‫פתרון תרגיל ‪ 10‬־ ממשוואות למבנים‬ ‫אלגברה למדעי ההוראה‪.‬‬ ‫‪ 2‬ביולי ‪2010‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אם המציין של השדה הוא ‪ 2‬נקבל כי ‪ 1 + 1 = 0‬וראינו בכיתה שלכל שני אברים ‪ a, b‬בשדה‬ ‫‪ .(a + b)2 = a2 + b2‬לכן ‪ (x + 1)4 = ((x + 1)2 )2 = (x2 + 1)2 = x4 + 1‬ולכן הפולינום‬ ‫אינו אי פריק‪ .‬כעת נניח כי המציין של השדה גדול מ ‪ 2‬ונניח כי מספר האברים בשדה הוא‬ ‫‪ q = pn‬עבור ראשוני כל שהוא ‪) p‬המציין של השדה(‪ .‬נשים לב כי מאחר ו ‪ q‬אי זוגי )מאחר‬ ‫ו ‪ p > 2‬ראשוני ולכן אי זוגי( קיים ‪ n‬טבעי כך ש ‪ q = 2n + 1‬ולכן‬ ‫)‪q 2 − 1 = (2n + 1)2 − 1 = 4n2 + 4n + 1 − 1 = 4n2 + 4n = 4n(n + 1‬‬ ‫מאחר ו ‪ n‬מספר טבעי נקבל כי )‪ n(n + 1‬מספר זוגי לכן קיים טבעי ‪ m‬שעבורו מתקיים‬ ‫‪ .q 2 − 1 = 4 · 2m = 8m‬לכן ‪ 8‬מחלק את ‪ .q 2 − 1‬נתבונן כעת בשדה ‪ .Fq2‬ראינו בכיתה‬ ‫‪2‬‬ ‫כי כל אברי השדה הם השורשים השונים של הפולינום ‪ xq − x‬ואברי החבורה הכפלית‬ ‫‪2‬‬ ‫של השדה הם השורשים השונים מאפס כלומר השורשים של הפולינום ‪ .xq −1 − 1‬לפי מה‬ ‫שהראנו קודם קיים ‪ m‬טבעי כך ש ‪ q 2 − 1 = 8m‬לכן ‪ x8m − 1 = (xm )8 − 1‬ונוכל לרשום‬ ‫)‪− 1 = (xm )8 − 1 = ((xm )4 )2 − 1 = ((xm )4 − 1)((xm )4 + 1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xq‬‬ ‫נבחר שורש של הגורם השני ונסמנו ב ‪ ,α‬כלומר ‪ α‬מקיים ‪ (αm )4 + 1 = 0‬ומצאנו איבר‬ ‫‪ β = αm ∈ Fq2‬המקיים ‪ β 4 + 1 = 0‬כלומר מאפס את ‪ x4 + 1‬שהוא פולינום מדרגה‬ ‫‪ 4‬מעל ‪ .Fq‬קיבלנו כי ‪ β‬איבר אלגברי מעל ‪ .Fq‬נסמן ב ‪ mβ‬את הפולינום המינימלי של‬ ‫‪ β‬מעל ‪ Fq‬וברור כי ‪ .4 ≥ deg mβ ≥ 1‬נתבונן ב )‪ ,Fq (β‬שדה ההרחבה של ‪ Fq‬על‬ ‫ידי ‪ .β‬ברור כי ‪ Fq (β) ⊂ Fq2‬ולכן | ‪ .deg mβ = |Fq (β) : Fq | ≤ |Fq2 : Fq‬מאחר‬ ‫ו ‪ |Fq2 | = q 2‬ו ‪ |Fq | = q‬נקבל כי המימד של ‪ Fq2‬כמרחב וקטורי מעל ‪ Fq‬הוא ‪ 2‬ולכן‬ ‫‪ .1 ≤ deg mβ ≤ |Fq2 : Fq | = dimFq Fq2 = 2‬ראינו ש ‪ β‬שורש של ‪) x4 + 1‬פולינום מעל‬ ‫‪ (Fq‬וכמובן שורש של ‪ .mβ‬מאחר ו ‪ mβ‬פולינום מינימלי מעל ‪ mβ ,Fq‬מחלק את ‪x4 + 1‬‬ ‫מעל ‪ .Fq‬אם ‪ deg mβ = 2‬נקבל כי ‪ x4 + 1‬מתפרק מעל ‪ Fq‬למכפלה של שני פולינומים‬ ‫מדרגה ‪) 2‬במקרה זה ‪ β 6∈ Fq‬ואז גם )‪ (Fq2 = Fq (β‬ואם ‪ deg mβ = 1‬נקבל כי ‪x4 + 1‬‬ ‫מתפרק לפולינום ממעלה ראשונה )‪ (x − β‬ופולינום ממעלה שלישית )במקרה זה מתקיים‬ ‫‪ .(β ∈ Fq‬בכל מקרה ‪ x4 + 1‬אינו אי פריק מעל ‪.Fq‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נשים לב כי מעל )‪ GF (2‬מתקיים כי ‪ (x + 1)2 = x2 + x + x + 1 = x2 + 1‬וכך גם לכל‬ ‫חזקה זוגית‪ .