‫‪1‬‬ ‫כל הזכויות שמורות ל־‪ .www.studenteen.org‬קירוב שורשים ‪:‬‬ ‫אם קיימים ‪ ,c > 0 ,p ≥ 1‬כך ש־ ‪≤ c‬‬ ‫‪1.1‬‬ ‫| ‪|z−xn+1‬‬ ‫‪p‬‬ ‫| ‪n→∞ |z−xn‬‬ ‫‪ , lim‬אזי ‪ p‬סדר התכנסות‪ c ,‬שיעור התכנסות‪.‬‬ ‫שיטת החצייה ורגולה פלסי‬ ‫‪ .c = a+b‬נחלק את הקטע לשני קטעים ]‪ .[a, c], [c, b‬אם ‪ f (a)f (c) < 0‬נמשיך עם‬ ‫עבור )‪ f (x‬רציפה בקטע ]‪[a, b‬כאשר ‪ ,f (a)f (b) < 0‬נסמן ‪2‬‬ ‫הקטע ]‪ ,[a, c‬אחרת נמשיך עם ]‪ .[c, b‬תנאיי עצירה אפשריים‪ f (c) < or f (c) = 0 :‬או מספר הצעדים גדול מ־ ‪ ,N‬או < |‪ |a − c‬או < |‪.|c − b‬‬ ‫)‪(b)−bf (a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ c = aff (b)−f‬כאיטרציה הבאה‪.‬‬ ‫השגיאה )‪ .|α − xn | = 2n (b − a‬בשיטת רגולה פלסי‪,‬הדומה לשיטת החצייה‪ ,‬נסמן )‪(a‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫שיטת המיתר וניוטון רפסון‪.‬‬ ‫) ‪xn−1 f (xn )−xn f (xn−1‬‬ ‫) ‪n )(xn −xn−1‬‬ ‫‪ .xn+1 = xn − ff(x‬לא תמיד מתכנסת‪ ,‬יותר מהירה מרגולה־פלסי‪ .‬עבור‬ ‫שיטה איטראטיבית עם איטרציה‬ ‫= ) ‪(xn )−f (xn−1‬‬ ‫) ‪f (xn )−f (xn−1‬‬ ‫) ‪u(xn )(xn −xn−1‬‬ ‫)‪ ,u(x) = ff0(x‬והאיטרציה תהיה ) ‪ .xn+1 = xn − u(xn )−u(xn−1‬סדר התכנסות של השיטה ־ ‪ .1.6‬שיטת ניוטון ראפסון‪,‬‬ ‫שורש כפול‪ ,‬מגדירים )‪(x‬‬ ‫) ‪f (xn‬‬ ‫שמהווה בעצם השאפה בין הנקודות בשיטת המיתר‪ .‬האיטרציה הינה ) ‪. xn+1 = xn − f 0 (xn‬השיטה לא מתכנסת כאשר הנגזרת בשורש שואפת‬ ‫‪−−−‬‬ ‫‪−‬‬ ‫→‬ ‫) ‪f (xn‬‬ ‫‪−→ = −‬‬ ‫→‬ ‫‪−1 −‬‬ ‫‪ .−‬תנאי להתכנסות הוא הפיכות‬ ‫‪x−n+1‬‬ ‫→‪x‬‬ ‫→‪(x‬‬ ‫‪n −J‬‬ ‫לאפס‪ .‬אם השורש כפול‪ ,‬נציב ) ‪ .u(x) = f 0 (xn‬שיטת ניוטון רב מימדית היא ) ‪n ) · f (xn‬‬ ‫היעקוביאן‪.‬‬ ‫‪1.3‬‬ ‫שיטת נקודת שבת‬ ‫נבצע )‪ ,f (x) = 0 → x = G(x‬האיטרציה תהיה ) ‪.xn+1 = G(xn‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫| ‪|x1 − x0‬‬ ‫‪|α − xn | ≤ 1−k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫מתכנס כאשר ‪ |G (x)| ≤ k < 1‬בסביבת השורש‪.‬‬ ‫השגיאה היא‬ ‫אלגברה ליניארית‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪A∗ A ,||A||∞ = max‬‬ ‫}| ‪|vi | ,||v||∞ = maxi {|vi‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫= ‪ .||A||f ro‬מספר מצב || ‪ .cond(A) = ||A|| · ||A‬אם גדול מאוד מ־‪ ,1‬נקרא תנאי חולה‪.‬‬ ‫‪|aij |2‬‬ ‫= ‪,||v||1‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫| ‪|aij‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪,||A||1 = max‬‬ ‫‪j‬‬ ‫| ‪|aij‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪i‬‬ ‫√‬ ‫‪max eigenvalue of‬‬ ‫= ‪,||A||2‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪2.1‬‬ ‫שיטת ‪Pivoting & Scaling‬‬ ‫ב־‪ Pivoting‬חלקי מוצאים מקס' של שורה ואיתו מדרגים‪ .