1. No category

‫הפירמה והצרכ במשק‬
‫גלעד אקסלרד‬
‫שיעור ‪19/02/2013 – 1‬‬
‫תורת המחירי לייט – הקורס מחולק ל‪ 3‬חלקי‪:‬‬
‫‪ .1‬תורת הצרכ )התנהגות הצרכ‪ ,‬חלוקת התקציב וכו'‪ .(..‬שכר = המחיר של שעות הפנאי שלנו‪ .‬ככל‬
‫שנעבוד יותר‪ ,‬נדרוש יותר – זה מוצר‪ ,‬והוא בביקוש גבוה והמחיר שלו יעלה‪ .‬השכר זה לא מה‬
‫התגמול‪ ,‬אלא מה הפסדתי בפנאי‪...‬‬
‫‪ .2‬תורת הפירמה )כמה עובדי צריכי להעסיק בשביל מקסימו רווח(‪.‬‬
‫‪ .3‬תחרות לא משוכללת )מונופולי = יצר יחיד‪ ,‬רכבת ישראל‪.(...‬‬
‫תורת הצרכ‬
‫א‪ .‬הבנת התנהגות הצרכ ( כיצד צרכ בוחר את סל המוצרי והשירותי‪.‬‬
‫ב‪ .‬היצע העבודה – נבח כיצד הצרכ‪/‬הפרט בוחרי כיצד לחלק את זמנ בי פנאי ועבודה‪.‬‬
‫לש הפשטות‪ ,‬נניח כי הצרכ צור) ‪ 2‬מוצרי‪ :‬מוצר ‪ X‬ומוצר ‪.Y‬‬
‫ההנחה הבסיסית – לא נית לצרו) מוצר שלילי )אי מינוס שולח(‪ .‬קרי‪) x,y>=0 :‬חיוביי(‪.‬‬
‫סל מוצרי – אוס* של כמויות מ‪ X‬ומ‪ Y‬שהצרכ צור)‪.‬‬
‫למשל‪ .A(1,7); B(5,2) :‬באיזה סל יבחר הצרכ?‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫יחסי העדפה‪:‬‬
‫‪ – A ≥ B‬סל ‪ A‬עדי* או שקול לסל ‪.B‬‬
‫‪ – A > B‬סל ‪ A‬עדי* על סל ‪.B‬‬
‫‪ – A = B‬סל ‪ A‬שקול לסל ‪.B‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫א‪ .‬א ‪ A ≥ B‬וג ‪A=B B ≥ A‬‬
‫ב‪ .‬א ‪ A ≥ B‬וג ‪A>B A > B‬‬
‫ג‪ .‬א ‪ A ≥ B‬וג ‪ B ≥ A‬לא נית לדעת‪ .‬הסלי לא ברי השוואה‪.‬‬
‫תכונות של יחסי העדפה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .1‬שלמות – הפרט יכול לדרג בי הסלי‪.‬‬
‫‪ .2‬טרנזטיביות – תכונה שמטרתה למנוע מעגליות‪ .‬למשל‪ ,‬א ‪ A>B‬וג ‪ B>C‬אזי ‪ .A>C‬אבל‪ :‬א‬
‫‪ A>B‬וג ‪ B>C‬וג ‪ – C>A‬זה לא יכול להיות‪.‬‬
‫‪ .3‬רציפות – תכונה מתמטית‪ .‬א ‪ A>B‬אזי ג סלי שמאוד דומי לסל ‪ A‬יהיו עדיפי על סל ‪.B‬‬
‫הצרכ מדרג בי הסלי‪ ,‬ובוחר בסל שיניב לו את התועלת הגבוהה ביותר‪.‬‬
‫פונקצית התועלת – ‪ – Utility‬נסמנה באות ‪ ,u‬זו הצגה מספרית של מערכת העדפות של הצרכ המקיימת‬
‫את ‪ 3‬התכונות הקודמות‪ .‬ככל שהער) המספרי גבוה יותר‪ ,‬כ) התועלת תהא גבוהה יותר‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫פרט צור) לח שחור )‪ (x‬ולח לב )‪ .(y‬לח שחור שקול בעיניו ל‪ 2‬ככרות לח לב‪.‬‬
‫א‪ .‬איזה סל יעדי* הפרט במקרי הבאי‪ – A(1,2); B(1,3) :‬בסל ‪ B‬הוא מקבל יותר‪ ,‬ולכ יעדי* את‬
‫סל ‪.B‬‬
‫ב‪ A(3,0) .‬או )‪.uA=2*3+0=6, uB=2*1+4-6 .u=2x+y – B(1,4‬‬
‫על(מנת למצוא את כל הסלי שיתנו לנו ‪ 6‬יחידות הנאה‪ ,‬נציב ‪ u=6‬ונקבל ‪6=2x+y‬‬
‫נציב ‪ 0‬ב‪ x‬וב‪ y‬ונקבל את פונקציית התועלת‪/‬אדישות‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫כל נקודה על הגר* הסלי שקולי‪ .‬כשזזי ע העקומה ימינה‪ ,‬התועלת גדלה‪.‬‬
‫סוגי תועלות‪:‬‬
‫קעור‬
‫קמור‬
‫לינארית‬
‫קמור – ככל ש‪ x‬קט‪ ,‬הויתור שלי גדל‪ .‬קעור – ככל ש‪ x‬קט‪ ,‬הויתור שלי קט‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫קו התקציב – הפרט שוא* להשיג מקסימו תועלת במסגרת התקציב העומד לרשותו‪.‬‬
‫הגדרות‪:‬‬
‫‪ ( I‬הכנסה )‪(Income‬‬
‫‪ – X‬כמות נצרכת ממוצר ‪) x‬מס' יחידות(‪.‬‬
‫‪ – Y‬כמות נצרכת ממוצר ‪) y‬מס' יחידות(‪.‬‬
‫‪ – Px‬מחיר יחידה מוצר ‪.x‬‬
‫‪ – Py‬מחיר יחידה מוצר ‪.y‬‬
‫הפרט חי תקופה אחת בלבד‪ .‬הוא אינו חוס)‪ ,‬מלווה או לווה‪ ,‬כלומר‪ :‬ס) ההוצאה = ס) ההכנסה‪.‬‬
‫ ∗ ‪I = P ∗ +‬‬
‫ס) ההכנסה = ס) ההוצאה על מוצר ‪ X‬ועוד ס* ההכנסה על מוצר ‪.Y‬‬
‫ ∗ = → ‪ = 0‬‬
‫‬
‫=‬
‫‬
‫ ∗ = → ‪ = 0‬‬
‫‬
‫=‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫דוגמא‪ :‬נתו ‪.Py=2 ,Px=1 ,I=100‬‬
‫א‪ .‬שרטטו את קו התקציב ‪.100=x+2y‬‬
‫ב‪ .‬כאשר ‪ Px=2‬מצבו הורע‬
‫‪3‬‬
‫‪60‬‬
‫‪50‬‬
‫‪40‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪150‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪0‬‬
‫‪50‬‬
‫כאשר ‪ Px=0.5‬מצבו הוטב‬
‫‪60‬‬
‫‪50‬‬
‫‪40‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪300‬‬
‫‪200‬‬
‫‪0‬‬
‫‪100‬‬
‫ד‪ .‬כאשר ‪ Py=1‬מצבו הוטב‬
‫‪120‬‬
‫‪100‬‬
‫‪80‬‬
‫‪60‬‬
‫‪40‬‬
‫‪20‬‬
‫‪0‬‬
‫‪150‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪0‬‬
‫ה‪ .‬כאשר ‪ Py=4‬מצבו הורע‬
‫‪60‬‬
‫‪50‬‬
‫‪40‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪150‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪0‬‬
‫המחירי עלו פי ‪ 2‬והשכר עלה פי ‪ – 2‬אי שינוי‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫שיעור ‪26/02/2013 – 2‬‬
‫תועלת‬
‫‪ Marginal Rate of Substitution – MRS‬שיעור התחלופה השולי = שיפוע עקומת התועלת‪.‬‬
‫ע‪ .‬התועלת יורדת משמאל לימי והמשמעות היא שעליה בצריכת מוצר אחד מתבטאת בויתור מהמוצר‬