‬כעת נרשום את כל הפולינומים הפריקים ממעלה ‪ 4‬מעל )‪ GF (2‬על ידי הכפלת‬ ‫הגורמים האי פריקים מדרגות נמוכות יותר‪ .‬שאר הפולינומים יהיו הפולינומים האי פריקים‪.‬‬ ‫מכפלות של מעלות ראשונות‬ ‫‪x4‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪x4 + x3‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪x4 + x2‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫)‪x4 + x3 + x2 + x (4‬‬ ‫‪x4 + 1‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪x2 (x2 + 1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪x((x + 1)(x + 1)) = x(x3 + x2 + x + 1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪x4‬‬ ‫)‪x (x + 1‬‬ ‫‪x2 (x + 1)2‬‬ ‫‪x(x + 1)3‬‬ ‫‪(x + 1)4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מעל )‪ GF (2‬יש רק פולינום אי פריק אחד ממעלה שניה והוא ‪ p(x) = x2 + x + 1‬לכן‬ ‫מכפלות של שתי מעלות ראשונות איתו יתנו‬ ‫‪= x4 + x3 + x2‬‬ ‫‪x + x + x + x + x + x = x4 + x‬‬ ‫‪x4 + x3 + x2 + x2 + x + 1 = x4 + x3 + x + 1‬‬ ‫)‪(6‬‬ ‫)‪(7‬‬ ‫)‪(8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= )‪x2 (x2 + x + 1‬‬ ‫= )‪x(x + 1)(x2 + x + 1‬‬ ‫= )‪(x + 1)2 (x2 + x + 1‬‬ ‫מכפלת ‪ p‬בעצמו ייתן מכפלות של פולינומים אי פריקים מדרגה ‪2‬‬ ‫)‪(9‬‬ ‫‪x4 + x2 + 1‬‬ ‫=‬ ‫‪(x2 + x + 1)2‬‬ ‫מעל )‪ GF (2‬הפולינומים האי פריקים ממעלה ‪ 3‬הם כל הפולינומים שאין להם שורש ב‬ ‫)‪) GF (2‬אילו היו פריקים היו מתפרקים לגורם לינארי וגורם ריבועי והליאנרי היה שורש(‪,‬‬ ‫ברור שהאיבר החופשי חייב להיות ‪ 1‬לכן נשארו ‪ 4‬אפשרויות‪ ,‬קל לראות שהאי פריקים הם‬ ‫‪x3 + x2 + 1‬‬ ‫‪x3 + x + 1‬‬ ‫לכן מכפלתם בגורמים לינארים יתנו לנו עוד ‪ 4‬פולינומים‬ ‫)‪(10‬‬ ‫)‪(11‬‬ ‫)‪(12‬‬ ‫)‪(13‬‬ ‫‪x4 + x3 + x‬‬ ‫‪x4 + x + 1‬‬ ‫‪x4 + x2 + x‬‬ ‫‪x4 + x3 + x2 + 1‬‬ ‫=‬ ‫= ‪x +x +x+x +x +1‬‬ ‫=‬ ‫= ‪x4 + x2 + x + x3 + x + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫= )‪x(x3 + x2 + 1‬‬ ‫= )‪(x + 1)(x3 + x2 + 1‬‬ ‫= )‪x(x3 + x + 1‬‬ ‫= )‪(x + 1)(x3 + x + 1‬‬ ‫מצאנו ‪ 13‬פולינומים פריקים מעל )‪ GF (2‬ממעלה ‪ ,4‬שאר שלושת הפולינומים ממעלה ‪ 4‬הם‬ ‫‪x4 + x3 + 1‬‬ ‫)‪(14‬‬ ‫‪x4 + x2 + x + 1‬‬ ‫)‪(15‬‬ ‫)‪x4 + x3 + x2 + x + 1 (16‬‬ ‫סך הכל פולינומים ממעלה ‪ 4‬מעל )‪ GF (2‬יש ‪) 16‬המקדמים של ‪ 1, x, x2 , x3‬יכולים להיות‬ ‫‪ 0‬או ‪ 1‬וסך הכל יש לנו ‪ 24 = 16‬אפשרויות( ולכן שלושת האחרונים הם כל הפולינומים האי‬ ‫פריקים מעל )‪.GF (2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫לפי שאלה ‪ 2‬ראינו ש ‪ p(x) = x3 + x + 1‬הוא פולינום אי פריק מעל )‪ .GF (2‬נתבונן בחוג‬ ‫המנה )‪ GF (2)[x]/(x3 +x+1)GF (2)[x] ≈ GF (2)(α‬כאשר ‪ α‬שורש של ‪ .p‬מאחר ו ‪ p‬אי פריק‬ ‫נקבל שדה‪ .