פרק ראשון
מדריך למורה לכיתה ה' משתלם בשבר העשרוני לכיתה הטרוגנית חנה מן חיה ברג כל הזכויות שמורות להוצאת "חניה" 03-6742382 03-5708839 אין לשכפל ,להעתיק ,לצלם ,להקליט ,לתרגם ,לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל אמצעי אלקטרוני ,אופטי או מכני, או אחר ,כל חלק שהוא מהחומר ,שבספר זה. שמוש מסחרי מכל סוג שהוא בחומר הכלול בספר זה אסור בהחלט, אלא ברשות מפורשת בכתב מהמו"ל. 2 חובר ע"י ח.מן ח.ברג הדרכה ד"ר נעמי תעיזי קריאה והערות עטרה לבקוביץ- מד"פית ומרכזת מרפ"ד למתמטיקה עיצוב גרפי מירי ברג בצוע גרפי ג .יהודה מונטז' ולוחות "סקלא" דוידוביץ הדפסה וכריכה דפוס רועי הוצאה לאור "חניה בע"מ" הודפס בשנת 1999 3 פרקי הלימוד פרק א' הכרות עם העשרוני10 --------- פרק ב' השוואה בעשרוניים56 --------- פרק ג' מפשוט לעשרוני84 ------------ פרק ד' חיבור וחיסור בעשרוני108 ------ פרק ה' הגדלות והקטנות156 ---------- פרק ו' ממוצע167 --- ---------------- פרק ז' פעולות במספרים גדולים194 ---- פרק ח' פעילויות בחקר נתונים228 ----- לכיתה הטרוגנית חנה מן חיה ברג הספר תואם את תוכנית משרד החינוך בהוראת השבר העשרוני לכיתה ה'. 4 רציונל לספר לימודי המתמטיקה בבית הספר היסודי הם חוליה חשובה ברצף לימודי המתמטיקה המתחיל בגן הילדים והמסתיים עם סיום התיכון. גישת הוראת המתמטיקה בגן הילדים היא גישה סביבתית ,שבסיסה – היכרות עם מושגים מתמטיים מהסביבה הקרובה של הילד ,ופיתוח מיומנויות זיהוי והבחנה בסיסיות. בבית הספר העל יסודי אליו עתיד הילד להגיע לאחר סיום בית הספר היסודי ,הגישה ללימוד המתמטיקה היא מופשטת יותר ,המבוססת על פיתוח מיומנויות העבודה עם אובייקטים מופשטים וסימבולים ,תוך שימוש בכללי היסק לוגיים פורמליים. אי לכך ,לימוד המתמטיקה בבית הספר היסודי מהווה חוליה מקשרת חשובה מאד בהתפתחות היכולת המתמטית של הילד .על העוסקים בחינוך המתמטי של תלמידי בית הספר היסודי לשלב בהוראתם גם את הגישה הסביבתית וגם לתת הקדמה והגדרות מושגים אשר לא יסתרו את הנלמד בהמשך. אחת המטרות המרכזיות של החינוך המתמטי היסודי היא רכישת מיומנויות חישוב ,התפתחות והפשטה הדרגתית של מושג המספר ,פיתוח יכולת להתמודד עם מספרים שאינם טבעיים ,ועם כללי חשבון המבוססים על הפשטה זו. בנוסף לכך ,על תלמידי בית הספר היסודי ללמוד מושגים ומיומנויות גיאומטריות שיאפשרו להם מעבר עתידי לגיאומטריה דדוקטיבית ולתחומים הסמוכים לגיאומטרית המישור כמו גיאומטריה אנליטית, טריגונומטריה ,הנדסת המרחב. כבר בכיתות היסוד על המורים לעשות הרבה כדי ללמד את התלמידים להתבונן ולהשוות ,למצוא את הדומה והשונה ,לנתח ,לבצע הכללה ,הפשטה וקונקרטיזציה. בנוסף לכך ,על תהליך ההוראה בבית הספר היסודי להיבנות מתוך התחשבות בשונות התלמידים בכיתה, בקצב התפתחותם ,בהתפתחותם הלשונית ,הרגשית והשכלית .פירוש הדבר שיש ללמד מתמטיקה במגוון רמות ושיטות כך שניתן יהיה להתאים את ההוראה לצורכי התלמידים המגוונים .בכך ניתן יהיה להימנע מהתפתחות חרדת המתמטיקה ,היחס השלילי אליה כאל מקצוע מעיק ומאיים. הפסיכולוגים טוענים שרכישה מלאה של החומר הנלמד מתקיימת רק כאשר מתאפשרת לתלמיד פעילות עצמית ויישום הנלמד בסיטואציות שונות )ראה למשל . ( Ausubelבנוסף לכך ,התפתחות הידע המתמטי היא בלתי נפרדת מהתפתחות השפה ,הן השפה הדבורה וכתובה של הילד ,והן השפה המתמטית ,על כלליה וסימניה .תהליך זה צריך להשתקף בפעילות יומיומית בשיעורי המתמטיקה :על הילדים לפתח את יכולת הטיעון וההנמקה שלהם ,את יכולת ההבעה המתמטית השקולה ,וליישם אותם גם במתמטיקה וגם מחוצה לה. שיטת הוראה המוצעת בספר זה אמורה לענות על הדרישות האלה .לצורך זה במהלך כל יחידה הנקראת שיעור משולבות דרכי הוראה שונות המאפשרות לתלמידים עם סגנונות למידה שונים להתחבר לנעשה בכיתה.מסגרת זו גם נוחה למורה ככלי לארגון הכיתה ללמידה .כל יחידה -שיעור -בנויה לפי מטרה מוגדרת הנגזרת ממקום החומר הנלמד ברצף הלמידה .ללא תלות בתכני הלימוד של היחידות ,לכולן מבנה דידקטי אחיד. 5 :שלבי ההוראה המקובלים בספר . פעילות קצרה לאזכור ולרענון החומר הנלמד:פינג – פונג . סיטואציה חדשה קלה+ תרגול ישיר:עבודה בקבוצות . הקנייה שיטתית מורחבת, קישור והעמקה של החומר הנלמד:פעילות המורה בשלב זה מוצעות משימות המיועדות לאוכלוסיות שונות של, תרגול של החומר הנלמד:למידה יחידנית .תלמידים .שיעורי הבית :ביבליוגרפיה . חיפה, אח, למידה שיתופית בכיתה.(1987) . א, פוקס,. ר,' לזרוביץ- הרץ.1 . יהודה- אבן, רכס, שיטות הוראה לכיתה הטרוגנית.(1994) .ר, ארי- בן,. י,' ריץ.2 Routledge Dunne, E., Benett, S.N. (1995). Talking and learning in groups. London: .3 הטכניון. הילה והוראת הגיאומטריה- תאורית ואן.(נ1996) ,( נ' )עורכת, דורמולן אברהמי- ואן.4 . חיפה, התרבות והספורט,ומשרד החינוך .()דוח מחקר TIMSS 1999 המחקר הבינלאומי במתמטיקה ובמדעים.(2000) . ר, זוזובסקי.5 Available: http://wwwl.education. Gov.il/scientist/times.htm .6 . אביב- תל, מכון מופ"ת. מתמטיקה – מחקר והוראה.(1996) ,. ד, תירוש.7 8. Ausubel, D.P. (1968). Educational Psychology: A cognitive view. New York: Holt, Rinehart, and Winston. 9. Ball, D.L. & Bass, H. (2000a). Interweaving content and pedagogy in teaching and learning to teach: Knowing and using mathematics. In J. Boaler (Ed.), Multiple perspectives on the teaching and learning of mathematics (pp. 83 – 103) Greenwich, CT: JAI/ Ablex. 