‫התפלגות נורמאלית‬ ‫שאלה ראשונה‪:‬‬ ‫בית חרושת לממתקים מייצר שוקולדים בחפיסות שמשקלן מתפלג נורמאלית עם ממוצע ‪ 100‬וסטיית תקן ‪ .8‬בית‬ ‫החרושת מצהיר על משקל של ‪ .90‬התקן דורש שלא יותר מ‪ 20%-‬יסטו מטה מהמשקל המוצהר על החפיסה‪.‬‬ ‫האם בית החרושת עומד בתקן ? מה תמליץ לעשות ? ומה יקרה אם המפעל יצהיר על המשקל הממוצע במקום ה‪.90-‬‬ ‫שאלה שנייה‪:‬‬ ‫ידוע כי התפלגות הציונים בקורס "מבוא לסטטיסטיקה" היא נורמאלית‪ .‬בשנה מסוימת קיבלו ‪ 60%‬מהסטודנטים ציון‬ ‫גבוה מ‪ 74-‬ו‪ 9%-‬ציון גבוה מ‪.87.4-‬‬ ‫מה היה הציון הממוצע ? ומהי סטיית התקן ?‬ ‫שאלה שלישית ‪:‬‬ ‫רוצה להיות מקובל‪ :‬אבי רוצה להיות מקובל ולכן לא רוצה לסטות מהממוצע יותר מסטיית תקן אחת בהינתן שמדובר‬ ‫בהתפלגות נורמאלית מה הסיכוי שזה יקרה ?‬ ‫שאלה רביעית‪:‬‬ ‫נתונה התפלגות עם שתי מחלקות ‪ 20-30 :‬ו‪ . 30-40 -‬גובה המחלקה הראשונה גבוה פי ‪ 3‬מהשנייה‪.‬‬ ‫א‪ .‬מצא את החציון ‪,‬הממוצע‪ ,‬וסטיית התקן‪.‬‬ ‫ב‪ .‬נתונה ההתפלגות ‪ . N(30,7) :‬איפה העשירון העליון יהיה יותר גבוה ?‬ ‫‪1‬‬ ‫כפיר תשובה – תרגולים בתחומי הכלכלה המימון והסטטיסטיקה ‪. 050-5620534 -‬כל הזכויות שמורות ‪.‬‬ ‫במקצועות ‪ :‬יסודות המימון‪ ,‬תורת ההשקעות‪ ,‬סטטיסטיקה א' ו‪ -‬ב'‪ ,‬מיקרו ‪,‬מאקרו‪ ,‬פירמה והצרכן‪ ,‬הסביבה המאקרו כלכלית‪ ,‬יסודות החשבונאות‪ ,‬מתמטיקה א' ו‪-‬‬ ‫ב'‪ ,‬אקונומטריקה ועוד‪ .‬פרטים נוספים באתר‪www.ktnet.co.il :‬‬ ‫תשובות‪:‬‬ ‫שאלה ראשונה‪:‬‬ ‫אנחנו רוצים לראות כמה באחוזים )שטח( מהחפיסות נמצאים מתחת ל‪. 90-‬‬ ‫נחשב את ציון התקן של ‪ . (90-100) /8=1.25 : 90‬בגלל שהערך ‪ 90‬משמאל לממוצע נקבל את השטח מימין השווה ל‪-‬‬ ‫לממוצע ‪ 0.8944‬מכאן השטח משמאל הוא ‪ 0.1056‬מכאן ‪ 10.56%‬מהחפיסות יהיו מתחת למשקל המוצהר ולכן המפעל עומד‬ ‫בתקן‪ .‬אם המפעל יצהיר על המשקל הממוצע ‪ 50%‬מהחפיסות יהיו מתחת למשקל המוצהר והמפעל לא יעמוד בתקן‪.‬‬ ‫שאלה שנייה‪:‬‬ ‫נתון כי ‪ 60%‬קיבלו ציון גבוה מהערך ‪ 74‬מכאן שערך זה נמצע משמאל לממוצע‪ .‬ערך ציון התקן שלו יהיה בסימן שלילי‬ ‫‪-0.26=(74- X )/S‬‬ ‫)מהטבלה( ‪. -0.26 :‬‬ ‫נתון כי ‪ 9%‬קיבלו ציון גבוה מהערך ‪ 87.4‬מכאן שערך זה נמצע מימין לממוצע‪ .‬השטח משמאל הוא ‪ 0.91‬וערך ציון התקן שלו‬ ‫‪1.34=(87.4- X )/S‬‬ ‫)מהטבלה( ‪. 