‫ פישוט ביטויים‬- '‫'חיזוקית‬ a + 4x (4) y a + 4 (3) ( x, y ≠ 0) 4 x ax + y y =? x y x2 (2) y2 x (1) y .1 __________________________________________________________________________ (3 − x) ⋅ (3 + x) (4) ( x − 3) 2 (3) ( x ≠ 0)  x 3 3x ⋅  −  = ? 3 x ( x − 3) ⋅ (3 + x) (2) x 2 − 3 (1) .2 __________________________________________________________________________ ( a 2 ≠ 4) a − 2 (4) (a + 2)2 (3) (a 2 + 4a + 4) ⋅ (a − 2) =? a2 −4 a + 2 (2) .3 2 (1) __________________________________________________________________________ (4b ≠ 6) x 2 − 6 (4) 3 − 2b (3) 3 x 2 − 18 + 12b − 2 x 2 b =? 6 − 4b x2 − 3 (2) 2 .4 x2 − 3 (1) 2 __________________________________________________________________________ 2 ⋅ (m − n) (4) 2 p (3) ( p ≠ 0, m ≠ n) p m−n = ? −p n−m − 1 (2) 1 (1) .5 __________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ (a ≠ −1) a −1 (4) a +1 ( x, y ≠ 0) a2 (3) a +1 x ⋅ (a − 1) y + =? x (a + 1) ⋅ y a 2 −1 (2) xy .6 xy (1) a +1 __________________________________________________________________________ 2 (b, y ≠ 0) x2 − a2 (4) xb 2 ⋅ ( x + a) (3) by 2 a x  x a  +  −  −  = ? b y  y b x−a (2) by .7 4 xa (1) by __________________________________________________________________________ (a ≠ −2) 5 (4) 6a + 12 − 5 (3) a+2 5 5 − =? 2 ⋅ ( a + 2) 3 ⋅ ( a + 2) 5 (2) a+2 1 5 ⋅ (a + 2) .8 (1) __________________________________________________________________________ (3 x + 15) ⋅ (2 x + 10) = ? ( 6 ⋅ x + 15 ) 2 .9 (1) 6 x + 90 (2) ( 6⋅x− ( 6⋅x+ ) 150 ) 150 2 2 (3) (4) _________________________________________________________________________ ‫____________________________________________________________________‬ ‫‪.10‬‬ ‫? = ) ‪(x − y )−2 ⋅ (x 2 − 2 xy + y 2‬‬ ‫)‪( x ≠ y‬‬ ‫)‪x − y (3‬‬ ‫)‪1 (2‬‬ ‫)‪0 (1‬‬ ‫)‪x + y (4‬‬ ‫__________________________________________________________________________‬ ‫‪.11‬‬ ‫‪x 2 + 5x + 6‬‬ ‫?=‬ ‫‪x+3‬‬ ‫)‪( x ≠ −3‬‬ ‫)‪x + 1 (1‬‬ ‫)‪x + 3 (3‬‬ ‫)‪x + 2 (2‬‬ ‫)‪x + 4 (4‬‬ ‫__________________________________________________________________________‬ ‫‪.12‬‬ ‫?=‬ ‫‪1 12 x + 2 12 y‬‬ ‫) ‪(3 x ≠ −5 y‬‬ ‫‪5 y + 3x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫__________________________________________________________________________‬ ‫‪.13‬‬ ‫נתון ‪ a :‬ו‪ b -‬שלמים‪ ,‬חיוביים וגדולים מ‪.1 -‬‬ ‫‪a + b +1‬‬ ‫מה מהבאים נכון בוודאות לגבי ערכו של הביטוי‬ ‫‪a+b‬‬ ‫?‬ ‫)‪ (1‬בין ‪ 0‬ל‪1-‬‬ ‫)‪ (2‬ביו ‪ 1‬ל‪2 -‬‬ ‫)‪ (3‬גדול מ‪2 -‬‬ ‫)‪ (4‬לא ניתן לדעת מהנתונים‬ ‫_________________________________________________________________________‬ ‫‪.14‬‬ ‫‪x 3 + 2x 2 − 4 x − 8‬‬ ‫?=‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫)‪x (1‬‬ ‫)‪x − 2 (2‬‬ ‫)‪( x ≠ 2,−2‬‬ ‫)‪x + 2 (3‬‬ ‫)‪x − 4 (4‬‬ ‫__________________________________________________________________________‬ __________________________________________________________________________ 1 a ⋅ (a + 1) = ? a +1 a a+ (a ≠ 0,−1) 1 (4) a2 a 2 + 1 (3) 1 + 1 (2) a .15 a + 1 (1) __________________________________________________________________________ (23 44 (4) 33 (3) 11 (2) 2 ) ( ) − 23 − 22 2 − 22 = ? .16 1 (1) __________________________________________________________________________ (a, b, c, d ≠ 0) (a + b + c + d )2 + (a + b )2 − (c + d )2 = ? .17 2 ⋅ (a + b) 2 (1) 2 ⋅ (a + b) ⋅ (c + d ) (2) 2 ⋅ (c + d ) 2 ⋅ (a + b + c + d ) (3) 2 ⋅ (a + b) ⋅ (a + b + c + d ) (4) _________________________________________________________________________ ‫הסברים ומפתח תשובות‬ ‫שאלה‬ ‫תשובה‬ ‫שאלה‬ ‫תשובה‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫הערה מקדימה ‪ :‬כמעט את כל השאלות בנושא 'פישוט ביטויים' ניתן לפתור גם באמצעות‬ ‫טכניקת 'הצבה פוסלת'‪ ,‬בהסברים שלהלן נציג את דרך הפתרון הזו רק בחלק קטן מהמקרים‪,‬‬ ‫אך יש לזכור כי היא רלוונטית כמעט תמיד‪.‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(3‬‬ ‫‪4 x ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫שואלים‪= ? :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪4 x ax 4 x + ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫) ‪(4 x + ax) ⋅ y 4 x + ax x ⋅ (4 + a‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=4+a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪yx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(2‬‬ ‫‪ x 3‬‬ ‫שואלים‪3 x ⋅  −  = ? :‬‬ ‫‪3 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9x‬‬ ‫‪ x 3  3x‬‬ ‫= ‪3x ⋅  − ‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3 x‬‬ ‫נוכל לצמצם את השבר השמאלי ב‪ 3 -‬ואת הימני ב‪ , x -‬ונקבל‪. x 2 − 9 :‬‬ ‫ביטוי זה הוא נוסחת הכפל המקוצר השלישית‪ ,‬ולכן‪:‬‬ ‫)‪x 2 − 9 = ( x − 3) ⋅ ( x + 3) = ( x − 3) ⋅ (3 + x‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(2‬‬ ‫)‪(a 2 + 4a + 4) ⋅ (a − 2‬‬ ‫שואלים ‪= ? :‬‬ ‫‪a2 −4‬‬ ‫בטרם נתחיל לפתוח את הסוגריים שבמונה‪ ,‬כדאי להתבונן בביטוי‪ ,‬ולראות כי המכנה הוא נוסחת‬ ‫הכפל המקוצר השלישית‪ . a 2 − 4 = ( a + 2) ⋅ ( a − 2) :‬ובמונה יש גם את נוסחת הכפל‬ ‫המקוצר הראשונה‪ . a 2 + 4a + 4 = (a + 2) 2 :‬ולכן מרבית חלקי התרגיל יצטמצמו‪.‬‬ ‫)‪(a 2 + 4a + 4) ⋅ (a − 2) (a + 2) 2 ⋅ (a − 2‬‬ ‫=‬ ‫אם כך‪= a + 2 ,‬‬ ‫)‪(a + 2) ⋅ (a − 2‬‬ ‫‪a2 − 4‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(1‬‬ ‫‪3 x 2 − 18 + 12b − 2 x 2 b‬‬ ‫שואלים ‪= ? :‬‬ ‫‪6 − 4b‬‬ ‫דרך א'‪' -‬הצבה פוסלת'‬ ‫במבט חטוף בביטוי הנתון ניתן להתרשם כי תיתכן עבודה אלגברית רבה כדי לפשטו‪ ,‬ואולי בשל‬ ‫כך כדאי לשקול בחיוב עבודה עם טכניקה 'הצבה פוסלת'‪.