‫השני‪ ,‬במילי אחרות – כמה יחידות ממוצר ‪ y‬נהיה מוכני לוותר בשביל יחידה אחת של מוצר ‪ x‬נוספת‪.‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫= ‪MRS‬‬
‫דוגמאות – שרטוט התועלת וחישוב ‪MRS‬‬
‫א‪ = + .‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1+0‬‬
‫‪=1‬‬
‫‪0+1‬‬
‫= ‪MRS‬‬
‫‪ = MRS‬מספר‪ ,‬ולכ התועלת היא לינארית )קו ישר(‪.‬‬
‫הצרכ מוכ לוותר על יחידה אחת של ‪ y‬עבור יחידה אחת נוספת של ‪.x‬‬
‫ב‪ = 2 + 3 .‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪2+0 2‬‬
‫=‬
‫‪0+3 3‬‬
‫= ‪MRS‬‬
‫‪ = MRS‬מספר‪ ,‬ולכ התועלת היא לינארית )קו ישר(‪.‬‬
‫מוכ לוותר על ‪ 2/3‬יחידות מ‪ y‬עבור יחידה אחת מ‪.x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ = ‬
‫‪5‬‬
‫‬
‫∞→‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫∞ → = ;‪ = 0; = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫= ;‪ = 0; = 0‬‬
‫אי נק' חיתו) ע ציר ה‪.y‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪MRS‬‬
‫כאשר ‪ x‬במכנה‪ ,‬התועלת קמורה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ד‪ = √ + .‬‬
‫ = → = ;‪ = 0‬‬
‫ = → √ = ;‪ = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫ ‪2 2‬‬
‫= √ = ‪MRS‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫√ √‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ X‬במכנה = תועלת קמורה‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪ = +‬‬
‫ ‪2‬‬
‫=‬
‫ ‪2‬‬
‫= ‪MRS‬‬
‫‪ X‬במונה = תועלת קעורה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫סיכו‬
‫כאשר ‪ MRS‬קבוע )מספר( התועלת לינארית‪.‬‬
‫כאשר ב‪ x MRS‬במונה התועלת קעורה‪.‬‬
‫כאשר ב‪ x MRS‬במכנה התועלת קמורה‪.‬‬
‫(‬
‫(‬
‫(‬
‫תועלת לינארית ( מקרה כללי‬
‫)‪ α, β‬מספרי(‬
‫" ‪ = ! +‬‬
‫!‬
‫= ‪#$%‬‬
‫"‬
‫תועלת מסוג קוב דגלס‬
‫)‪ b ,a ,α, β‬מספרי(‬
‫עקומת קוב דגלס תמיד תהיה קמורה‪ ,‬ואי נקודות חיתו) של התועלת ע הצירי‪.‬‬
‫) ‪ = & ' ( +‬‬
‫!‬
‫= ‪#$%‬‬
‫"‬
‫למשל‪:‬‬
‫‪ = 20 * + + 9‬‬
‫‪7‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ = = 1 / / + 0‬‬
‫‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‬
‫מצד שני‪:‬‬
‫ ‪ = +‬‬
‫זה לא קוב דגלס‬
‫הצד האובייקטיבי )תקציב( והצד הסובייקטיבי )תועלת( בפונקציות תועלת קמורות‪:‬‬
‫תקציב‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪C‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫*‪y‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ – A‬סל זול ולא יעיל‪.‬‬
‫‪ – B‬נק' יעילה‪ ,‬הצרכ מנצל את כל תקציבו‪.‬‬
‫‪ – C‬סל יקר ולא אפשרי‪.‬‬
‫תועלת‪:‬‬
‫*‪x‬‬
‫‪ – A‬תועלת נמוכה וסל לא יעיל‪.‬‬
‫‪ – B‬תועלת מקסימלית אפשרית‪.‬‬
‫‪ – C‬תועלת מקסימלית א) אינה אפשרית‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫נק' ‪ B‬היא הסל האופטימלי של הצרכ‪.‬‬
‫בנקודה זו התועלת משיקה לתקציב‪.‬‬
‫בנקודת ההשקעה שיפוע קו התקציב = שיפוע התועלת‪ ,‬קרי‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫נכו‪/‬לא נכו‪:‬‬
‫א‪ .‬הא סל יקר יניב בהכרח תועלת גבוהה יותר מסל זול? לא נכו‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‬
‫‬
‫סל ‪ A‬יקר מסל ‪ ,B‬א) לשניה יש אותה תועלת‪.‬‬
‫ב‪ .‬הא ‪ 2‬סלי שעולי אותו דבר יניבו בהכרח את אותה תועלת? לא נכו‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‬
‫‬
‫‪B‬‬
‫‬
‫‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫לצרכ תועלת = ‬
‫ותקציב ‪1 + 1 = 100‬‬
‫חשבו את הסל האופטימלי‪.‬‬
‫א‪ .‬שרטטו את קו התקציב )‪(x=0, y=100; y=0, x=100‬‬
‫‪8‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫ב‪ .‬חישוב תועלת )‪(MRS‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪MRS‬‬
‫)‪ x‬במכנה‪ ,‬תועלת קמורה(‬
‫ג‪.‬‬
‫נשווה ‪ MRS‬ליחס המחירי‬
‫‬
‫‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‪ 1‬‬
‫=‬
‫‪ 1‬‬
‫=‬
‫ד‪ .‬נציב בתקציב‬
‫‪ + = 100‬‬
‫‪ + = 100‬‬
‫‪2 = 100‬‬
‫‪ ∗ = 50‬‬
‫‪ ∗ = 50‬‬
‫‪∗ = 2,500‬‬
‫‪100‬‬
‫‪u*=2,500‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫לצרכ ‪ 100‬ש"ח‪ .‬הסל האופטימלי של הצרכ יורכב מ‪ 50‬יחידות ‪ x‬ו‪ 50‬יחידות ‪ y‬ויהנה מה ‪ 2,500‬יחידות‬
‫הנאה‪.‬‬
‫‪9‬‬
‫שיעור ‪5/3/2013 – 3‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫א‪ = + 10 .‬‬
‫∞ → ;‪ = 0; = 0‬‬
‫‬
‫= ;‪ = 0; = 10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ + 10‬‬
‫‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‪ X‬במכנה‪ ,‬ולכ הגר* קמור )בנוס* – ישנה אסימפטוטה אנכית‪ ,‬שכ אי חיתו) ע ציר ה‪.(y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫ב‪ = + 5 .‬‬
