‫דר' רפי ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪2‬‬ ‫פתרונות נבחרים לתרגיל בית מס' ‪– 11‬‬ ‫פתרון בעיות קומבינטוריות באמצעות‬ ‫נוסחאות נסיגה‬ ‫‪ .1‬א‪ .‬נסמן את מספר תת‪-‬הקבוצות של קבוצה בת ‪ n‬איברים ב‪ . f n  -‬תהי‬ ‫‪ . A  a 1 , a 2 ,..., a n ‬נתבונן בקבוצה ‪ , A \ a n ‬המונה ‪ n  1‬איברים‪ ,‬ולכן‬ ‫מספר תת‪-‬הקבוצות שלה הוא‪ . f n  1 :‬נתבונן שוב בתת‪-‬הקבוצות של‬ ‫‪ . A \ a n ‬עבור כל תת‪-‬קבוצה כזו ישנן בדיוק ‪ 2‬אפשרויות‪ ,‬ההופכות‬ ‫אותה לתת‪-‬קבוצה של ‪ :A‬להכניס לתוכה את ‪ a n‬או לא להכניס לתוכה‬ ‫את ‪ . a n‬לכן‪ ,‬עפ"י עקרון הכפל‪. n  N : f n   2f n  1 , f 0  1 :‬‬ ‫ב‪ .‬ידוע לנו (מהקורס מתמטיקה בדידה ‪ )1‬כי‪ . n  N  0: f n   2 n :‬בדקו‪,‬‬ ‫ע"י פתרון נוסחת הנסיגה שמצאתם בסעיף א' לעיל‪ ,‬שזו אכן התשובה‬ ‫המתקבלת‪.‬‬ ‫‪ .2‬נפתור את סעיף א'‪ .‬נסמן את מספר המילים המבוקש ב‪ . f n  -‬עבור ‪, n  1‬‬ ‫נביט באות האחרונה – שנמצאת במקום ה‪.n -‬‬ ‫נבחין בין שני המקרים הבאים‪:‬‬ ‫‪ ‬אם זוהי אות סופית‪ ,‬אז במקום ה‪ n-1 -‬בהכרח נמצאת אות קטנה‪ ,‬ואז‬ ‫נותרנו עם בעיה של ‪ n-2‬מקומות (אין הגבלה לגבי האות במקום ה‪,n-2 -‬‬ ‫מכיוון שהאות במקום ה‪ n-1 -‬היא קטנה)‪.‬‬ ‫מספר המילים באורך ‪ n-1‬שמתאימות לנו הוא )‪.f(n-1‬‬ ‫עלינו לכפול ב‪ 4 -‬מאחר ויש ‪ 4‬אפשרויות לאות במקום ה‪( n -‬אות סופית)‪,‬‬ ‫ושוב לכפול ב‪ ,4 -‬מאחר ויש ‪ 4‬אפשרויות לאות במקום ה‪( n-1 -‬לא‬ ‫סופית)‪.‬‬ ‫לסיכום‪ :‬ע"פ עקרון הכפל נקבל‪. 4  4 f  n  2  16 f  n  2 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם האות במקום ה‪ n -‬אינה אות סופית (ישנן ‪ 4‬אפשרויות לאות כזו)‪,‬‬ ‫אז אין הגבלה לגבי האות במקום ה‪ ,n-1 -‬ונותרנו עם בעיה של ‪n-1‬‬ ‫מקומות‪ f(n-1) -‬אפשרויות למילה חוקית באורך ‪.n-1‬‬ ‫ע"פ עקרון הכפל נקבל‪4  f  n  1 :‬‬ ‫ע"פ עקרון הסכום‪ ,‬נקבל‪:‬‬ ‫‪f (0)  1, f 1  8 , n  2 : f  n   4 f  n  1  16 f  n  2 ‬‬ ‫‪ .3‬א‪ .‬בבניית המחרוזת משמאל לימין יש בדיוק ‪ 3‬אופציות לבחירת הספרה‬ ‫השמאלית ביותר‪ ,‬ולאחר מכן בדיוק ‪ 2‬אופציות לבחירת כל אחת‬ ‫מהספרות הבאות‪ ,‬שכן כל ספרה פוסלת מימינה בדיוק ספרה אחת‪.‬‬ ‫לכן‪ ,‬קיימות ‪ 3  2n 1‬מחרוזות כאלו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬המחרוזות החוקיות הן מחרוזות בעלות המבנה הבא‪:‬‬ ‫‪ . 