10. Ball, D.L. & Bass, H. (2000B). Making believe: The collective construction of public mathematical knowledge. In the elementry classroom. In D. Phillips (Ed.), Yearbook of the National Society for the Study of Education. constructivism in education (pp. 193 – 224). Chicago: University of Chicago Press. 6 הכרות עם הספר בספר סמלים ,המחלקים את השיעור ובונים אותו. עבודה בקבוצות עבודה בשיתוף עם המורה עבודה יחידנית ,פרטנית "פינג – פונג" לאזכור ולרענון משחק שעורי בית להלן הסמלים ,המופיעים בעבודה היחידנית ובשעורי הבית. משימה קלה משימה קשה משימה המיועדת לכולם משימה לא קשה כל כך משימה לא קלה כל כך משימה בינונית 7 הקדמה מאין באו המספרים העשרוניים? החישובים עם שברים פשוטים הופכים להיות מאוד מורכבים ומסובכים ברגע שהמכנה של השבר קצת גדל .הבעיה העיקרית במקרה זה היא ,כמובן ,מציאת מכנה משותף .בעיה זו נובעת מכך שהמכנים יכולים להיות מספרים כלשהם אשר אין שום שיטתיות בבחירתם .מכאן בא הניסיון לבחור את המכנים לא באופן שרירותי אלא באופן שיטתי ומכוון. לרעיון של המספרים העשרוניים הגיעו מתמטיקאים בזמנים שונים באסיה ובאירופה. היווצרות והתפתחות השברים העשרוניים במספר מדינות באסיה הייתה קשורה עם מדע על המידות והמדידות .כבר במאה השנייה לפני הספירה עבדו האנשים עם מערכת עשרונית של מדידות אורך. במאה השלישית לפני הספירה ,בערך ,התפשטה צורה זו של מדידות גם במדידות משקל ונפח ,אז נוצר המושג של השבר העשרוני ,אך הוא היה צמוד רק לתורת המדידות .כלומר ,בהתחלה היו השברים העשרוניים כשברים קונקרטיים :כעשירית ,מאית וכו' של מידות גדולות יותר .רק בשלב מאוחר יותר התחילו המספרים העשרוניים את החיים העצמאיים. השימוש בנקודה העשרונית כסימן להפרדה בין החלק השלם לבין החלק השברי נוצר בעקבות המתמטיקאים של סין העתיקה .בסין הפרידו בין שני החלקים של המספר העשרוני באמצעות אחד הסימנים בכתב החרטומים שמשמעותו "נקודה" .אבל גם בסין העתיקה בימי קדם ובימי הביניים לא הייתה עצמאות מתמטית למספרים העשרוניים ,הם היו בדרך זו או אחרת קשורים לתורת המידות והמדידות. תוקף ומשמעות מתמטית טהורה מקבלים המספרים העשרוניים בשנות ה 20 -של המאה ה15 - בעבודותיו של מתמטיקאי מפרס אל -קשי )(Jamshid Masud al- Kashi ללא שום קשר לעבודותיו של אל -קשי בשנות ה 80 -של המאה ה" 16 -התגלו" המספרים העשרוניים מחדש באירופה על ידי מתמטיקאי סימון סטבין ) ( Stevin Simonמנידרלנד. גם באסיה וגם באירופה המתמטיקאים הגיעו למספרים העשרוניים לפי האנלוגיה עם השברים על בסיס ספירה 60וכך פיתחו תיאוריה של מספרים עשרוניים. בספר זה יכירו התלמידים את המספרים העשרוניים. הכרת המספרים העשרוניים היכרות ראשונה עם מספרים עשרוניים על פי תוכנית הלימודים נעשית בכיתה ה' .בכיתה זו על הילדים להכיר את המספרים העשרוניים כמקרה פרטי של השברים הפשוטים כלומר כדרך לרישום שבר שמכנהו .10nעל התלמידים להבין כי שני התנאים המאפיינים את השבר העשרוני הם: .1שבר שמכנהו . 10n .2שבר שרשום בצורה מסוימת לדוגמה.0.234 : 8 היתרון הגדול של המספרים העשרוניים הוא הרישום שלהם באמצעות שיטת הפוזיציה .רישום כזה מאפשר להשתמש באלגוריתמים נוחים יותר לשימוש מאשר האלגוריתמים המיועדים לשברים פשוטים. על פי תוכנית הלימודים החדשה על התלמידים בכיתה ה': .1להבין את המשמעות של השבר העשרוני .התלמידים ידעו לרשום שברים עשרוניים במילים ובספרות ולזהות ערך של כל סיפרה. .2לדעת להפוך שבר עשרוני לשבר פשוט. .3לדעת להפוך שבר פשוט לשבר עשרוני ,כאשר השבר העשרוני שמתקבל הוא שבר עשרוני סופי. .4לדעת לפעול עם סדרות של מספרים עשרוניים. .5לדעת לחבר ,לחסר ולהשוות שברים עשרוניים בכתב ובעל פה ,וכן לאמוד תוצאות של פעולות החיבור והחיסור. בהוראת הנושא "שברים עשרוניים" נעשה במהלך הלימוד שימוש רחב באמצעי המחשה .אמצעי המחשה אילו מוכרים לילדים מהשלבים הראשונים של לימוד המבנה העשורי בשני אמצעים עיקריים: א .חשבוניה עשרונית שיש בה נקודה עשרונית. ב .משבצונים אמצעים אילו מודגמים בספר במהלך הלימוד בספר ונמצאים בכרטיסים המוגדלים שבמארז למורה. 9 הכרות עם העשרוני תוכן הענינים שיעור 1כל מיני ריבועים14-------------- שיעור 2מתחזקים בחזקות19 ------------ שיעור 3משבצונים עשוריים25----------- שיעור 4 שיעור 5 שיעור 6 שיעור 7 שיעור 8 שיעור 9 10 חשבוניות עשוריות30 ----------- ארבעוני בארץ הפלאות34 -------- ספורה של נקודה39------------- מי אני ומה שמי43-------------- ועוד על שמי48----------------- אחד אפס לטובת52 ------------- הכרות עם העשרוני פרק א' דרישת תוכנית הלימודים: כתיבת מספרים עשרוניים בשיטת הפוזיציה :ערכיה השונים של הסיפרה נקבעים לפי מקומה במספר. תפקידה של הנקודה העשרונית בכתיבת מספרים עשרוניים. תפקידו של האפס בכתיבת מספרים עשרוניים. תיאור מספרים עשרוניים בצורות שונות :בהצגה סימבולית ,גרפית ומילולית. זיהוי ערך הסיפרה במספר עשרוני. קריאת מספרים עשרוניים כשברים שמכניהם 1,000 ,100 ,10 :וכו'. מעבר משבר עשרוני לשבר פשוט. מטרות: לחזור על פעולת העלאה בחזקה כהכנה לכתיבת מספרים לפי הסידרה היסודית בשיטת הפוזיציה. לחזור על המבנה העשורי של המספרים הטבעיים. להבין את המשמעות של המספרים העשרוניים. לדעת לכתוב מספרים עשרוניים. לדעת להרכיב מספרים עשרוניים מספרות נתונות. לפתח יכולת לזהות ערך של כל סיפרה במספר עשרוני. לדעת להציג מספרים עשרוניים בדרכים שונות. לדעת לכתוב מספרים עשרוניים כשברים פשוטים שמכניהם 100 ,10 :או .1,000 להתנסות בחיבור מספרים עשרוניים בדרך אינטואיטיבית ובעזרת עצמים מוחשיים. להתנסות בביצוע משימות חקר ובהכללת חוקיות של תהליך. בתום שיעורים אלה על התלמידים: לדעת לקרוא ולכתוב מספרים עשרוניים. להשתמש בייצוגים שונים של מספר עשרוני. להכיר מושגים ,כמו :מספר עשרוני ,סיפרה ,עשיריות ,מאיות ,סידרה יסודית ועוד. לשלוט במעבר משבר עשרוני לשבר פשוט שמכנהו 10או חזקותיו. 