ ‫ברמה‬ ‫החדש מ‪ , -‬נהפוך את הקשתות של הגרף שקיבלנו‬ ‫ואז נריץ את ה‪-‬‬ ‫החדש מ‪ , -‬נהפוך שוב את הקשתות וסיימנו‪.‬‬ ‫ונריץ את ה‪-‬‬ ‫בטבלה נחשב את הביטוי לפי סדר שורות עולה‪ ,‬וכל שורה לפי סדר‬ ‫(*) מס' המק"בים מ‪ -‬לכל צומת – נשמור לכל צומת את‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫עולה של טורים‪ .‬נחזיר את‬ ‫את מס' המסלולים מ‪ -‬ל‪ -‬שייצג כמה מק"בים מצאנו עד כה מ‪ -‬ל‪ . -‬נעדכן את ה‪ :BFS-‬נניח‬ ‫(*) מס' המסלולים מ‪ -‬ל‪ – -‬נסמן ב‪-‬‬ ‫אז‬ ‫או ש‪-‬‬ ‫ועבור כל שהגענו ל‪ -‬מהצומת ‪ .‬אם‬ ‫אז‬ ‫‪ .‬אם‬ ‫על‬ ‫‪ .‬נריץ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ונחזיר בסוף את נבצע‬ ‫הצמתים האחרים נחשב‪:‬‬ ‫נמצאת על מעגל בגרף לא מכוון ‪ -‬נסיר את‬ ‫(*) האם הקשת‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הקשת מהגרף ונבדוק אם יש מסלול מ‪ -‬ל‪ -‬ע"י‬ ‫(*) רמת כיפיות מקס' במסיבה – עובד אינו כיפי שהבוס שלו נמצא‪.‬‬ ‫ הכיפיות המקס'‬‫ הכיפיות המקס' כש‪ -‬מוזמן‪.‬‬‫נגדיר‪:‬‬ ‫נבנה‬ ‫(*) מסלול שעובר בכל צמתי הקב' בגרף מכוון – בעזרת‬ ‫‪ .‬אם לא‬ ‫ו‪-‬‬ ‫כש‪ -‬לא מוזמן‪ .‬אם עלה‪:‬‬ ‫גרף על ונבצע מיון טופולוגי עליו‪ .‬נחפש בגרף זה מסלול שעובר בכל‬ ‫ו‪-‬‬ ‫– קב' הבנים של ‪.‬‬ ‫עלה‪:‬‬ ‫הרק"חים שיש בהם לפחות צומת אחד מהקב' ‪ .‬נעשה זאת ע"י‬ ‫‪ .‬נחזיר‬ ‫בין כל ‪ 2‬רק"חים כאלה לפי הסדר הטופולוגי‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כאשר זה השורש‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫עפ"מים‬ ‫(*) בעיית הסוכן הנוסע – צריך לבקר ב‪ -‬ערים ולעבור מרחק מינימלי‪ )*( .‬מציאת עפ"מ עם מס' מקסימלי של קשתות מהקב' (מבין‬ ‫להיות המרחק‬ ‫את המרחק מ‪ -‬ל‪ . -‬נגדיר‬ ‫נסמן ב‪-‬‬ ‫העפ"מים) – למשקל הקשתות מהקב' נוסיף ואז נמצא עפ"מ כרגיל‪.‬‬ ‫‪ .‬נחשב כך‪:‬‬ ‫המינימלי מ‪ -‬אל שעובר בצמתים שב‪-‬‬ ‫(*) מציאת עפ"מ שכל צמתי הקב' הם עלים בעפ"מ – ניצור גרף‬ ‫‪ .‬נחזיר את‬ ‫ו‪-‬‬ ‫ללא הצמתים שב‪ -‬וללא הקשתות שכוללות צומת מ‪ . -‬אם הגרף לא‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫קשיר אז לא קיים עפ"מ כזה‪ .‬אחרת‪ ,‬נמצא עפ"מ על גרף זה‪ ,‬ועבור‬ ‫כל צומת מ‪ -‬נמצא את הקשת הקלה ביותר שמחברת בינה לבין ‪.