‫‪u/10‬‬
‫‬
‫‪5‬‬
‫∞ → ;‪ = 0; = 0‬‬
‫‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‪+5‬‬
‫= ;‪ = 0; = 5‬‬
‫‪ X‬במכנה קמור‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪u/3‬‬
‫‪x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ = + 3 + 3‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫= ;‪ = 0; = 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+3‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‪+3‬‬
‫= ;‪ = 0; = 3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ X‬במכנה קמור‪.‬‬
‫ד‪ = 10√ + 4 .‬‬
‫‬
‫‪100‬‬
‫‬
‫‪4‬‬
‫= ;‪ = 0; = 4‬‬
‫= ;√‪ = 0; = 10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫√‪2‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫√‪8√ 4‬‬
‫ה‪ , = 3.5 3.5 = √ ∗ .‬נפתור לפי קוב דגלס‬
‫ ‪0.5‬‬
‫=‬
‫ ‪0.5‬‬
‫ו‪.‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‪) = 10 3.5 3.5 + 6‬ג קוב דגלס(‬
‫ ‪0.5‬‬
‫=‬
‫ ‪0.5‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫פתרו בעיית הצרכ בפונקציות קמורות‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪B‬‬
‫*‪y‬‬
‫*‪x‬‬
‫נתו‪ :‬תועלת ∗ √ = ‪ ,‬תקציב ‪.( = + ) Px=2 ,Py=1 ,I=200‬‬
‫תקציב‪2x+y=200 :‬‬
‫חשבו סל אופטימלי‪.‬‬
‫א‪ .‬שרטוט קו התקציב‪:‬‬
‫‪x=0, y=200; y=0, x=100‬‬
‫ב‪ .‬נחשב ‪) MRS‬תועלת(‬
‫‪1‬‬
‫ √‪2‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪ X‬במכנה‪ ,‬ולכ קמור‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫נשווה ‪ MRS‬ליחס המחירי ) ‪.( 8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‬
‫‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪√ 1‬‬
‫√‪ = 2‬‬
‫‪ = 4‬‬
‫=‬
‫ד‪ .‬נציב בתקציב‬
‫‪2x+y=200‬‬
‫‪2x+4x=200‬‬
‫‪6x=200‬‬
‫‪X*=33.33‬‬
‫‪Y*=4*33.33=133.33‬‬
‫‪ = √33.33 + √133.33 ≅ 17.3‬‬
‫דוגמא נוספת‪:‬‬
‫נתו‪ :‬תועלת ‪ , = + 100‬תקציב ‪.( = + ) Px=1 ,Py=1 ,I=600‬‬
‫‪x+y=600‬‬
‫‪x=0; y=600‬‬
‫‪y=0; x=600‬‬
‫‬
‫‪ + 100‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‬
‫‪=1‬‬
‫‪ + 100‬‬
‫‪y=x+100‬‬
‫‪2x+100=600‬‬
‫‪2x=500‬‬
‫‪x=250‬‬
‫‪y=250+100=350‬‬
‫‪u=250*350+100*350=122,500‬‬
‫‪12‬‬
‫פתרו בעיית הצרכ בפונקציות קעורות‬
‫תועלת ‪.Px=1 ,Py=2 ,I=100 , = +‬‬
‫חשבו סל אופטימלי‬
‫א‪ .‬שרטוט קו התקציב ‪x+2y=100‬‬
‫ב‪ .‬חישוב ‪MRS‬‬
‫ ‪2‬‬
‫=‬
‫ ‪2‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‪ x‬במונה‪ ,‬לכ קעור‪.‬‬
‫פתרונות פינה‪ .‬נציב את נקודות ‪ A‬ו(‪ B‬בתועלת‪:‬‬
‫‪; <0,50= = 0 + 50 = 2,500‬‬
‫‪>? <@AA, A= = @AAB + AB = @A, AAA‬‬
‫נבחר את נקודה ‪ B‬שכ התועלת גבוהה יותר בנקודה זו )טובה יותר לצרכ(‪.‬‬
‫‪50‬‬
‫‪100‬‬
‫דוגמא ‪Px=2 ,Py=1 ,I=100 , = + :2‬‬
‫‪2x+y=100‬‬
‫‪>C <A, @AA= = AB + @AAB = @A, AAA‬‬
‫‪D <50,0= = 50 + 0 = 2,500‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪13‬‬
‫דוגמא ‪Px=1 ,Py=1 ,I=100 , = + :3‬‬
‫תקציב ‪x+y=100‬‬
‫‪; <0,100= = 0 + 100 = 10,000‬‬
‫‪D <100,0= = 100 + 0 = 10,000‬‬
‫הצרכ אדיש בי ‪ A‬ובי ‪.B‬‬
‫פתרו בעיית הצרכ בפונקציות לינאריות‬
‫תועלת ‪ , = 4 + 2‬תקציב ‪x+y=100‬‬
‫א‪ .‬שרטוט קו התקציב‬
‫ב‪ .‬חישוב ‪MRS‬‬
‫‪4‬‬
‫‪=2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫לינארי – פתרונות פינה‪.‬‬
‫‪; <0,100= = 0 ∗ 4 + 2 ∗ 100 = 200‬‬
‫‪>? <@AA, A= = E ∗ @AA + A ∗ B = EAA‬‬
‫נבחר את נקודה ‪.B‬‬
‫‪100‬‬
‫‪u*=400‬‬
‫‪100‬‬
‫דוגמא ‪:2‬‬
‫תועלת ‪ , = 2 + 4‬תקציב ‪x+y=100‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 0.5‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‪>C <A, @AA= = A ∗ B + E ∗ @AA = EAA‬‬
‫‪D <100,0= = 2 ∗ 100 + 0 ∗ 4 = 200‬‬
‫‪14‬‬
‫‪100‬‬
‫‪u*=400‬‬
‫‪100‬‬
‫תועלת ‪ , = 2 + 2‬תקציב ‪x+y=100‬‬
‫‪MRS=2/2=1‬‬
‫הצרכ אדיש‪ .‬קו התועלת מתלכד ע קו התקציב‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪u*=200‬‬
‫‪100‬‬
‫תועלת לינארית – מקרה כללי‬
‫לשיעור הבא‪ :‬תרגיל ‪ 3‬להגשה‪.‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫התקציב‪3x+5y=90 :‬‬
‫התועלת‪ = :‬‬
‫נית לזהות תועלת של קוב דגלס ‬
‫‪F‬‬
‫נשווה ליחס המחירי‪= 5 :‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫= ‪ x) #$%‬במכנה‪ ,‬כלומר – קמור(‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫ומכא ש‪. = /3 :‬‬
‫נציב בתקציב‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3 + 5 G H = 90‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ = 20‬‬
