1. No category

‫פתרון גליון בנושא נוסחאות נסיגה הומוגניות ולא הומוגניות‪:‬‬
‫שאלה ‪:5‬‬
‫מדובר בנוסחת נסיגה הומוגנית‪.‬‬
‫תחילה נמצא פולינום אופייני‪:‬‬
‫נציב בנוסחת הנסיגה ‪( f ( n )  x n‬פתרון פולינומיאלי)‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪xn  3xn1  4 xn2‬‬
‫נחלק ב‪ x n2 -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪x 2  3x  4  0‬‬
‫ושורשי הפולינום האופייני הם‪x  4, x  1 :‬‬
‫לכן‪ ,‬הפתרון יהיה מהצורה הבאה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪f (n)    1   (4) n‬‬
‫נמצא את המקדמים ‪  , ‬ע"י הצבת תנאי ההתחלה‪:‬‬
‫‪f (0)  0    1   (4)0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (1)  5    1   (4)1‬‬
‫‪1‬‬
‫והתקבלה מע' של שתי משוואות‪:‬‬
‫‪0   ‬‬
‫‪5    4‬‬
‫נפתור את המע'‪ ,‬ונקבל‪  1,   1 :‬‬
‫לפיכך‪ ,‬פתרון נוסחת הנסיגה ותנאי ההתחלה הוא‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n  N : f (n)  1 1  1(4) n  ( 1) n  4n‬‬
‫שאלה ‪:7‬‬
‫מדובר בנוסחת נסיגה הומוגנית‪.‬‬
‫נמצא פולינום אופייני‪:‬‬
‫נציב בנוסחת הנסיגה ‪( f ( n )  x n‬פתרון פולינומיאלי)‪ ,‬ונקבל‪:‬‬
‫‪xn  5xn1  8xn2  4 xn3‬‬
‫נחלק ב‪ x n3 -‬ונקבל‪:‬‬
‫‪x 3  5x 2  8 x  4  0‬‬
‫ננחש שורש ‪ , x  1‬ומחילוק ארוך נגיע לשורשים הנוספים‪:‬‬
‫שורש מריבוי ‪ 2‬הוא‪. x  2 :‬‬
‫לסיכום‪ ,‬שורשי הפולינום האופייני הם‪ x  1 :‬מריבוי ‪ x  2 ,1‬מריבוי ‪.2‬‬
‫על כן‪ ,‬הפתרון שהתקבל הוא מהצורה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪f (n)   1   (2) n    n  (2) n‬‬
‫(שימו לב לריבוי ‪ 2‬של השורש)‬
‫כעת‪ ,‬עלינו למצוא את המקדמים לפי תנאי ההתחלה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (0)  0   1   (2)0    0  (2)0‬‬
‫‪f (1)  1   1   (2)1   1 (2)1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (2)  2   1   (2)2    2  (2) 2‬‬
‫‪2‬‬
‫ומתקבלת מע' של שלוש משוואות‪:‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪1    2   2‬‬
‫‪2    4   8‬‬
‫‪1‬‬
‫פתרונה הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  2,   2,   ‬‬
‫והפתרון לנוסחת הנסיגה ותנאי ההתחלה הוא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n  N : f (n)  2 1  2(2)n   n  (2)n‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלה ‪:8‬‬
‫מדובר בנוסחת נסיגה לא הומוגנית‪.‬‬
‫‪f (n )  3 f (n  1)  3n‬‬
‫תחילה‪ ,‬נביט בחלק ההומוגני של נוסחת הנסיגה‪:‬‬
‫)‪f (n)  3 f (n  1‬‬
‫נמצא פולינום אופייני ע"י הצבת ‪ , f ( n )  x n‬ונקבל‪:‬‬
‫‪x 2  3x  0‬‬
‫שורשיו הם‪x  3, x  0 :‬‬
‫ויתקבל פתרון עבור החלק ההומוגני‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪f (n)    3   (0)n    3‬‬
‫(בשלב זה עדין לא מוצאים את המקדם‪).‬‬
‫כעת‪ ,‬נטפל בתוספת הלא הומוגנית‪.‬‬
‫החלק הלא הומוגני בנוסחת הנסיגה הוא‪:‬‬
‫‪g ( n )  3n‬‬
‫נרשום אותו באופן הבא‪ , g (n )  1  3n :‬ונסמן ‪ , q(n)  1‬כאשר זהו פולינום‬
‫במשתנה ‪ ,n‬שמעלתו היא ‪.0‬‬
‫נשים לב ש‪( x  3 -‬שמופיע כאן בחזקת ‪ ,) n‬הוא שורש של הפולינום האופייני‪.‬‬
‫(שחישבנו קודם לכן‪).‬‬