‬‬ ‫איברים‬ ‫(*) סכום מקס' של תת‪-‬סידרה מונוטונית לא יורדת בת‬ ‫ו‪-‬‬ ‫– נסמן‬ ‫להיות (*) האם קיים עפ"מ המכיל את הקשת‬ ‫את‬ ‫ולכל‬ ‫ נגדיר לכל‬‫מ‪-‬‬ ‫‪ ,‬מתקיים‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ .‬אם לכל קשת חוצה‬ ‫הסכום המקס' לתת‪-‬סידרה לא יורדת בת איברים שמסתיימת ב‪. -‬‬ ‫‪.‬‬ ‫אז קיים עפ"מ שמכיל את הקשת‬ ‫‪ .‬ונחשב לפי סדר עולה של את הביטוי‪:‬‬ ‫נאתחל‬ ‫ו‪-‬‬ ‫– נסמן‬ ‫(*) האם כל עפ"מ המכיל את הקשת‬ ‫‪ ,‬ונחזיר את‬ ‫‪ ,‬מתקיים‬ ‫‪,‬‬ ‫‪ .‬אם לכל קשת חוצה‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫אז כל עפ"מ מכיל את הקשת‬ ‫(*) שאלה‪ :‬עבור סדרת מספרים ממשיים‬ ‫‪ )*( List a[1…n] ‬האם יש לגרף ‪ 2‬עפ"מים בדיוק – נמצא עפ"מ ‪ ,‬נוסיף למשקל‬ ‫]‪[1…1‬‬ ‫‪ x1,x2,…,xn‬לחשב עבור כל ‪ i‬את מס' תתי‪-‬‬ ‫קשתותיו בגרף ‪ .‬נמצא עפ"מ ‪ .‬אם יש ‪ 0‬או ‪ 2‬קשתות ומעלה ב‪-‬‬ ‫‪For j= 1 to n‬‬ ‫הסדרות העולות ממש ומסתיימות ב‪( xj -‬כולל)‪.‬‬ ‫בגרף ‪ ,‬נמצא עפ"מ‬ ‫שלא ב‪ -‬אז אין‪ .‬אחרת‪ ,‬נוסיף למשקל קשתות‬ ‫פתרון‪ :‬ניצור מערך בגודל ‪ n‬מאותחל ל‪ ,1 -‬כי כל‬ ‫‪For i= 1 to j-1‬‬ ‫שווה לאחד העפ"מים הקודמים אז יש בדיוק ‪ ,2‬ואחרת אין‪.‬‬ ‫‪ .‬אם‬ ‫‪If xi<xj then‬‬ ‫סדרה יכולה לכלול רק את האיבר האחרון‪ .‬אח"כ‬ ‫;]‪a[i]= a[j]+a[i‬‬ ‫נסכום עבור כל ‪( xi‬כש‪ )i<j -‬שקטן מה‪ xj -‬את‬ ‫(*) מק"ב שמסתיים בצומת בגרף מכוון – אין מעגלים שליליים בגרף‪.‬‬ ‫תתי הסדרות שלו‪ ,‬כי פשוט ניתן להוסיף בסוף‬ ‫‪ .‬נוסיף‬ ‫נרצה לחשב‪:‬‬ ‫עבור כל צומת‬ ‫את ‪ .xj‬סיבוכיות‪.n2 :‬‬ ‫צומת לגרף עם קשתות במשקל ‪ 0‬לכל הצמתים‪ ,‬ונריץ את אלג'‬ ‫(*) שאלה‪ :‬נתונות ‪ 2‬סדרות ‪ S‬ו‪ .T-‬תארו אלגוריתם יעיל ככל האפשר‬ ‫‪ ,‬וזה כי מתקיים‪:‬‬ ‫שקובע אם ‪ S‬מופיע כתת סדרה ב‪ T‬כך שכל שני איברים עוקבים של ‪ S‬מהצומת ‪ .‬לאחר מכן יתקיים‬ ‫‪.‬‬ ‫מופיעים במרחק של לכל היותר ‪ 50‬זה מזה‪ .‬פתרון‪ :‬נכין טבלה ‪ M‬כך‬ ‫ש)‪ M(i,j‬יהיה ‪ 1‬אם ‪ j‬האיברים הראשונים של ‪ S‬עונים על התנאים עבור (*) גרף כל המק"בים מ‪ -‬ל‪ -‬עם פונ' משקלים בגרף מכוון – נריץ את‬ ‫(הקשתות הפוכות)‬ ‫על הגרף מהצומת ‪ ,‬ועל הגרף‬ ‫אלג'‬ ‫‪ i‬האיברים הראשונים של ‪( T‬ו‪ j-‬נופל על האיבר ה‪ i-‬של ‪ .)T‬כדי לחשב‬ ‫נכניס‬ ‫שמקיים‬ ‫מהצומת ‪ .