תרגיל בית 9

‫מופשטת ‪ 2‬תשע"ד‪ -‬תרגיל ‪9‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫קבע האם הפולינומים הבאים אי‪-‬פריקים בחוגים המצויינים‪ ,‬ואם הם פריקים‬
‫מצא את הפירוק שלהם לגורמים אי‪-‬פריקים‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ 𝑥 2 + 𝑥 + 1‬ב ]𝑥[ ‪.ℤ2‬‬
‫‪ 𝑥 3 + 𝑥 + 1‬ב ]𝑥[ ‪.ℤ3‬‬
‫‪ 𝑥 4 + 1‬ב ]𝑥[ ‪.ℤ5‬‬
‫‪ 𝑥 4 + 10𝑥 2 + 1‬ב ]𝑥[‪.ℤ‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫הוכח שהפולינומים הבאים אי‪-‬פריקים מעל ‪:ℤ‬‬
‫א‪𝑥 4 − 4𝑥 3 + 6 .‬‬
‫ב‪𝑥 6 + 30𝑥 5 − 15𝑥 3 + 6𝑥 − 120 .‬‬
‫ג‪𝑥 4 + 4𝑥 3 + 6𝑥 2 + 2𝑥 + 1 .‬‬
‫ד‪.‬‬
‫𝑝‪(𝑥+2)𝑝 −2‬‬
‫𝑥‬
‫כש‪ 𝑝 -‬הוא מספר ראשוני אי‪-‬זוגי‪.‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫הוכח שהפולינום ‪ 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) … (𝑥 − 𝑛) − 1‬הוא אי‪-‬פריק מעל‬
‫‪ ℤ‬לכל ‪.𝑛 ≥ 1‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫בנה שדות מגדלים‪:‬‬
‫א‪9 .‬‬
‫ב‪49 .‬‬
‫ג‪8 .‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫]𝑦[ ‪ℤ11‬‬
‫]𝑥[ ‪ℤ‬‬
‫הוכח ש > ‪ 𝐾1 = 11 ⁄< 𝑥 2 + 1‬ו‪⁄< 𝑦 2 + 2𝑦 + 2 > -‬‬
‫שניהם שדות מגודל ‪ .121‬והוכח שההעתקה ‪ 𝜑: 𝐾1 → 𝐾2‬המוגדרת ע"י‬
‫)‪ 𝜑(𝑝(𝑥)) = 𝑃(𝑦 + 1‬מוגדרת היטב והיא איזומורפיזם‪.‬‬
‫= ‪ 𝐾1‬הם‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫הוכח שהפולינום ‪ 𝑝(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥 2 + 8𝑥 + 2‬הוא אי‪-‬פריק מעל ]‪.ℚ[√−2‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫הוכיחו כי ‪ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1‬הוא אי‪-‬פריק ב ]‪.ℚ[x, y‬‬
‫תרגיל ‪8‬‬
‫תרגיל ‪9‬‬
‫הוכח שאם חוג הוא נתרי אז כל אידאל שלו נוצר סופית‬
‫פתרונות‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫קל לבדוק שאין לו שורש ב ‪ ℤ2‬ולכן הוא אי‪-‬פריק‪.‬‬
‫)‪ 𝑥 3 + 𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 2‬כשהגורם השני אי=פריק כי אין‬
‫לו שורש‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫טריק‪ :‬נשים לב שב ‪ ℤ5‬מתקיים ‪ 2 = 4 = −1‬ולכן הוא כמו 𝑖 בחוג זה‪.‬‬
