3 תכונות חלוקה `
'חיזוקית' -תכונות חלוקה 3 .1 aהוא מספר ראשוני בין 10ל. 20 - bהוא מספר חיובי המתחלק ב 6 -ללא שארית. בכמה מספרים שלמים ,חיוביים ושונים לכל הפחות מתחלק הביטוי ? a ⋅ b )6 (1 )7 (2 )8 (3 )9 (4 __________________________________________________________________________ .2 תומי " :כל מספר שמתחלק ללא שארית גם ב 9 -וגם ב 10 -מתחלק בהכרח ב" 90 - קארין ":כל מספר שמתחלק ללא שארית גם ב 6 -וגם ב 12 -מתחלק בהכרח ב" 72 - מה מהבאים נכון ? ) (1נירה טועה וקארין צודקת ) (2נירה צודקת וקארין טועה ) (3שתיהן טועות ) (4שתיהן צודקות _________________________________________________________________________ .3 aהוא שלם וחיובי המתחלק ללא שארית ב. 45 - bהוא שלם וחיובי המתחלק ללא שארית ב. 75 - מהו המספר הגדול ביותר שהביטוי ) (a + bמתחלק בו בוודאות ? )3 (1 )5 (2 )15 (3 )25 (4 __________________________________________________________________________ .4 aו b -הם מספרים שלמים השונים מאפס. נתון x :הוא מספר המתחלק ללא שארית ב 2a -וב3b - במה מהבאים xאינו בהכרח מתחלק ללא שארית ? )3a (1 )2b (2 )6a (3 )a + b (4 __________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ xו y -הם מספרים שלמים וחיוביים. .5 נתון y = 7 x + 1 : איזה מהביטויים הבאים מתחלק ב 7 -ללא שארית ? )7 x + y (1 )y − 8 (2 )7 y + 1 (3 7 y + 21 )(4 7 __________________________________________________________________________ .6 xמתחלק ב 7 -עם שארית . 1 yמתחלק ב 14 -עם שארית . 2 מה מהבאים לא יכולה להיות שארית החלוקה של ) ( x + yב? 14 - ) (4כל הנ"ל ייתכנו )7 (3 )10 (2 )3 (1 __________________________________________________________________________ .7 aהוא מספר שלם וחיובי המתחלק בשלושה מספרים שלמים וחיוביים בלבד :ב , 1-ב 5 -ובעצמו. מה מהבאים בהכרח אינו מספר שלם ? )5 ⋅ a (1 a )(2 5 5 )(3 a a )(4 5 __________________________________________________________________________ .8 נתון : x 4 הוא מספר זוגי y 5 הוא מספר אי-זוגי איזה מהביטויים הבאים הוא בהכרח אינו מספר שלם ? y3 )(1 x −1 y2 )(2 ( x − 2) 3 x )(3 y +1 ) (4כל התשובות הנ"ל הינם מספרים שלמים _____________________________________________________________________ .9 n אם 2 זוגי ,מהי השארית מחלוקת nב? 4 - ) (4לא ניתן לדעת )2 (3 )1 (2 )0 (1 __________________________________________________________________________ .10 נתון x :מספר שלם וחיובי. 