0i1j2k : i, j, k  N  0‬כל מחרוזת כזו מאופיינת ע"י מספר ה‪0 -‬ים‪ ,‬ה‪-‬‬ ‫‪1‬ים וה‪2 -‬ים שבה‪ .‬לכן‪ ,‬מספר המחרוזות החוקיות הנ"ל הוא כמספר‬ ‫‪ n  3  1  n  2 ‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫האפשרויות לפיזור ‪ n‬תוים זהים ל‪ 3 -‬ספרות שונות‪ :‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪ 3 1   2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫דר' רפי ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪2‬‬ ‫‪ .4‬א‪g 1  2 , n  2 : g  n   2  g  n  1 .‬‬ ‫‪ 95 .1‬שניות‬ ‫‪ .9‬נסמן את הפתרון‪/‬התשובה המבוקשת עבור סולם בן ‪ n‬שלבים ב‪. f n  -‬‬ ‫נוסחת הנסיגה היא‪. f 1  1 , f  2  2 , n  3: f  n  f  n  1  f  n  2 :‬‬ ‫(בדקו‪ ).‬פתרו נוסחת נסיגה זו והציבו בפתרון (בנוסחא המפורשת) ‪. n  20‬‬ ‫‪ .6‬נסמן את הפתרון‪/‬התשובה המבוקשת ב‪. f n  -‬‬ ‫נעזר בפתרון בעיה אחרת‪ ,‬על מנת למצוא נוסחת נסיגה למקרה שלנו‪.‬‬ ‫נסמן ב‪ g(n) -‬את מס' הסידורים מחדש של ‪ n‬אנשים בשורה ‪ ,‬כשכל אחד‬ ‫יכול לזוז לכל היותר מקום אחד ימינה או שמאלה‪( .‬שימו לב שבמקרה של‬ ‫סידור בשורה‪ ,‬האנשים היושבים בקצוות מוגבלים יותר‪ -‬הם יכולים לזוז רק‬ ‫לכיוון אחד או להשאר במקומם‪).‬‬ ‫נחזור לבעיה שלנו‪ -‬סידור אנשים במעגל‪ .‬נמצא נוסחת נסיגה עבור ‪: f  n ‬‬ ‫נתבונן באחד מהאנשים במעגל – קיימות מספר אפשרויות לגביו‪:‬‬ ‫א‪ .‬הוא נותר במקומו – יש ליישב מחדש את ‪ n-1‬האחרים‪ ,‬אך כעת אי אפשר‬ ‫להתייחס אל ‪ n-1‬האנשים שנותרו כאל מעגל‪ ,‬אלא נשארנו עם שורה‪.‬‬ ‫זאת מאחר והאנשים שליד האיש שנשאר במקומו לא יכולים לנוע לכיוונו‪.‬‬ ‫(בדומה לאנשים בקצוות שורה‪).‬‬ ‫לפיכך נותרנו עם ‪ g  n  1‬אפשרויות סידור‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הוא מתחלף עם שכנו מימין ‪ -‬יש ליישב מחדש את ‪ n-2‬האחרים ב‪-‬‬ ‫‪ g  n  2 ‬אפשרויות‪( .‬שוב נשארנו עם ‪ n-2‬אנשים בשורה‪).‬‬ ‫ג‪ .‬הוא מתחלף עם שכנו משמאל ‪ -‬יש ליישב מחדש את ‪ n-2‬האחרים ב‪-‬‬ ‫‪ g  n  2 ‬אפשרויות‪.‬‬ ‫ד‪ .‬הוא זז יחד עם כולם מקום אחד עם כוון השעון – אפשרות אחת‪.‬‬ ‫ה‪ .‬הוא זז יחד עם כולם מקום אחד נגד כוון השעון – אפשרות אחת‪.‬‬ ‫לפיכך‪ ,‬נקבל‪. n  2 : f  n   g  n  1  2 g  n  2  2 :‬‬ ‫עלינו למצוא נוסחת נסיגה עבור )‪ g(n‬ולפתור אותה‪.‬‬ ‫הראו כי‪:‬‬ ‫‪g (0)  1, g (1)  1, n  2 : g  n   g  n  1  g  n  2 ‬‬ ‫ופתרו את נוסחת הנסיגה‪.