‫‪15‬‬
‫‪3 ∗ 20‬‬
‫‪10‬‬
‫= ∗‬
‫ומכא נוציא את התועלת‪∗ = 20 ∗ 6 = 2400 :‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫התקציב‪2x+4y=800 :‬‬
‫‪I‬‬
‫התועלת‪ = J :‬‬
‫נית לזהות תועלת של קוב דגלס ‬
‫‬
‫‪F‬‬
‫= ‪ x) #$%‬במכנה‪ ,‬כלומר – קמור(‪.‬‬
‫‬
‫נשווה ליחס המחירי‪ F = K :‬ומכא ש‪. = 1.5 :‬‬
‫נציב בתקציב‪:‬‬
‫‪8 = 800‬‬
‫‪ ∗ = 100‬‬
‫‪ ∗ = 1.5 ∗ 100 = 150‬‬
‫א‪ .‬והתועלת‪:‬‬
‫‪∗ 150 = 696‬‬
‫ב‪ .‬בשינוי התועלת‬
‫‪/‬‬
‫‪100 LF‬‬
‫∗‬
‫= ‬
‫לל"ש ‪MRS=y/3x‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫התקציב‪) 3x+2y=I :‬ז"א בי ‪ I/2‬ובי ‪.(I/3‬‬
‫התועלת‪ = + :‬‬
‫‬
‫ = ‪ x #$%‬במונה ולכ קעור )ברגע שזה קעור‪ ,‬יש לנו פתרונות קצה – או זה או זה(‪.‬‬
‫חלוקה ב‪ 4‬לעומת ‪ ,9‬ולכ זו התועלת הגדולה יותר ‪UA(0,I/2)=0+I^2/4‬‬
‫‪UB(I/3,0)=I^2/9+0‬‬
‫שאלה ‪4‬‬
‫התקציב‪) 2x+2y=100 :‬ז"א ‪ 50,0‬ו‪.(0,50‬‬
‫התועלת‪ = + F :‬‬
‫‬
‫‪ x #$% = FM‬במונה‪ ,‬קעור ושוב ‪ 2‬פתרונות‪:‬‬
‫גדול יותר‪ ,‬נבחר בתועלת זו‪UA(0,50)=50^3=125,000 .‬‬
‫‪UB(50,0)=50^2=2,500‬‬
‫שאלה ‪5‬‬
‫‪16‬‬
‫התקציב‪) 2x+2y=100 :‬ז"א ‪ 50,0‬ו‪.(0,50‬‬
‫התועלת‪ = + 2 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫א‪ .‬תועלת לינארית‪ ,‬פתרונות פינה‪:‬‬
‫‪>C <A, NA= = A + @AA = @AA‬‬
‫‪D <50,0= = 50 + 0 = 50‬‬
‫ב‪ .‬תתהפ)‪.‬‬
‫ג‪ .‬הצרכ יהיה אדיש‪.‬‬
‫שאלה ‪6‬‬
‫התקציב‪) 3x+y=100 :‬ז"א ‪.(0,100; 33.33,0‬‬
‫התועלת‪ = 6 + 4 :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫תועלת לינארית‪ ,‬פתרונות פינה‪:‬‬
‫‪>C <A, @AA= = EAA‬‬
‫‪D <33.33,0= = 200‬‬
‫סיכו תועלת לינארית‬
‫תועלת " ‪ = ! +‬כאשר ‪ β ,α‬מספרי‪.‬‬
‫!‬
‫"‬
‫= ‪#$%‬‬
‫תקציב = ‪P
+ O‬‬
‫יחס המחירי‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ 3‬מקרי‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫א ‪ 7 < #$%‬נצרו) רק מ‪.x‬‬
‫‪7‬‬
‫א ‪ 7 > #$%‬נצרו) רק מ‪.y‬‬
‫‪7‬‬
‫א ‪ 7 = #$%‬הצרכ אדיש בי מוצרי ‪ x‬ו(‪) .y‬קו התועלת מתלכד ע קו התקציב(‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫עקומת הכנסה – תצרוכת‬
‫‪Income Consumption Curve – ICC‬‬
‫קו המחבר את הסלי האופטימליי ברמות הכנסה משתנות‪.‬‬
‫‪ I‬גדל‬
‫‪ I‬קט‬
‫‪ X‬עולה‬
‫‪ X‬לל"ש‬
‫‪ X‬קט‬
‫‪ X‬עולה‬
‫‪ X‬לל"ש‬
‫‪ X‬קט‬
‫מוצר נורמלי‬
‫מוצר ניטראלי‬
‫מוצר נחות‬
‫מוצר נחות‬
‫מוצר ניטראלי‬
‫מוצר נורמלי‬
‫צרכ בעל הכנסה ‪ I‬צור) את סל ‪ .(x0, y0) A‬כעת‪ ,‬עלתה הכנסתו של הצרכ‬
‫ל‪.I1‬‬
‫היכ יימצא הסל האופטימלי של הצרכ?‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫קטע מעל ‪ B‬או מתחת ל‪ – C‬לא אפשרי היות והצרכ ירצה תועלת גבוהה יותר מהקודמת‪.‬‬
‫בקטע ‪ BD‬עליית ההכנסה גרמה לעלייה בצריכת ‪) y‬קרי – ‪ y‬נורמלי( ולירידה ב‪) x‬קרי – ‪ x‬נחות(‪.‬‬
‫קטע ‪ CE‬עליית הכנסה גרמה לירידה בצריכת ‪) y‬נחות( ולעליה ב‪) x‬נורמלי(‪.‬‬
‫קטע ‪ DE‬עליית ההכנסה גרמה לעלייה בשני המוצרי ‪ x, y‬נורמלי‪.‬‬
‫נקודה ‪ D‬עליית הכנסה גרמה לעלייה ב‪) y‬נורמלי( ולחוסר שינוי ב‪) x‬ניטראלי(‬
‫נקודה ‪ E‬עליית ההכנסה גרמה לעלייה ב‪) x‬נורמלי( ולחוסר שינוי ב‪) y‬ניטראלי(‬
‫לפי עקומת ה‪ ,ICC‬נוכל לאפיי את סוג המוצר )נורמלי‪ ,‬ניטראלי‪ ,‬נחות(‪.‬‬
‫נית לראות שלפחות מוצר אחד חייב להיות נורמלי‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫מציאת עקומת ‪ICC‬‬
‫א‪.‬‬
‫תועלת = )קוב דגלס(‬
‫תקציב ‪x+y=100‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪/‬‬
‫= ∗ = ‪ #$%‬קמור‪.‬‬
‫נשווה ליחס המחירי‪= 1 :‬‬
‫‬
‫‬
‫ומכא‪.(ICC) y=2x :‬‬
‫ב‪.‬‬
‫תועלת ‪ = √ +‬‬
‫תקציב ‪I = P +‬‬
‫‪1‬‬
‫ ‪2‬‬
‫= √ = ‪MRS‬‬
‫‪1‬‬
‫√‬
‫‪2‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q M‬‬
‫‬
‫‪Q M‬‬
‫נשווה ליחס המחירי‪ . √ = 78 :‬נחל‪ 0‬את ‪ y‬ונקבל‪ . = 78M :‬נית להתייחס ל ‪ 78M‬כמספר‪ ,‬ולכ ‪x,y‬‬
‫‪9‬‬
‫√‬
‫‪9‬‬
‫נורמלי )‪.(y=α*x‬‬
‫ג‪.‬‬
‫תועלת ‪) = 2√ + 2‬קוב דגלס(‬
‫תקציב ‪2x+2y=100‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫√‪2‬‬
‫=‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‪2‬‬
‫√‪2‬‬
‫‪/‬‬
‫‪ICC: = K‬‬
‫‪19‬‬
‫‪9‬‬
‫ד‪.‬‬
‫תועלת ‪ = +‬‬
‫תקציב ‪2x+y=100‬‬
‫ ‪2‬‬
‫=‬
‫ ‪2‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫קעור = פתרונות פינה‪.‬‬
‫‪UA(0,100)=100‬‬
‫‪UB(50,0)=50‬‬
‫במקרה הזה‪ ,‬ה‪ ICC‬הוא ציר ה‪ .(x=0) y‬מכא ש‪ x‬ניטראלי כי הוא תמיד ‪ 0‬ו‪ y‬נורמלי‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫תועלת ‪ = +‬‬
‫תקציב ‪x+2y=100‬‬
‫‪1 1‬‬
‫>‬
‫‪1 2‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫נצרו) רק מ‪.x‬‬
