תרגיל בית 9
מופשטת 2תשע"ד -תרגיל 9
תרגיל 1
קבע האם הפולינומים הבאים אי-פריקים בחוגים המצויינים ,ואם הם פריקים
מצא את הפירוק שלהם לגורמים אי-פריקים.
א.
ב.
ג.
ד.
𝑥 2 + 𝑥 + 1ב ]𝑥[ .ℤ2
𝑥 3 + 𝑥 + 1ב ]𝑥[ .ℤ3
𝑥 4 + 1ב ]𝑥[ .ℤ5
𝑥 4 + 10𝑥 2 + 1ב ]𝑥[.ℤ
תרגיל 2
הוכח שהפולינומים הבאים אי-פריקים מעל :ℤ
א𝑥 4 − 4𝑥 3 + 6 .
ב𝑥 6 + 30𝑥 5 − 15𝑥 3 + 6𝑥 − 120 .
ג𝑥 4 + 4𝑥 3 + 6𝑥 2 + 2𝑥 + 1 .
ד.
𝑝(𝑥+2)𝑝 −2
𝑥
כש 𝑝 -הוא מספר ראשוני אי-זוגי.
תרגיל 3
הוכח שהפולינום 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) … (𝑥 − 𝑛) − 1הוא אי-פריק מעל
ℤלכל .𝑛 ≥ 1
תרגיל 4
בנה שדות מגדלים:
א9 .
ב49 .
ג8 .
תרגיל 5
]𝑦[ ℤ11
]𝑥[ ℤ
הוכח ש > 𝐾1 = 11 ⁄< 𝑥 2 + 1ו⁄< 𝑦 2 + 2𝑦 + 2 > -
שניהם שדות מגודל .121והוכח שההעתקה 𝜑: 𝐾1 → 𝐾2המוגדרת ע"י
) 𝜑(𝑝(𝑥)) = 𝑃(𝑦 + 1מוגדרת היטב והיא איזומורפיזם.
= 𝐾1הם
תרגיל 6
הוכח שהפולינום 𝑝(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 2 + 8𝑥 + 2הוא אי-פריק מעל ].ℚ[√−2
תרגיל 7
הוכיחו כי 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1הוא אי-פריק ב ].ℚ[x, y
תרגיל 8
תרגיל 9
הוכח שאם חוג הוא נתרי אז כל אידאל שלו נוצר סופית
פתרונות
תרגיל 1
א.
ב.
ג.
ד.
קל לבדוק שאין לו שורש ב ℤ2ולכן הוא אי-פריק.
) 𝑥 3 + 𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 2כשהגורם השני אי=פריק כי אין
לו שורש.
2
טריק :נשים לב שב ℤ5מתקיים 2 = 4 = −1ולכן הוא כמו 𝑖 בחוג זה.
) 𝑥 4 + 1 = (𝑥 2 + 2)(𝑥 2 − 2הגורמים הם אי-פריקים כי אין להם
שורש.
אי-פריק .נפרק מעל :ℂ
) 𝛼√ 𝑥 4 + 10𝑥 2 + 1 = (𝑥 − √𝛼)(𝑥 + √𝛼)(𝑥 − √𝛼)(𝑥 +
כאשר 𝛼 = −5 + 2√6 , 𝛼 = −5 − 2√6
נחשב 𝛼 ⋅ 𝛼 = 1 , 𝛼 + 𝛼 = −10
ואז מחשבים שאין מכפלת גורמים שנותנת פירוק מעל ( .ℤוזה מוכיח אי-
פריקות בגלל שאנחנו בתחום פריקות יחידה).
תרגיל 2
א .איזנשטיין עם 2
ב .איזנשטיין עם 3
4
ג .נציב במקום 𝑥 את 𝑥 − 1ונקבל 𝑥 − 2𝑥 + 2 :שהוא אי-פריק לפי
אינשטיין עם .2
ד.
𝑝
𝑝 𝑝−1
𝑝
𝑝−1
𝑝
𝑝
𝑥𝑥 + (1)2
+ ⋯ + (1)2 𝑥 + 2 − 2
𝑥
𝑝
𝑝
= 𝑥 𝑝−1 + ( ) 2𝑥 𝑝−2 + ⋯ + ( ) 2𝑝−1
1
1
שהוא אי-פריק לפי איזנשטיין עם .p
תרגיל 3
נניח שיש פירוק )𝑥(𝑏)𝑥(𝑎 = )𝑥(𝑝 אמיתי כלומר ש = 𝑛 < )𝑏(deg(𝑎), deg
)𝑝(deg
נציב את הערכים 𝑛 𝑥 = 1,2, … ,ונקבל שבכולם }.𝑎(𝑥) = −𝑏(𝑥) ∈ {1, −1
אם כן לפולינום )𝑥(𝑏 𝑎(𝑥) +יש 𝑛 שורשים 1, … , 𝑛 :אבל הוא מדרגה > 𝑛 וזו
סתירה!