‬‬ ‫נציב‪ x = 2 :‬ו‪. b = 3 -‬‬ ‫‪3 x 2 − 18 + 12b − 2 x 2 b 3 ⋅ 2 2 − 18 + 12 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 2 ⋅ 3‬‬ ‫=‬ ‫ערכו של הביטוי הנתון‪= :‬‬ ‫‪6 − 4b‬‬ ‫‪6 − 4⋅3‬‬ ‫‪3 ⋅ 4 − 18 + 36 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 12 − 18 + 36 − 24‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= −1‬‬ ‫‪6 − 12‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫‪−6‬‬ ‫=‬ ‫עתה‪ ,‬נציב ‪ x = 2‬ו‪ b = 3 -‬בכל התשובות‪ ,‬ונפסול כל תשובה שערכה יצא שונה מ‪. (−1) -‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ ,‬תשובה לא נפסלת‪.‬‬ ‫=‪−3‬‬ ‫תשובה )‪− 3 = 2 − 3 = −1 :(1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2 − 3 22 − 3 4 − 3 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫תשובה )‪:(2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ,‬תשובה נפסלת‪.‬‬ ‫תשובה )‪ , 3 − 2b = 3 − 2 ⋅ 3 = 3 − 6 = −3 :(3‬תשובה נפסלת‪.‬‬ ‫תשובה )‪ , x 2 − 6 = 2 2 − 6 = 4 − 6 = −2 :(4‬תשובה נפסלת‪.‬‬ ‫עתה‪ ,‬נוכל לסמן בבטחה את תשובה )‪.(1‬‬ ‫דרך ב'‪ -‬עקרונית – פישוט אלגברי‬ ‫המכנֵה התפוגג )כלומר‪,‬‬ ‫ָ‬ ‫שימו לב‪ ,‬ממבט חטוף בתשובות ניתן להבחין כי בחצי מהתשובות‬ ‫הצטמצם( ובחצי הוא משתנה‪ ,‬כלומר‪ ,‬יש לשאוף לצמצם או לשנות את המכנה‪.‬‬ ‫אם כך‪ ,‬נשאף להוציא גורמים משותפים בכל חלקי הביטוי כדי להגדיל את הסיכויים לצמצום‪.‬‬ ‫) ‪3 x 2 − 18 + 12b − 2 x 2 b 3 ⋅ ( x 2 − 6) + 2b ⋅ (6 − x 2‬‬ ‫=‬ ‫‪6 − 4b‬‬ ‫)‪2 ⋅ (3 − 2b‬‬ ‫תזכורת‪ :‬שינוי סדר מחוסרים ‪ :‬אם רוצים לשנות סדר מחוסרים ניתן לעשות זאת בתנאי‬ ‫שמחליפים את הסימן שמחוץ לסוגריים‪ ,‬למשל‪m − n = −(n − m) :‬‬ ‫ולכן‪ ,‬מאחר שהביטוי )‪ ( x 2 − 6‬והביטוי ) ‪ (6 − x 2‬דומים אך לא זהים‪ ,‬נוכל להפוך את הביטוי‬ ‫) ‪ ( 6 − x 2‬ל ‪− ( x 2 − 6) :‬‬ ‫)‪3 ⋅ ( x 2 − 6) + 2b ⋅ (6 − x 2 ) 3 ⋅ ( x 2 − 6) − 2b ⋅ ( x 2 − 6‬‬ ‫=‬ ‫כך נקבל‪:‬‬ ‫)‪2 ⋅ (3 − 2b‬‬ ‫)‪2 ⋅ (3 − 2b‬‬ ‫עתה‪ ,‬נוכל להוציא במונה את הגורם המשותף )‪ , ( x 2 − 6‬ולקבל‪:‬‬ ‫)‪3 ⋅ ( x 2 − 6) − 2b ⋅ ( x 2 − 6) ( x 2 − 6) ⋅ (3 − 2b‬‬ ‫=‬ ‫)‪2 ⋅ (3 − 2b‬‬ ‫)‪2 ⋅ (3 − 2b‬‬ ‫נצמצם מונה ומכנה בביטוי )‪ , (3 − 2b‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪( x 2 − 6) ⋅ (3 − 2b) x 2 − 6 x 2 6 x 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= ‪−‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫)‪2 ⋅ (3 − 2b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 2 2‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫שואלים‪m − n = ? :‬‬ ‫‪−p‬‬ ‫‪n−m‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪m − n = p ⋅ (n − m) = pn − pm = 1‬‬ ‫‪−p‬‬ ‫‪− p ⋅ (m − n) − pm + pn‬‬ ‫‪n−m‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(3‬‬ ‫)‪x ⋅ (a − 1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫שואלים ‪= ? :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪(a + 1) ⋅ y‬‬ ‫נוכל לצמצם את המונה והמכנה של השבר השמאלי ב‪ x -‬ואת המונה והמכנה של השבר הימני‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ , y -‬ונקבל‪:‬‬ ‫)‪(a + 1‬‬ ‫‪(a − 1) +‬‬ ‫נעשה מכנה משותף ‪ , (a + 1) :‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(a − 1) ⋅ (a + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a2 −1+1‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪(a + 1‬‬ ‫)‪(a + 1‬‬ ‫)‪(a + 1‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‪(a − 1) +‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a x  x a‬‬ ‫שואלים ‪ +  −  −  = ? :‬‬ ‫‪b y  y b‬‬ ‫מאחר ששני החלקים שמהם מורכב הביטוי הם נוסחאות כפל מקוצר‪ ,‬והביטויים שבתוך שני‬ ‫הסוגריים דומים מאוד‪ ,‬ככל הנראה כדאי לפתוח סוגריים ומרבית הביטויים יתבטלו‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a x  x a‬‬ ‫‪a x  x    x ‬‬ ‫‪x a a ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪ +  −  −  =   + 2 ⋅ ⋅ +   −   − 2 ⋅ ⋅ +   ‬‬ ‫‪b y  y   y ‬‬ ‫‪y b b ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b y  y b‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2ax  x   x ‬‬ ‫‪2 xa  a ‬‬ ‫‪4ax‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪=  +‬‬ ‫‪+   −   +‬‬ ‫= ‪− ‬‬ ‫‪by  y   y ‬‬ ‫‪by  b ‬‬ ‫‪by‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫שואלים‪= ? :‬‬ ‫)‪2 ⋅ ( a + 2) 3 ⋅ ( a + 2‬‬ ‫נעשה מכנה משותף‪ ,‬במקרה זה הוא‪ . 6 ⋅ (a + 2) :‬מאחר שאת המכנה של השבר השמאלי‬ ‫הרחבנו פי ‪ , 3‬כך נעשה גם למונה שלו‪ .‬ומאחר שאת המכנה של השבר הימני הרחבנו פי ‪ 2‬כך‬ ‫נעשה גם למונה שלו‪ ,‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫‪2 5‬‬ ‫‪3 5−2 5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪2 ⋅ ( a + 2) 3 ⋅ ( a + 2) 6 ⋅ ( a + 2) 6 ⋅ ( a + 2‬‬ ‫)‪6 ⋅ ( a + 2‬‬ ‫‪6 ⋅ (a + 2) 6a + 12‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(4‬‬ ‫השאלה שלפנינו היא למעשה "שאלה הפוכה"‪ ,‬כלומר‪ ,‬שאלה שבה הביטוי הנתון הוא פשוט יותר‬ ‫מהתשובות‪ ,‬במקרה שכזה הגישה הטובה ביותר היא ככל הנראה‪' -‬בדיקת תשובות'‪.‬‬ ‫נפתח סוגריים בביטוי הנתון‪:‬‬ ‫‪(3 x + 15) ⋅ (2 x + 10) = 6 x 2 + 30 x + 30 x + 150 = 6 x 2 + 60 x + 150‬‬ ‫כבר בשלב זה ניתן לפסול את תשובות )‪ (2‬ו‪ ,(3) -‬שכן תשובה )‪ (2‬מכילה רק שני גורמים‪ ,‬ותשובה‬ ‫)‪ (3‬היא נוסחת הכפל המקוצר השנייה‪ ,‬שבה חייב להיות גם סימן שלילי‪.‬‬ ‫תשובה )‪:(1‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6 ⋅ x + 15‬‬ ‫‪= 6 x 2 + 2 90 x + 15‬‬ ‫(‬ ‫; זוהי נוסחת הכפל המקוצר הראשונה‪.‬‬ ‫) ‪( 15‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+ 2 ⋅ 6 x ⋅ 15 +‬‬ ‫)‪) = ( 6x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6 ⋅ x + 15‬‬ ‫(‬ ‫ניתן לעצור כבר בשלב זה‪ ,‬כיוון שבביטוי המקורי )לאחר פתיחת הסוגריים( יש את המספר‬ ‫"החופשי" )כזה שלא קשור ל‪ , 150 ( x -‬ואילו בתשובה זו יש את המספר "החופשי" ‪. 