3 xהוא מספר המתחלק ב 3 -ללא שארית. מה מהבאים נכון בהכרח ? ) 2 x (1מתחלק ב 6 -ללא שארית ) 4 x (2מתחלק ב 6 -ללא שארית ) 5 x (3מתחלק ב 10 -ללא שארית ) (4אף אחד מהנ"ל __________________________________________________________________________ .11 xהוא מספר שלם וחיובי. נתון :ל x -יש 3מחלקים שלמים חיוביים ושונים בלבד. מה מהבאים נכון בוודאות לגבי x ? ) (1הוא מספר ראשוני ) (2הוא מספר שאינו ראשוני ) (3הוא מספר זוגי ) (4הוא מספר אי-זוגי __________________________________________________________________________ .12 xהוא מספר חיובי. נתון :ל x 2 -יש רק ארבעה מחלקים חיוביים ושלמים השונים זה מזה. מה מהבאים נכון בהכרח לגבי המספר ? x ) (1הוא אינו מספר שלם ) (2הוא מספר זוגי ) (3הוא מספר אי-זוגי ) (4אף אחד מהנ"ל אינו נכון בהכרח __________________________________________________________________________ הסברים ומפתח תשובות – תכונות חלוקה 3 .1 שאלה תשובה 1 3 2 2 3 3 4 4 5 2 6 3 7 3 8 2 9 1 10 4 11 1 12 1 התשובה הנכונה היא ).(3 נתונים a :הוא מספר ראשוני בין 10ל. 20 - bהוא מספר חיובי המתחלק ב 6 -ללא שארית. שואלים :בכמה מספרים שלמים ,חיוביים ושונים לכל הפחות מתחלק הביטוי ? a ⋅ b דרך א'' -הצבה פוסלת' מאחר שבשאלה אין נתונים ממשיים אין כל מניעה להשתמש בטכניקת 'הצבה פוסלת' ,מה גם שאין תשובה ) (4מתחכמת ,מה שאומר שנוכל להסתפק בהצבה אחת בלבד. נציב a = 11 :ו. b = 6 - הביטוי ab = 11 ⋅ 6 = 66 66מתחלק ב 33 , 22 , 11 , 6 , 3 , 2 , 1 :ו . 66 -כלומר ,לפי דוגמה זו המספר מתחלק ב8 - מספרים .ולכן נוכל לפסול את כל התשובות ששונות מ , 8 -ולסמן את תשובה ).(3 דרך ב' -עקרונית תזכורת :עיקרון תחנות ה"א-ב-ג" :כל מספר או מכפלה של מספרים מתחלק בהכרח – א. ב 1-ובעצמו. ב. בכל אחד מגורמיו הראשוניים בנפרד. בכל מכפלה פנימית בין גורמיו הראשוניים. ג. הערות חשובות מאוד .1 :מעבר בתחנות הא-ב-ג ממצה את כל גורמיו של המספר .2לגורם ראשוני אסור להופיע במכפלה פנימית )תחנה ג'( יותר ממספר הפעמים שהוא מופיע בפירוק הראשוני. למשל 42 :לא מתחלק ב 9 -כי בשביל 9צריך את הגורם 3 פעמיים והוא מופיע בפירוק הראשוני של 42רק פעם אחת. כדי לדעת בכמה מספרים מתחלקת המכפלה a ⋅ bנפרק אותה תחילה לגורמיה הראשוניים. bמתחלק ב , 6 -כלומר יש ל b -את הגורמים הראשוניים 2 :ו. 3 - aהוא מספר ראשוני שגדול מ , 10 -ולכן הגורם הראשוני שלו שונה מ 2 -ו. 3 - אם כך ,הגורמים הראשוניים של המכפלה a ⋅ bהם2 ⋅ 3 ⋅ a : תחנה א'a ⋅ b , 1 : תחנה ב'a , 3 , 2 : תחנה ג'6 , 3a , 2a : כלומר ,סה"כ 8מספרים. .2 התשובה הנכונה היא ).