‬‬ ‫‪ .7‬נפתור הבעיה עבור ‪ n‬ישרים ונסמן את הפתרון‪/‬התשובה המבוקשת ב‪. f n  -‬‬ ‫נתייחס ל‪ n -‬הישרים הנתונים בתנאי השאלה כאל ‪ n-1‬ישרים ועוד ישר נוסף‪.‬‬ ‫נתעלם בהתחלה מהישר הנוסף‪ .‬עפ"י הסימון לעיל‪ ,‬מספר התחומים‬ ‫במישור הנוצרים ע"י ‪ n-1‬ישרים אלו הוא‪ . f  n  1 :‬הישר הנוסף‪ ,‬ה‪n -‬י‪,‬‬ ‫מפצל כל תחום בו הוא עובר לשניים‪ .‬ישנם ‪ n‬תחומים כאלה‪ ,‬שכן התחום בו‬ ‫עובר ישר זה מתחלף בכל אחת מנקודות החיתוך שלו עם ‪ n-1‬הישרים‬ ‫האחרים‪ .‬לאור זאת‪ ,‬נוסחת הנסיגה היא‪:‬‬ ‫‪ . f  0  1 , n  : f  n   f  n  1  n‬באמצעות שיטת האיטרציה‪ ,‬ניתן‬ ‫‪2‬‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪2‬‬ ‫‪n  n  1‬‬ ‫להגיע לנוסחא המפורשת‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫וקבלו את התשובה המבוקשת‪.‬‬ ‫דר' רפי ברכאן‬ ‫‪ 0 : f  n   1 ‬‬ ‫‪ . n ‬הציבו ‪n  100‬‬ ‫‪ .8‬נפתור הבעיה עבור ‪ n‬מעגלים במישור ונסמן את הפתרון ב‪ . f n  -‬ברור כי‪:‬‬ ‫‪ . f 1  2‬כמו כן‪ ,‬אם כבר נתונים במישור ‪ n-1‬מעגלים‪ ,‬הרי שכל מעגל נוסף‬ ‫יכול לחתוך כל אחד מהם בלכל היותר ‪ 2‬נקודות‪ ,‬ולכן אותו מעגל ייצור‬ ‫תוספת של עוד לכל היותר ‪ 2n  1‬תחומים‪( .‬בדקו‪ ).‬לכן‪:‬‬ ‫‪ . f 1  2 , n  2 : f n   f n  1  2n  1‬באמצעות שיטת האיטרציה‪ ,‬ניתן‬ ‫להגיע לנוסחא המפורשת‪ . n  : f  n   2  n  n 1 :‬הציבו ‪ n  100‬וקבלו‬ ‫את התשובה המבוקשת‪.‬‬ ‫‪ .5‬חלוקה של קבוצה בת ‪ n‬איברים ל‪ k -‬תת‪-‬קבוצות זרות ולא ריקות דורשת‬ ‫גם (כזכור‪ ,‬עפ"י הגדרת המושג‪ :‬חלוקה) כי איחוד תת‪-‬הקבוצות ייתן את‬ ‫הקבוצה המקורית‪.‬‬ ‫א‪ .‬ניתן לחלק קבוצה בת ‪ n‬איברים לתת‪-‬קבוצה אחת באופן הנ"ל אם"ם‬ ‫תת‪-‬הקבוצה היא הקבוצה עצמה‪ .‬מספר האפשרויות לכך‪ , pn,1 ,‬הוא‬ ‫‪.1‬‬ ‫ב‪ .‬ניתן לחלק קבוצה בת ‪ n‬איברים ל‪ n -‬תת‪-‬קבוצות זרות‪ ,‬משלימות ולא‬ ‫ריקות אם"ם כל תת‪-‬קבוצה כזו מכילה איבר אחד (שונה) מהקבוצה‬ ‫המקורית‪ .‬מספר האפשרויות לכך‪ , pn, n  ,‬הוא ‪.1‬‬ ‫ג‪ .‬בהנתן קבוצה בת ‪ n‬איברים‪ ,‬נערוך רשימה של כל תת‪-‬הקבוצות‬ ‫שלה‪ .‬ברשימה זו‪ ,‬כידוע‪ ,‬יהיו ‪ 2 n‬תת‪-‬קבוצות‪ .‬עבור כל תת‪-‬קבוצה‬ ‫ברשימה נרשום לצידה את תת‪-‬הקבוצה המשלימה אותה לקבוצה‬ ‫המקורית (בת ‪ n‬האיברים)‪ .‬ברור כי תת‪-‬קבוצה זו תהיה גם זרה לה‪.‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫באופן זה נקבל‪ 2n 1 :‬‬ ‫זוגות שונים של תת‪-‬קבוצות זרות‬ ‫‪2‬‬ ‫ומשלימות‪ .