15‬‬ ‫אם כך‪ ,‬לאחר שפסלנו את תשובות )‪ (2) ,(1‬ו‪ ,(3) -‬נוכל לסמן בבטחה את תשובה )‪ (4‬אפילו מבלי‬ ‫לבדוק אותה‪.‬‬ ‫נסביר את תשובה )‪ (4‬לצורך לימוד‪:‬‬ ‫תשובה )‪:(4‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫= ‪+ 2 ⋅ 6 x ⋅ 150 + 150 = 6 x 2 + 2 ⋅ 900 ⋅ x + 150‬‬ ‫‪= 6 x 2 + 2 ⋅ 30 ⋅ x + 150 = 6 x 2 + 60 x + 150‬‬ ‫)‪) = ( 6x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6 ⋅ x + 150‬‬ ‫ביטוי זה הוא בדיוק מה שקיבלנו בעת שפתחו את הסוגריים של הביטוי הנתון‪ ,‬ולכן תשובה זו‬ ‫נכונה‪.‬‬ ‫‪.10‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(2‬‬ ‫שואלים‪(x − y )−2 ⋅ (x 2 − 2 xy + y 2 ) = ? :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(x − y)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫⋅‬ ‫(‬ ‫‪−‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪( x − y) 2‬‬ ‫‪(x − y)2‬‬ ‫‪.11‬‬ ‫= ) ‪(x − y )− 2 ⋅ (x 2 − 2 xy + y 2‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(2‬‬ ‫‪x 2 + 5x + 6‬‬ ‫שואלים‪= ? :‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫מהתבוננות חטופה בתשובות‪ ,‬ניתן להבין כי המכנה של הביטוי המקורי אמור להצטמצם‪ ,‬שכן‬ ‫באף תשובה אין מכנה‪ .‬כדי להשיג זאת‪ ,‬עלינו להפוך את המונה למכפלה שאחד ממרכיביה הוא‬ ‫המכנה‪ ,‬כלומר )‪. ( x + 3‬‬ ‫(‬ ‫הביטוי שבמונה אינו נוסחת כפל מקוצר‪ ,‬ולכן האפשרות היחידה היא לעשות לו 'פירוק‬ ‫טרינומי'‪ ,‬יתרה מזאת‪ ,‬יש לנו רמז עבה לגבי מרכיב אחד ב'פירוק הטרינומי' והוא הביטוי‬ ‫)‪ ( x + 3‬שבמכנה‪ ,‬שכאמור אמור להצטמצם‪.‬‬ ‫)‪x 2 + 5 x + 6 ( x + 3) ⋅ ( x + 2‬‬ ‫=‬ ‫‪= x+2‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‪x+3‬‬ ‫‪.12‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(1‬‬ ‫שואלים ‪= ? :‬‬ ‫‪1 12 x + 2 12 y‬‬ ‫‪5 y + 3x‬‬ ‫מהתבוננות חטופה בתשובות ניתן להבין כי המשתנים אמורים להצטמצם‪ ,‬שכן באף תשובה הם‬ ‫אינם נמצאים‪ ,‬כדי לגרום לצמצום עלינו להפוך את פעולת החיבור לפעולת כפל‪ ,‬ולשם כך נוכל‬ ‫להוציא גורם משותף במונה )במכנה לא ניתן להוציא גורם משותף(‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1 12 x + 2 12 y 2 x + 2 y‬‬ ‫=‬ ‫‪5 y + 3x‬‬ ‫‪5 y + 3x‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הגורם המשותף היחיד שניתן לאתר במונה הוא ‪ ,‬שהרי ⋅ ‪ , = 3‬ו‪= 5 ⋅ -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x+ y‬‬ ‫) ‪⋅ (3 x + 5 y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 = 2‬‬ ‫=‬ ‫‪5 y + 3x‬‬ ‫‪5 y + 3x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.13‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(2‬‬ ‫דרך א' – 'הצבה פוסלת'‬ ‫אמנם יש לכאורה בעיה בשימוש בטכניקת 'הצבה פוסלת' בשאלה זו מכיוון שיש תשובה )‪(4‬‬ ‫מתחכמת‪ ,‬אך בהחלט ייתכן שהצבה תסייע לנו להבין עקרונית את הסיטואציה‪.