(2 תומי " :כל מספר שמתחלק ללא שארית גם ב 9 -וגם ב 10 -מתחלק בהכרח ב" 90 - קארין ":כל מספר שמתחלק ללא שארית גם ב 6 -וגם ב 12 -מתחלק בהכרח ב" 72 - תזכורת :ה'סטוק המתחייב' /קיזוז גורמים ראשוניים חופפים :אם יש מספר נתוני חלוקה לגבי אותו הגורם במעבר מנתון חלוקה אחד למשנהו -יש לצבור רק גורמים ראשוניים חדשים שהנתונים הקודמים לא חשפו ,ולקזז את הגורמים שכבר נחשפו. ניתוח דברי תומי :מהעובדה שהמספר מתחלק ב 9 -נוכל לצבור את הגורמים הראשוניים : . 3 ⋅ 3מהעובדה שהמספר מתחלק גם ב 10 -נצבור את הגורמים הראשוניים . 2 ⋅ 5ומאחר שאין חפיפה בין הגורמים שעלו מהחלוקה ב 9 -לבין אלו שעלו מהחלוקה ב - 10 -אז אין מה לקזז ,והסטוק המתחייב של המספר מורכב מ . 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 :ולכן המספר בוודאות מתחלק ב- , 90אם כך תומי צודקת. ניתוח דברי קארין :מהעובדה שהמספר מתחלק ב 6 -נוכל לצבור את הגורמים הראשוניים : . 2 ⋅ 3מהעובדה שהמספר מתחלק גם ב 12 -לא נצבור את כל הגורמים הראשוניים , 2 ⋅ 2 ⋅ 3 כיוון שכפי שהוזכר בעיקרון 'הסטוק המתחייב' את הגורמים החופפים יש לקזז ולצבור רק גורמים חדשים .והגורם החדש היחיד הוא עוד פעם אחת . 2ולכן ,הסטוק המתחייב של המספר מורכב מ . 2 ⋅ 2 ⋅ 3 :ולכן המספר אינו מתחלק ב , 72 -אם כך קארין טועה. לסיכום :תומי צודקת וקארין טועה. .3 התשובה הנכונה היא ).(3 נתונים : aהוא שלם וחיובי המתחלק ללא שארית ב. 45 - bהוא שלם וחיובי המתחלק ללא שארית ב. 75 - שואלים :מהו המספר הגדול ביותר שהביטוי ) (a + bמתחלק בו בוודאות ? תזכורת :סכום או הפרש מתחלק בוודאות בכל גורם שהוא גורם משותף של כל מרכיבי הביטוי. למשל הביטוי: 12 x 2 y 3 − 16 x 4 y 2 + 40 x 3 yיתחלק בהכרח ב4 x 2 y - כלומר ,הסכום ) (a + bיתחלק בכל גורם שהוא גורם משותף גם של 45וגם של . 75 נבצע פירוק ראשוני לשני המספרים a = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 :וb = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 - אם כך ,הגורמים המשותפים לשני המספרים הם , 3 ⋅ 5 :ולכן המספר הגדול ביותר שהביטוי a ⋅ bמתחלק בו הוא15 : .4 התשובה הנכונה היא ).(4 נתונים a :ו b -הם מספרים שלמים השונים מאפס. xהוא מספר המתחלק ללא שארית ב 2a -וב3b - שואלים :במה מהבאים xאינו בהכרח מתחלק ללא שארית ? אם xמתחלק ב 2a -הרי של x -יש בהכרח את הגורמים 2 ⋅ a : ואם xמתחלק גם ב 3b -הרי של x -יש בהכרח את הגורמים 3 ⋅ b : כלומר ,הגורמים של xהם2 ⋅ a ⋅ 3 ⋅ b : ולכן xכן מתחלק ב , 3a -ב 2b -ו , 6a -ואינו בהכרח מתחלק ב. a + b - .5 התשובה הנכונה היא ).