‬עבור כל‬ ‫)‪ M(i,j‬נבדוק האם ]‪ T[i]=S[j‬וגם [האם מתקיים )‪ M(i-1,j-1‬או‬ ‫לגרף את כל הקשתות במק"ב מ‪ -‬ל‪ -‬ומ‪ -‬ל‪ . -‬הגרף הרצוי‪.‬‬ ‫)‪ M(i-2,j-2‬או ‪ .]M(i-50,j-1) ...‬סבוכיות‪ :‬מילוי הטבלה יתקיים ב‪-‬‬ ‫(*) מציאת מק"בים מ‪ -‬עם מס' קשתות זוגי בגרף מכוון – נשתמש ב‪-‬‬ ‫)‪.O(mn‬‬ ‫‪ 2 If 2ai≤j then‬העתקים של הגרף‪ ,‬וכל הקשתות יהיו מעותק מס' ‪ 1‬לעותק מס' ‪2‬‬ ‫(*) שאלה‪ :‬נתונה קבוצה של ‪ n‬מספרים‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ a[i,j]=a[i-1,j-2ai]+‬ולהפך‪ .‬המרחק של המק"ב הרצוי מ‪ -‬ל‪ -‬יהיה‬ ‫שלמים ‪ 1≤a1<a2…<an<2n‬ומספר שלם נוסף‬ ‫]‪ )*( a[i-1,j-ai]+ a[i-1,j‬מציאת מק"בים מ‪ -‬עם קשתות בגרף מכוון – נשתמש ב‪-‬‬ ‫‪ .m‬תארו אלגוריתם יעיל המחשב את מס'‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ else if ai≤j then‬העתקים של הגרף‪ ,‬וכל הקשתות יהיו מעותק מס' לעותק מס'‬ ‫הפתרונות למשוואה ‪a1x1+a2x2+…+anxn=m‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ a[i,j]=a[i-1,j-ai]+‬המרחק של המק"ב הרצוי מ‪ -‬ל‪ -‬יהיה‬ ‫כאשר }‪ .xi {0,1,2‬פתרון‪ :‬נגדיר מטריצה עם‬ ‫בגרף‬ ‫]‪ )*( a[i-1,j‬מציאת המעגל הקל ביותר שמכיל את וכל צומת‬ ‫עמודות )‪ 0…m(≤4n2‬ושורות עם ‪ .ai‬בכל תא‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ else‬מכוון – נריץ אלג' למציאת מק"בים מהצומת על ועל‬ ‫בטבלה נמלא את מספר הפתרונות הקיימים‬ ‫]‪ )*( a[i,j]=a[i-1,j‬מציאת מעגל שלילי בגרף מכוון – נמצא את כל הרק"חים ונריץ על‬ ‫כאשר עבור ‪=m‬לערך העמודה וכאשר הסדרה‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫כל אחד מהם בנפרד את אלג'‬ ‫מכילה את ‪ a1..ai‬בלבד‪ .‬העמודה הראשונה‬ ‫עם מס' קשתות אדומות‬ ‫(*) מציאת מסלול מ‪ -‬לכל צומת‬ ‫תכיל ‪( 1‬כי יש פיתרון יחיד כש‪ .)m=0‬בשורה‬ ‫פחות כחולות מקסימלי בגרף מכוון – לקשת אדומה ניתן משקל‬ ‫הראשונה נסמן ‪ 1‬בתאים שווים ל‪ 1*a1 ,0*a1-‬ו‪-‬‬ ‫מ‪. -‬‬ ‫ולקשת כחולה ניתן משקל ‪ .‬נריץ‬ ‫‪ 2*a1‬ובשאר ‪ .0‬נמלא את המטריצה לפי שורות‬ ‫ואז עמודות (ע"פ הקוד)‪ .‬סבוכיות‪O(mn) :‬‬ ‫(*) עבור כל ‪ 2‬צמתים‪ ,‬האם קיים מסלול באורך ביניהם בגרף מכוון‬ ‫‪ .