‬ב־‪ Pivoting‬מלא מוצאים מקס' של המטריצה ומחליפים שורות ועמודות )לא לשכוח‬ ‫להחליף משתנים(‪ .‬ב־‪ Scaling‬מתבצע בצעד ה־‪ :k‬מתבוננים בשורות ‪ ,k, ..., n‬מוצאים מקסימום בכל שורה }| ‪ ,si = max {|aij‬ואת השורה איתה‬ ‫‪k≤i≤n‬‬ ‫נחליף נמצא לפי } | ‪. max { |asiki‬‬ ‫‪k≤i≤n‬‬ ‫‪2.2‬‬ ‫פירוק ‪ LU‬ו־‪QR‬‬ ‫‪ ,A = LU‬פירוק זה בא מדירוג המטריצה‪ U ,‬משולשית עליונה‪ L ,‬משולשית תחתונה‪ ,‬ומתקיים כי ‪ L‬היא מטריצת כופלי השורות )עם אלכסון ‪.(1‬‬ ‫אם החלפנו‪ ,‬אז נקבל כי כאשר ‪ P‬מטריצת פרמוטציות‪ .P A = LU ,‬פירוק צ'ולסקי נוצר גם הוא מפירוק ‪ ,LU‬כאשר ‪ A‬מטריצה סימטרית וחיובית‬ ‫חיוביים‪ ,‬או ‪ xt Ax > 0‬לכל ‪ ,x‬או שהמינורים הריבועיים גדולים מאפס(‪ .‬הפירוק הוא ‪ ,A = RRt‬כאשר ‪ R‬משולשית‬ ‫ממש )אם כל הע"ע שלה √‬ ‫תחתונה‪ ,‬ו־‪ R‬מוגדרת ע"י ‪ ,R = L D‬כאשר ‪ D‬מטריצת האלכסון של ‪.U‬‬ ‫אורתוגונלית‪ R ,‬משולשית עליונה‪ .‬האלגוריתם ‪ :‬עבור העמודה ה־‪ ,k‬מנרמלים אותה‬ ‫פירוק ‪ QR‬הוא הפירוק הבא ‪ :‬נפרק ‪ A = QR‬כאשר ‪Q‬‬ ‫‪p‬‬ ‫בנורמה ‪ .2‬נניח הוקטור המנורמל ) ‪ .(d1 , ..., dn‬נגדיר ‪ ,D =q± d2k + ... + d2n‬כאשר בוחרים ‪ +‬אם ‪ ,dk ≤ 0‬אחרת ־‪ .‬כעת‪ ,‬נגדיר ‪ V‬וקטור‬ ‫‪d‬‬ ‫‪dk‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪ ,Vj = 12 − 2D‬וכאשר ‪ ,k + 1 ≤ j ≤ n‬מתקיים‬ ‫עמודה ‪ ,‬כאשר ‪ ,1 ≤ j ≤ k − 1‬מתקיים ‪ ,Vj = 0‬כאשר ‪,j = k‬‬ ‫‪ .Vj = −2DV‬כעת‪ ,‬מסמנים‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ .Hk = I − 2V V t‬כעת‪ ,‬נמשיך את התהליך באופן זהה עבור העמודה הבאה )‪ (k + 1‬במטריצה ‪ .Hk · A‬לבסוף יתקיים כי ‪,Q = H1 · ... · Hn−1‬‬ ‫ויתקיים ‪.R = Hn−1 · ... · H1 · A‬‬ ‫‪2.3‬‬ ‫שיטות איטרטיביות לפתרונות‬ ‫כאשר ‪ ,A = L + D + U‬האיטרציות בנויות בצורה של ‪ H, b ,xn+1 = Hxn + b‬קבועים‪ .‬במערכת ‪ ,Ax = b‬הקירוב בשיטת יעקובי ‪:‬‬ ‫‪ ,xn+1 = −D−1 (L + U )xn + D−1 b‬בשיטת גאוס זיידל ‪ .xn+1 = −(L + D)−1 U xn + (L + D)−1 b :‬השיטות מתכנסות כאשר הע"ע המקסימלי‬ ‫של ‪ H‬קטן מ־‪ ,1‬או כאשר למטריצה יש אלכסון דומיננטי )האיברים באלכסון גדולים מסכום השורה והעמודה )לא כולל עצמם( בהם נמצאים(‪.‬‬ ‫‪2.4‬‬ ‫אלגוריתמים לערכים עצמיים‬ ‫עבור מציאת ערכים עצמיים‪ ,‬קיימת שיטת ‪ , Power Method‬המוצאת את הו"ע של הע"ע המקסימלי של מטריצה ‪ ,A‬עם איטרציה ‪,x0 = Axk‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞|| ‪ ,xk+1 = ||xx0‬והע"ע המתאים הוא ∞|| ‪ .λk+1 = ||x0‬ניתן גם להזיז אחרי מציאת ע"ע מקסימלי ע"י ‪ ,B = A − λI‬ולהפעיל את אותה שיטה כדי‬ ‫לקבל ע"ע חדש‪ .