‫על כן‪ ,‬התוספת הלא הומוגנית לפתרון תהיה מהצורה‪:‬‬
‫‪ , r  n   n  3n‬כאשר ‪ r  n ‬הינו פולינום במשתנה ‪ ,n‬ודרגתו זהה לדרגתו של‬
‫‪. q(n)  1‬‬
‫כלומר‪ , deg(r(n))  deg(q(n))  0 :‬ו‪. c  R : r(n)  c -‬‬
‫(כי כך נראה כל פולינום ממעלה ‪).0‬‬
‫שימו לב שכפלנו ב‪ ,n -‬מאחר ו‪ 3 -‬הוא שורש של הפולינום האופייני מריבוי ‪.1‬‬
‫התוספת הלא הומוגנית לפתרון היא מהצורה‪c  n  3n :‬‬
‫‪n‬‬
‫והפתרון לנוסחא הוא מהצורה‪f (n )    3  cn(3) n :‬‬
‫נציב לתוך נוסחת הנסיגה הלא הומוגנית על מנת למצוא את ‪.c‬‬
‫‪cn3n  3c( n  1)3n 1  3n‬‬
‫נחלק ב‪ 3n -‬ונקבל לאחר העברת אגפים‪. c  1 :‬‬
‫קיבלנו‪ r(n)  1 :‬והתוספת הלא הומוגנית היא‪1 n  3n :‬‬
‫לסיכום‪ ,‬פתרון נוסחת הנסיגה הלא הומוגנית יראה כך‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪f (n)    3  1  n   3‬‬
‫ונותר רק למצוא את המקדם ע"י הצבת תנאי התחלה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (0)  1    3  0  (3)0‬‬
‫כלומר‪  1 :‬‬
‫לסיכום‪ ,‬פתרון נוסחת הנסיגה ותנאי ההתחלה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n  N : f (n)  1 3  n(3)n‬‬
‫שאלה ‪:10‬‬
‫מדובר בנוסחת נסיגה לא הומוגנית‪.‬‬
‫‪f (n)  5 f (n  1)  6 f (n  2)  7‬‬
‫תחילה‪ ,‬נביט בחלק ההומוגני של נוסחת הנסיגה‪:‬‬
‫)‪f (n)  5 f (n  1)  6 f (n  2‬‬
‫נמצא פולינום אופייני ע"י הצבת ‪ , f ( n )  x n‬ונקבל‪:‬‬
‫‪x 2  5x  6  0‬‬
‫שורשיו הם‪x  3, x  2 :‬‬
‫ויתקבל פתרון עבור החלק ההומוגני‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪f (n )    3   (2) n‬‬
‫(בשלב זה עדין לא מוצאים את המקדמים‪).‬‬
‫כעת‪ ,‬נטפל בתוספת הלא הומוגנית‪.‬‬
‫החלק הלא הומוגני בנוסחת הנסיגה הוא‪g(n)  7 :‬‬
‫נרשום אותו באופן הבא‪ , g (n)  7  1 :‬ונסמן ‪, q(n)  7‬כאשר זהו פולינום‬
‫‪n‬‬
‫במשתנה ‪ ,n‬שמעלתו היא ‪.0‬‬
‫נשים לב ש‪( x  1 -‬שמופיע כאן בחזקת ‪ ,) n‬אינו שורש של הפולינום האופייני‪.‬‬
‫(שחישבנו קודם לכן‪).‬‬
‫על כן‪ ,‬התוספת הלא הומוגנית לפתרון תהיה מהצורה‪:‬‬
‫‪ , r  n  1n‬כאשר ‪ r  n ‬הינו פולינום במשתנה ‪ ,n‬ודרגתו זהה לדרגתו של‬
‫‪. q(n)  1‬‬
‫כלומר‪ , deg(r(n))  deg(q(n))  0 :‬ו‪. c  R : r(n)  c -‬‬
‫(כי כך נראה כל פולינום ממעלה ‪).0‬‬
‫התוספת הלא הומוגנית לפתרון היא מהצורה‪c 1n :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫והפתרון לנוסחא הוא מהצורה‪f (n)    3   (2)n  c 1 :‬‬
‫נציב לתוך נוסחת הנסיגה הלא הומוגנית על מנת למצוא את ‪.c‬‬
‫‪c1n  5c1n1  6c1n2  7‬‬
‫ונקבל לאחר העברת אגפים‪. c  3.5 :‬‬
‫‪n‬‬
‫קיבלנו‪ r(n)  3.5 :‬והתוספת הלא הומוגנית היא‪3.5 1 :‬‬
‫לסיכום‪ ,‬פתרון נוסחת הנסיגה הלא הומוגנית יראה כך‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪f (n)    3    2   3.5 1n‬‬
‫ונותר רק למצוא את המקדמים ע"י הצבת תנאי התחלה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (0)  1    3    2   3.5‬‬
‫‪f (1)  2   (3)1   (2)1  3.5‬‬
‫ונקבל‪  3.5,   6 :‬‬
‫לסיכום‪ ,‬פתרון נוסחת הנסיגה ותנאי ההתחלה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n  N : f (n )  3.5  3  6(2) n  3.5(1) n‬‬