‫)‪ 𝑥 4 + 1 = (𝑥 2 + 2)(𝑥 2 − 2‬הגורמים הם אי‪-‬פריקים כי אין להם‬
‫שורש‪.‬‬
‫אי‪-‬פריק‪ .‬נפרק מעל ‪:ℂ‬‬
‫) 𝛼√ ‪𝑥 4 + 10𝑥 2 + 1 = (𝑥 − √𝛼)(𝑥 + √𝛼)(𝑥 − √𝛼)(𝑥 +‬‬
‫כאשר ‪𝛼 = −5 + 2√6 , 𝛼 = −5 − 2√6‬‬
‫נחשב ‪𝛼 ⋅ 𝛼 = 1 , 𝛼 + 𝛼 = −10‬‬
‫ואז מחשבים שאין מכפלת גורמים שנותנת פירוק מעל ‪( .ℤ‬וזה מוכיח אי‪-‬‬
‫פריקות בגלל שאנחנו בתחום פריקות יחידה)‪.‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫א‪ .‬איזנשטיין עם ‪2‬‬
‫ב‪ .‬איזנשטיין עם ‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫ג‪ .‬נציב במקום 𝑥 את ‪ 𝑥 − 1‬ונקבל‪ 𝑥 − 2𝑥 + 2 :‬שהוא אי‪-‬פריק לפי‬
‫אינשטיין עם ‪.2‬‬
‫ד‪.‬‬
‫𝑝‬
‫‪𝑝 𝑝−1‬‬
‫𝑝‬
‫‪𝑝−1‬‬
‫𝑝‬
‫𝑝‬
‫𝑥‪𝑥 + (1)2‬‬
‫‪+ ⋯ + (1)2 𝑥 + 2 − 2‬‬
‫𝑥‬
‫𝑝‬
‫𝑝‬
‫‪= 𝑥 𝑝−1 + ( ) 2𝑥 𝑝−2 + ⋯ + ( ) 2𝑝−1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫שהוא אי‪-‬פריק לפי איזנשטיין עם ‪.p‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫נניח שיש פירוק )𝑥(𝑏)𝑥(𝑎 = )𝑥(𝑝 אמיתי כלומר ש = 𝑛 < )𝑏(‪deg(𝑎), deg‬‬
‫)𝑝(‪deg‬‬
‫נציב את הערכים 𝑛 ‪ 𝑥 = 1,2, … ,‬ונקבל שבכולם }‪.𝑎(𝑥) = −𝑏(𝑥) ∈ {1, −1‬‬
‫אם כן לפולינום )𝑥(𝑏 ‪ 𝑎(𝑥) +‬יש 𝑛 שורשים‪ 1, … , 𝑛 :‬אבל הוא מדרגה > 𝑛 וזו‬
‫סתירה!‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫א‪ .‬נקח את השדה ‪ ℤ3‬ונחפש פולינום אי פריק מדרגה ‪ 𝑥 2 − 2 .2‬הוא כזה‬
‫]𝑥[ ‪ℤ‬‬
‫‪ 3 ⁄‬הוא שדה מסדר ‪.9‬‬
‫(כי אין לו שורשים) ולכן‬
‫> ‪< 𝑥2 − 2‬‬
‫ב‪ .‬נקח את השדה ‪ ℤ7‬ונחפש פולינום אי פריק מדרגה ‪ 𝑥 2 − 3 .2‬הוא כזה‬
‫]𝑥[ ‪ℤ‬‬
‫‪ 7 ⁄‬הוא שדה מסדר ‪.49‬‬
‫(כי אין לו שורשים) ולכן‬
‫> ‪< 𝑥2 − 3‬‬
‫ג‪ .‬נקח את השדה ‪ ℤ2‬ונחפש פולינום אי פריק מדרגה ‪ 𝑥 3 + 𝑥 + 1 .3‬הוא‬
‫]𝑥[ ‪ℤ‬‬
‫‪ 2 ⁄‬הוא שדה מסדר‬
‫כזה (כי אין לו שורשים) ולכן‬
‫> ‪< 𝑥3 + 𝑥 + 1‬‬
‫‪.8‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫קל לראות שהפולינומים אי פריקים (כי אין להם שורש ב ‪ )ℤ11‬ולכן המנות הם‬
‫שדות‪ .‬כיוון שהפולינומים הם מאותה דרגה‪ ,‬שני השדות הן מסדר ‪.112 = 121‬‬
‫ההעתקה ‪ φ‬שומרת על השדה (כלומר ש ‪ ) 𝜑(𝑛) = 𝑛 ∀𝑛 ∈ ℤ11‬והיא‬