‬נחשב‬ ‫ואחרת‬ ‫אז‬ ‫– נגדיר מט' שכנויות‪ :‬אם‬ ‫‪.‬‬ ‫מוגדר‪:‬‬ ‫לפי כפל בוליאני‪-‬‬ ‫את‬ ‫קיימים ביניהם בגרף‬ ‫(*) עבור כל ‪ 2‬צמתים‪ ,‬כמה מסלולים באורך‬ ‫אך לפי כפל מט' רגיל‪-‬‬ ‫מכוון – כמו מקודם‪ ,‬נחשב את‬ ‫‪.‬‬ ‫מוגדר‪:‬‬ ‫(*) כמה מסלולים זרים בקשתות מ‪ -‬ל‪ -‬יש בגרף מכוון – ניתן קיבול‬ ‫‪ 1‬לכל הקשתות בגרף ונריץ אלג' דיניץ‪ .‬הזרימה המקס' זה הערך הרצוי‪.‬‬ ‫(*) כמה מסלולים זרים בצמתים מ‪ -‬ל‪ -‬יש בגרף מכוון – נפצל כל‬ ‫ונריץ את האלג' הקודם‪.‬‬ ‫ל‪-‬‬ ‫– נבנה רשת שיורית ביחס לזרימה‬ ‫(*) מציאת החתך המינימלי‬ ‫ל‪-‬‬ ‫מהמקור ונכניס את כל הצמתים שבעץ ה‪-‬‬ ‫המקס'‪ .‬נריץ‬ ‫‪.‬‬ ‫ואת כל שאר הצמתים ל‪ . -‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫) – לכל‬ ‫(*) הרישא המקס' של שהיא פולינדרום (‬ ‫‪ ,‬ואם פולינדרום אז רישא של היא סיפא של‬ ‫מתקיים‬ ‫)‪.‬‬ ‫(‬ ‫והתבנית ‪ .‬נחזיר את‬ ‫עם הטקסט‬ ‫‪ .‬נריץ‬ ‫ו‪ -‬מקס' – בהכרח‬ ‫כך ש‪-‬‬ ‫(*) מציאת חלוקה‬ ‫עם התווים האחרונים של‬ ‫‪ .‬נריץ‬ ‫‪.‬‬ ‫כטקסט ו‪ -‬התווים הראשונים של כתבנית‪ .‬נחזיר את‬ ‫כך ש‪ y-‬תת‪-‬מחרוזת של ‪ – x‬אם יש‬ ‫(*) מציאת חלוקה‬ ‫עם התווים‬ ‫‪ .‬נריץ‬ ‫חלוקה כזאת אז‬ ‫האחרונים של כטקסט ו‪ -‬התווים הראשונים של כתבנית‪ .‬מתקיים‬ ‫ו‪ -‬יהיה כל שאר התווים שנשארו באמצע‪.‬‬ ‫(*) האם סיבוב מעגלי (דחיפת האותיות ימינה) של ‪ -‬נריץ‬ ‫‪.‬‬ ‫אז נחזיר‬ ‫כטקסט ו‪ -‬כתבנית‪ .‬אם יופיע ב‪-‬‬ ‫עם‬ ‫(*) בעיית שער חליפין – מטבע ו‪ -‬מציין כמה מטבעות מסוג‬ ‫נקבל תמורת מטבע אחד מסוג ‪ .‬נרצה לבדוק האם קיימת סידרת‬ ‫כך ש‪:‬‬ ‫המרות שתביא לרווח‪ ,‬כלומר האם קיימים‬ ‫משני האגפים ונכפיל ב‪-‬‬ ‫‪ .‬פתרון‪ :‬נוציא‬ ‫‪ .‬נבנה גרף מכוון שלם‬ ‫ונקבל‪:‬‬ ‫‪ .‬כעת‬ ‫ניתן משקל‬ ‫עם המטבעות כצמתים ולכל קשת‬ ‫נחפש מעגל שלילי בגרף החדש‪.‬‬ ‫(*) האם קיים מעגל בגודל ‪ 0‬בגרף מכוון‪ .‬נוסיף צומת וקשתות ממנו‬ ‫וניצור את הגרף כאשר‪:‬‬ ‫לכל שאר הצמתים במשקל ‪ .0‬נריץ‬ ‫‪ .‬יש מעגל ב‪ -‬אם‬ ‫)‪.‬‬ ‫קיימת קשת אחורית (בדיקה עם‬ ‫משקל מעגל ב‪ -‬הוא ‪.0‬‬ ‫טענה‪ :‬קיים מעגל שנגיש מ‪ -‬ב‪-‬‬ ‫(*) קשת מנתקת (גשר)‪ ,‬קודקוד מנתק‪ ,‬גרף דו קשיר‪ ,‬גרף דו"צ ‪-‬‬ ‫על הגרף‪ .