‬‬ ‫נציב‪ a = 2 :‬ו‪. b = 5 -‬‬ ‫‪a + b +1 2 + 5 +1 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= =1‬‬ ‫=‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪2+5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪7‬‬ ‫תוצאה זו למעשה פוסלת את תשובות )‪ (1‬ו‪ (3) -‬כיוון שהיא מוכיחה שהן לא נכונות בוודאות‪.‬‬ ‫מאחר שלא הצלחנו לפסול ‪ 3‬תשובות נוכל להציב שוב‪.‬‬ ‫הצבה שנייה‪ a = 5 :‬ו‪. b = 20 -‬‬ ‫‪a + b + 1 5 + 20 + 1 26‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪5 + 20‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪25‬‬ ‫שוב קיבלנו תוצאה שהיא בין ‪ 1‬ל‪ , 2 -‬ולא פסלנו את תשובה )‪ ,(2‬במצב שכזה ככל הנראה ניתן‬ ‫להניח שתשובה זו היא נכונה ולסמן אותה‪.‬‬ ‫דרך ב'‪ -‬ניתוח עקרוני‬ ‫‪a + b +1‬‬ ‫הביטוי‬ ‫‪a+b‬‬ ‫הוא ביטוי שכל מרכיביו חיוביים וגדולים מ‪ , 1 -‬והמונה שלו גדול מהמכנה‬ ‫שלו‪ ,‬כלומר מדובר במספר שערכו גדול בוודאות מ‪ , 1 -‬מה שפוסל את תשובה )‪.(1‬‬ ‫עתה‪ ,‬נותרנו עם ההתלבטות בין תשובות )‪ (2‬ו‪.(3) -‬‬ ‫כדי שתשובה )‪ (3‬תהייה נכונה המונה של הביטוי צריך להיות יותר מפי ‪ 2‬מהמכנה‪ ,‬ודבר זה אינו‬ ‫אפשרי כאשר ההפרש ביניהם הוא ‪ 1‬ומדובר במספרים שלמים וחיוביים הגדולים מ‪ , 1-‬ולכן גם‬ ‫תשובה )‪ (3‬נפסלת‪.‬‬ ‫‪.14‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(3‬‬ ‫דרך א'‪ -‬עקרונית‬ ‫מהתבוננות חטופה בתשובות ניתן להסיק כי המכנה מצטמצם )אין אף תשובה שיש בה מכנה(‪,‬‬ ‫ולכן השאיפה שלנו היא ליצור במונה פעולת כפל שתאפשר צמצום‪ .‬נשים לב שבמכנה יש את‬ ‫הביטוי ‪ x 2 − 4‬שהוא למעשה נוסחת הכפל המקוצר השלישית‪ ,‬ויכול להתפרק גם ל‪:‬‬ ‫)‪. ( x + 2) ⋅ ( x − 2‬‬ ‫מאחר שבמונה לא ניתן להוציא גורם משותף לכל מרכיבי הביטוי‪ ,‬ננסה להוציא גורם משותף‬ ‫בחלקים‪ ,‬כלומר‪ ,‬להוציא גורם משותף לשני איברים ואז לשני האיברים האחרים‪.‬‬ ‫)‪x 3 + 2 x 2 − 4 x − 8 x 2 ⋅ ( x + 2) − 4 ⋅ ( x + 2‬‬ ‫=‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫עתה‪ ,‬נוכל לראות כי במונה יש גורם משותף ‪ , ( x + 2) :‬ולכן‪:‬‬ ‫)‪x 2 ⋅ ( x + 2) − 4 ⋅ ( x + 2) ( x + 2) ⋅ ( x 2 − 4‬‬ ‫=‬ ‫‪= x+2‬‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫דרך ב'‪' -‬הצבה פוסלת'‬ ‫כפי שנאמר בהערה שבתחילת ההסברים‪ ,‬את מרבית השאלות לא נפתור באמצעות 'הצבה פוסלת'‬ ‫למרות שבהחלט ניתן לעשות כן‪ ,‬ולשם תזכורת נעשה זאת בשאלה זו‪.‬‬ ‫כמו‪-‬כן‪ ,‬אולי 'הצבה פוסלת' יכולה להיות פתרון מצוין במקרה זה מכיוון שנדמה )לפחות במבט‬ ‫ראשון( שלפנינו אלגברה מסובכת או ארוכה‪.‬‬ ‫נציב ‪ . x = 0 :‬בסריקה זריזה של התשובות ניתן לראות כי עבור ‪ x = 0‬מתקבלות ‪ 4‬תוצאות‬ ‫מספריות שונות‪ ,‬מה שאומר שלא נצטרך להציב פעם שנייה‪.‬‬ ‫‪x3 + 2x 2 − 4 x − 8 03 + 2 ⋅ 0 2 − 4 ⋅ 0 − 8 − 8‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪−4‬‬ ‫‪x2 − 4‬‬ ‫‪02 − 4‬‬ ‫עתה‪ ,‬נעבור לתשובות ונציב בכולן ‪ , x = 0‬ונפסול כל תשובה שערכה יצא שונה מ‪. 