‬עבור ע"ע מינימלי‪ ,‬מפעילים את השיטה על ‪ A−1‬ואז משיגים את ההופכי של הע"ע המינימלי‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫אינטרפולציה‬ ‫‪3‬‬ ‫אם יש סדרה ) ‪ (x0 , y0 ), ..., (xn , yn‬של ‪ n + 1‬נקודות‪ ,‬נמצא פונקציה )בדר"כ פולינום( שעובר דרך כולן‪ .‬שגיאה באינטרפולציה פולינומית היא‬ ‫) ‪− x0 )(x − x1 )...(x − xn‬‬ ‫)‪f (n+1) (ξ‬‬ ‫‪(n+1)! (x‬‬ ‫= |)‪ |f (x) − p(x‬כאשר ‪ ξ‬מותאם עבור ‪ x‬ספציפי‪.‬‬ ‫‪ .1‬פולינומי לג'ראנז' ‪ :‬נגדיר )‪yi Li (x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫= )‪ ,p(x‬כאשר לכל ‪,i‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪x−xj‬‬ ‫‪xi −xj‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫= )‪.Li (x‬‬ ‫‪j=0‬‬ ‫‪j6=i‬‬ ‫‪ .2‬פולינומי ניוטון ‪ :‬נגדיר ) ‪ ,p(x) = y0 + y10 (x − x0 ) + y210 (x − x0 )(x − x1 ) + ... + yn(n−1)...0 (x − x0 )...(x − xn−1‬כאשר ניתן לחשב‬ ‫את ‪ y0 , y10 , y210 ...‬באמצעות שיטת ההפרשים‪ .‬באותה שיטת הפרשים‪ ,‬ניתן להכניס גם נתונים על נגזרות בנקודות הדגימה‪ .‬מכניסים שורה‬ ‫נוספת זהה של הנקודה‪ ,‬ובהפרש הראשון בין הנקודה לעצמה ההפרש לא מוגדר‪ ,‬שם נציב את הנגזרת‪.‬‬ ‫בנוסחת הרקורסיה‬ ‫‪ ,Tn (x) = cos(n‬או ‬ ‫כדי לשפר את השגיאה ואת חישובה‪ ,‬נדגום בנקודות מיוחדות‪ .‬נשתמש בפולינומי צ'בישב‪ ,‬כאשר ))‪narcsin(x‬‬ ‫‪ . ξk = cos 2k−1‬נקודות צ'בישב‬ ‫‪π‬‬ ‫)‪ ,Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x‬כאשר ‪ .T1 (x) = x ,T0 (x) = 1,‬שורשי פולינום צ'בישב ‪ Tn‬הם‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪k=1‬‬ ‫מהוות בחירה מוצלחת של נקודות מדגם ע"מ לחסום את השגיאה הפולינומיאלית בשגיאה לעיל‪ .‬הקירוב עובד בקטע ]‪ .[−1, 1‬אם מקרבים את‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪ ,t = a+b‬כאשר ]‪.x ∈ [−1, 1], t ∈ [a, b‬‬ ‫הפונקציה בקטע ]‪ ,[a, b‬אזי נעבור מהקטע ]‪ [−1, 1‬בו נמצאות נק' צ'בישב ע"י הטרנספורמציה ‪2 + 2 x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪. (t − ti ) ≤ 2 · b−a‬‬ ‫לאחר מכן נדגום את הפונקציה בנקודות צ'בישב לאחר הטרנספורמציה‪ ,‬ונקבל חסם‬ ‫‪4‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫קיוביק־ספליין‬ ‫במקום לקרב את הנקודות ע"י פולינום ממעלה גבוהה‪ ,‬נקרב בכל קטע ע"י פולינום )בקיוביק‪ ,‬מקרבים ממעלה ‪ ,(3‬כך שאיחוד הפונקציות יהיה רציף‪,‬‬ ‫שהפונקצייה תהיה גזירה ברציפות פעמיים(‪ .‬כאשר ‪ ,hi = xi+1 − xi‬הקיוביק ספליין הינו‬ ‫איחוד הנגזרת‬ ‫)בעצם‪ ,‬כך ‬ ‫הראשונה והשנייה‪ .