‫שיעור ‪19/03/2013 – 5‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫שאלה ‪:1‬‬
‫ ‪ = + +‬‬
‫‪Px=2, Py=1, I‬‬
‫‪2x+y=I‬‬
‫‪20‬‬
‫‪+1‬‬
‫‪+1‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‪I‬‬
‫‪1‬‬
‫‪I/2‬‬
‫‪ – X, Y‬נורמלי‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫תועלת = ‬
‫‪I/8‬‬
‫‪ICC‬‬
‫‪I/4‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫= ‪#$%‬‬
‫העדפה נגלית‬
‫בהעדפה נגלית נבח מה נית ללמוד מהתנהגותו של צרכ ללא ידיעת פונקציית התועלת שלו‪ ,‬אלא‬
‫באמצעות מידע על מגבלות תקציבו ועל המוצרי והשירותי אות הוא צור) בפועל‪.‬‬
‫שני תנאי להעדפה נגלית‪:‬‬
‫‪ .1‬בהנת מגבלת התקציב‪ ,‬לפרט סל יחיד שהוא עדי* מבחינתו על פני הסלי האחרי האפשריי‪.‬‬
‫‪ .2‬לפרט מערכת העדפות קבועה‪ ,‬ושינוי הרכבי צריכתו קשורי לשינויי במחירי המוצרי ו‪/‬או‬
‫שינויי הכנסה‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫נניח פרט החי ‪ 2‬תקופות‪ ,‬בתקופה ‪ 1‬נסמ את תקציבו בקו כחול‪.‬‬
‫בתקופה ‪ 2‬נסמ את תקציבו בקו אדו‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫בתקופה ‪ – 1‬צור) ‪ a‬ו‪ b‬אפשרי‪.‬‬
‫בתקופה ‪ – 1‬צור) ‪ a‬ו‪ b‬לא אפשרי‪.‬‬
‫בתקופה ‪ – 2‬צור) ‪ b‬ו(‪ a‬לא אפשרי‪.‬‬
‫בתקופה ‪ – 2‬צור) ‪ b‬ו‪ a‬לא אפשרי‪.‬‬
‫מכא‪ :‬מצבו הורע‪.‬‬
‫מכא‪ :‬לא נית לדעת מה מצבו‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫בתקופה ‪ – 1‬צור) ‪ a‬ו‪ b‬לא אפשרי‪.‬‬
‫בתקופה ‪ – 1‬צור) ‪ a‬ו‪ b‬אפשרי‪.‬‬
‫בתקופה ‪ – 2‬צור) ‪ b‬ו‪ a‬אפשרי‪.‬‬
‫בתקופה ‪ – 2‬צור) ‪ b‬ו‪ a‬אפשרי‪.‬‬
‫מכא‪ :‬מצבו הוטב‪.‬‬
‫מכא‪ :‬הצרכ אינו עקבי‪ .‬שינוי טעמי‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫מדדי כמויות ככלי לדירוג סלי‬
‫א‪ .‬מדד פאש‬
‫‪I‬‬
‫‪ / + /‬‬
‫= ‪R7‬‬
‫)הכנסה תקופה ‪) \ (2‬הכנסה דרושה בתקופה ‪ 2‬על(מנת לרכוש את סל תקופה ‪ ,1‬במחירי תקופה ‪(2‬‬
‫ב‪ .‬מדד לספייר‬
‫ ‪ / +‬‬
‫‪/‬‬
‫‪/‬‬
‫= ‪RS‬‬
‫)הכנסה דרושה בתקופה ‪ 1‬על(מנת לרכוש את סל תקופה ‪ 2‬במחירי תקופה ‪) \ (1‬הכנסה תקופה ‪(1‬‬
‫@ < ‪TU‬‬
‫שינוי טעמי‬
‫שינוי טעמי‬
‫הרעה‬
‫@ > ‪TV‬‬
‫@ = ‪TV‬‬
‫@ < ‪TV‬‬
‫@ = ‪TU‬‬
‫שינוי טעמי‬
‫שינוי טעמי‬
‫הרעה‬
‫@ > ‪TU‬‬
‫הטבה‬
‫הטבה‬
‫לא נית לדעת‪.‬‬
‫דוגמא‪ :‬מה נית לומר על מצבו של הפרט במעבר מתקופה ‪ 1‬לתקופה ‪?2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪10‬‬
‫‪5‬‬
‫תקופה ‪1‬‬
‫תקופה ‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪10‬‬
‫‪20‬‬
‫‪Px‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪Py‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪I‬‬
‫‪2 ∗ 10 + 2 ∗ 10 = 40‬‬
‫‪4 ∗ 5 + 1 ∗ 20 = 40‬‬
‫העדפה נגלית‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫תקופה ‪ – 1‬צור) ‪ a‬ו‪ b‬לא אפשרי‪.‬‬
‫תקופה ‪ – 2‬צור) ‪ b‬ו‪ a‬לא אפשרי‪.‬‬
‫מכא‪ :‬לא נית לדעת‪.‬‬
‫מדד כמויות‪:‬‬
‫‪40‬‬
‫‪= 0.6 < 1‬‬
‫‪4 ∗ 10 + 1 ∗ 10‬‬
‫= ‪R7‬‬
‫‪23‬‬
‫משוואת התקציב‬
‫‪2 + 2 = 40‬‬
‫‪4 + = 40‬‬
‫‪2 ∗ 5 + 2 ∗ 20‬‬
‫‪= 1.25 > 1‬‬
‫‪40‬‬
‫= ‪RS‬‬
‫ומכא‪ :‬לא נית לדעת‪.‬‬
‫היצע העבודה‬
‫נבח כיצד הפרט מחלק את זמנו בי פנאי )‪ (P - Pleasure‬לעבודה )‪.(L - Labor‬‬
‫(‬
‫(‬
‫(‬
‫(‬
‫(‬
‫נניח כי הפרט צור) ונהנה מ‪ 2‬מוצרי‪:‬‬
‫א‪ .‬פנאי )‪(P‬‬
‫ב‪ .‬יתר המוצרי )‪.(y‬‬
‫לפרט ‪ 24‬שעות ביממה‪ ,‬אות הוא מחלק בי פנאי )‪ (P‬לעבודה )‪ ,(L‬ומכא‪.P+L=24 :‬‬
‫לפרט שכר עבודה לפי שעה‪) w (Wedge) ,‬מחיר הפנאי(‪.‬‬
‫המחיר של כל מוצר ‪.Py=1‬‬
‫הפרט אינו לווה‪ ,‬מלווה‪ ,‬חוס) – כלומר‪:‬‬
‫ס) ההכנסות = ס) ההוצאות ‪ ∗ = W ∗ X‬‬
‫‪ ,L=24-P‬ומכא‪:‬‬
‫= ‪ – = W<24 −‬קו התקציב הפשוט של הצרכ‪.‬‬
‫‪ y=24w, P=0‬רק עובד‬
‫‪ y=0, P=24‬רק נח‬
‫‪24w‬‬
‫‪24‬‬
‫דוגמא‪ :‬נתו פרט שתועלתו ‪ ,u=P*y‬ונתו כי ‪.w=50‬‬
‫א‪ .‬שרטטו את קו התקציב‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו ‪.P, L, y, u‬‬
‫= ‪ = 50<24 −‬‬
‫‪ = 1200 − 50‬‬
‫‪24‬‬
‫‪1200‬‬
‫‪24‬‬
‫קוב דגלס‪:‬‬
‫‬
‫‪7‬‬
‫[‬
‫‪/‬‬
‫= ‪ ,#$%‬נשווה ליחס המחירי‪= W :‬‬
‫=‬
‫‪7Z‬‬
‫‪79‬‬
‫‬
‫‪7‬‬
‫= ‪.‬‬
‫‬
‫‪= 50‬‬
‫‬
‫ומכא‪ = 50 :‬‬
‫נציב בתקציב‪:‬‬
‫‪y=1,200-50P‬‬
‫‪50P=1,200-50P‬‬
‫‪100P=1,200‬‬
‫‪P=12‬‬
‫‪L=24-12=12‬‬
‫‪Y=50*12=600‬‬
‫‪u=12*600=7,200‬‬
‫להגשה‪ :‬התרגיל הקוד ע \ ‪ > = √V +‬ו‪.w=2‬‬
‫שיעור ‪09/04/2013 – 6‬‬
‫תקציב‪ = W<24 − ]= :‬‬
‫שכר עבודה‪ ,w :‬מוצרי‪ ,y :‬תועלת‪.u :‬‬
‫לעתי לפרט הכנסות שאינ מעבודה )למשל‪ :‬שכ"ד‪ ,‬מלגה‪ ,‬מתנה‪ ,‬זכיה‪ ,(...‬נסמנה באות ‪.(Additional) A‬‬
‫תקציב ע הכנסות נוספות‪. = W<24 − ]= + ^ :‬‬
‫מיסי‪:‬‬
