‫סיכום קורס מוקלד ע"י גרבר ערן‪.‬‬
‫סיכומים אלו הן של ההרצאות של מיכל פלדמן‪.‬‬
‫כל אשר בוחר להשתמש בהרצאות אלו עושה זאת על דעת עצמו‪.‬‬
‫לכל טעות בסיכום (או כל נושא אחר) ניתן לפנות למייל‪:‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫נושאים חישוביים בתורת המשחקים – שיעור ‪6‬‬
‫מציאת ש"מ נאש‪:‬‬
‫בשיעור זה נדבר רק על ש"מ נאש באסטרטגיות טהורות‪.‬‬
‫מודל קופסא שחורה‪:‬‬
‫נניח כי יש לנו משחק הנתון לנו בצורה אסטרטגית‪.‬‬
‫‪ n‬שחקנים‪.‬‬
‫לכל שחקן ‪ m‬פעולות אפשריות‪.‬‬
‫קלט‪:‬‬
‫גודל הקלט‪:‬‬
‫הסבר‪ :‬טבלה בגודל‬
‫ובכל כניסה הערכים‬
‫אלגוריתם (פשוט) למציאת ש"מ נאש (בזמן פולינומיאלי בגודל הקלט)‪:‬‬
‫לעבור על כל הכניסות ולבדוק לכל שחקן האם הוא יכול לשפר את עמדתו ע"י שינוי אסטרטגיה‪.‬‬
‫זמן ריצה‪:‬‬
‫רצף תגובות טובות ביותר‪:‬‬
‫מתחילים בפרופיל אסטרטגיות שרירותי‪ ,‬וכל שחקן (בתורו) מבצע את התגובה הטובה ביותר‪.‬‬
‫נזכור כי לא תמיד קיים ש"מ נאש‪ ,‬ויכול להיות מצב שרצף התגובות הטובות ביותר הוא ‪.‬‬
‫מודל "הקופסא השחורה"‪:‬‬
‫נתון משחק "קטן" (בעל ייצוג קטן‪ ,‬לדוגמא משחק עומס)‪.‬‬
‫ישנה למשחק קופסת שאילתות‪ ,‬שהשחקן יכול לשאול אותה שאלה‪ ,‬ולקבל תשובה (מבלי להכיר את חוקי המשחק)‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫שאילתת ערך‪:‬‬
‫𝑖𝑠‬
‫𝑠 𝑖𝑢‬
‫קופסת ערך‬
‫שאילתת תגובה טובה ביותר‪ ,‬נסמנה‬
‫𝑖‬
‫𝑠 ‪𝑠𝑖′‬‬
‫‪:‬‬
‫𝑖𝑠‬
‫‪Best response‬‬
‫אלגוריתם למציאת ש"מ נאש‪:‬‬
‫התחילו בפרופיל אסטרטגיות שרירותי ‪.s‬‬
‫עבור‬
‫עבור‬
‫הפעל‬
‫זמן ריצה‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫נתבונן במשחק הבא‪( :‬שחקן עמודות‪ ,‬שחקן שורות)‬
‫‪L‬‬
‫‪M‬‬
‫‪R‬‬
‫‪U‬‬
‫‪4,9‬‬
‫‪2,8‬‬
‫‪7,10‬‬
‫‪M‬‬
‫‪5,7‬‬
‫‪3,8‬‬
‫‪8,7‬‬
‫‪D‬‬
‫‪4,9‬‬
‫‪2,6‬‬
‫‪0,5‬‬
‫שחקן השורות לא ישחק את השורה ‪U‬‬
‫שחקן העמודות לא ישחק את ‪R‬‬
‫שחקן השורות לא ישחק את ‪D‬‬
‫שחקן העמודות לא ישחק את ‪L‬‬
‫נשארנו עם האסטרטגיה )‪.(M, M‬‬
‫מה שביצענו הוא בכל פעם למחוק את האסטרטגיות הנשלטות‪.‬‬
‫תהליך זה נקרא תהליך אלימינציה של אסטרטגיות נשלטות חזק‪.‬‬
‫משחקם אלו הם משפחה של משחקים פתירים בשליטה‪-‬ממש‪Dominance-Solvable Games :‬‬
‫זו משפחת משחקים שבתהליך האלימינציה של אסטרטגיות נשלטות חזק‪ ,‬אנו נשארים עם פרופיל אסטרטגיות יחיד‬
‫(שהוא ש"מ נאש)‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫כל אלגוריתם דטרמיניסטי שמוצא ש"מ נאש במשחק כללי דורש‬
‫הוכחה‪ :‬נוכיח את המשפט בדרך טיעון יריב (‪)adversary‬‬
‫במשחק יהיו ‪ n‬שחקנים‪.‬‬
‫לכל שחקן ‪ 2‬אסטרטגיות‪.‬‬
‫בין ‪ 2‬שחקנים מתקיים משחק זוג או פרט‪:‬‬
‫זוג‬
‫פרט‬
‫זוג‬
‫‪1,-1‬‬
‫‪-1,1‬‬
‫פרט‬
‫‪-1,1‬‬
‫‪1,-1‬‬
‫התועלת של שאר השחקנים היא ‪.0‬‬
‫מספר פרופיל האסטרטגיות הוא‬
‫שאילתות בדרך‪.‬‬