‬נשים לב כי גודל החבורה הכפלית היא ‪) 7‬מספר ראשוני( לכן הסדר של כל‬ ‫האברים בשדה הוא ‪ .7‬נבדוק את החזקות הקטנות יותר‬ ‫‪= α2‬‬ ‫‪=α+1‬‬ ‫‪= α2 + α‬‬ ‫‪= α2 + α + 1‬‬ ‫‪= α2 + 1‬‬ ‫‪−α − 1‬‬ ‫)‪αα3 = α(α + 1‬‬ ‫‪αα4 = α(α2 + α) = α3 + α2‬‬ ‫= ‪α3 α3 = (α + 1)2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪α3‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫‪α5‬‬ ‫‪α6‬‬ ‫‪3.2‬‬ ‫נוכל לכתוב טבלת חיבור עבור חזקות של ‪ .α‬כל שני איברים נחבר בעזרת הקשר בין חזקות‬ ‫‪ α‬לפולינומים מדרגה ‪ 2‬ב ‪) α‬נזכור כי ‪ (1 + 1 = α + α = α2 + α2 = 0‬לכן‬ ‫‪α6‬‬ ‫‪α6‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪α5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫‪α3‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪α5‬‬ ‫‪α5‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫‪α6‬‬ ‫‪α3‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫‪α5‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α3‬‬ ‫‪α3‬‬ ‫‪α3‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α5‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪α6‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪α6‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪α5‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪α6‬‬ ‫‪α5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪α3‬‬ ‫‪α6‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α5‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪α3‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫‪α5‬‬ ‫‪α6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪α2‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫‪α4‬‬ ‫‪α5‬‬ ‫‪α6‬‬ ‫‪3.3‬‬ ‫מצאנו מהטבלה כי ‪ .1 + α2 = α6‬נוכל לראות זאת גם בדרך אחרת‪ :‬מאחר ו ‪ α‬מאפס את‬ ‫הפולינום ‪ x3 + x + 1‬מתקיים כי ‪ .α3 = α + 1‬נעלה בריבוע את שני אברי המשוואה ונקבל‬ ‫שאכן ‪.α6 = (α + 1)2 = α2 + 1‬‬ ‫‪3.4‬‬ ‫אם )‪ GF (4‬היה תת שדה של )‪ GF (8‬היינו יכולים להתבונו על )‪ GF (8‬כמרחב וקטורי מעל‬ ‫)‪ .GF (4‬מאחר ו )‪ GF (8‬שדה סופי ברור שהמימד שלו גם כן סופי מעל )‪ GF (4‬לכן קיים‬ ‫בסיס כלשהוא מגודל ‪ n‬עבור ‪ n‬טבעי‪ ,‬כלשהוא‪ .