11 מהם המספרים העשרוניים? מספרים עשרוניים אילו שברים שמכנה השבר שלהם הוא חזקה של המספר ,10לדוגמה: 32567 500 60 7 5 6 7 = 32+ + + = 32 + + + 1000 1000 1000 1000 10 100 1000 = 32.567 מקובל לקרוא למספר הקטן מ 1 -בשם שבר עשרוני ולמספר הגדול מ – 1בשם מספר עשרוני. כיצד רושמים מספרים עשרוניים? נדגים את המספר . 23.5678במספר זה הערך של הסיפרה 2הוא עשרות ,הערך של הסיפרה 3הוא יחידות ,ערך של מקום היחידות קטן פי 10ממקום שמשמאלו .לפיכך ,הערך של המקום הבא מימין יהיה קטן פי 10מהערך של מקום היחידות .כלומר ,משמעותה של הסיפרה 5במספר זה היא עשיריות. כדי לשיים את המקומות הבאים ימינה ,נוסיף את הסיומת "-יות" :עשיריות ,מאיות ,אלפיות. כיצד קוראים נכון מספרים עשרוניים? בעברית קימות מספר דרכים לקריאה נכונה של מספרים עשרוניים ,נדגים אותן במספר העשרוני .32.678 א. 32.678אפשר לקרוא כ"שלוש שתיים נקודה שש שבע שמונה". ב. 32.678אפשר לקרוא כ"שלושים ושתיים נקודה שש מאות שבעים ושמונה". ג. 32.678אפשר לקרוא כ"שלושים ושניים שלמים ושש מאות שבעים ושמונה אלפיות". ד. 32.678אפשר לקרוא כ"שלושים ושניים שלמים 6עשיריות 7 ,מאיות ו 8 -אלפיות". אנו ממליצים לחשוף את הילדים לכל השיטות .אם כי ,קריאת מספרים עשרוניים לפי שיטה ד' מקלה יותר על הבנת משמעותם. כפי שכבר נאמר ,זו הפעם הראשונה שהילדים מכירים את המושג "שבר עשרוני" .לימוד המושג נעשה לאחר שהילדים למדו כבר היטב את השיטה העשרונית בכיתות א' – ה' והכירו את השברים הפשוטים בכיתות ג' – ה' .עקב זה אנו מדגישים במהלך הפרק את שתי המשמעויות של המספר העשרוני :את המשמעות לפי שיטת הפוזיציה ואת משמעותם כשברים. הבנת מבנה זה של המספר העשרוני חשובה ביותר מכיוון שהיא מאפשרת התמודדות קלה יותר עם פתרון בעיות הקשורות למספרים עשרוניים. לאור זה רזניק ,נשר ואח' ) (Leonard, Magone, Omanson and Peled, 1989 Resnick, Nesher מציעים להקפיד על קריאת מספרים עשרוניים בדרך ד' .דרך קריאה זו תסייע לתלמידים בהשוואת מספרים עשרוניים ובביצוע פעולות חשבון איתם. 12 הרחבה וצמצום של מספרים עשרוניים המספר העשרוני אינו משנה את גודלו כאשר מוסיפים לו אפסים בצידו הימני. דוגמה12.7 = 12.70 = 12.700 =... : וכן ההפך ,מספר עשרוני אינו משנה את גודלו כאשר מוחקים ממנו אפסים בצידו הימני. דוגמה: 0.0083000 = 0.008300 = 0.00830 = ... המשמעות של שתי תכונות אלו היא הרחבה וצמצום המוכרים לתלמידים משברים פשוטים. דוגמאות: 7 70 700 = 12 = 12 =.... 10 100 1000 וגם 12 83000 8300 830 = = =... 10000000 1000000 100000 13 כל מיני ריבועים -פרק א' שיעור 1 פעילות חקר לאזכור נושא החזקות יעדים: ליצור עניין וחוויה ע"י שילוב משימת חקר לאזכור פעולת העלאה בחזקה. לחקור את הקשר שבין ריבוע של מספר נתון לבין מכפלת המספר הקודם לו במספר העוקב לו. לבסס מושגים ,כמו :מספר קודם ,מספר עוקב ,מספר ריבועי. לטפח יכולת לגלות חוקיות בעזרת שרטוטים. לפתח יכולת הכללה. לחקור את הקשר שבין העלאת מספר לחזקת 3לבין מכפלת מספר זה במספר הקודם לו ובמספר העוקב לו. מיני שיעור: הפעילות זמן משוער פינג פונג 5דקות פעילות קבוצתית 30דקות פעילות מורה 10דקות אביזרי השיעור 5כרטיסי משבצות להדגמה על הלוח. 5כרטיסי מספרים בידי הקבוצות. 14 מחשבון. 3כרטיסי ריבועים )מבריסטול( ו3 - כרטיסי מלבנים )משקף( להדגמה על הלוח. 4כרטיסי משוואות להדגמה על הלוח. הספר פותח את הוראת השבר העשרוני בחזרה על המבנה העשורי בשלמים ,במטרה לבסס את קביעת ערך הסיפרה על פי מקומה במספר. הפוזיציה בשיטה העשורית בנויה על ה 10 -וחזקותיו ,כיון שבמהלך העיסוק בחומר זה נתקלים התלמידים במושג החזקה ובחישובים בחזקות ,יש צורך לרענן את הזיכרון בנושא החזקות. שני השיעורים הראשונים ,הפותחים את פרק א' -הכרת השבר העשרוני ,נותנים מענה לצורך זה .בשני שיעורים אלו עוסקים בנושא החזקות תוך כדי פעילות במשימות חקר מעניינות ומאתגרות. על פעילות הפינג -פונג: .1השיעור נפתח ב"פינג –פונג" -פעילות קצרה עם המורה לאזכור ולרענון חומר ידוע .המורה מציג על גבי הלוח 5כרטיסים ריבועיים המחולקים למשבצות .מספר המשבצות בכל ריבוע מציין את שטח הריבוע. בידי כל קבוצה 5כרטיסי מספרים המתאימים לשטחי הריבועים המוצגים .התלמידים ירימו כרטיס מספר המתאים לשטח הריבוע המוצג בכל פעם. לדוגמה :לריבוע המוצג על הלוח מתאים הכרטיס 9 סעיף א' :התלמידים יציינו את מספר המשבצות שבאורך כל אחד מהריבועים המוצגים על הלוח. סעיף ב' :התלמידים ירימו כרטיס מספר המתאים לשטח הריבוע המוצג בכל פעם. סעיף ג' :המספר 64הוא מספר ריבועי המציין שטח של ריבוע שאורכו 8יחידות אורך .לא כל המספרים הם מספרים ריבועיים. סעיף ד' :המורה ישוחח במליאה על אודות המספרים הריבועיים ויבהיר לתלמידים ,כי רק מספרים שהם מכפלה של מספר בעצמו נקראים מספרים ריבועיים .מומלץ לבדוק אם התלמידים מזהים במהירות את המספרים הריבועיים בתחום ה.100 - על הפעילות הקבוצתית: .2בפעילות הקבוצתית בשיעור זה חוקרים התלמידים את הקשר שבין ריבוע של מספר לבין מכפלת המספר הקודם לו במספר העוקב לו .במשימה מכוונים את התלמידים לבחור מספר כלשהו ולפעול לפי ההוראות .מותר להשתמש במחשבון. סעיף א' :יש לבחור מספר כלשהו ,לכפול אותו בעצמו ולרשום את המכפלה שהתקבלה. 15 סעיף ב' :יש לרשום את המספר הקודם לספר שנבחר ואת המספר העוקב לו ולכפול ביניהם. סעיף ג' :יש לבחור מספר נוסף ולחזור על הפעולות שבצעו בסעיפים א' ו-ב' פעם נוספת. סעיף ד' :יש לנסות להצביע על קשר בין שתי המכפלות שהתקבלו בכל פעם .