(2 נתונים x :ו y -הם מספרים שלמים וחיוביים. y = 7x +1 שואלים :איזה מהביטויים הבאים מתחלק ב 7 -ללא שארית ? דרך א' – הצבה פוסלת' מאחר שאין אף נתון ממשי בשאלה ניתן בהחלט להשתמש בטכניקת 'הצבה פוסלת' ,מה גם שאין תשובה ) (4מתחכמת. נציב , x = 2 :ומאחר שy = 7 ⋅ 2 + 1 = 15 : y = 7 x + 1 : תשובה ) , 7 ⋅ 2 + 15 = 29 ; 7 x + y :(1תשובה נפסלת תשובה ) , 15 − 8 = 7 ; y − 8 :(2תשובה לא נפסלת. תשובה ) . 7 ⋅ 15 + 1 = 106 ; 7 y + 1 :(3תשובה נפסלת. 7 ⋅ 15 + 21 7 y + 21 ; = 18 תשובה ):(4 7 7 תשובה נפסלת. עתה ,נוכל לסמן ללא חשש את תשובה ).(2 דרך ב' -עקרונית אם xהוא מספר שלם ,הרי שהביטוי 7 xמתחלק ב) 7 -כיוון שאם נחלק את 7 xב 7 -נקבל כתוצאה את xשהוא כזכור מספר שלם( ,ולכן אם y = 7 x + 1הרי ש y -הוא מספר שגדול ב1- מכפולה של , 7כלומר y :מתחלק ב 7 -עם שארית . 1 תשובה ) ; 7 x + y :(1הביטוי 7 xמתחלק ב . 7 -הביטוי yאינו מתחלק ב) 7 -אלא נותרת שארית ,( 1ולכן סכומם אינו מתחלק ב . 7 -תשובה נפסלת. תשובה ) ; y − 8 :(2כאמור y ,מתחלק ב 7 -עם שארית . 1אם היינו מפחיתים מ y -את המספר , 7התוצאה שהייתה מתקבלת הייתה גם מתחלקת ב 7 -עם שארית . 1כשמוסיפים או מפחיתים את המספר שבו מחלקים השארית נשארת כפי שהייתה) .למשל 22 :מתחלק ב7 - עם שארית , 1ואם נפחית מ 22 -את המספר 7נקבל 15 :שהוא גם מתחלק ב 7 -עם שארית ( 1 ולכן ,אם נפחית מ y -את המספר , 8נקבל מספר שמתחלק בדיוק ב . 7 -תשובה נכונה. שימו לב ,ניתן לעצור את בדיקת התשובות בשלב זה – עיקרון 'מונית הכסף' .נמשיך בהסבר התשובות הנותרות לצורך לימוד. תשובה ) ; 7 y + 1 :(3מאחר ש y -הוא מספר שלם ,הרי שהביטוי 7 yמתחלק ב , y -אך אם נגדיל אותו ב 1 -כדי להגיע ל 7 y + 1 :הוא כבר לא יתחלק ב . 7 -תשובה נפסלת. 7 y + 21 7 y 21 7 y + 21 = + ; = y+3 תשובה ):(4 7 7 7 7 .כזכור y ,מתחלק ב 7 -עם שארית , 1ואם נוסיף לו את המספר , 3הרי שהתוצאה תתחלק ב 7 -עם שארית . 4תשובה נפסלת. .6 התשובה הנכונה היא ).(3 נתונים x :מתחלק ב 7 -עם שארית . 1 yמתחלק ב 14 -עם שארית . 2 שואלים :מה מהבאים לא יכולה להיות שארית החלוקה של ) ( x + yב? 14 - דרך א'' -הצבה פוסלת' מאחר שלפנינו שאלת שאריות ללא נתונים ממשיים,אין כל בעיה בלפתור אותה בעזרת 'הצבה פוסלת'. שימו לב :הנתון x :מתחלק ב 7 -עם שארית . 