‬‬ ‫‬ ‫וכך גם ‬ ‫‪ai ·(xi+1 −x)3‬‬ ‫‪ai+1 ·(x−xi )3‬‬ ‫‪ai+1 hi‬‬ ‫‪yi+1‬‬ ‫‪yi‬‬ ‫‪ai hi‬‬ ‫= )‪ ,si (x‬כאשר נחשב את ‪ a0 , ...an‬ע"י המערכת הבאה‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+ hi − 6 (xi+1 − x) + hi − 6‬‬ ‫) ‪(x − xi‬‬ ‫‪6hi‬‬ ‫‪6hi‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫) ‪(y2 −y1‬‬ ‫‪0) ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ a1  ‬‬ ‫) ‪ 1 h0 1 (h0 + h1‬‬ ‫‪− (y1h−y‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6 h1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  a2   (y3 −y2 ) − (y2 −y1 ) ‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪(h‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪h‬‬ ‫)‬ ‫‪h‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .‬זהו קיוביק ספליין טבעי‪ ,‬כאשר לא ידועות הנגזרות‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪h2‬‬ ‫‪h1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ..‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ .‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪. ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫בקצוות‪.‬‬ ‫‪3.2‬‬ ‫אינטרפולציית קירוב‬ ‫מאוד לערכים‪ ,‬אך לא במדויק תעבור בהם )למשל כשהנתונים באים עם שגיאה(‪ .‬בריבועים מינימלים‪,‬‬ ‫לחשב פונקציית אינטרפולציה שתהיה קרובה‬ ‫‪pP‬‬ ‫‪∂s‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ .∀1 ≤ i ≤ n ∂a‬מקרה פרטי‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫נפתור‬ ‫)‪p(x‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪...‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫אם‬ ‫כלומר‪,‬‬ ‫‪.s‬‬ ‫=‬ ‫בעצם נדרוש מינימליות על ‪(p(xi ) − yi )2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫בו הפולינום הוא ישר‪ ,‬הקירוב ייקרא רגרסיה ליניארית‪ .‬כלומר‪ ,‬בסימון ‪ ,p(x) = a0 + a1 x‬המקדמים נתונים ע"י פתרון של מערכת המשוואות‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪x4i‬‬ ‫‪x3i‬‬ ‫‪x2i‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪  i=0 i ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P 2 P‬‬ ‫‪ i=0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪yi xi ‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪xi ‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ n x3 P‬‬ ‫‪ n yx ‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪ i=0n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪· a1‬‬ ‫‪x2i‬‬ ‫‪xi ‬‬ ‫=‬ ‫‪.‬‬ ‫‪· a1  = ‬‬ ‫‪ .