התלמידים יגלו כי מכפלת מספר בעצמו גדולה ב 1 -ממכפלת המספר הקודם לו במספר העוקב לו. דוגמה :בבחירת המספר 9יש לפעול כך: מכפלת המספר בעצמו9× 9=81 : מכפלת המספר הקודם במספר העוקב 8 × 10=80 : המספר 81גדול ב 1 -מהמספר .80 סעיף ה' :בסעיף זה יסיקו התלמידים כי כאשר ידועה מכפלת מספר כלשהו בעצמו ,ניתן לדעת ללא חישוב ,מהי מכפלת המספר הקודם לו במספר העוקב לו. סעיף ו' :סעיף זה מלווה בשרטוט הממחיש מדוע מתקבל הפרש 1בכל המקרים שנבדקו. כאשר מכסים שטח של ריבוע ע"י מלבן שאורכו גדול ב -1ס"מ מצלע הריבוע ורוחבו קטן ב 1 -ס"מ מצלע הריבוע ,מתברר ,כי מספר המשבצות בריבוע שלא כוסו ע"י המלבן גדול ב1 - ממספר המשבצות במלבן שלא כוסו ע"י. דוגמה :נתון ריבוע שאורך צלעו 3ס"מ ,ושטחו 9סמ"ר. יש לכפול מספר הקטן ב 1 -מ 3 -במספר הגדול ממנו ב .1 -ניתן להציג מכפלה זו במלבן שאורכי צלעותיו הם 2 :ס"מ ו 4 -ס"מ ושטחו 8סמ"ר .בהנחת המלבן על הריבוע רואים כי מספר משבצות הריבוע שמחוץ למלבן גדול ב 1 -ממספר משבצות המלבן שנמצאות מחוץ לריבוע. ובשרטוט: הריבוע המלבן ובתרגיל2 × 4 = 3 × 3 - 1 : הנחת המלבן על הריבוע או 2 × 4= 32 - 1 סעיפים ז' וח' :מיועדים לקבוצות הזריזות שהגיעו עד שלב זה בטרם החליט המורה על הפסקת הפעילות הקבוצתית .בסעיפים אלו יש לבדוק שרטוט נוסף וכן להגיע להכללה עפ"י הדוגמאות. 16 .3גם פעילות זו מיועדת לקבוצות הזריזות או לכיתות טובות במיוחד. בפעילות זו יחקרו התלמידים את הקשר שבין העלאת מספר לחזקת 3לבין מכפלת אותו מספר במספר הקודם לו ובמספר העוקב לו .החקירה תוביל למסקנה כי ההפרש בין המכפלות שהתקבלו הוא המספר בעצמו. דוגמה :נבחר את המספר .4 4 × 4 × 4 = 64 המספר העוקב × 5 = 60 או 43 = 64 המספר הקודם 3×4 ההפרש בין המכפלות הוא .4 3 × 4 × 5 = 43 - 4 על פעילות המורה: .4בפעילות הקישור יש להציג על הלוח 3כרטיסים ריבועיים ועליהם שקפים של מלבנים כדוגמת הכרטיסים שבספר. סעיף א' :המורה יכוון את התלמידים למצוא את שטח הריבוע המוצג בכל פעם ואת שטח המלבן התואם לו ,וידון בקשר בין התוצאות שהתקבלו. מומלץ לשרטט את הכרטיסים הריבועיים על בריסטול צבעוני ולהדביקם על רקע לבן .את שקף המלבן יש לצבוע בצבע שונה מצבע הריבוע כדי שהמשבצות העודפות יבלטו. סעיף ב' :בדיקה נוספת המובילה למסקנות שהוסקו .בסעיף זה יש לבדוק את המספר הריבועי .49 שטח הריבוע 49 :סמ"ר שטח המלבן התואם 48 :סמ"ר צלע הריבוע 7 :ס"מ אורך המלבן 8 :ס"מ רוחב המלבן 6 :ס"מ סעיף ג' :סעיף זה תואם למשימה מס' 3ויש להציגו במליאה רק אם התלמידים עסקו בה .במשימה זו יש להשלים את המספרים החסרים ולדון בקשר שבין העלאת מספר לחזקה שלישית לבין הכפלתו במספר הקודם לו ובמספר העוקב לו. 17 על שיעורי הבית: רמת הפעילות פרוט הפעילות משימה – 1תרגול בהעלאה בחזקה ובקשר בין ריבוע המספר לבין מכפלת המספר הקודם למספר העוקב. דוגמה11 2 = 121 : משימה המיועדת לכולם מכפלת המספר הקודם לו במספר העוקב לו. 10 × 12 = 120 משימה – 2במשימה זו יש "הפיכות" למשימה מס' .1יש למצוא את המספר החסר לפי הריבוע הנתון. דוגמה :נתון המספר הריבועי .100 יש להשלים 10 2= 100 משימה בינונית מכפלת המספר הקודם לו במספר העוקב לו היא: 9 × 11 =99 משימה - 3במשימה זו יש למצוא את המספר החסר לפי הריבוע הנתון. המספרים במשימה זו גדולים יותר מהמספרים שניתנו במשימות הקודמות וע"כ המשימה מדורגת כקשה. דוגמה :נתון המספר הריבועי 196יש להשלים14 = 196 : 2 בעזרת ריבוע זה ניתן להשלים את גורמי המכפלה של .195 13 × 15 = 195 18 משימה קשה מתחזקים בחזקות -פרק א' שיעור 2 פעילות חקר בנושא החזקות יעדים: ליצור עניין וחוויה ע"י שילוב משימת חקר לאזכור פעולת העלאה בחזקה. לחקור את הקשר בין ריבוע נתון לבין מספר המשבצות הקטן ביותר שיש להוסיף לו כדי לקבל ריבוע גדול יותר. לדעת לכתוב חזקות כמכפלה של גורמים שווים. לדעת לכתוב מספרים ריבועיים בכתיב החזקות. להבין כי פעולת העלאה בחזקה אינה מקיימת את חוק החילוף. לפתח יכולת הכללה ,הנמקה והצדקה. מיני שיעור: הערה :שיעור זה עמוס בפעילויות ,על כן כדאי ללמדו בשני שיעורים רצופים או לחלקו לשני שיעורים נפרדים. הפעילות זמן משוער פעילות קבוצתית 25דקות פעילות מורה 15דקות פעילות קבוצתית 7 – 10דקות משחק 15 – 20דקות פעילות יחידנית 10 – 15דקות אביזרי השיעור 8כרטיסי ריבועים כדוגמת הכרטיסים שבספר בידי הקבוצות. 10כרטיסי תרגילים להדגמה על הלוח. 19 12כרטיסי משחק דו צדדיים לגזירה מסוף הספר. בפעילות יחידנית מס' 8מומלץ להעזר במחשבון. על הפעילות הקבוצתית: .1בשיעור זה המטרה לבסס את נושא החזקות תוך כדי עיסוק במשימת חקר גדולה .במהלך הפעילות ירכשו התלמידים ידע חדש לצד התרגול בנושא החזקות. מומלץ למורה לכוון את התלמידים בביצוע הסעיף הראשון של המשימה הקבוצתית ,כדי להבטיח זרימה טובה של המשך המשימה. סעיף א' :פעילות החקר במשימה זו פותחת בהכוונה לנסות להוסיף מספר קטן ביותר של משבצות למשבצת אחת נתונה ,כדי לקבל ריבוע גדול יותר .כדאי להעזר בשרטוט שבספר או במשבצות המחברת. התלמידים יגלו כי יש להוסיף מינימום 3משבצות למשבצת הנתונה כדי לקבל ריבוע גדול יותר .שטחו של הריבוע החדש הוא 4משבצות. סעיף ב' :יש להוסיף עוד 5משבצות כדי לקבל את הריבוע הבא. שטחו של הריבוע החדש 9משבצות. סעיף ג' :לריבוע שלו 9משבצות יש להוסיף עוד 7משבצות ,כדי לקבל ריבוע גדול יותר .