1אינו נתון ממשי למרות הימצאותם של המספרים ,כיוון שהוא לא נותן מספר מדויק ,וישנם למעשה אינסוף מספרים המקיימים תנאי זה. הצבה : Iנציב )לפי הנתונים( x = 8 :ו. y = 16 - . x + y = 8 + 16 = 24שארית החלוקה של 24ב 14 -היא , 10ולכן תשובה ) (2נפסלת ,כיוון ששאלו מה לא יכולה להיות השארית ? תזכורת :עיקרון הצבות בשאלות שאריות :ההצבה הראשונה יכולה להיות השארית עצמה ,או השארית +המספר שבו מחלקים ,ובמידת הצורך )אם יש תשובה ) (4מתחכמת מכל סוג שהוא( – נוסיף כל פעם את המספר שבו מחלקים. הצבה : IIנציב )לפי הנתונים והתזכורת( x = 8 + 7 = 15 :ו. y = 16 + 14 = 30 - . x + y = 15 + 30 = 45שארית החלוקה של 35ב 14 -היא , 3ולכן תשובה ) (1נפסלת. הצבה : IIIנציב )לפי הנתונים והתזכורת( x = 15 + 7 = 22 :ו. y = 30 + 14 = 44 - . x + y = 22 + 44 = 66שארית החלוקה של 66ב 14 -היא , 10את השארית הזו כבר קיבלנו ,ולכן דוגמה זו אינה משנה דבר. עצה טקטית חשובה !!! :כאשר משתמשים בטכניקת 'הצבה פוסלת' עם שני נעלמים – במידה ונאלצים לבצע הצבה שנייה )או יותר( מומלץ בחום להשאיר את ערכו של אחד הנעלמים זהה להצבה הראשונה ,ולשנות רק את ערכו של הנעלם האחר .כך מגדילים משמעותית את סיכויי הפסילה. הצבה : IVנציב )לפי הנתונים התזכורת והעצה הטקטית( x = 22 + 7 = 29 :ו , y = 44 -כמו בהצבה הקודמת )ראו עצה טקטית מעל( . x + y = 29 + 44 = 73שארית החלוקה של 73ב 14 -היא , 3את השארית הזו כבר קיבלנו, ולכן דוגמה זו אינה משנה דבר. לסיכום ,נראה כי השאריות היחידות שיכולות להתקבל הן של 3 :או . 10והשארית 7אינה אפשרית. דרך ב' -עקרונית אם xמתחלק ב 7 -עם שארית 1אזי כאשר נחלק אותו ב 14 -השאריות האפשריות הן 1 :או 1+ 7 = 8 הסבר :כדי להבין את הרעיון נדמיין שלקחנו מספר כלשהו ) ( aשל חיילים שמתחלק ב- 7וחילקנו אותם לשביעיות ,הרי שנקבל מספר שלם של שביעיות .אם ברצוננו לחלק את המספר ) ( aל 14 -הרי שברצוננו לחלק את החיילים לקבוצות של , 14כלומר ,כל שתי שביעיות הופכות לקבוצה אחת של . 14 אם במקור היה מספר זוגי של שביעיות ,למשל 4שביעיות )שזה אומר ש ( a = 28 :לא תהייה שארית מהחלוקה ב , 14 -אולם ,אם במקור היה מספר אי-זוגי של שביעיות ,למשל5 : שביעיות )שזה אומר ש ( a = 35 :אז 4מהשביעיות הפכו ל 2 -קבוצות של , 14והשארית היא . 7כלומר ,אם מספר מתחלק ב , 7 -כאשר נחלק אותו ב 14 -או שלא תהייה שארית כלל או שהשארית תהייה . 7 ולכן ,אם xמתחלק ב 7 -עם שארית , 1הרי שהשארית מחלוקת xב 14 -תישמר ותהייה 1 )כאשר יש מספר זוגי של שביעיות( או שהיא תגדל בדיוק ב 7 -ותהייה ) 8כאשר יש מספר אי- זוגי של שביעיות(. תזכורת :שארית של סכום היא סכום השאריות .