‫א‪ .‬מס קבוע‪/‬מס גולגולת – מס בסכו קבוע )בש"ח(‪ ,‬אשר מוטל על הפרט ללא תלות בעבודתו – ‪.T‬‬
‫_ ‪ = W<24 − ]= + ^ −‬‬
‫ב‪ .‬מס יחסי‪/‬מס הכנסה – מה בשיעור מההכנסה )ב‪, = <1 − `=W<24 − ]= + ^ − _ .t – (%‬‬
‫וזהו קו התקציב הכללי‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫_ ‪ = <1 − `=W<24 − ]= + ^ −‬‬
‫שיפוע קו התקציב‪<1 − `=W :‬‬
‫שיפוע התועלת‪#$% = <1 − `=W :‬‬
‫דוגמא‪ :‬חשבו ‪ u, y, L, P‬לפרט שתועלתו ‪ = 240] + 3‬‬
‫הכנסתו‪.w=20 :‬‬
‫לפרט הכנסה משכ"ד של ‪ 100‬ש"ח‪ .‬על הפרט מוטל מס הכנסה של ‪.50%‬‬
‫]‪ = 0.5 ∗ 20 ∗ <24 − ]= + 100 = 340 − 10‬‬
‫]‪ = 240] + 1020 − 30‬‬
‫‪340‬‬
‫‪u=1,500‬‬
‫‪180‬‬
‫‪100‬‬
‫‪24‬‬
‫‪16‬‬
‫‪) MRS=0.5*20=10‬שיפוע קו התקציב(‬
‫‪240‬‬
‫‪2] 40‬‬
‫=‬
‫= ‪#$%‬‬
‫‪3‬‬
‫]‬
‫ועכשיו נשווה לשיפוע קו התקציב‪= 10 :‬‬
‫‪K3‬‬
‫‪ ,‬ומכא‪.p=16 :‬‬
‫‪√a‬‬
‫‪L=24-16=8‬‬
‫‪y=340-160=180‬‬
‫‪u=240*4+3*180=1,500‬‬
‫תורת היצר‬
‫מטרת הפירמה‪ :‬השאת רווחי מקסימו רווח‪.‬‬
‫פירמה יצרנית המייצרת באמצעות גורמי ייצור‪ ,‬המוכנסי לתהלי) הייצור ובסופו מיוצר מוצר‪.‬‬
‫גו"י תהלי) ייצור מוצר‪.‬‬
‫למשל‪ :‬פירמה מייצרת באמצעות ‪ 2‬גו"י‪.‬‬
‫‪26‬‬
‫‪ – L‬עבודה‪.‬‬
‫‪ – k‬מכונות‪.‬‬
‫‪ – x‬מוצר‪.‬‬
‫באופ כללי‪ ,‬לפירמה פונ' ייצור‪. = b<X, c= :‬‬
‫דוגמא‪. = X c :‬‬
‫עקומת שאת תפוקה‬
‫קבוצת כל האפשרויות היעילות של גורמי ייצור ‪ L‬ו‪ k‬לייצור תפוקה נתונה‪.‬‬
‫תפוקה שולית – )‪.Marginal Product (MP‬‬
‫תפוקה שולית של גו"י ‪ L‬שנסמנה ע"י ‪ MPL‬או ‪ ,fL‬היא התוספת לתפוקה הכוללת כתוצאה מהעסקת יחידה‬
‫אחת נוספת של ‪ L‬כאשר שאר גו"י קבועי‪.‬‬
‫)‪ MPL=X'(L‬או )‪ fL=X'(L‬וכנ"ל )‪ MPk=X'(k‬או )‪.fk=X'(k‬‬
‫תפוקה ממוצעת – )‪Average Product (AP‬‬
‫תפוקה ממוצעת הנה מספר יחידות התפוקה שתור גו"י בממוצע‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ ^S = S‬וכנ"ל ‪.^d = d‬‬
‫דוגמא‪ :‬חשבו ‪ MPL‬ו(‪ APL‬עבור העובד ה‪ 100‬של פירמה בעלת פונ' ייצור ‪. = 100√X‬‬
‫‪53‬‬
‫‪√S‬‬
‫=‬
‫‪/33‬‬
‫‪√S‬‬
‫‪53‬‬
‫= ‪ MPS‬נציב ‪ L=100‬ונקבל‪.MPS = /3 = 5:‬‬
‫עקומה שוות תפוקה והשיפוע שלה‬
‫‪.Marginal Rate of Technical Substitution – RTS‬‬
‫שיעור התחלופה הטכני בייצור )‪ (RTS‬הוא שיעור השינוי של גו"י ‪ L‬כתוצאה משינוי ביחידה אחת בגו"י ‪k‬‬
‫)זהו למעשה שיפוע עקומת שוות תפוקה(‪.‬‬
‫‪#S‬‬
‫‪#d‬‬
‫= ‪$_%‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪ .1‬קמורה )קוב דגלס(‪.‬‬
‫) ‪ = &X' c( +‬‬
‫‪!c‬‬
‫= ‪$_%‬‬
‫‪"X‬‬
‫‪ L‬במכנה – קמור‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫למשל‪.x=L*K :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪L‬‬
‫‪.2‬‬
‫לינארי‬
‫‪ = !L + βc‬‬
‫!‬
‫= ‪RTS‬‬
‫"‬
‫מספר לינארי‪.‬‬
‫למשל‪x=2L+4k :‬‬
‫‪ .3‬קעור‬
‫למשל‪ = X + c :‬‬
‫‪2X‬‬
‫‪2c‬‬
‫= ‪RTS‬‬
‫‪ k‬במכנה קעור‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪L‬‬
‫‪28‬‬
‫שיעור ‪23/04/2013 – 7‬‬
‫_ ‪ = <1 − `=W<24 − ]= + ^ −‬‬
‫ונשווה ‪.#$% = <1 − `=W‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫סעי* א'‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪w=10 , = 103. 3.K‬‬
‫תקציב‪:‬‬
‫= ‪ = 10<24 −‬‬
‫‪ = 240 − 10‬‬
‫נציב‪:‬‬
‫‪P=0, y=210‬‬
‫‪P=24, y=0‬‬
‫‪240‬‬
‫‪24‬‬
‫חישוב ‪:MRS‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‬
‫=‬
‫‪0.4 2‬‬
‫= ‪MRS‬‬
‫נשווה לשיפוע התקציב‪:‬‬
‫‬
‫‪= 10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ = 20‬‬
‫נציב בתקציב‪:‬‬
‫‪20P = 240 − 10P‬‬
‫‪30P = 240‬‬
‫‪P=8‬‬
‫‪L = 24 − 8‬‬
‫‪ = 20 ∗ 8 = 160‬‬
‫‪3.‬‬
‫‪ = 10 ∗ 8 ∗ 1603.K = 115‬‬
‫‪29‬‬
‫סעי* ב'‪:‬‬
‫‪A=180‬‬
‫‪420‬‬
‫‪180‬‬
‫‪24‬‬
‫‪ = 10<24 − = + 180‬‬
‫‪ = 420 − 10‬‬
‫נציב בתקציב‪:‬‬
‫‪20P = 420 − 10P‬‬
‫‪30P = 420‬‬
‫‪P = 14‬‬
‫‪L = 24 − 14 = 10‬‬
‫‪ = 20 ∗ 14 = 280‬‬
‫‪ = 10 ∗ 143. ∗ 2803.K = 161‬‬
‫סעי* ג'‪:‬‬
‫‪t=0.25‬‬
‫‪ = <1 − 0.25=10<24 − = + 180‬‬
‫‪ = 360 − 7.5‬‬
‫‪360‬‬
‫‪180‬‬
‫‪24‬‬
‫נשווה לשיפוע התקציב‪:‬‬
‫‬
‫‪= <1 − 0.25=10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ = 15‬‬
‫נציב בתקציב‪:‬‬
‫‪30‬‬
‫‪15P = 360 − 7.5P‬‬
‫‪22.5P = 360‬‬
‫‪P = 16‬‬
‫‪L = 24 − 6 = 8‬‬
‫‪ = 15 ∗ 16 = 240‬‬
‫‪ = 10 ∗ 163. ∗ 2403.K = 155‬‬
‫שאלה ‪ 2‬סעי* ג'‪:‬‬
‫‪ = 103.5 3.5‬‬
‫‪W = 20, ^ = 100, _ = 40, ` = 0.5‬‬
‫‪ = <1 − 0.5=20<24 − = + 100 − 40‬‬
‫‪ = 300 − 10‬‬
‫‪P=0, y=300‬‬
‫‪P=24, y=60‬‬
‫‪300‬‬
‫‪60‬‬
‫‪24‬‬
‫חישוב ‪:MRS‬‬
‫ ‪0.5‬‬
‫=‬
‫ ‪0.5‬‬
‫= ‪MRS‬‬
‫נשווה ל‪:(1-t)w‬‬
‫‬
‫‪= <1 − 0.5=20‬‬
‫‬
‫‬