לריבוע שלו 16 משבצות יש להוסיף 9משבצות כדי לקבל ריבוע גדול יותר. סעיף ד' :בשלב זה מפנים את תשומת ליבם של התלמידים לחוקיות שקיימת במספר המשבצות שיש להוסיף לריבוע נתון כדי לקבל ריבוע גדול יותר. בסעיף זה יש דיון בין איתמר לאסף במטרה לסייע לקבוצות שלא הגיעו לגילוי החוקיות בכוחות עצמם. סעיף ה' :בסעיף זה מוצגים 4ריבועים ותרמילון מספרים. יש לבחור מן התרמילון מספר שמציין את מספר הריבועים הקטן ביותר שיש להוסיף לכל שירטוט כדי לקבל ריבוע גדול יותר. 20 דוגמה :לריבוע מספר 3יש להוסיף 7משבצות כדי לקבל ריבוע גדול יותר. באופן כללי ניתן לתאר זאת כך: – Xמציין את מספר המשבצות לאורך צלע הריבוע. תבנית המספר המתאימה לתאור מספר המשבצות שיש להוסיף כדי לקבל ריבוע גדול יותר היא: 2X+1 לדוגמה :מספר המשבצות לאורך הצלע של הריבוע הנתון הוא .16מספר המשבצות שיש להוסיף הוא: 2×4+1=9 בשלב זה של השיעור ניתן להפסיק את הפעילות הקבוצתית ולעבור לפעילות הקישור שנערכת ע"י המורה .באופן כזה יש סיכוי שהזמן הנותר מהשיעור יספיק גם לביצוע המשחק וגם לתרגול היחידני. סעיף ו' :בסעיף זה יש לגלות את הקשר שבין סכום מספרים אי זוגיים עוקבים לבין מספר המשבצות הקטן ביותר שיש להוסיף לריבוע נתון כדי לקבל ריבוע גדול יותר. דוגמה: מספר המשבצות 1+3=4 מספר המשבצות מספר המשבצות בריבוע הנתון שהוספנו בריבוע הגדול וכן הלאה 1 + 3 + 5 = 9 :כלומר :לריבוע שלו 4משבצות )שהתקבל לאחר התוספת הראשונה ( יש להוסיף 5משבצות כדי לקבל ריבוע גדול יותר. סעיף ז' :הדיון בסעיף זה בא לבדוק האם גילו התלמידים את הקשר בין מספר המשבצות באורך צלע של ריבוע נתון לבין מספר המשבצות שיש להוסיף כדי לקבל ריבוע גדול יותר. טענתם של חגי ושל נחום צודקת. 21 סעיף ח' :תלמידים שהסיקו את המסקנה המתבקשת בסעיף הקודם יוכלו לבצע בקלות את הנתון בסעיף זה. 2 דוגמה :לריבוע ששטחו 100יש להוסיף , 2 × 100 + 1 :כלומר 201משבצות. על פעילות המורה: בפעילות הקישור יחלק המורה לכל קבוצה אחד מכרטיסי הריבועים כדוגמת הכרטיסים שבספר .כמו כן, יש להצמיד ללוח 8כרטיסים ועליהם תרגילים. בשלב הראשון יש לכתוב תרגיל שמבטא את שטח הריבוע הנתון בכל קבוצה. דוגמה :נתון הריבוע לריבוע זה מתאים התרגיל3 2 = 9 : ריבוע זה יש להצמיד לכרטיס: 2 3 +7 המתאר את מספר המשבצות בריבוע שיתקבל מהוספת מספר קטן ביותר של משבצות. בפעילות המורה יש להדגיש את ההבדל בין הגדלת מספר פי 2לבין העלאת מספר לחזקת .2 על הפעילות הקבוצתית: .3פעילות קצרה המדגישה כי העלאה בחזקה היא צורה מקוצרת של כפל גורמים שווים. על המשחק: .4משחק "מלפנים ומאחור" אביזרי המשחק :כרטיסים דו צדדיים לגזירה מסוף הספר. מומלץ לבקש מהתלמידים לגזור את הכרטיסים בבית ,שאם לא כן יהיה צורך להקדיש ליחידת לימוד זו שיעור נוסף. המשחק מתנהל בין כל זוג תלמידים לפי ההוראות שבספר. 22 על הפעילות היחידנית: רמת הפעילות פרוט הפעילות משימה – 5במשימה זו תרגילי כפל שלהם גורמים שווים .יש לכתוב אותם בכתיב החזקות ולפתור. משימה המיועדת לכולם דוגמה2 × 2 × 2 × 2 =2 4= 16: משימה – 6במשימה זו יש "הפיכות" למשימה הקודמת .יש לכתוב את החזקות הנתונות כמכפלה של גורמים שווים ולפתור. דוגמה10 = 10 × 10 × 10 = 1,000 : משימה המיועדת לכולם 3 משימה – 7במשימה זו נתונים מספרים ריבועיים בתחום המאה .יש למצוא את שרשם בדרך משימה לא כ"כ קשה אינטואיטיבית. דוגמה81 =9 2: משימה – 8במשימה זו נתונים מספרים .יש לכתוב אותם בכתיב החזקות .בחלק מהמקרים יש יותר מאפשרות אחת נתונה. דוגמה :נתון המספר 16 16 = 4 2 , 2 4 משימה זו מיועדת לתלמידים טובים בלבד. 23 משימה קשה על שיעורי הבית: רמת הפעילות פרוט הפעילות משימה – 1פעילות המבססת את משמעות פעולת העלאה בחזקה ככתיב מקוצר לכפל של גורמים שווים .יש לצבוע את המשבצות בהן כתובה טענה נכונה. משימה המיועדת לכולם בצביעה נכונה מתקבל השם :דן. משימה – 2פתרון תרגילי כפל שלהם גורמים שווים .יש למתוח קו בין תרגיל לפתרונו. משימה לא כ"כ קשה משימה – 3משימה זו מבססת אצל הלומדים את הידיעה כי פעולת העלאה בחזקה אינה מקימת את חוק החילוף. משימה זו נחשבת כקשה כיון שתלמידים נוטים להכיל את משימה קשה החוקים המתקיימים בכפל על פעולת העלאה בחזקה. משימות – 4,5,6משימות אלו נועדות לבסס את החקירה שהייתה בפעילות הקבוצתית. המשימות מיועדות לתלמידים טובים במיוחד .יש לכוון את משימות בינוניות עד קשות התלמידים הטובים לפתור משימה אחת או שתים מבין שלושת המשימות המוצעות. הערה :בשיעור מס' 3ישתמשו ב"משבצון עשר" .מומלץ לבקש מהתלמידים להכין ערכה זו כמפורט במדריך לשיעור .3 24 משבצונים עשוריים -פרק א' שיעור 3 המבנה העשורי של המספרים הטבעיים הצגה גרפית של המספרים בעזרת מודל המשבצונים יעדים: להכיר את "משבצון עשר" כמודל להצגה גרפית של מספרים בשיטה העשורית. לדעת לעבור מהצגה סימבולית להצגה גרפית של מספרים. לדעת לעבור מהצגה גרפית ) מודל המשבצונים ( להצגה סימבולית של המספרים. להבין את הערך הכמותי של מספרים בשיטה העשורית בעזרת מודל המשבצונים. לגרות את הסקרנות והענין ע"י שימוש במשחק. להעשיר את השימוש במושגים מתמטיים ,כמו :מספר חד ספרתי ,מספר דו ספרתי ,סכום ספרות. מיני שיעור: אביזרי השיעור הפעילות זמן משוער פעילות מורה 10דקות משחק 10דקות 24כרטיסי משבצונים להדגמה על הלוח. פעילות קבוצתית 10דקות משבצונים עשוריים. פעילות מורה 10דקות פעילות יחידנית 5דקות כרטיס גדול של "משבצון עשר" להדגמה על הלוח. מומלץ להשתמש גם באביזרים מוחשיים תואמים. "משבצוני עשר" 15 -משבצות 19 ,שורות ו 4 -שורות בידי כל קבוצה. 7כרטיסי משבצונים בידי הקבוצות. 8כרטיסי משפטים להדגמה על הלוח. 25 על פעילות המורה: המספרים העשרוניים הם הרחבה של עולם המספרים השלמים .