למשל :אם השארית מחלוקת 10ב 4 -היא , 2והשארית מחלוקת 9ב 4 -היא , 1אזי השארית מחלוקת ) 9 + 10 = 19שהוא הסכום( ב- 4היא 3שהיא סכום השאריות. אם כך ,השארית מחלוקת yב 14 -היא , 2והשארית מחלוקת xב 14 -היא ,כאמור 1 :או , 8ולכן השארית מחלוקת הסכום ) ( x + yב 14 -היא סכום השאריות ,כלומר 2 + 1 = 3 :או . 2 + 8 = 10ושארית של 7אינה אפשרית. .7 התשובה הנכונה היא ).(3 נתון a :הוא מספר שלם וחיובי המתחלק בשלושה מספרים שלמים וחיוביים בלבד :ב , 1-ב- 5ובעצמו. שואלים :מה מהבאים בהכרח אינו מספר שלם ? הידעת ? אם מספר )שלם וחיובי( מתחלק ב 3 -מספרים )שלמים וחיוביים ( בלבד – מספר זה חייב להיות חזקה שנייה של מספר ראשוני. למשל 4 :שהוא חזקה שנייה של המספר הראשוני 2מתחלק בשלושה מספרים בלבד2 , 1 : ו. 4 - עוד דוגמה 9 :שהוא חזקה שנייה של המספר הראשוני 3מתחלק בשלושה מספרים בלבד, 1 : 3ו. 9 - ולכן ,אם aהוא מספר שלם וחיובי המתחלק בשלושה מספרים שלמים וחיוביים בלבד :ב, 1- ב 5 -ובעצמו ,הרי ש . a = 25 :מאחר שב 1 -ובעצמו הוא חייב להתחלק )ועצמו זה לא ( 5אזי 5הוא הראשוני שיש להעלותו בריבוע ולקבל . 25 תשובה ) . 5 a = 5 ⋅ 25 = 5 ⋅ 5 = 25 ; 5 a :(1תשובה נפסלת ,כיוון שכזכור ,שאלו מי אינו מספר שלם? a 25 5 = תשובה )= = 1 :(2 5 5 5 תשובה נפסלת. 5 5 1 5 = ; = תשובה ):(3 a 25 5 a תשובה נכונה .וכמובן שבבחינה אמיתית נעצור כאן. a 25 a = ; =5 תשובה ):(4 5 5 5 תשובה נפסלת. .8 התשובה הנכונה היא ).(2 נתון : x 4 הוא מספר זוגי y 5 הוא מספר אי-זוגי שואלים :איזה מהביטויים הבאים הוא בהכרח אינו מספר שלם ? תזכורות: .1אם שורש )שלם וחיובי( של מספר xנותן תוצאה זוגית – המספר xהוא זוגי ואם שורש )שלם וחיובי( של מספר xנותן תוצאה אי-זוגית – המספר xהוא אי-זוגי .2כאשר מחלקים מספר אי-זוגי במספר זוגי :התוצאה המתקבלת היא בהכרח לא שלמה. אי −זוגי שבר = זוגי ולכן ,אם x ואם y 5 4 הוא מספר זוגי הרי שניתן להסיק כי xהוא זוגי. הוא מספר אי-זוגי הרי שניתן להסיק כי yהוא אי-זוגי. אי −זוגי ואם ברצוננו לקבל תוצאה שהיא בוודאות לא שלמה ,עלינו לחפש ביטוי שהוא: זוגי y3 תשובה ):(1 x −1 ; אם yהוא אי-זוגי ,הרי שגם y 3הוא אי-זוגי )כזכור ,בחזקות הבסיס הוא "שקובע"( .ואם xהוא זוגי ,הרי ש x − 1 :הוא אי-זוגי .ולכן המצב שלפנינו הוא: אי −זוגי אי −זוגי .תשובה נפסלת. תשובה ):(2 y2 ; אם yהוא אי-זוגי ,הרי שגם yהוא אי-זוגי .ואם xהוא זוגי ,הרי ( x − 2) 3 2 זוגי ש x − 2 :גם זוגי ,ולכן גם ( x − 2) 3זוגי .כלומר המצב שלפנינו הוא : אי −זוגי נכונה. .תשובה .9 התשובה הנכונה היא ).