‫‪= 10 → = 10‬‬
‫‬
‫נציב בתקציב‪:‬‬
‫‪10 = 300 − 10‬‬
‫‪20 = 300‬‬
‫‪ = 15‬‬
‫‪L=9‬‬
‫‪ = 10 ∗ 15 = 150‬‬
‫‪ = 10 ∗ 153.5 93.5 = 474‬‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫‪) RTS .1‬מתייחס לתורת היצר‪.‬‬
‫‪31‬‬
‫)‪ x=f(L,k‬עקומת יצור כתלות במכונות ועבודה‪.‬‬
‫‪hS‬‬
‫‪hd‬‬
‫= ‪ $_%‬שיפוע עקומת שאת תפוקה‪.‬‬
‫‪) = c X3.5‬קוב דגלס‪ ,‬ולכ‪( :‬‬
‫‪c‬‬
‫‪0.5c‬‬
‫=‬
‫‪4X‬‬
‫‪2X‬‬
‫= ‪$_%‬‬
‫קמור‬
‫‪x=k+2L .2‬‬
‫‪RTS=2‬‬
‫לינארי‬
‫‪.3‬‬
‫‪ = c 3.5 + X3.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2√X 2√c √c‬‬
‫=‬
‫=‬
‫= ‪$_%‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2√X √X‬‬
‫‪2√c‬‬
‫‪ L‬במכנה קמור‪.‬‬
‫שאלה ‪ ,2‬א‪:‬‬
‫תפוקה שולית של גו"י ‪MPL=x'L L‬‬
‫תפוקה ממוצעת של גו"י ‪APL=x/L L‬‬
‫‪k=100‬‬
‫‪ = 10√X‬‬
‫‪5‬‬
‫=‬
‫‪10‬‬
‫= ‪#S = h X‬‬
‫‪2√X √X‬‬
‫‪ 10√X 10‬‬
‫= = ‪^S‬‬
‫=‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪√X‬‬
‫סעי* ב‪:‬‬
‫‪MPL=200L‬‬
‫‪APL=100L‬‬
‫סעי* ג‪:‬‬
‫‪32‬‬
‫‪ = 10 + √X‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪#S‬‬
‫‪2√X‬‬
‫‪10 + √X‬‬
‫= ‪APS‬‬
‫‪X‬‬
‫תכונות של גורמי ייצור‬
‫נבח כיצד עליה בגו"י אחד משפיעה על התפוקה השולית של גו"י שני‪.‬‬
‫‪ 3‬מצבי‪:‬‬
‫א‪ L .‬ו(‪ k‬גו"י מסייעי א עליה‪/‬ירידה בגו"י אחד מעלה‪/‬מורידה את הת"ש של גו"י שני )סימ גדול‬
‫מ(‪.(0‬‬
‫ב‪ L .‬ו(‪ k‬גו"י יריבי או מתחרי א עליה‪/‬ירידה בגו"י אחד מורידה‪/‬מעלה את הת"ש של גו"י שני‬
‫)סימ קט מ(‪.(0‬‬
‫ג‪ L .‬ו(‪ k‬גו"י אדישי א עליה‪/‬ירידה בגו"י אחד אינה משפיעה על הת"ש של גו"י שני )סימ =‪.(0‬‬
‫דוגמאות – תכונות של גו"י‪:‬‬
‫א‪. = X c .‬‬
‫שתי דרכי‪) :‬נתו ‪ 0 < L,k‬חיוביי(‬
‫גזירה לפי ‪L‬‬
‫‪MPS = x h L = 2Lk‬‬
‫‪<MPS =h c = 2X > 0‬‬
‫גזירה לפי ‪k‬‬
‫כלל‪ :‬בקוב דגלס תמיד מסייעי‪.‬‬
‫ב‪x=4L+5k .‬‬
‫‪MPL=4‬‬
‫‪(MPL)'k=0‬‬
‫כלל‪ :‬בלינארית גו"י תמיד אדישי‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ = 1,000c + cX + 1962c/*F‬‬
‫נגזור לפי ‪ L‬במקרה הזה‪:‬‬
‫‪MPL=k‬‬
‫‪(MPL)'k=1>0‬‬
‫מסייעת‪.‬‬
‫ד‪ = √X + √c .‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2√X‬‬
‫= ‪#S‬‬
‫‪33‬‬
‫‪MPd = X‬‬
‫‪<MPd =h X = 2X > 0‬‬
‫‪<#S =h c = 0‬‬
‫אדישי‪.‬‬
‫ה‪ = <4c + 3X=3.5 .‬‬
‫‪#S = h X = 0.5<4c + 3X=k3.5‬‬
‫‪<#S =h c = −0.5 ∗ 0.5<4c + 3X=k/.5 ∗ 3 ∗ 4 < 0‬‬
‫יריבי‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪x=kL+k+L‬‬
‫‪MPL=k+1‬‬
‫‪(MPL)'k=1>0‬‬
‫מסייעי‪.‬‬
‫להכי תרגיל ‪.9‬‬
‫שיעור ‪30/04/2013 – 8‬‬
‫תרגיל ‪:9‬‬
‫‪ = 3X + 4c + 100 .1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪MPL=X'L=3‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪(MPL)'k=0‬‬
‫‪.2‬‬
‫שלוש משוואות‪:‬‬
‫‪ = X + c .a‬‬
‫‪MPL=2L‬‬
‫‪(MPL)'k=0‬‬
‫אדישי‬
‫‪.b‬‬
‫‪5‬‬
‫‪I‬‬
‫‪ = XJ c 3.‬‬
‫קוב דגלס מסייעי‪.‬‬
‫‪.c‬‬
‫‪ = XF + cX‬‬
‫‪MPk=L‬‬
‫‪(MPk)'L=1>0‬‬
‫מסייעת‬
‫‪34‬‬
‫‪ = <& + )=3.5 .d‬‬
‫&‪#l = 0.5<& + )=k3.5 2‬‬
‫‪<#l =h ) = −0.5 ∗ 0.5<& + )=k/.5 2& ∗ 1 < 0‬‬
‫יריבי‪.‬‬
‫נק' ייצור אופטימלית של פירמה‬
‫נניח פירמה המייצרת את מוצר ‪ x‬באמצעות ‪ 2‬גו"י‪ L :‬עבודה‪ k ,‬מכונות‪.‬‬
‫(‬
‫(‬
‫(‬
‫את מוצר ‪ x‬מוכרת החברה בשוק במחיר ‪ Px‬ש"ח ליחידה‪.‬‬
‫עבור כל מכונה‪ ,‬משלמת החברה ‪ Pk‬ש"ח )ידוע כי כמות המכונות נתונה(‪.‬‬
‫לכל עובד משול שכר עבודה בגובה ‪ PL‬ש"ח‪.‬‬
‫מטרת הפירמה‪ :‬בחירת כמות העובדי שתשיא את רווחיה‪.‬‬
‫הוצאות – הכנסות = רווח‬
‫‪TR – Total Revenue‬‬
‫‪ – TC – Total Cost‬הוצ' מכונות ‪ +‬הוצ' עובדי‪.‬‬
‫‪m = _$ − _n‬‬
‫=‪m = < = − <S X + d c‬‬
‫=‪m = < <X, c== − <S X + d c‬‬
‫על מנת למצוא את הרווח המקסימלי‪ ,‬קרי‪ ,‬את מספר העובדי שישיאו את רווח הפירמה יש לגזור את ‪π‬‬
‫לפי ‪ L‬ולהשוות ל‪.0‬‬
‫‪π'L=0‬‬
‫‪ h X − S = 0‬‬
‫‪x'L=MPL‬‬
‫ולכ‪ #S = S :‬‬
‫‪ #S‬נקרא ג ער) התפוקה השולית‪.VMPL :‬‬
‫ולכ‪VMPL=PL :‬‬
‫‪Value MPL‬‬
‫במילי אחרות‪ ,‬הפירמה תמשי) לייצר כל עוד ‪) ,VMPL>PL‬תרומת העובד האחרו גדולה מעלות העובד(‪,‬‬
‫עד לנקודה ‪ VMPL=PL‬בה יושג הרווח המקסימלי‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫שלושה מצבי‪:‬‬
‫‪VMPL‬‬
‫‪VMPL‬‬
‫‪VMPL‬‬
‫‪VMPL‬‬
‫א‬
‫הפסד‬
‫‪VMPL‬‬
‫רווח‬
‫רווח‬
‫רווח‬
‫הפסד‬
‫‪VMPL‬‬
‫‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫*‪L‬‬
‫כש‪ VMPL‬יורד‪ ,‬נעסיק *‪ L‬עובדי‪.‬‬
‫כש‪ VMPL‬עולה‪ ,‬נעסיק כמה שיותר )∞( עובדי‪.‬‬
‫כש‪ VMPL‬קבוע‪:‬‬
‫א‪ – VMPL<PL .‬נעסיק ‪ 0‬עובדי‪.‬‬
‫ב‪ – VMPL=PL .‬אדישי‪.‬‬
‫ג‪ – VMPL>PL .‬נעסיק אינסו* עובדי‪.‬‬