1.34 :‬‬ ‫קיבלנו שני משוואות עם שני נעלמים‪S=8.375 .‬‬ ‫‪X =76.17‬‬ ‫שאלה שלישית‪:‬‬ ‫סטייה של סטיית תקן אחת היא ציון תקן בגובה ‪ .1‬נמצא את השטח הכלוא בין ציון תקן ‪ 1‬ו‪. -1 -‬מהטבלה השטח של ציון תקן אחד הוא‬ ‫‪ 0.8413‬זאת אומרת מימין לציון ‪ 1‬יש ‪ 15.87‬אחוז ההתפלגות‪ .‬בגלל הסימטריה גם משמאל ל‪ -1 -‬יש ‪ 15.87‬אחוז‪ .‬ולכן בין הציונים‬ ‫נשאר ‪ 68.26% . 1-0.1587*2=0.6826 :‬סיכוי להיות מקובל‪.‬‬ ‫שאלה רביעית‪:‬‬ ‫סה"כ ההסתברות שווה לאחד בשתי המחלקות‪ .‬בגלל שהרוחב זהה אז השטח )גובה כפול רוחב( של המחלקה הראשונה הוא פי ‪3‬‬ ‫מהמחלקה השנייה‪ .‬מכאן אם יש שטח של ‪ X‬במחלקה השנייה יש שטח של ‪ 3X‬במחלקה הראשונה וסה"כ שטח של ‪ .4X‬לכן המחלקה‬ ‫הראשונה מהווה ‪ 3/4‬מהתפלגות והשנייה ‪ 1/4‬מהתפלגות‪ .‬נבנה טבלת עזר ‪:‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫צפיפות =‬ ‫רוחב‬ ‫‪0.075‬‬ ‫‪0.025‬‬ ‫= גובה‬ ‫רוחב‬ ‫נ‪.‬אמצע‬ ‫‪F(x)/n‬‬ ‫‪f(x)/n=p‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪0.75‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3/4‬‬ ‫‪20-30‬‬ ‫‪1/4‬‬ ‫‪30-40‬‬ ‫‪n‬‬ ‫לפי טבלת העזר נחשב את הממוצע לפי הנוסחה הבאה‪:‬‬ ‫‪∑ p*x‬‬ ‫‪i‬‬ ‫ונקבל ‪ .27.5‬נחשב את השונות לפי הנוסחה‬ ‫‪i =1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p * x i2 − X‬‬ ‫∑‬ ‫= ‪ 18.75‬סטיית התקן שווה ‪ .4.33 :‬חציון נמצא בהסתברות המצטברת של ‪ 0.5‬מכאן הוא נמצא במחלקה‬ ‫‪i =1‬‬ ‫הראשונה‪:‬‬ ‫‪Md = Lo + (n/2 – F(x-1))/d=20+(0.5-0)/0.075=26.66‬‬ ‫א‪ .‬העשירון העליון נמצא בהסתברות מצטברת של ‪ 0.9‬ולכן הוא במחלקה השנייה ‪:‬‬ ‫‪ /100– F(x-1))/d =30+(0.90-0.75)/0.025=36‬אחוזון*‪ = Lo + (n‬אחוזון‬ ‫בהתפלגות הנורמאלית נחפש את ציון התקן של ‪ . 1.282 = 0.9‬נציב בנוסחת ציון התקן ‪:‬‬ ‫‪ 1.282=(X-20)/7‬מכאן ‪ X=28.974‬ולכן העשירון הגבוה בהתפלגות הראשונה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כפיר תשובה – תרגולים בתחומי הכלכלה המימון והסטטיסטיקה ‪. 050-5620534 -‬כל הזכויות שמורות ‪.‬‬ ‫במקצועות ‪ :‬יסודות המימון‪ ,‬תורת ההשקעות‪ ,‬סטטיסטיקה א' ו‪ -‬ב'‪ ,‬מיקרו ‪,‬מאקרו‪ ,‬פירמה והצרכן‪ ,‬הסביבה המאקרו כלכלית‪ ,‬יסודות החשבונאות‪ ,‬מתמטיקה א' ו‪-‬‬ ‫ב'‪ ,‬אקונומטריקה ועוד‪ .‬פרטים נוספים באתר‪www.ktnet.co.il :‬‬