‬באותו אופן עבור פולינום ריבועי ‪i i  :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪P ‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪ i=0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ i=0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪yi‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪x2i‬‬ ‫‪xi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪yi‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫אדגיש כי קל להכליל את התוצאה לעיל‪ .‬כעת נעבור לקירוב עם פולינומים אורתוגונליים‪ .‬נניח ‪ ϕ0 , .., ϕn‬קבוצת פולינומים אורתוגונליים לפי‬ ‫מכפלה פנימית כלשהי‪ ,‬מתוקנים‪ ,‬ולכל ‪ ϕi (x) ,i‬ממעלה ‪.i‬‬ ‫‪ .1‬במקרה הבדיד‪ϕi (xk )ϕj (xk ) :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫) ‪yi ϕj (xi‬‬ ‫=> ‪ ,< ϕi , ϕj‬ועבור‬ ‫‪k=0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫= ‪ ,αj‬הפולינום הוא )‪αj ϕj (x‬‬ ‫‪(ϕj (xi ))2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫= )‪ .p(x‬בחישוב כזה‪ ,‬צריך למצוא‬ ‫‪j=0‬‬ ‫‪i=0‬‬ ‫לבד קבוצה אורתוגונלית‪.‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫‪ .2‬במקרה הרציף‪ ,ֹ< ϕi , ϕj >= ϕi (x)ϕj (x)w(x)dx :‬ועבור‬ ‫‪a‬‬ ‫‪f (x)ϕj (x)w(x)dx‬‬ ‫‪[ϕj (x)]2 w(x)dx‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫= ‪ ,αj‬הפולינום הוא )‪αj ϕj (x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫= )‪ .p(x‬הפונקציה )‪w(x‬‬ ‫‪j=0‬‬ ‫‪a‬‬ ‫פונקציית משקל‪ ,‬נותנת חשיבות לקטע מסוים‪.‬‬ ‫פולינומים אורתוגונליים ידועים הם)במקרה הרציף(‪:‬‬ ‫‪ .1‬פולינומי לז'נדר‪ :‬מוגדרים בקטע ]‪ ,[−1, 1‬פונקציית משקל ‪ ,w(x) = 1‬כאשר ‪,ϕ1 = x ,ϕ0 = 1‬‬ ‫רקורסיבית )‪.(n + 1) · ϕn+1 (x) = (2n + 1) · x · ϕn (x) − n · ϕn−1 (x‬‬ ‫‪ .2‬פולינומי צ'בישב‪ :‬מוגדרים בקטע )‪ ,(−1, 1‬פונקציית משקל‬ ‫נוסחא רקורסיבית לעיל‪.‬‬ ‫‪√ 1‬‬ ‫‪1−x2‬‬ ‫ניתן לעבור מן הקטעים לעיל לקטע ]‪ [a, b‬ע"י הטרנספורמציה הפשוטה‬ ‫‪3x −1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪,ϕ2‬‬ ‫‪5x −3x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪ .ϕ3‬נוסחא‬ ‫= )‪ ,w(x‬כאשר ‪.T3 = 4x3 − 3x ,T2 = 2x2 − 1 ,T1 = x ,T0 = 1‬‬ ‫‪b+a‬‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b−a z‬‬ ‫= ‪.x‬‬ ‫נגזרות ואינטגרלים‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(x−h‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪,f 0 (x) = f (x+h)−f‬‬ ‫‪ ,f 0 (x) = f (x+h)−f‬אחורית ‪ ,f 0 (x) = f (x)−fh(x−h) :‬דיוק שתיהן )‪ .O(h‬נגזרת מרכזית‬ ‫נגזרת קידמית ‪:‬‬ ‫‪2h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫)‪f (x−h)−2f (x)+f (x+h‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫= )‪ ,f (x‬דיוק ) ‪ .O(h‬אקסטרפולציית ריצ'ארדסון ‪ :‬בהנחה שיש לנו