(1 n נתון : 2 זוגי. שואלים :מהי השארית מחלוקת nב? 4 - דרך א'' -הצבה פוסלת' מאחר שאין בשאלה נתונים ממשיים ,נוכל להיעזר בטכניקת הצבה פוסלת'. שימו לב ,העובדה שיש בשאלה – תשובה ) (4מתחכמת תאלץ אותנו לבצע יותר מהצבה אחת. הצבה : Iנחפש מספר שאם נחלק אותו ב 2 -נקבל תוצאה זוגית ,למשל. n = 12 : השארית מחלוקת 12ב 4 -היא . 0 לפי הצבה זו נוכל לפסול את תשובות ) (2ו (3) -כיון שההצבה הנ"ל הוכיחה שהן לא בהכרח נכונות. כאמור ,בשל העובדה שיש תשובה ) (4מתחכמת ,נאלץ להציב שוב. הצבה : IIנציב. n = 20 : השארית מחלוקת 20ב 4 -היא . 0 הצבה : IIIנציב. n = 16 : השארית מחלוקת 16ב 4 -היא . 0 כמובן ,ששלוש הצבות אינן מבטיחות כי זו התשובה הוודאית ,אך כדי לא להשקיע יותר מדי זמן, ככל הנראה נוכל לעצור כאן ולסמן את תשובה ) ,(1או לחילופין נמנע מלפתור את השאלה ב'הצבה פוסלת' דרך ב' – עקרונית n לפי הנתון : 2 זוגי .כלומר ,אחרי שנחלק את nב , 2 -עדיין יישאר לו גורם , 2ומכאן שבמקור היו ל n -את הגורם 2פעמיים ,או במילים אחרות n :מתחלק ב. 4 - .10 התשובה הנכונה היא ).(4 נתונים x :מספר שלם וחיובי. 3 xהוא מספר המתחלק ב 3 -ללא שארית אם xהוא מספר שלם ,הרי שהביטוי 3 xמתחלק בהכרח ב) 3 -כיוון שאם נחלק את 3 xב3 - נקבל את התוצאה xשהוא מספר שלם( ,כלומר הנתון השני למעשה אינו מוסיף דבר על הנתון הראשון .ולכן הדבר היחידי שאנו יודעים למעשה הוא ש x -מספר שלם וחיובי. תשובה ) 2 x :(1מתחלק ב 6 -ללא שארית ; כאמור ,אין שום מידע על xולכן לא ניתן להתחייב כי 2 xמתחלק ב 6 -ללא שארית ,הצהרה זו תהייה נכונה רק אם xמתחלק ב- ), 3למשל :אם x = 3אז 2 x = 6שהוא אכן מתחלק ב ( 6 -אך אין אנו יודעים זאת בוודאות. תשובה נפסלת. תשובה ) 4 x :(2מתחלק ב 6 -ללא שארית ; כאמור ,אין שום מידע על xולכן לא ניתן להתחייב כי 2 xמתחלק ב 6 -ללא שארית ,הצהרה זו תהייה נכונה רק אם xמתחלק ב- ), 3למשל :אם x = 3אז 4 x = 12שהוא אכן מתחלק ב ( 6 -אך אין אנו יודעים זאת בוודאות. תשובה נפסלת. תשובה ) 5 x :(3מתחלק ב 10 -ללא שארית ; כאמור ,אין שום מידע על xולכן לא ניתן להתחייב כי 5 xמתחלק ב 10 -ללא שארית ,הצהרה זו תהייה נכונה רק אם xמתחלק ב- ), 2למשל :אם x = 2אז 5 x = 10שהוא אכן מתחלק ב ( 10 -אך אין אנו יודעים זאת בוודאות .תשובה נפסלת. עתה ,נוכל לסמן בבטחה את תשובה ).(4 .11 התשובה הנכונה היא ).(1 נתונים x :הוא מספר שלם וחיובי. ל x -יש 3מחלקים שלמים חיוביים ושונים בלבד. הידעת ? אם מספר )שלם וחיובי( מתחלק ב 3 -מספרים )שלמים וחיוביים ( בלבד – מספר זה חייב להיות חזקה שנייה של מספר ראשוני. למשל 4 :שהוא חזקה שנייה של המספר הראשוני 2מתחלק בשלושה מספרים בלבד2 , 1 : ו. 4 - עוד דוגמה 9 :שהוא חזקה שנייה של המספר הראשוני 3מתחלק בשלושה מספרים בלבד, 1 : 3ו. 9 - אם כך ,אם ל x -יש שלושה מחלקים שלמים וחיוביים בלבד ,הרי ש x -הוא ריבוע של מספר ראשוני .