‫תרגיל מספר ‪4‬‬
‫פתרון‬
‫‪ .1‬הוכיחו‪ 5 :‬הוא אי‪-‬רציונלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה כי ‪ 5‬הוא מספר רציונלי‪ ,‬ונרשום את ‪ 5‬כשבר‬
‫‪n2‬‬
‫‪n‬‬
‫מצומצם‪ . 5  ,‬נעלה בריבוע ונקבל‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ n 2‬מתחלק ב‪ 5-‬ולכן ‪ n‬מתחלק ב‪ .5-‬לכן קיים מספר שלם ‪ k‬כך ש‪n  5k -‬‬
‫ולכן ‪ . n 2  25k 2‬נציב במשוואה ‪ 5m2  n 2‬ונקבל ‪ . 5m2  25k 2‬נחלק ב‪5-‬‬
‫ונקבל ‪ . m2  5k 2‬לכן ‪ m 2‬מתחלק ב‪ 5-‬ולכן גם ‪ m‬מתחלק ב‪ .5-‬קיבלנו כי גם‬
‫‪n‬‬
‫היה מצומצם! ‪‬‬
‫‪ n‬וגם ‪ m‬מתחלקים ב‪ , 5-‬בסתירה לכך שהשבר‬
‫‪m‬‬
‫‪ 5 ‬ולכן ‪ 5m2  n 2‬לכן‬
‫‪.2‬‬
‫הוכיחו‪ 2 :‬הוא אי‪-‬רציונלי (הערה‪ 2 :‬הוא השורש השלישי של ‪.)2‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה כי ‪ 3 2‬הוא מספר רציונלי‪ ,‬ונרשום את ‪ 3 2‬כשבר‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n3‬‬
‫‪n‬‬
‫מצומצם‪ . 3 2  ,‬נעלה בשלישית ונקבל‬
‫‪3‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫זוגי‪ ,‬ולכן ‪ n‬זוגי‪ .‬לכן קיים מספר שלם ‪ k‬כך ש‪ n  2k -‬ולכן ‪ . n  8k‬נציב‬
‫במשוואה ‪ 2m3  n3‬ונקבל ‪ . 2m3  8k 3‬נחלק ב‪ 2-‬ונקבל ‪ . m3  4k 3‬לכן ‪m 3‬‬
‫זוגי ולכן ‪ m‬זוגי‪ .‬בלנו כי גם ‪ n‬וגם ‪ m‬מתחלקים ב‪( 2-‬זוגיים) ‪ ,‬בסתירה לכך‬
‫‪n‬‬
‫היה מצומצם! ‪‬‬
‫שהשבר‬
‫‪m‬‬
‫‪ , 2 ‬ולכן ‪ . 2m3  n3‬לכן ‪n 3‬‬
‫‪ .3‬הוכיחו‪ :‬המספר ‪ x  0.10110011100011110000....‬הוא אי‪-‬רציונלי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח כי בהצגה העשרונית של ‪x  0.10110011100011110000....‬‬
‫אין מחזור‪ ,‬ולכן ‪ x‬הוא מספר אי‪-‬רציונלי (כפי שלמדנו בכיתה)‪ .‬נניח בשלילה‬
‫שב‪ x -‬קיים מחזור של ‪ r‬ספרות החוזרות על עצמן החל ממקום מסויים‪ .‬נשים‬
‫לב כי לפי הגדרת ‪ x‬מספר ה‪-0‬ים הרצופים בהצגה העשרונית הולך וגדל‪.‬‬
‫החלק ממקום מסויים מספר האפסים הרצופים יעבור את גודל המחזור‪ ,‬שהנחנו‬
‫שהוא ‪ .r‬לכן המחזור יהיה חייב להיות מוכל ברצף האפסים הנ"ל‪ ,‬כלומר‬
‫קיבלנו שהמחזור מכיל רק את הספרה ‪ ,0‬אבל זה כמובן לא יתכן (כי המספר‬
‫‪ x‬לא מסתיים בספרה ‪ .)0‬‬