קירוב = ) ‪f (x0‬‬ ‫מדיוק ) ‪ .O(h2‬נגזרת שניה‬ ‫‪h2‬‬ ‫‬ ‫‪k‬‬ ‫)‪k−1 (2h‬‬ ‫) ‪ ,Dk−1 (h) + O(h2k‬אזי קירוב טוב יותר הינו ‪+ O h2k+2‬‬ ‫‪. f 0 (x0 ) = 4 Dk−1 (h)−D‬‬ ‫‪4k −1‬‬ ‫‪4.1‬‬ ‫אינטגרציה נומרית‬ ‫שיטת הטרפז המורכבת כאשר‬ ‫‪b−a‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪(f (x0 ) + 2f (x1 ) + ... + 2f (xn−1 ) + f (xn )) ,h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪´b‬‬ ‫≈ ‪ , f (x)dx‬השגיאה היא‬ ‫‪a‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪h (b−a)f (η‬‬ ‫‪12‬‬ ‫סימפסון המורכבת‪ n ,‬חייב להיות זוגי! )כאשר יש ‪ n+1‬נקודות(‪ ,‬הקירוב הוא )) ‪(f (x0 ) + 4f (x1 ) + 2f (x2 )... + 4f (xn−1 ) + f (xn‬‬ ‫שגיאה היא‬ ‫)‪h4 (b−a)f (4) (ξ‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪h22‬‬ ‫·‬ ‫)‪I (2) −I (1‬‬ ‫‪h21 −h22‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫√‬ ‫‪dx‬‬ ‫‪1−x2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫)‪(new‬‬ ‫‪=I‬‬ ‫‪´1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫= ‪f (x)dx‬‬ ‫‪ .I‬בהתאם‪ ,‬גם בשיטת סימפסון‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪ ,‬משתמשים בשיטת גאוס צ'בישב‪ ,‬כך ש־‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נועדה לחישוב ‪e−x f (x)dx‬‬ ‫∞‬ ‫´‬ ‫‪ ,‬עם שגיאה‬ ‫‪h42‬‬ ‫‬ ‫‪(2i−1)π‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‬ ‫‪ ,‬נקרב ע"י ) ‪Wi f (xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪22n+1 (n!)4‬‬ ‫)‪(2n‬‬ ‫)‪(η‬‬ ‫‪(2n+1)[(2n)!]3 f‬‬ ‫‪ ,xi = cos‬ומתקיים ) ‪f (xi‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫= ‪ ,I‬כאשר‬ ‫‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= ‪ ,I‬כאשר‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪´1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫∞‬ ‫´‬ ‫שיטת גאוס לגר נועדה לחישוב ‪ , e−x f (x)dx‬נקרב ע"י ) ‪Wi f (xi‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪a‬‬ ‫·‬ ‫)‪I (2) −I (1‬‬ ‫‪h41 −h42‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪=I‬‬ ‫)‪(new‬‬ ‫‪.I‬‬ ‫שיטות גאוס‬ ‫בשיטת גאוס לז'נדר‪ ,‬ניתן לחשב אינטגרל ) ‪Wi f (xi‬‬ ‫של‬ ‫‪´b‬‬ ‫≈ ‪. f (x)dx‬‬ ‫≤ ‪ .E‬בעזרת אקסטרפולציה של ריצ'רדסון‪ ,‬בשיטת הטרפז עם קירובים )‪ ,I (1) , I (2‬וצעדים־ ‪ h1 , h2‬נקודות בהתאמה‪,‬‬ ‫ניתן לתקן את החישוב של האינטרל ע"י‬ ‫‪4.2‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪3‬‬ ‫≤ ‪ .E‬בשיטת‬ ‫)‪(n!)2 (2n‬‬ ‫)‪(η‬‬ ‫‪(2n)! f‬‬ ‫√‬ ‫‪n! π‬‬ ‫)‪(2n‬‬ ‫)‪(η‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2 (2n)! f‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= ‪ ,En‬הנקודות באות מטבלה‪ .