אי לכך הכרת המספרים העשרוניים מתבססת על הבנת המבנה העשורי בשלמים ויש צורך לחזור ולבסס את הנושא. שיעורים 3ו 4 -נותנים מענה לצורך זה. שיעור מס' 3פותח בפעילות עם המורה שמטרתה לאזכר חומר שנלמד בהכרת המספרים הטבעיים. המורה מציג במליאה את "משבצון עשר" הכולל :לוח ,טור ומשבצת. לוח -ריבוע המחולק ל 100 -משבצות ומייצג את המאות. טור ) או שורה ( -עשר משבצות המייצגות את העשרות. משבצת -משבצת אחת המייצגת את היחידה. מומלץ להשתמש באביזרים מוכנים מחדר המתמטיקה .אם אין אביזרים מוכנים ,או בתוספת להם יש להכין לתלמידים דפי בריסטול המחולקים למשבצות של 1סמ"ר ולבקש מהתלמידים לגזור 4לוחות19 , שורות ו 19 -משבצות .מורה שאין ברשותו אביזרים מתאימים מחדר המתמטיקה יכין לעצמו ערכת משבצונים בגודל המתאים ,להדגמה על גבי הלוח. סעיף א' :בפתיחת השיעור יש להציג את "משבצון עשר" ולרענן את זכרונם של התלמידים על אודותיו. התלמידים נפגשו עם ערכה זו כאשר למדו על המספרים בתחום המאה ,האלף ויותר .המורה ידגים מספר בעזרת המשבצונים. דוגמה :את המספר 135מציגים בעזרת לוח אחד 3 ,שורות ו 5 -משבצות. את המספר 403מציגים בעזרת 4לוחות ו 3 -משבצות. מספר זה אפשר להדגים ללא טורים כיון שספרת העשרות שלו היא אפס. התלמידים יציגו את המספרים הנוספים בעזרת המשבצונים. סעיף ב' :בסעיף זה יש הפיכות .המורה יציג כרטיסי משבצונים כמודגם בספר ,ויבקש מהתלמידים לקבוע איזה מספר מודגם בכל פעם. יש להדגיש לתלמידים כי בעזרת 9לוחות 9 ,טורים ו 9 -משבצות ניתן להדגים מספרים שלמים עד .999כדי להדגים את ה 1,000משתמשים בקוביה .רצוי להדגיש כי מודל המשבצונים מייצג את הערך הכמותי של המספרים ולכן ניתן להשתמש גם ב 10 -לוחות להדגמת האלף ,או ב20 - לוחות להדגמת אלפיים וכדו' .כמו כן ,חשוב לציין כי סדר הנחת המשבצונים אינו משנה את ערך המספר וגם אם נניח 8טורים 4 ,לוחות ו 2 -משבצות יהיה זה יצוג למספר 482ולא .842 26 על המשחק: לאחר שהובן השימוש במודל המשבצונים יערך משחק כיתתי "בינגו משבצונים". הוראות המשחק: .Iכל תלמיד יבחר 16מספרים כרצונו ,ממאגר המספרים שבספר וישבץ אותם באקראי בלוח הריק שבספר. .IIהמורה יציג בכל פעם את אחד מכרטיסי המשבצונים כדוגמת הכרטיסים שבספר .תלמיד שבלוח המספרים שלו מופיע מספר המתאים לכרטיס שהדגים המורה ,ימחק את המספר מהלוח ) או יסמן אותו (. תלמיד שמחק ראשון טור ,שורה או אלכסון יכריז "בינגו" והוא המנצח. על הפעילות הקבוצתית: בפעילות הקבוצתית יש להציג משבצונים עשוריים המתאימים להיגדים שבספר .כיון ,שבקריאת ההיגדים יחשפו התלמידים למושגים הקשורים לשפת המתמטיקה כדוגמת :מספר חד ספרתי ,סכום ספרות ועוד ,מופיעה פעילות במסגרת קבוצתית ולא כפעילות יחידנית. סעיף א' :המספר החד ספרתי הגדול ביותר מודגם ע"י 9משבצות. המספר הדו ספרתי הגדול ביותר מודגם ע"י 9טורים ו – 9משבצות. המספר הדו ספרתי הקטן ביותר מודגם ע"י טור אחד. המספר התלת ספרתי הקטן ביותר מודגם ע"י לוח אחד. סעיף ב' :להדגמת מספר דו ספרתי שסכום ספרותיו 3ניתן להציג משבצונים המתאימים ל 21 ,12 -ו- .30 סעיף ג' :להדגמת מספר דו ספרתי שאחת מהספרות שלו היא ריבוע של הספרה האחרת ניתן להציג משבצונים המתאימים ל 39 ,42 ,24 -או .93 27 על פעילות המורה: בפעילות הקישור יחלק המורה לכל קבוצה כרטיס משבצונים ויבקש להתאים אותו ל 1 -מתוך 8כרטיסי ההיגדים שעל הלוח .בפעילות זו יחשפו התלמידים למושגים מתמטיים חשובים, כמו :מספר קודם ,מספר עוקב ,מספר זוגי ועוד. דוגמה: להיגדים: המספר העוקב ל29 - המספר הגדול פי 3מ10 - מתאים כרטיס המשבצונים: על הפעילות היחידנית: רמת הפעילות פרוט הפעילות משימה – 5במשימה זו יש לכתוב מספרים מתאימים לכל כרטיס משבצונים משימה – 6במשימה זו יש למצוא לכל כרטיס משבצונים את טווח המספרים המתאים לו. משימה לא כ"כ קשה משימה לא כ"כ קלה הערה :אם נותר זמן מצומצם לפעילות היחידנית ,כדאי לכוון את התלמידים לבחור אחת מבין שתי המשימות. 28 על שיעורי הבית: רמת הפעילות פרוט הפעילות משימה – 1יש לצייר משבצונים המתאימים למספרים הנתונים. משימה – 2יש להתאים משבצונים למספרים. משימה המיועדת לכולם משימה קלה משימה – 3יש להתאים משבצונים להיגדים. פתרונות למשימה: להגד :מספר הגדול פי 4מ 9 מתאים הכרטיס שמייצג 36 משימה קשה להגד :המספר העוקב ל99 - מתאים הכרטיס שמייצג 100 להגד :מספר הקודם ל231 - מתאים הכרטיס שמייצג 230 להגד :מספר דו ספרתי שספרת היחידות עוקבת לספרת העשרות. מתאים הכרטיס שמייצג 23 להגד :מספר שסכום ספרותיו 3 מתאים הכרטיס שמייצג 21 הערה :יש לכוון את התלמידים לבצע משימה מס' 1ומשימה אחת נוספת מבין המשימות . 2,3 29 חשבוניה עשורית -פרק א' שיעור 4 המבנה העשורי של המספרים הטבעיים הצגה גרפית של המספרים בעזרת מודל החשבוניה יעדים: להכיר את החשבוניה כמודל להצגה גרפית של מספרים בשיטה העשרונית. לדעת לכתוב מספרים בשיטת הפוזיציה ולהבין כי ערכיה השונים של הסיפרה נקבעים לפי מקומה במספר. לדעת לפרק מספרים לפי ערך הספרות שלהם. להבין את משמעות האפס במספר. להבין את הערך הכמותי של מספרים בשיטה העשרונית. לבצע מטלות המעידות על הבנת המבנה העשורי. לדעת לעבור מהצגה גרפית אחת להצגה גרפית אחרת של מספרים ) .מעבר ממודל החשבוניה למודל המשבצונים ולהפך( . מיני שיעור: הפעילות זמן משוער פעילות קבוצתית 25דקות פעילות מורה 10 – 15דקות פעילות יחידנית 5 – 10דקות 30 אביזרי השיעור 5כרטיסים להדגמה על הלוח על הפעילות הקבוצתית: .1בשיעור זה יכירו התלמידים את החשבוניה כהצגה גרפית נוספת של מספרים בשיטה העשרונית .קיים הבדל מהותי בין הצגת מספרים במודל המשבצונים לעומת הצגתם במודל החשבוניה .מודל המשבצונים הינו מודל שמייצג את המספר מבחינה כמותית .המשבצות מתארות יחידות ,הטורים מתארים עשרות והלוחות מתארים מאות .