‬החישוב יתבצע לכל‬ ‫תוך כדי הרצת‬ ‫נחשב את‬ ‫קודקוד ברגע שמסיימים לטפל בו (לאחר חישוב ערך שלו)‪ .‬זאת‬ ‫הערות‬ ‫בעזרת‪:‬‬ ‫קשת אחורית בעץ‬ ‫בן של בעץ‬ ‫מציין כמה גבוה ניתן להגיע בעץ ה‪-‬‬ ‫דרך קשת אחורית‪ .‬באיור הימני‪:‬‬ ‫מ‪ -‬או מצאצא שלו‬ ‫‪.‬‬ ‫(*) הגדרה‪ :‬בגרף לא מכוון‪ ,‬קודקוד מנתק הוא קודקוד שהסרתו מנתקת‬ ‫את רכיבי הקשירות שלו‪.‬‬ ‫קיים בן של‬ ‫טענה‪ :‬בגרף לא מכוון‪ ,‬צומת (שאינו שורש) מנתק‬ ‫‪.‬‬ ‫כך ש‪:‬‬ ‫יש לו לפחות ‪2‬‬ ‫טענה‪ :‬בגרף לא מכוון‪ ,‬אם‪ -‬שורש אזי מנתק‬ ‫)‪.‬‬ ‫בנים באותה רמה (כלומר‪ ,‬מקיימים‬ ‫(*) הגדרה‪ :‬גשר בגרף לא מכוון היא קשת שהסרתה מנתקת את רכיבי‬ ‫היא נמצאת על מעגל פשוט‪.‬‬ ‫הקשירות שלה‪ .‬טענה‪ :‬קשת אינה גשר‬ ‫‪.‬‬ ‫ומתקיים‬ ‫בן של ב‪-‬‬ ‫גשר‬ ‫טענה‪:‬‬ ‫אין מעגלים באורך אי‪-‬זוגי‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬גרף לא מכוון הוא דו"צ‬ ‫(*) במעגל מס' הצמתים=מס' הקשתות‪.‬‬ ‫(*) (‪ )2‬גרף לא מכוון וקשיר הוא דו‪-‬קשיר בקשתות (בצמתים) אם אין לו‬ ‫קשתות (צמתים) מנתקות‪ )3( .‬רכיב דו‪-‬קשירות הוא תת‪-‬גרף דו‪-‬קשיר‬ ‫מקסימלי‪.‬‬ ‫אין בו גשרים‪.‬‬ ‫טענה‪ :‬גרף לא מכוון וקשיר ניתן לכיוון לקשיר בחוזקה‬ ‫טענה‪ :‬לכל ‪ 2‬רכיבי דו‪-‬קשירות יש לכל היותר קודקוד משותף אחד‪.‬‬ ‫מסקנה‪ :‬רכיבי הדו‪-‬קשירות מהווים חלוקה של קשתות הגרף‪.‬‬ ‫(*) מוצאים רכיבי דו‪-‬קשירות בדומה לקודקודים מנתקים‪ .‬אלא שלכל‬ ‫נפצל את‬ ‫שאינו שורש בודקים את בניו‪ .‬לכל בן אשר‬ ‫ועותק אחד עבור השאר‪ .‬עבור‬ ‫– עותק אחד עבור הקשת‬ ‫השורש נתאים עותק לכל בן‪.‬‬ ‫תרגילים נוספים‬ ‫‪12‬‬ ‫(*) שאלה‪ n :‬בנים ו‪ n‬בנות‪ .‬כל אחד מכיר ‪ k‬מהמין השני‪ .‬להוכיח שיש‬ ‫זיווג מושלם‪ .‬פתרון‪ :‬נבנה גרף דו"ץ בנים בנות‪ .‬לכל קבוצה ‪A X‬‬ ‫מתקיים |‪ .|)A|<|Γ(A‬נניח בשלילה כי |‪ .|)A|>|Γ(A‬כל בן מכיר בדיוק ‪k‬‬ ‫בנות ולהפך‪ ,‬ולכן‪ ,‬מכל קודקוד ב‪ A-‬יוצאים ‪ k‬קודקודים אל )‪ .Γ(A‬יש‬ ‫‪ |k|A‬קשתות מ‪ A-‬אל )‪ .Γ(A‬דרגת הקודקודים ב‪ Γ(A)-‬היא ‪ .k‬לכן‪ ,‬יש‬ ‫)‪ |k|Γ(A‬קודקודים ממנה אל ‪ .A‬הקשר בין הקודקודים הוא הדדי‪ ,‬ולכן‪,‬‬ ‫הקשתות המחוברות אל קודקודים שב‪ A-‬מוכלות בקבוצת הקשתות‬ ‫המחוברות ל)‪ .Γ(A‬נקבל כי )‪ .|k|A|<k|Γ(A‬כלומר‪ |)A|< |Γ(A| ,‬בסתירה‪.‬‬ ‫מכאן ‪.Hall‬‬