‫מעתיקה את 𝑥 ל‪ .𝑦 + 1 -‬ולכן כדי להראות שזה הומומורפיזם מוגדר היטב‬
‫מספיק להראות ש ‪.𝜑(0) = 𝜑(𝑥 + 1) = 0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ואמנם‪.𝜑(𝑥 + 1) = (𝑦 + 1)2 + 1 = 𝑦 + 2𝑦 + 2 = 0 ,‬‬
‫כיוון שמדובר בשדות זה בהכרח חח"ע‪.‬‬
‫וזה על שכן 𝑦 = )‪.φ(𝑥 − 1‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫נניח ש ‪ α‬הוא שורש של )𝑥(𝑝‪ .‬אז ‪ 𝛼 4 − 4𝛼 2 + 8𝛼 = −2‬ולכן (כי ]‪ℤ[√−2‬‬
‫הוא תפ"י!) 𝛼 מחלק את ‪ .2‬המחלקים היחידים של ‪ 2‬בחוג הם ‪±1, ±√−2, ±2‬‬
‫(קל להראות את זה בעזרת נורמה למשל) ואף אחד מהם הוא לא שורש של‬
‫הפולינום‪ --- .‬אם כן ל)𝑥(𝑝 אין גורמים לינארים‪.‬‬
‫אם ל‪ 𝑝(𝑥) -‬היה פירוק לשני גורמים ריבועיים‪ ,‬המקדם החופשי של כל אחד‬
‫מהגורמים הוא גם מחלק של ‪ 2‬ולכן הוא ‪.±1, ±√−2, ±2‬‬
‫אם נרשום את 𝑝 כמכפלה של שני גורמים ריבועיים כלליים‪ ,‬קל לראות‬
‫שהמקדמים של ‪ 𝑥 2‬חייבים להיות ‪ 1‬ושהמקדמים של 𝑥 צריכים להיות נגדיים‪.‬‬
‫כלומר שנקבל‪ 𝑝(𝑥) = (𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 𝑏1 )(𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑏2 ) :‬כאשר האפשרויות‬
‫ל‪ 𝑏1 , 𝑏2 -‬הם כמו שתיארנו למעלה‪ .‬נעבור על כל האפשרויות (זה לא כ"כ‬
‫הרבה‪ .‬הרי צריך שמכפלתם תהיה ‪ 2‬ויש סימטריה) ונראה שאין אפשרות‬
‫כזאת‪.‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫נסתכל על ]‪ < 𝑦 2 − 1 > .ℚ[y][x‬הוא לא ראשוני ב ]‪ ,ℚ[y‬אלא יש לו פירוק‪:‬‬
‫)‪ 𝑦 + 1 .𝑦 2 − 1 = (𝑦 − 1)(𝑦 + 1‬הוא אי‪-‬פריק (למה?) וכיוון ש ]‪ ℚ[y‬הוא‬
‫פת"י אז הוא ראשוני‪.‬‬
‫אם כן‪ ,‬נשתמש באיזנשטיין עם > ‪( 𝑃 =< 𝑦 + 1‬שים לב ש ‪ 𝑦 2 − 1 ∉ 𝑃2‬כי‬
‫‪ 𝑦 + 1‬ו‪ 𝑦 − 1 -‬לא חברים)‪.‬‬
‫תרגיל ‪8‬‬
‫תרגיל ‪9‬‬
‫יהי אידיאל 𝐼‪.‬‬
‫נסמן ב ‪ ℒ‬את קבוצת כל האידיאלים הנוצרים סופית המוכלים ב 𝐼 (זו לא קבוצה‬
‫ריקה‪-‬למה?)‪ .‬כיוון שהחוג נתרי יש ב ‪ ℒ‬אידיאל מקסימלי שנסמנו ‪ .𝐼0‬נטען ש‬
‫𝐼 = ‪ .𝐼0‬אחרת יש איבר ‪𝑎 ∈ 𝐼\𝐼0‬‬
‫ואז 𝐼 ⊂ 𝑎𝑅 ‪ 𝐼0 +‬הוא אידיאל נוצר סופית המוכל ב 𝐼 (ןלכן ‪ ) 𝐼0 ∈ ℒ‬המכיל‬
‫ממש את ‪ 𝐼0‬בסתירה למקסימליות של ‪.𝐼0‬‬