במודל המשבצונים ניתן לפרוט טור ל 10 -משבצות או לוח ל 10 -טורים ,וכן סדר הנחת המשבצונים אינו משנה את ערך המספר המוצג .לעומת זאת ,במודל החשבוניה מספר החרוזים שעל כל יתד מציין את הספרה ,וערך כל חרוז נקבע עפ"י מקומו .לכל יתד יש ערך קבוע לפי הפוזיציה בשיטה העשרונית. סעיף א' :הפעילות נפתחת בהתאמת מספרים לחשבוניות. סעיף ב' :מטרת סעיף זה היא להסב את תשומת ליבם של התלמידים למהות של הצגת מספרים במודל החשבוניה .הדיון בשאלות יוביל את התלמידים למסקנה כי ערך כל חרוז על היתד הימנית הוא יחידה אחת ,אם נעביר את החרוז יתד אחת שמאלה יגדל ערכה פי .10וכן ,ערך 5חרוזים על היתד השמאלית הוא . 5,000אם נעביר אותם 2מקומות ימינה יקטן ערכם פי .100 העברת חרוז מהיתד הימנית ביותר ליתד השמאלית ביותר מגדילה את ערכו פי . 1,000 סעיף ג' :בסעיף זה ידונו התלמידים במספר החרוזים שניתן להניח על כל יתד .התלמידים יגלו כי בכל יתד יש מקום ל 9 -חרוזים לכל היותר. .2במשימה זו יש לפרק את המספרים הנתונים לפי ערך הספרות שבכל מספר .לכל מספר יש לכתוב שני פרוקים. דוגמה :נתון המספר 1,789 פרוק א'1,789 = 1 × 1,000 + 7 × 100 + 9 × 10 + 8 × 1 : פרוק ב'1,789 = 1 × 103 + 7 × 102 + 9 × 10 + 8 × 1 : .3במשימה זו יש טיפול בשגיאות אופייניות של תלמידים בפרוק מספרים. סעיף א' :בחשבוניה מוצג המספר 3,402 אורי כתב33 + 42 + 2 × 1 : במקום 3 × 103 + 4 × 102 + 2 × 1 :הטעות :אורי העלה בחזקה את הסיפרה 3במקום את ה – .10שוקי כתב נכון. 3 יוסי כתב 2 × 10 + 4 × 102 + 3 × 1 :הטעות :יוסי קרא את המספר מימין לשמאל במקום לקרוא אותו משמאל לימין. סעיף ב' :בסעיף זה יש להתאים בין החשבוניות הנתונות למחשבונים .ליד כל מחשבון יש חלק מפרוק המספר שבעזרתו ניתן לגלות את החשבוניה המתאימה. דוגמה :לפרוק . 5 × 10 3+ 3 × 102 + 1 × 10 מתאימה החשבוניה )השנייה משמאל( המייצגת את המספר5,310 : 31 על פעילות המורה: .4בפעילות הקישור יש להציג במליאה חשבוניה עשורית גדולה וכן אביזרים של "משבצון עשר" .המורה ידגים כל מספר גם בחשבוניה וגם במשבצונים וידון בהבדל שבין הצגת מספרים במודל המשבצונים לעומת הצגתם במודל החשבוניה. סעיף א' :המורה יציג 5כרטיסים ועליהם פרוקים של מספרים .יש לכתוב בכל קבוצה את המספר המתאים לכל פרוק. סעיף ב' :המורה יציג את המספר 139בחשבוניה ובמשבצונים וידון בהבדל בין שתי ההצגות ,כפי שהוסבר לעיל. סעיף ג' :סעיף זה מטפל בהצגת מספרים שאחת הספרות שלהם היא אפס .כדי לתאר מספרים כאלו בעזרת משבצונים ,אין להשתמש בסוג המשבצונים המתאים למקום שבו נמצא האפס ,וכאשר מתארים מספרים כאלו בעזרת חשבוניה ,אין לשים חרוזים על היתד המתאימה. על הפעילות היחידנית: רמת הפעילות פרוט הפעילות משימה – 5במשימה זו יש להתאים בין המשבצונים לחשבוניות הנתונות. משימה המיועדת לכולם משימה – 6במשימה זו נתונים פרוקים של מספרים .יש לקבוע לכל פרוק את טווח המספרים המתאים לו. כדאי לכוון את התלמידים לבדוק כל פרוק ולקבוע את הטווח המתאים ,ללא כתיבת המספר המדויק. משימה לא כ"כ קלה דוגמה :לפרוק 7 × 102 + 8 × 1 מתאים טווח המספרים שבין 100ל.1,000 - הקביעה נעשית ע"פ החלק הראשון של הפרוק7 × 102 : 32 על שיעורי הבית: רמת הפעילות פרוט הפעילות משימה – 1יש להתאים בין מספרים לבין הפרוק שלהם. משימה קלה משימה – 2יש להתאים בין חשבוניות לבין הפרוקים הנתונים וכן לכתוב מספר מתאים לכל פרוק. משימה בינונית משימה זו קשה יותר ,כיון שנעשה בה שימוש בכתיב החזקות. משימה – 3יש לתקן את המספרים שעל צגי הפלאפונים לפי הפרוק הנתון .איתור השגיאות מהווה קושי ועל כן משימה זו קשה יותר. הערה :מומלץ לכוון את התלמידים לבצע 2מבין 3המשימות הנתונות. 33 משימה לא כ"כ קשה ארבעוני בארץ הפלאות -פרק א' שיעור 5 יעדים: לחזור על המבנה העשורי של המספרים השלמים. לגרות את הסקרנות והעניין ע"י שימוש בסיטואציה הקרובה לעולמו של הילד. להכיר את הנקודה העשרונית ואת תפקידה בכתיבת מספרים בשיטה העשרונית. לדעת לקרוא ולכתוב מספרים עשרוניים. לדעת להציג שברים עשרוניים במודל המשבצונים. לבצע מעבר מהצגה גרפית להצגה מילולית של שברים עשרוניים. לבצע מעבר מהצגה מילולית להצגה גרפית של שברים עשרוניים. מיני שיעור: הפעילות זמן משוער פעילות קבוצתית 25 – 30דקות פעילות מורה 15 – 20דקות פינג – פונג 10 – 15דקות פעילות יחידנית 10 – 15דקות אביזרי השיעור מומלץ להכין דגם של "ארץ הפלאות" להדגמה על הלוח. דגם של המנורה העשורית להצגה על הלוח. כרטיסי מנורות להדגמה על הלוח. מחשבון משבצונים עשוריים כדוגמת המשבצונים של שיעור .3 משבצונים עשוריים הערה :מומלץ ללמד יחידת לימוד זו בשני שיעורים רצופים. 34 על הפעילות הקבוצתית: שיעור זה הינו השיעור הראשון בסדרת השיעורים העוסקים בהכרת השבר העשרוני .לשיעור זה קדמו שני שיעורים שעסקו בנושא החזקות ושני שיעורים נוספים שעסקו בחזרה על המבנה העשורי של המספרים הטבעיים. בפעילות הקבוצתית יחשפו הלומדים לסיטואציה שבאה לגרות את הסקרנות והעניין במטרה לצרף לתהליך הלמידה תלמידים רבים. בפעילות הקישור יערוך המורה פורמליזציה לסיטואציה ,וידגיש את המהלך המתמטי הקשור לנלמד בשיעור. סעיף א' :הסיטואציה מתארת את הטיול של "ארבעוני בארץ הפלאות" .הסיפור מודגם בשרטוט. "ארבעוני" מייצג את המספר 4ו"ארץ הפלאות" – זוהי ארץ דמיונית .בכניסה לארץ הפלאות עומדת מראה המשקפת את גודלו הטבעי של המסתכל בה .משמאל לחדר הכניסה נמצאים חדרי המראות המגדילות ,בהן נראים גדולים יותר מהמראה הטבעי .מימין לחדר הכניסה נמצאים המראות המקטינות ,בהן נראים קטנים יותר מהגודל הטבעי. ארבעוני יוצא לטיול בחדרי המראות .ארבעוני מגיע לביתן הכניסה ועובר משם לחדר השמאלי .בחדר זה נראה ארבעוני גדול פי 10ממראהו הטבעי .