2 -‬‬ ‫תשובה )‪ , x = 0 ; x :(1‬תשובה נפסלת‪.‬‬ ‫תשובה )‪ , x − 2 = 0 − 2 = −2 ; x − 2 :(2‬תשובה נפסלת‪.‬‬ ‫תשובה )‪ , x + 2 = 0 + 2 = 2 ; x + 2 :(3‬תשובה לא נפסלת‪.‬‬ ‫תשובה )‪ , x − 4 = 0 − 4 = −4 ; x − 4 :(4‬תשובה נפסלת‪.‬‬ ‫עתה‪ ,‬נוכל לסמן בבטחה את תשובה )‪.(3‬‬ ‫‪.15‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(3‬‬ ‫דרך א'‪' -‬הצבה פוסלת'‬ ‫ממבט חטוף בביטוי הנתון ניתן להבחין כי הוא אמנם לא מערב אלגברה מורכבת‪ ,‬אך יהיה עלינו‬ ‫לבצע הרבה פעולות פישוט ‪ :‬מכנים משותפים‪ ,‬חלוקת שבר בשבר וכו'‪ ,‬ולכן ככל הנראה הדרך‬ ‫היעילה לגשת אליו היא 'הצבה פוסלת'‪.‬‬ ‫נציב ‪ , a = 2 :‬ואם נסרוק את התשובות בזריזות נוכל לראות שעבור ‪ a = 2‬מתקבלות ‪4‬‬ ‫תוצאות מספריות שונות‪ ,‬מה שמבטיח שלא ניאלץ לבצע הצבה שנייה‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2 ⋅3 = 5⋅ 2 ⋅3 = 5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2⋅3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪a ⋅ (a + 1‬‬ ‫= ‪2 ⋅ (2 + 1) = 2 ⋅ 3‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫‪2 +1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a+‬‬ ‫עתה‪ ,‬נעבור לתשובות ונציב בכל אחת מהן ‪ , a = 2‬ונפסול כל תשובה שערכה יצא שונה מ‪. 5 -‬‬ ‫תשובה )‪ . a + 1 = 2 + 1 = 3 ; a + 1 :(1‬תשובה נפסלת‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה )‪+ 1 = + 1 = 1 ; + 1 :(2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .‬תשובה נפסלת‪.‬‬ ‫תשובה )‪ . a 2 + 1 = 2 2 + 1 = 5 ; a 2 + 1 :(3‬תשובה לא נפסלת‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪= 2‬‬ ‫תשובה )‪; 2 :(4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ .‬תשובה נפסלת‪.‬‬ ‫עתה‪ ,‬נוכל לסמן בבטחה את תשובה )‪.(3‬‬ ‫דרך ב'‪ -‬עקרונית )פישוט אלגברי(‬ ‫‪1‬‬ ‫שואלים‪a ⋅ (a + 1) = ? :‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫נוכל גם לכפול קודם את הביטוי )‪ (a + 1‬במונה ) ‪ ( a +‬כי כזכור‪ ,‬כאשר מספר או ביטוי‬ ‫מוכפל בשבר המספר "נדבק למונה"‪ .‬אך הדרך המהירה יותר )אתם מוזמנים לבדוק ‪ ( . . .‬היא‬ ‫קודם לעשות מכנה משותף בביטוי שבמונה‪ ,‬ואז להיפטר מקווי השבר באמצעות "שיטת האוזן"‬ ‫ורק בסוף לכפול את התוצאה בביטוי )‪. (a + 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a2 +1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a ⋅ (a + 1) = a ⋅ (a + 1) = (a + 1) ⋅ a ⋅ (a + 1) = (a + 1) ⋅ a ⋅ (a + 1) = a 2 + 1‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫‪a +1‬‬ ‫)‪a ⋅ (a + 1‬‬ ‫)‪a ⋅ (a + 1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a+‬‬ ‫‪.16‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(4‬‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫שואלים‪− 23 − 22 2 − 22 = ? :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(23‬‬ ‫כמובן שהדרך הלא נכונה והבלתי פסיכומטרית בעליל היא לחשב את הערך המספרי של הביטוי‬ ‫המספרי הנתון‪.