2 סדנה מס` חלק ב` – סדרות בעיות מילוליות
סדנה מס' 2 סדרות – חלק ב' בעיות מילוליות הוכחה כללית של סדרה חשבונית הסבר כללי – כדי להוכיח שסדרה היא חשבונית יש להראות כי ההפרש בין שני איברים סמוכים כלליים (לאו דווקא )a1,a2,a3הוא קבוע ואינו תלוי ב – .n דוגמאות – הוכיחו כי הסדרה הנתונה an=5n-7היא חשבונית. oכדי להוכיח נראה כי ההפרש an+1-anשווה לגודל קבוע : an+1-an = [5(n+1)-7] – [5n-7] = 5n+5-7-5n+7 = 5 oמאחר וקיבלנו גודל קבוע שאינו תלוי ב – ,nהרי שזו סדרה חשבונית 5 .הוא גם הפרש הסדרה. נתונה סדרה חשבונית .a1,a2,a3, ... : הוכיחו כי גם הסדרה ka1,ka2,ka3,... :חשבונית : oכדי להוכיח נראה כי ההפרש an+1-anשווה לגודל קבוע : oדרך א' : * * an+1 - an = kan+1- kan = k(an+1-an) = kd = kd oדרך ב' : * * = an+1 - an = kan+1- kan = ]= k[a1+(n+1-1)d] – k[a1+(n-1)d = ka1+knd – ka1 – knd +kd = kd הוכיחו כי הסדרה a1, a3, a5,... :חשבונית : oכדי להוכיח נראה כי ההפרש an+2-anשווה לגודל קבוע : oהוכחה : = ]an+2 - an = a1+(n+2-1)d – [a1+(n-1)d = a1+nd + d – a1 – nd + d = 2d עריכת שינויים בסדרה הנדסית הסבר כללי: לפעמים עורכים בשאלה שינויים מסוימים בסדרה המקורית ומתקבלת סדרה הנדסית חדשה עם מאפיינים דומים לסדרה המקורית .באופן עקרוני ,יש להוכיח את כל השינויים הללו באופן מסודר במבחן. הסדרה המקורית: 3 שינויים שונים: 2 … a1, a1q, a1q , a1q , איברים במקומות אי-זוגיים הסדרה החדשה a1* = a1, q* = q2 : מבנה הסדרה החדשהa1, a1q2, a1q4, a1q6, … : הוכחה : n+2-1 n+1 an+2 a1q q )n+1-(n-1 = *q = = qn+1-n+1 = q2 = n-1 n-1 = q an a 1q q במידה והסדרה המקורית היא הנדסית אינסופית ,גם הסדרה החדשה היא כזו מאחר ואם ידוע כי , -1 < q < 1בוודאי גם q2מקיים תכונה זו. איברים במקומות זוגיים הסדרה החדשהa1* = a1q, q* = q2 : מבנה הסדרה החדשהa1q, a1q3, a1q5, a1q7, … : ריבועי האיברים הסדרה החדשהa1* = a12, q* = q2 : מבנה הסדרה החדשה (a1)2, (a1q)2, (a1q2)2, (a1q3)2, … = : … a12 , a12q2 , a12q4 , a12q6, מחליפים את סימני האיברים במקומות הזוגיים הסדרה החדשהa1* = a1, q* = -q : מבנה הסדרה החדשהa1, -a1q, a1q2, -a1q3, … = : מחליפים את סימני האיברים במקומות האי -זוגיים הסדרה החדשהa1* = -a1, q* = -q : מבנה הסדרה החדשה-a1, a1q, -a1q2, a1q3, … = : a1 2 (1-q ריבוע הסכום (בסדרה הנדסית אינסופית) = ) (שימו לב שזה שונה לחלוטין מסכום הריבועים !) כללי נסיגה – תזכורות בסיסיות מציאת איברים – מצאו את חמשת האיברים הראשונים בסדרה : an+1 = 3an + n2 - 5n +2, a1 = 12 ידוע כי האיבר העשירי בסדרה הוא .K מצאו את האיבר ה – 11 מצאו את האיבר ה – 9 הפיכת נוסחה מפורשת לכלל נסיגה – הפכו את כלל הנסיגה הבא לנוסחה מפורשת an = 3n2 + 2n : תזכורות על אחוזים גדלים מרכזיים – ה"שלם" – הגודל המקורי. ה"חלק מהשלם" – החלק שאליו מתייחסים. ה"אחוז" – האחוז של ה"חלק מהשלם" מתוך ה"שלם". דוגמא :בכיתה יש 04תלמידים 05% .מתוכן הן בנות .כמה בנות יש בכיתה ? במקרה זה : השלם הוא ,04 החלק מהשלם הוא מספר הבנות, האחוז הוא .05% ולכן מחשבים את החלק מהשלם. קשרים מרכזיים – "144חלק מהשלם" "שלם" "שלם""אחוז" = ה"חלק מהשלם" 144 "144חלק מהשלם" = ה"שלם" "אחוז" = ה"אחוז" התייקרות /הוזלה – אם יש התייקרות של ,Z% אז האחוז החדש של המוצר אחרי ההתייקרות הוא .100+Z אם יש הוזלה של ,Z% אז האחוז החדש של המוצר אחרי ההוזלה הוא .100–Z הערה :אם מדובר בשאלה עצמה על ההתייקרות או על ההוזלה בלבד ,אז עובדים רק עם ה .Z% בעיות תנועה והספק כללי אחרי שממלאים בטבלה שתי שורות – מייד ממלאים את השלישית באופן אוטומטי. כשמאזנים את המשוואה בסוף ,יש לזכור את "כלל הנדנדה" ,כלומר – קוראים היטב את השאלה ואז ,מוסיפים את פרמטר האיזון לצד הקטן יותר. שימו לב ליחידות המידה .יש לדאוג שכל התרגיל ידבר ב"אותה שפה". למשל ,שכל הזמנים יהיו בשעות ,כל המרחקים בק"מ וכו'. בעיות תנועה כל שלב בבעיה מקבל שורה נפרדת בתרגיל עצמו .באופן כזה ,גם אם לכלי הרכב היה פנצ'ר ,אז עושים שורה נפרדת שבה המהירות היא ,4 המרחק הוא ,4והזמן הוא הזמן שלקח העיכוב. מהירות בבעיות עם זרם : oבכיוון הזרם = המהירות הטבעית ועוד מהירות הזרם. oנגד כיוון הזרם = המהירות הטבעית פחות מהירות הזרם. בעיות הספק יש להבחין בין בעיות עם הספק ועבודה אמיתיים (כלומר ,פועל מכין 12 פריטים בשעה ,יש לסלול 044מטר כביש וכו') לבין בעיות הספק עם עבודה כללית ולא ידועה (כמו צינור ממלא בריכה ,קבוצת פועלים מבצעת עבודה וכו'). הבעיות מהסוג הראשון מתנהגות בדיוק כמו אלו של תנועה. בבעיות מהסוג השני ,מוסיפים שורות עזר בתחילת הטבלה שמייצגות מה קורה אם כל אחד מבצע את העבודה לבד.
© Copyright 2024