‬נשמיט מרשימה זו את הזוג המכיל את הקבוצה המקורית‬ ‫והקבוצה הריקה (זרות ומשלימות)‪ ,‬ונקבל את מספר החלוקות של‬ ‫קבוצה בת ‪ n‬איברים ל‪ 2 -‬תת‪-‬קבוצות זרות ולא ריקות‪ .‬לכן‪:‬‬ ‫‪. pn,2  2 n 1  1‬‬ ‫ד‪ .‬חלוקה של קבוצה בת ‪ n‬איברים ל‪ n-1 -‬תת‪-‬קבוצות זרות ולא ריקות‬ ‫דורשת בהכרח שכל תת‪-‬הקבוצות‪ ,‬למעט אחת‪ ,‬תכלנה איבר אחד‬ ‫(שונה)‪ .‬בנוסף‪ ,‬תתקבל תת‪-‬קבוצה בודדת שבה שני איברים‪ .‬לכן‪,‬‬ ‫מספר החלוקות שקול למספר האפשרויות ליצור תת‪-‬קבוצה בגודל ‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫מתוך קבוצה בת ‪ n‬איברים‪.   :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫דר' רפי ברכאן‬ ‫מתמטיקה בדידה ‪2‬‬ ‫‪ .11‬נסמן את מס' המחרוזות החוקיות ב‪(. f(n) -‬מחרוזת חוקית הינה מחרוזת שבה‬ ‫‪ 9‬מופיע מספר זוגי של פעמים‪).‬‬ ‫נביט במחרוזת באורך ‪ . n‬ישנן מספר אפשרויות לאיבר הראשון‪:‬‬ ‫מקרה א‪ :‬בו האיבר הראשון הוא אחד מהמספרים ‪.1,2,3,4‬‬ ‫על כן‪ ,‬נשארנו עם מחרוזת באורך ‪ , n-1‬שבה ‪ 9‬אמור להופיע מספר זוגי של‬ ‫פעמים (שכן הוא לא הופיע באיבר הראשון‪ ,‬וברצוננו ליצור מחרוזת חוקית‬ ‫באורך ‪). n‬‬ ‫מספר האפשרויות למחרוזת חוקית באורך ‪( n-1‬שבה ‪ 9‬מופיע מספר זוגי של‬ ‫פעמים) הוא )‪.f(n-1‬‬ ‫בנוסף עלינו לכפול ב‪ ,4 -‬כמספר האפשרויות עבור האות הראשונה‪.‬‬ ‫לסיכום‪4  f  n  1 :‬‬ ‫מקרה ב‪ :‬בו האיבר הראשון הוא ‪.9‬‬ ‫על כן‪ ,‬נשארנו עם מחרוזת באורך ‪ ,n-1‬שבה נרצה ש‪ 9 -‬יופיע מספר אי זוגי‬ ‫של פעמים‪( .‬זאת על מנת שתתקבל מחרוזת באורך ‪ ,n‬ובה ‪ 9‬יופיע מספר‬ ‫זוגי של פעמים‪).‬‬ ‫נחשב את מס' האפשרויות לכך ע"י חישוב המקרה המשלים‪:‬‬ ‫מס' המחרוזות באורך ‪ n-1‬המורכבות מהמספרים ‪( 1,2,3,4,9‬ללא הגבלה‬ ‫כלשהי) הוא‪5n1 :‬‬ ‫מאחר ואנו רוצים מחרוזות שבהן ‪ 9‬יופיע מס' אי זוגי של פעמים‪ ,‬עלינו‬ ‫להחסיר את מס' המחרוזות בהן ‪ 9‬מופיע מס' זוגי של פעמים והוא‪.f(n-1) -‬‬ ‫(כלומר‪ -‬נחסיר את מספר המחרוזות החוקיות באורך ‪).n-1‬‬ ‫לסיכום ‪ ,‬מס' המחרוזות באורך ‪ n-1‬בהן ‪ 9‬מופיע מספר אי זוגי של פעמים‬ ‫הוא‪5n1  f (n  1) :‬‬ ‫נסכום את שקיבלנו ‪:‬‬ ‫)‪f (n)  4 f (n  1)  5n1  f (n  1‬‬ ‫ונסחאת הנסיגה שהתקבלה (בצירוף תנאי התחלה)‪:‬‬ ‫‪f 1  4 , n  2 : f  n   3 f  n  1  5n1‬‬ ‫פיתרו זאת‪ ,‬וקבלו את מס' האפשרויות הרצוי‪.‬‬ ‫‪4‬‬