‬במקרה‬ ‫≈ ‪ .I‬השגיאה היא‬ ‫‪π‬‬ ‫)‪(2n‬‬ ‫)‪(η‬‬ ‫‪(2n)!22n−1 f‬‬ ‫= ‪.En‬‬ ‫= ‪ ,En‬הנקודות באות מטבלה‪ .‬שיטת גאוס־הרמיט‬ ‫= ‪ ,En‬הנקודות באות מטבלה‪.‬‬ ‫משוואות דיפרנציאליות רגילות‬ ‫בהינתן מד"ר )‪ ,y 0 = f (t, y‬עם תנאי התחלה ‪ ,y(t0 ) = y0‬שיטת אוילר מאפשרת לקרב סדרה של נקודות עם הפרשים קבועים ע"י האיטרציה‬ ‫) ‪ .y(tk ) = y(tk−1 ) + hf (tk−1 , yk−1‬סדר גודל של שגיאה מצטברת )‪ .O(h‬שיפור של השיטה‪ ,‬הנקרא שיטת ‪ ,Heun‬כאשר מחשבים בתחילה‬ ‫‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪) yi+1 = yi+1‬וכך הלאה‪.(...‬‬ ‫‪ ,yi+1‬כאשר נאמר ש־‬ ‫‪= yi + h2 [f (xi , yi ) + f (xi+1 , yi+1‬‬ ‫‪ ,yi+1‬ואז מכאן נחשב את ])‬ ‫) ‪= yi + hf (xi , yi‬‬ ‫‪5.1‬‬ ‫שיטות רונגה־קוטה‬ ‫‪h‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪h‬‬ ‫) ‪2 k1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2 h,‬‬ ‫‪yi +‬‬ ‫עבור ‪ ,R.K.4‬נקבל את השיטה האיטרטיבית ) ‪ ,yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4‬כאשר ) ‪,k1 = f (ti , yi‬‬ ‫‪,k2 = f (ti +‬‬ ‫) ‪ .k4 = f (ti + h, yi + hk3 ) ,k3 = f (ti + 21 h, yi + h2 k2‬שגיאת צעד היא ) ‪ .O(h5‬מוגדרת גם ‪ ,R.K.2‬וממנה נקבל את השיטה האיטרטיבית‬ ‫) ‪ ,yi+1 = yi + h2 (k1 + k2‬כאשר ) ‪.k2 = f (xi + h, yi + hk1 ) ,k1 = f (xi , yi‬‬ ‫‪6‬‬ ‫שגיאות‬ ‫|‪ .δx = |∆x‬שגיאה מתפשטת במשתנה אחד‪ .∆f (x) = |f 0 (x)| · ∆x :‬בפונקציה עם ‪n‬‬ ‫שגיאה מוחלטת היא |‪ .∆x = |x − x‬שגיאה יחסית היא |‪|x‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪n‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ ‪ f (x)·x‬‬ ‫ ‪ ∂f‬‬ ‫= )‪ .∆f (x‬מספר המצב של פונקציה )‪f (x‬מוגדר להיות )‪ . f (x‬נוסחאות שימושיות‪:‬‬ ‫משתנים ‪ ∂xi · ∆xi‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫)‪.∆(x + y) = ∆(x) + ∆(y‬‬ ‫)‪.∆(x − y) = ∆(x) + ∆(y‬‬ ‫|‪.∆(x · y) = |y‬‬ ‫‪ · ∆x + |x| · ∆y‬‬ ‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪.∆( y ) = y1 ∆x + yx2 ∆y‬‬ ‫‪= δx + δy .δ(x · y) = δx + δy‬‬ ‫ ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪.δ‬‬ ‫תקציר‬ ‫כל הזכויות שמורות ל־‪ .Studenteen.org‬הנוסחאון אינו מכיל את כל החומר! ולשם כך‪ ,‬הצד השני של הדף השני נועד לכתיבה בכתב‬ ‫יד כל תוכן נוסף אשר אתם רואים לנכון להוסיף‪ .‬אני ממליץ להוסיף טבלאות של משקלים ונקודות באינטגרציית גאוס‪ ,‬נורמות של‬ ‫פולינומים אורתוגונליים ידועים‪ ,‬ושיטת מולר למציאת שורשים‪ .‬במידה ויש טעויות‪ ,‬הודיעו ואעדכן‪ .‬עודכן לאחרונה ‪.22:00 ,22.10.10 :‬‬ ‫‪3‬‬