תרגיל 4
א .נקח את השדה ℤ3ונחפש פולינום אי פריק מדרגה 𝑥 2 − 2 .2הוא כזה
]𝑥[ ℤ
3 ⁄הוא שדה מסדר .9
(כי אין לו שורשים) ולכן
> < 𝑥2 − 2
ב .נקח את השדה ℤ7ונחפש פולינום אי פריק מדרגה 𝑥 2 − 3 .2הוא כזה
]𝑥[ ℤ
7 ⁄הוא שדה מסדר .49
(כי אין לו שורשים) ולכן
> < 𝑥2 − 3
ג .נקח את השדה ℤ2ונחפש פולינום אי פריק מדרגה 𝑥 3 + 𝑥 + 1 .3הוא
]𝑥[ ℤ
2 ⁄הוא שדה מסדר
כזה (כי אין לו שורשים) ולכן
> < 𝑥3 + 𝑥 + 1
.8
תרגיל 5
קל לראות שהפולינומים אי פריקים (כי אין להם שורש ב )ℤ11ולכן המנות הם
שדות .כיוון שהפולינומים הם מאותה דרגה ,שני השדות הן מסדר .112 = 121
ההעתקה φשומרת על השדה (כלומר ש ) 𝜑(𝑛) = 𝑛 ∀𝑛 ∈ ℤ11והיא
מעתיקה את 𝑥 ל .𝑦 + 1 -ולכן כדי להראות שזה הומומורפיזם מוגדר היטב
מספיק להראות ש .𝜑(0) = 𝜑(𝑥 + 1) = 0
2
2
ואמנם.𝜑(𝑥 + 1) = (𝑦 + 1)2 + 1 = 𝑦 + 2𝑦 + 2 = 0 ,
כיוון שמדובר בשדות זה בהכרח חח"ע.
וזה על שכן 𝑦 = ).φ(𝑥 − 1
תרגיל 6
נניח ש αהוא שורש של )𝑥(𝑝 .אז 𝛼 4 − 4𝛼 2 + 8𝛼 = −2ולכן (כי ]ℤ[√−2
הוא תפ"י!) 𝛼 מחלק את .2המחלקים היחידים של 2בחוג הם ±1, ±√−2, ±2
(קל להראות את זה בעזרת נורמה למשל) ואף אחד מהם הוא לא שורש של
הפולינום --- .אם כן ל)𝑥(𝑝 אין גורמים לינארים.
אם ל 𝑝(𝑥) -היה פירוק לשני גורמים ריבועיים ,המקדם החופשי של כל אחד
מהגורמים הוא גם מחלק של 2ולכן הוא .±1, ±√−2, ±2
אם נרשום את 𝑝 כמכפלה של שני גורמים ריבועיים כלליים ,קל לראות
שהמקדמים של 𝑥 2חייבים להיות 1ושהמקדמים של 𝑥 צריכים להיות נגדיים.
כלומר שנקבל 𝑝(𝑥) = (𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏1 )(𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑏2 ) :כאשר האפשרויות
ל 𝑏1 , 𝑏2 -הם כמו שתיארנו למעלה .נעבור על כל האפשרויות (זה לא כ"כ
הרבה .הרי צריך שמכפלתם תהיה 2ויש סימטריה) ונראה שאין אפשרות
כזאת.
תרגיל 7
נסתכל על ] < 𝑦 2 − 1 > .ℚ[y][xהוא לא ראשוני ב ] ,ℚ[yאלא יש לו פירוק:
) 𝑦 + 1 .𝑦 2 − 1 = (𝑦 − 1)(𝑦 + 1הוא אי-פריק (למה?) וכיוון ש ] ℚ[yהוא
פת"י אז הוא ראשוני.
אם כן ,נשתמש באיזנשטיין עם > ( 𝑃 =< 𝑦 + 1שים לב ש 𝑦 2 − 1 ∉ 𝑃2כי
𝑦 + 1ו 𝑦 − 1 -לא חברים).
תרגיל 8
תרגיל 9
יהי אידיאל 𝐼.
נסמן ב ℒאת קבוצת כל האידיאלים הנוצרים סופית המוכלים ב 𝐼 (זו לא קבוצה
ריקה-למה?) .כיוון שהחוג נתרי יש ב ℒאידיאל מקסימלי שנסמנו .𝐼0נטען ש
𝐼 = .𝐼0אחרת יש איבר 𝑎 ∈ 𝐼\𝐼0
ואז 𝐼 ⊂ 𝑎𝑅 𝐼0 +הוא אידיאל נוצר סופית המוכל ב 𝐼 (ןלכן ) 𝐼0 ∈ ℒהמכיל
ממש את 𝐼0בסתירה למקסימליות של .𝐼0
© Copyright 2024