בחדר "הענק" יראה ארבעוני גדול פי 10ממראהו בחדר הגדול ,כלומר הוא יראה גדול פי 100מהמראה הטבעי שלו. תחילה מתואר מסלול ההליכה של ארבעוני באגף השמאלי. התלמידים יתנו שמות לארבעוני בהתאם לחדרים שבהם הוא נמצא .בחדר שמראהו "גדול" יקרא ארבעוני – ,40בחדר שמראהו "ענק" יקרא ארבעוני – , 400ובחדר שמראהו "ענק שבענקים" יקרא ארבעוני – . 4,000 המשך הסעיף מתואר מסלול ההליכה באגף הימני .החדרים שבאגף הימני מציינים הקטנה. בחדר שמראהו "קטן" יקרא ארבעוני 4 10 -שהרי המשמעות של "להקטין פי "10היא חילוק ב – .10 סעיף ב' :בסעיף זה מתואר מסלול ההליכה של "חומשי" שהוא כינוי למספר , 5במטרה להבהיר לתלמידים כי בסיטואציה זו ניתן לתאר הגדלות והקטנות של מספרים טבעיים שונים. סעיף ג' :בשלב זה יש להסב את תשומת ליבם של התלמידים כי חדרי המראות שבציור הם חלק ממערכת אינסופית של מראות .בפורמליזציה של הדברים יבינו התלמידים כי ניתן להגדיל כל מספר ב 10 -ובחזקותיו ללא גבול ,וכן ניתן להקטין כל מספר ב – 10ובחזקותיו ללא גבול. סעיף ד' :עתה יכירו התלמידים קבוצה של מטיילים המייצגים מספר תלת ספרתי .שלושת הספרות נכנסות לשלושה חדרים סמוכים בסדר קבוע: ארבעוני רואה עצמו ענק שבענקים כלומר ,ערכו 4,000ואז ערך הספרה 5הוא 500וערך 3 5 4 הספרה 3הוא .30 בסיום הפעילות נשאלים התלמידים איזה מספר מתאים לשלושת המטיילים ,אם ידוע 35 שארבעוני עומד בחדר הכניסה .יתכן והתלמידים יתקלו בקושי להציג מספר אחד שמציין 4 שלמים 5 ,עשיריות ו – 3מאיות. הצעות אפשריות: 453 100 או 53 100 4 לצורך כתיבת מספר זה ללא מכנה נשתמש בנקודה העשרונית ונרשום 4.53 על פעילות המורה: פעילות הקישור עוסקת בפורמליזציה לסיטואציה שהוצגה בפעילות הקבוצתית. סעיף א' :המורה יציג במליאה את ה"מנורה העשורית". המנורה כוללת קנה מרכזי ,שלושה קנים משמאל לקנה המרכזי ושלושה קנים מימין לקנה המרכזי .מעל המנורה רשום המספר 2.53כך: 5 3 2 המורה יעורר דיון על ההקבלה בין המנורה לחדרי המראות .הקנה המרכזי משמש תחליף למראה המשקפת את הגודל הטבעי .הקנים מצד שמאל מחליפים את המראות המגדילות, והקנים מצד ימין מחליפים את המראות המקטינות. המורה ידגים את כתיבת המספר 253מעל לקנים המתאימים במנורה .יש להדגים את הערך של כל ספרה במספר . 253התלמידים יראו כי הקנה האמצעי מייצג את מקום היחידות, הקנים שבצידו השמאלי מייצגים את העשרות ,המאות והאלפים ,והקנים שמימינו מייצגים עשיריות ,מאיות ואלפיות .בהמשך מוצגת מנורה נוספת: 3 5 2 התלמידים נשאלים מה יהיה שמו של המספר במנורה ומתבקשים להציע שם בלי להשתמש בשברים פשוטים .סביר להניח ,שיהיו תלמידים שידעו לומר 25.3 גם אם נאמרה התשובה ,יבקש המורה להקיש במחשבון את המספר 253ולחלק אותו ב – .10 על הצג תתקבל המנה25.3 : 36 בשלב זה יש לדון בתפקידה של הנקודה העשרונית כסימן המפריד בין השלמים לבין השברים במספרים הנכתבים בשיטה העשרונית. סעיף ב' :המורה ידגים על הלוח 4כרטיסי מנורות ויבקש מהתלמידים לרשום מספר מתאים לכל כרטיס. בכרטיס א' מיוצג המספר 5 בכרטיס ב' מיוצג המספר 55 בכרטיס ג' מיוצג המספר 500 בכרטיס ד' מיוצג המספר 505.5 סעיף ג' :המורה יבקש להקיש במחשבון את המספר 500ולחלק אותו ב .10 -המנה המתקבלת היא .50 יש לחזור על הפעולה ולחלק 50ל– , 10המנה המתקבלת היא .5 יש לחזור על הפעולה פעם נוספת ולחלק 5ל ,10 -המנה המתקבלת היא . 0.5 סעיף ד' :המורה יציג על הלוח את המנורות הבאות: 4 2 4 התלמידים ירשמו מספרים מתאימים 0.24 :ו 0.04 -והמורה יבסס את משמעות הנקודה העשרונית במספר וילמד כיצד יש לקרוא מספרים שיש בהם נקודה עשרונית. חשוב להדגים מספרים עשרוניים שיש בהם אפס ולדבר על משמעותו במספר. על פעילות הפינג -פונג: בפעילות זו יש אזכור לערכת "משבצון עשר" ששימשה דגם להצגה גרפית של המספרים הטבעיים. בעבר הכירו התלמידים את המשבצת ,הטור והלוח כמייצגים של היחידות ,העשרות והמאות ,עתה יכירו התלמידים את "משבצון עשר" בייצוג אחר. הלוח מייצג יחידה אחת ,הטור מייצג עשירית והמשבצת מציינת מאית .התלמידים ישתמשו בערכת המשבצונים שהיתה ברשותם בשיעור ,3והמורה ידגים בערכה תואמת מחדר החשבון ,או בעזרת כרטיסים מוגדלים .התלמידים יניחו משבצונים המתאימים למספרים שמוצגים בכל פעם. בהדגמת המספרים 0.05ו 0.5 -לא השתמשו בלוחות. בהדגמת המספרים 0.05ו 0.5 -השתמשו רק בסוג אחד של משבצונים. בהדגמת המספרים 1.32ו 1.23 -השתמשו בשלושת סוגי המשבצונים :בלוח ,בטור ובמשבצת. 37 על הפעילות היחידנית: רמת הפעילות פרוט הפעילות משימה – 4יש לכתוב מספרים עשרוניים לפי כרטיסי המשבצונים שבספר. משימה – 5במשימה זו יש "הפיכות" למשימה הקודמת. התלמידים יציגו משבצונים למספרים העשרוניים הנתונים. משימה המיועדת לכולם משימה לא כ"כ קשה משימה – 6יש לכתוב מספרים לפי פרוט המשבצונים שכתוב בכל פעם. דוגמה :בהצגת 2לוחות 8 ,שורות ו 5 -משבצות מתקבל המספר . 2.85 משימה לא כ"כ קלה במשימה זו יש לתת את הדעת לסעיפים ה' ,ו'. סעיף ה. 4לוחות ו 13 -משבצות ,המספר התואם 4.13שכן 13 משבצות הן טור 3 +משבצות. המספר התואם ל 10 -שורות הינו .100 על שיעורי הבית: רמת הפעילות פרוט הפעילות משימה – 1יש לחבר קו בין הצגה סימבולית להצגה גרפית של המספרים. משימה לא כ"כ קלה משימה – 2יש לחבר קו בין הצגה מילולית להצגה גרפית של המספרים. משימה לא כ"כ קלה משימה – 3יש להתאים בין הצגה גרפית לבין הביטויים החשבוניים שבעבודה. משימה לא כ"כ קשה משימה – 4יש לכתוב ביטוי חשבוני המתאים לכל כרטיס משבצונים. משימה לא כ"כ קשה הערה :מומלץ לכוון את התלמידים לבחור במשימה אחת מבין משימות 1,2ומשימה אחת נוספת מבין משימות .3,4 38
© Copyright 2024