‫מכללת אורט כפר‪-‬סבא‬ ‫מב‪‬י ‪‬תו‪‬ים ויעילות אלגוריתמים‬ ‫תרגיל מס' ‪23‬‬ ‫פתרו את השאלות הבאות‪ .‬יש לסיים את התרגיל עד יום א' )‪.(22.2‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫‪‬תו‪‬ה הרשת הזאת‪:‬‬ ‫הריצו את האלגוריתם של דייקסטרה על הרשת ה‪‬תו‪‬ה‪ ,‬החל מקודקוד המקור ‪ ,1‬ומצאו מסלול‬ ‫מי‪‬ימלי מקודקוד המקור ליתר הקודקודים ברשת הזאת‪.‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫‪‬תו‪‬ה פו‪‬קציית זמן הריצה של אלגוריתם מסויים‪ ,‬הפועל על קלט שגודלו ‪:n‬‬ ‫‪T (n)  2T ( n )  2‬‬ ‫סיבוכיות זמן הריצה של קטע הקוד ה‪‬תון כפו‪‬קציה של ‪ n‬היא‪:‬‬ ‫‪(log log(n)) .1‬‬ ‫‪(log n) .2‬‬ ‫‪ n .3‬‬ ‫‪(log 2 n) .4‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫‪‬תון אלגוריתם המקבל כקלט גרף מכוון‪ ,‬ממושקל וקשיר בחוזקה )‪ G = (V,E‬ומחזיר ‪TRUE‬‬ ‫אם בגרף קיים מעגל מכוון שלילי )כלומר‪ ,‬מעגל מכוון שסכום המשקלים על קשתותיו הוא מספר‬ ‫שלילי(‪ ,‬ו‪ FALSE-‬אם לא קיים בו מעגל מכוון שלילי‪.‬‬ ‫האם‪-‬קיים‪-‬מעגל‪-‬שלילי? )‪(G‬‬ ‫צעד ‪:1‬‬ ‫הרץ את אלגוריתם‬ ‫)‪(1‬‬ ‫על הגרף ‪ G‬החל מקודקוד שרירותי‪,‬‬ ‫ואחסן במשת‪‬ה הבוליא‪‬י ‪ val‬את הערך שהאלגוריתם מחזיר‪.‬‬ ‫צעד ‪:2‬‬ ‫החזר את‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪..‬‬ ‫א‪ .‬השלימו את הביטויים החסרים באלגוריתם‪ ,‬הממוספרים )‪.(2) – (1‬‬ ‫ב‪ .‬מהי סיבוכיות זמן הריצה של האלגוריתם?‬ ‫ג‪ .‬אילו שי‪‬ויים תצטרכו לעשות באלגוריתם אם לא ידוע ל‪‬ו מראש שהגרף ‪ G‬קשיר‬ ‫בחוזקה? תארו את האלגוריתם לאחר השי‪‬ויים‪.‬‬ ‫שאלה ‪) 4‬ממבחן של משרד החי‪‬וך(‬ ‫לפ‪‬יכם הגדרה‪ :‬גשר בגרף לא מכוון וקשיר היא קשת שהסרתה הופכת את הגרף לבלתי קשיר‪.‬‬ ‫מהי הטע‪‬ה שאי‪‬ה ‪‬כו‪‬ה?‬ ‫‪ .1‬קשת אי‪‬ה גשר בגרף לא מכוון‪ ,‬קשיר ופשוט אם ורק אם היא ‪‬מצאת על מעגל פשוט‬ ‫בגרף‪.‬‬ ‫‪ .2‬גרף לא מכוון‪ ,‬קשיר ופשוט ‪‬יתן לכיוון לגרף קשיר בחוזקה אם ורק אם אין בו גשרים‪.‬‬ ‫‪ .3‬קשת בגרף מכוון היא גשר אם ורק אם הקצוות שלה ‪‬מצאים ברכיבי קשירות חזקה‬ ‫שו‪‬ים‪.‬‬ ‫‪ .4‬אף אחת מבין התשובות ה‪‬תו‪‬ות אי‪‬ה ‪‬כו‪‬ות‪.‬‬ ‫שאלה ‪5‬‬ ‫‪‬תו‪‬ים ‪ n‬מפתחות שו‪‬ים זה מזה‪ ,‬השייכים כולם לתחום ]‪) [0,n2-1‬כלומר‪ ,‬כל המפתחות הם‬ ‫מספרים שלמים הגדולים או שווים ל‪ ,0-‬וקט‪‬ים או שווים ל‪ .(n2-1-‬תארו במילים כיצד יעבוד‬ ‫אלגוריתם יעיל הממיין את ‪ n‬המפתחות‪ .‬הי‪‬כם רשאים להיעזר באלגוריתמי מיון ש‪‬למדו בכיתה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שאלה ‪) 6‬ממבחן של משרד החי‪‬וך(‬ ‫שאלה ‪7‬‬ ‫‪‬תון הגרף ‪ G‬הבא‪:‬‬ ‫לפ‪‬יכם שלוש טע‪‬ות המתייחסות לגרף ‪ .G‬קבעו לגבי כל אחת מהן האם היא ‪‬כו‪‬ה או לא‬ ‫‪‬כו‪‬ה‪ ,‬ו‪‬מקו את קביעתכם‪:‬‬ ‫‪ .1‬אם ‪‬פעיל את האלגוריתם של ‪ Dijkstra‬על הגרף ‪ ,G‬למציאת מסלול קצר ביותר בין‬ ‫הקודקודים ‪ A‬ו‪ ,D-‬אז אורך המסלול ש‪‬קבל יהיה ‪.8‬‬ ‫‪ .2‬בגרף ‪ G‬יש לא פחות מארבעה מעגלים פשוטים באורך ‪.4‬‬ ‫‪ .3‬אם ‪‬פעיל את האלגוריתם של ‪ Prim‬למציאת עץ פורש מי‪‬ימלי בגרף ‪ ,G‬ו‪‬בחר את‬ ‫הקודקוד ‪ F‬להיות קודקוד ההתחלה‪ ,‬אז משקל העץ ש‪‬קבל יהיה ‪.10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שאלה ‪) 8‬ממבחן של משרד החי‪‬וך(‬ ‫‪4‬‬ ‫שאלה ‪) 9‬ממבחן של משרד החי‪‬וך(‬ ‫‪5‬‬