‬נקבל כי ‪8 = |GF (8)| = |GF (4)|n = 4n‬‬ ‫אבל ‪ 41 = 4 < 8 < 16 = 42‬לכן לא קיים ‪ n‬כזה ולכן )‪ GF (4‬לא תת שדה של )‪.GF (8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4.1‬‬ ‫נתבונן בפולינום ‪ x2 − 3‬מעל )‪ .GF (5‬ניתן לכתוב אותו גם כ ‪ .p(x) = x2 + 2‬נראה כי‬ ‫אין לפולינום זה שורשים ב )‪.GF (5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6(mod5) = 1‬‬ ‫‪11(mod5) = 1‬‬ ‫‪18(mod5) = 3‬‬ ‫= ‪02 + 2‬‬ ‫= ‪12 + 2‬‬ ‫= ‪22 + 2‬‬ ‫= ‪32 + 2‬‬ ‫= ‪42 + 2‬‬ ‫לכן הפולינום ‪ p‬אי פריק מעל )‪ GF (5‬ו )‪GF (25) ≈ GF (5)[x]/(x2 +2)GF (5)[x] ≈ GF (5)(ε‬‬ ‫כאשר ‪ ε‬שורש של ‪ p‬כלומר ‪.ε2 = 3‬‬ ‫‪4.2‬‬ ‫מאחר וראינו כי )‪ ε 6∈ GF (5) ,GF (25) ≈ GF (5)(ε‬ו ‪ |GF (25) : GF (5)| = 2‬ברור כי‬ ‫}‪ {1, ε‬מהווה בסיס ל )‪ GF (25‬כמרחב וקטורי מעל )‪ .GF (5‬נחשב את כל החזקות של ‪:ε‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3ε‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4ε‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2ε‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪εε2‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫=‬ ‫)‪ε ε = 3 · 3 = 9(mod5‬‬ ‫=‬ ‫)‪ε2 ε3 = 3 · 3ε = 9ε(mod5‬‬ ‫)‪= ε3 ε3 = (3ε)2 = 9ε2 = 27(mod5‬‬ ‫=‬ ‫)‪ε3 ε4 = 3ε4 = 12ε(mod5‬‬ ‫=‬ ‫)‪2 · 3 = 6(mod5‬‬ ‫‪ε2‬‬ ‫‪ε3‬‬ ‫‪ε4‬‬ ‫‪ε5‬‬ ‫‪ε6‬‬ ‫‪ε7‬‬ ‫‪ε8‬‬ ‫מצאנו שהסדר של ‪ ε‬הוא ‪ 8‬ולכן הוא לא יכול ליצור את החבורה הכפלית שהיא מסדר ‪.24‬‬ ‫‪4.3‬‬ ‫הסדרים של איברים בחבורה הכפלית חייבים לחלק את ‪ .24‬לכן נבדוק רק את החזקות‬ ‫‪12,8,6,4,3,2‬‬ ‫=‬ ‫‪1 + 2ε + ε2 = 1 + 2ε + 3‬‬ ‫‪= 4 + 2ε‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪= (1 + ε)(1 + ε) = (1 + ε)(4 + 2ε) = 4 + 6ε + 2ε2 = 4 + ε + 6‬‬ ‫‪ε‬‬ ‫=‬ ‫‪(1 + ε)(1 + ε)3 = (1 + ε)ε = ε + ε2‬‬ ‫‪= 3+ε‬‬ ‫=‬ ‫‪((1 + ε)3 )2 = ε2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪(3 + ε) = 9 + 6ε + ε2 = 4 + ε + 3 = 7 + ε‬‬ ‫‪= 2+ε‬‬ ‫=‬ ‫‪32 = 9‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(1 + ε)2‬‬ ‫‪(1 + ε)3‬‬ ‫‪(1 + ε)4‬‬ ‫‪(1 + ε)6‬‬ ‫‪(1 + ε)8‬‬ ‫‪(1 + ε)12‬‬ ‫מצאנו כי הסדר של ‪ 1 + ε‬חייב להיות ‪ 24‬ולכן הוא יוצר את החבורה הכפלית של )‪.GF (25‬‬ ‫‪4.4‬‬ ‫מהחישוב האחרון מצאנו )בשורה הראשונה( כי )‪(1+ε)2 = 4+2ε = 2+2+2ε = 2+2(1+ε‬‬ ‫לכן ‪ 1 + ε‬מאפס את הפולינום ‪ .x2 − 2x − 2 = x2 + 3x + 3‬זהו פולינום ממעלה שניה‬ ‫‪4‬‬ ‫מעל )‪ .GF (5‬מאחר והסדר של ‪ 1 + ε‬מקיים ‪ |GF (5)∗ | = 4 < 24‬הוא אינו יכול להיות‬ ‫ב )‪ GF (5‬ולכן הפולינום המינימלי שלו איננו ממעלה ראשונה‪ .‬לכן הפולינום המינימלי של‬ ‫‪ 1 + ε‬הוא ‪.x2 + 3x + 3‬‬ ‫‪5‬‬