‬‬ ‫תזכורת‪ :‬כאשר נתקלים בחישוב שהוא בלתי פסיכומטרי בעליל‪ ,‬כדאי לנהוג במספרים שבו‬ ‫כאילו היו משתנים‪ ,‬ולבצע את פעולות הפישוט שהיינו מבצעים במשתנים‪.‬‬ ‫אם היה לפנינו ביטוי אלגברי ‪ x 2 − x :‬הרי שפעולת הפישוט הראשונה שהייתה עולה בדעתנו‬ ‫היא הוצאת גורם משותף‪ ,‬וכך נעשה גם במקרה לעיל‪.‬‬ ‫)‬ ‫( )‬ ‫= ‪− 23 − 22 − 22 = 23 ⋅ (23 − 1) − 22 ⋅ (22 − 1) = 23 ⋅ 22 − 22 ⋅ 21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(23‬‬ ‫‪= 22 ⋅ (23 − 21) = 22 ⋅ 2 = 44‬‬ ‫‪.17‬‬ ‫התשובה הנכונה היא )‪(4‬‬ ‫דרך א'‪' -‬הצבה פוסלת'‬ ‫ממבט חטוף בביטוי הנתון‪ ,‬ניתן לראות שתהייה לנו עבודת פישוט אלגברית ארוכה ואולי אף‬ ‫מסובכת‪ ,‬ולכן ככל הנראה כדאי לבחור בגישה של 'הצבה פוסלת'‪.‬‬ ‫שימו לב‪ ,‬מאחר שהתשובות מכילות ביטויים מורכבים לא נרצה להקדיש זמן ולבדוק‬ ‫שהמספרים שאנו בוחרים מניבים ‪ 4‬תוצאות מספריות שונות )כדי להבטיח שלא תהייה הצבה‬ ‫מפ ִתים"‪ ,‬כלומר לא נבחר ‪1‬‬ ‫שנייה(‪ ,‬אולם כדי להקטין סיכון להצבה שנייה נבחר מספרים פחות " ָ‬ ‫ו‪ , 0 -‬אלא ‪ c = 3 , b = 2 , a = 1 :‬ו‪. d = 4 -‬‬ ‫= ‪(a + b + c + d )2 + (a + b )2 − (c + d )2 = (1 + 2 + 3 + 4) 2 + (1 + 2) 2 − (3 + 4) 2‬‬ ‫‪= 10 2 + 3 2 − 7 2 = 100 + 9 − 49 = 60‬‬ ‫עתה‪ ,‬נציב בכל אחת מהתשובות ‪ c = 3 , b = 2 , a = 1‬ו‪ , d = 4 -‬ונפסול כל תשובה שערכה‬ ‫יצא שונה מ‪. 60 -‬‬ ‫תשובה )‪ . 2 ⋅ ( a + b) 2 = 2 ⋅ (1 + 2) 2 = 2 ⋅ 3 2 = 18 :(1‬תשובה נפסלת‪.‬‬ ‫תשובה )‪ . 2 ⋅ (a + b) ⋅ (c + d ) = 2 ⋅ (1 + 2) ⋅ (3 + 4) = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42 :(2‬תשובה נפסלת‪.‬‬ ‫תשובה )‪. 2 ⋅ (c + d ) 2 ⋅ ( a + b + c + d ) = 2 ⋅ (3 + 4) 2 ⋅ (1 + 2 + 3 + 4) = : (3‬‬ ‫‪ . = 2 ⋅ 7 2 ⋅ 10 = 2 ⋅ 49 ⋅ 10 = 980‬תשובה נפסלת‪.‬‬ ‫תשובה )‪2 ⋅ (a + b) ⋅ (a + b + c + d ) = 2 ⋅ (1 + 2) ⋅ (1 + 2 + 3 + 4) = 2 ⋅ 3 ⋅ 10 = 60 :(4‬‬ ‫תשובה לא נפסלת‪.‬‬ ‫עתה‪ ,‬נוכל לסמן בבטחה את תשובה )‪.(4‬‬ ‫דרך ב'‪ -‬עקרונית )פישוט אלגברי(‬ ‫שימו לב‪ ,‬מאחר שהסוגריים הימניים ביותר מכילים סכום של ארבעה איברים שמועלה בריבוע‪,‬‬ ‫עבודת פתיחת הסוגריים תהייה ארוכה מאוד ובשל כך גם עם סיכוני טעויות לא מבוטלים‪ ,‬ולכן‬ ‫כדאי במצבים כאלו – להקטין את מספר המשתנים המעורבים בתרגיל על ידי "גישת הייצוג"‪,‬‬ ‫כלומר‪ ,‬לייצג צירוף נעלמים )ביטוי כלשהו( באמצעות נעלם אחד‪ .‬ורק בשלב הפישוט הסופי‬ ‫נחזיר את הערכים המקוריים‪.‬‬ ‫אם כך‪ ,‬נייצג את הביטוי ‪ a + b‬בתור ‪ m‬ואת הביטוי ‪ c + d‬בתור ‪. n‬‬ ‫‪ m = a + b‬ו‪. n = c + d -‬‬ ‫= ‪= ( m + n) 2 + m 2 − n 2‬‬ ‫‪(a + b + c + d )2 + (a + b )2 − (c + d )2‬‬ ‫)‪= m 2 + 2mn + n 2 + m 2 − n 2 = 2m 2 + 2mn = 2m ⋅ (m + n‬‬ ‫מע ֶבר לכך כבר לא נוכל לפשט‪ ,‬ועכשיו זה הזמן להחזיר את הערכים המקוריים של ‪ m‬ו‪. n -‬‬ ‫ֶ‬ ‫כזכור‪ m = a + b :‬ו‪. n = c + d -‬‬ ‫ולכן‪2m ⋅ (m + n) = 2 ⋅ (a + b) ⋅ (a + b + c + d ) ,‬‬