למשל x = 2 2 = 4 :או x = 3 2 = 9וכו'. ולכן ,אם נוציא ממנו שורש ,נקבל שx - .12 הוא מספר ראשוני. התשובה הנכונה היא ).(1 נתונים x :הוא מספר חיובי. ל x 2 -יש רק ארבעה מחלקים חיוביים ושלמים השונים זה מזה. דרך א'' -הצבה פוסלת' )ניסוי וטעייה( ננסה למצוא מספרים שיש להם 4מחלקים שלמים וחיוביים בלבד -למשל . 6 :ארבעת מחלקיו הם 3 , 2 , 1 :ו . 6 -כלומר x 2 = 6 :ולכן . x = 6 תשובה ) :(1הוא אינו מספר שלם ; תשובה לא נפסלת. תשובה ) :(2הוא מספר זוגי ; תשובה נפסלת. תשובה ) :(3הוא מספר אי-זוגי ; תשובה נפסלת. מאחר שיש תשובה ) (4מתחכמת נאלץ לבצע הצבה שנייה ,וכמובן שנבדוק רק את התשובות שטרם נפסלו. נציב , x 2 = 15 :ל 15 -ישנם 4מחלקים שלמים וחיוביים בלבד .ארבעת מחלקיו הם, 3 , 1 : 5ו . 15 -כלומר x 2 = 15 :ולכן . x = 15 ניתן לראות כי תשובה ) (1שוב לא נפסלה .בשלב זה עלינו להניח כי ככל הנראה תשובה ) (1היא הנכונה ,וישנה כאן חוקיות מורכבת שאיננו מודעים לה ,אך ההחלטה הטובה ביותר כעת היא לסמן את תשובה ).(1 דרך ב' – עקרונית תזכורת :עיקרון תחנות ה"א-ב-ג" :כל מספר או מכפלה של מספרים מתחלק בהכרח – א .ב 1-ובעצמו. ב .בכל אחד מגורמיו הראשוניים בנפרד. ג .בכל מכפלה פנימית בין גורמיו הראשוניים. הערות חשובות מאוד .1 :מעבר בתחנות הא-ב-ג ממצה את כל גורמיו של המספר .2לגורם ראשוני אסור להופיע במכפלה פנימית )תחנה ג'( יותר ממספר הפעמים שהוא מופיע בפירוק הראשוני. למשל 42 :לא מתחלק ב 9 -כי בשביל 9צריך את הגורם 3 פעמיים והוא מופיע בפירוק הראשוני של 42רק פעם אחת. כאמור :ל x 2 -יש רק ארבעה מחלקים. מתחנה א' :הראשונה נגיע לשני מחלקים 1 :ועצמו ) ( x 2 אם x 2היה מורכב רק משני מספרים ראשוניים זהים ,למשל , 9 = 3 ⋅ 3 :הרי שבתחנה ב' היה עוד מחלק אחד בלבד )בדוגמה שלעיל ( 3 :ומתחנה ג' לא היה אף מחלק נוסף )כיוון ש 9 -כבר מוצה בתחנה א'( .כלומר ,לא ייתכן שלמספר x 2יש שני גורמים ראשוניים זהים אלא ששני גורמיו הראשוניים חייבים להיות שונים )אגב ,לא ייתכנו יותר משני גורמים כי אז בתחנה ב' לבדה יהיו לפחות שלושה גורמים ובתחנה ג' יהיו עוד הרבה קומבינציות נוספות( .למשל: . x 2 = 2 ⋅ 5 = 10 ולכן ,אם נוציא מ x 2 -שורש ,כדי להגיע ל x -שעליו שואלים ,למעשה נקבל מכפלת שורשים של שני מספרים ראשוניים )אם x 2 = 2 ⋅ 5אז 2 ⋅ 5 מספר לא שלם ,ולכן מכפלתם היא גם מספר לא שלם. = ,( xשורש של כל מספר ראשוני הוא
© Copyright 2024