‫תרגילי חזרה‪:‬‬
‫מצאו *‪ L*, x*,π‬עבור פירמה בעלת פונקצית ייצור ‪. = √Xc‬‬
‫‪.1‬‬
‫נתו כי לפירמה ‪ 10‬מכונות‪.‬‬
‫‪Pk=6 ,PL=1 ,Px=2‬‬
‫פתרו‪:‬‬
‫נייצר כל עוד ‪.VMPL>PL‬‬
‫נציב ‪ 10‬מכונות בפונקציית הייצור‪ = 10√X :‬‬
‫‪o#S S‬‬
‫‪ #S S‬‬
‫‪ h X S‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2√X‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪√X‬‬
‫מכא‪:‬‬
‫‪/3‬‬
‫‪√S‬‬
‫ג‬
‫הפסד‬
‫*‪L‬‬
‫ב‬
‫ ‪.o#S‬‬
‫כאשר ‪VMPL=10 ,1=L‬‬
‫כאשר ‪.L=100 ,1=VMPL‬‬
‫לכ ‪ VMPL‬יורד‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫‪L‬‬
‫‪VMPL‬‬
‫רווח‬
‫‪1‬‬
‫הפסד‬
‫‪VMPL‬‬
‫*‪L‬‬
‫‪L‬‬
‫‪10 ≥ √X‬‬
‫‪100 ≥ X‬‬
‫‪X∗ = 100‬‬
‫‪ ∗ = 10√100 = 100‬‬
‫נחשב את ‪ π‬טווח ארו)‪2*100-1*100-6*10=40>0 :‬‬
‫ללא עלויות קבועות )טווח קצר(‪.2*100-1*100=100>0 :‬‬
‫‪.2‬‬
‫מצאו *‪ L*, x*,π‬עבור פירמה בעלת פונקצית ייצור ‪. √cX‬‬
‫נתו כי לפירמה ‪ k=25‬מכונות‪.‬‬
‫‪Pk=6 ,PL=1 ,Px=2‬‬
‫שלבי עבודה‪:‬‬
‫א‪ .‬חישוב‬
‫‪o#S S‬‬
‫‪ #S S‬‬
‫‪ h X S‬‬
‫ב‪ .‬נצייר את ‪.VMPL‬‬
‫ג‪ .‬לפי הציור נחליט‪:‬‬
‫‪ .a‬א להעסיק ‪ 0‬עובדי‪.‬‬
‫‪ .b‬א להעסיק אינסו* עובדי‪.‬‬
‫‪ .c‬א להעסיק *‪ L‬עובדי‪.‬‬
‫ד‪ .‬במקרה השלישי בלבד‪ ,‬נציב את *‪ L‬ב‪ ,x‬ונקבל את *‪ x‬ואח"כ נחשב את‪:‬‬
‫‪.a‬‬
‫∗‬
‫=‪) m < = − <S X + d c‬טווח ארו)(‬
‫∗‬
‫‪) m < = − <S X= .b‬טווח קצר(‬
‫פתרו‪:‬‬
‫‪10 ≥ 1 2*5≥1‬‬
‫נעסיק אינסו* עובדי‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫מצאו *‪ a*,x*,π‬עבור פירמה בעלת פונ' ייצור‪ .x=a^2+2b^2 :‬נתו כי לפירמה ‪b=1‬‬
‫‪.Px=1, Pa=1, Pb=1‬‬
‫מכא ש‪.1*2a≥1 :‬‬
‫‪a*=0.5‬‬
‫‪37‬‬
‫לינארי עולה‪ ,‬ולכ נעסיק אינסו* עובדי‪.‬‬
‫שיעור ‪7/5/2013 – 9‬‬
‫תרגיל ‪ ( 8‬שאלה ‪2‬‬
‫) &‬
‫&‪ 10‬‬
‫‪) = 10‬‬
‫‪& = 1‬‬
‫‪) = 1‬‬
‫‪ = 5‬‬
‫‪ a‬גו"י משתנה‬
‫נייצר כל עוד‬
‫& ≥ &‪o#‬‬
‫& ≥ &‪ ∗ #‬‬
‫& ≥ & ‪P ∗ h‬‬
‫‪5 ∗ 20& ≥ 1‬‬
‫‪100& ≥ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫≥&‬
‫‪100‬‬
‫&‪VMP& = 100‬‬
‫כאשר ‪ ,VMPa=0‬ה‪.a=0‬‬
‫כאשר ‪ VMPa=100‬ה‪.a=1‬‬
‫‪100‬‬
‫‪VMPa‬‬
‫‪1‬‬
‫הפסד‬
‫‪a‬‬
‫‪a*=1/100‬‬
‫שאלה ‪3‬‬
‫)‪ = & + 3‬‬
‫)‪ = 10 + 3‬‬
‫‪& = 10‬‬
‫‪& = 20‬‬
‫‪) = 2‬‬
‫‪ = 5‬‬
‫נייצר כל עוד‬
‫‪38‬‬
‫) )‪o#‬‬
‫) )‪ ∗ #‬‬
‫) ) ‪P ∗ h‬‬
‫‪5∗32‬‬
‫‪15 2‬‬
‫‪VMPb‬‬
‫‪15‬‬
‫‪VMPb‬‬
‫רווח‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫נעסיק אינסו* אנשי‪ ,‬נייצר אינסו* מוצרי‪ ,‬הרווח יהיה אינסופי‪.‬‬
‫סעי* ב'‪:‬‬
‫‪VMPb‬‬
‫‪20‬‬
‫הפסד‬
‫‪15‬‬
‫‪VMPb‬‬
‫‪b‬‬
‫במצב זה‪ ,‬לא נעסיק עובדי‪) .‬העלות גבוהה מהתפוקה(‪.‬‬
‫מונופול – ‪Monopol‬‬
‫מקור הש מיוו‪ .‬מונו – יחיד‪ .‬פולי – למכור‪ .‬מונופול = מוכר יחיד )יצר יחיד בשוק(‪.‬‬
‫הגורמי להיווצרות מונופול‬
‫(‬
‫(‬
‫(‬
‫(‬
‫ידע וטכנולוגיה ייחודית‬
‫פטנט ובידול‬
‫רגולציה – מיסודו של חוק‬
‫משאב טבע‬
‫כיצד מונופול קובע את המחיר?‬
‫המונופול מעויניי להשיג רווח מקסימלי‪.‬‬
‫רווח המונופול‪ :‬הוצאות – הכנסות = רווח‪.‬‬
‫‪Total Revenue – TR‬‬
‫‪39‬‬
‫‪Total Cost - TC‬‬
‫‪m _$ − _n‬‬
‫על מנת להשיג רווח מקסימלי‪ ,‬יש לגזור את ‪ π‬ולהשוותו ל‪.0‬‬
‫כלומר ‪π'x=0‬‬
‫‪0=TR'x-TC'x‬‬
‫‪ = TC'x‬העלות השולית )‪(MC‬‬
‫‪ = TR'x‬פדיו שולי )‪(MR‬‬
‫‪0=MR-MC‬‬
‫‪MC=MR‬‬
‫המונופול ייצר כל עוד התרומה של המוצר לפדיו )‪ (MR‬גבוהה מעלות הייצור שלו )‪ ,(MC‬הרווח המקסימלי‬
‫יושג בנקודה בה ‪.MC=MR‬‬
‫כיצד מחשבי את ‪MR‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫נתו‪ :‬הביקוש לשקט הוא ‪.P=100-x‬‬
‫חשבו את ‪.MR‬‬
‫ש"ח‬
‫‪100‬‬
‫‪MR‬‬
‫‪x‬‬
‫‪100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪TR=P*x‬‬
‫‪(100-x)x‬‬
‫‪TR=100x-x^2‬‬
‫‪MR=TR'x‬‬
‫‪MR=100-2x‬‬
‫נק' חיתו)‪:‬‬
‫;‪X=0, MR=100‬‬
‫‪MR=0, X=50‬‬
‫‪40‬‬
‫כלל‪ :‬כאשר נתו ביקוש ‪ MR ,P=b-ax‬יהיה ‪MR=b-2ax‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫נתו‪ :‬פונק' הביקוש ‪P=10-x‬‬
‫פונק' ההוצ' של המונופול ‪TC=1/2x^2‬‬
‫חשבו‪ :‬מחיא מונופול ‪ ,PM‬הכמות שיייצר מונופול ‪ ,XM‬רווח מונופול ‪πM‬‬
‫א‪ .‬נשרטט את פונק' הביקוש )נציב ‪ x=0‬ו‪.(P=0‬‬
‫ש"ח‬
‫‪MC‬‬
‫‪10‬‬
‫‪6.67‬‬
‫‪MR‬‬
‫‪D‬‬
‫‪10‬‬
‫‪x‬‬
‫‪XM=3.33 5‬‬
‫ב‪ .‬נחשב את ‪) MR‬לפי הכלל( ‪) .MR=10-2x‬נציב ‪ MR=0 ,x=0‬ונוסי* לשרטוט(‪.‬‬
‫ג‪ .‬נחשב את ‪) MC‬ע"י גזירת ‪ TC‬לפי ‪.(x‬‬
‫‪) MC=x‬היצע(‪.‬‬
‫ד‪ .‬נשווה ‪ MR=MC‬הכמות שייצר המונופול‬
‫‪10-2x=x‬‬
‫‪) xM=3.33‬הכמות שהמונופול ייצר(‬
‫ה‪ .‬המחיר שיקבע המונופול ‪ PM‬יתקבל ע"י הצבת ‪ XM‬בפונ' הביקוש )המחיר שבו הצרכני מוכני‬
‫לרכוש את ‪.(XM‬‬
‫‪PM=10-3.33=6.67‬‬
‫ו‪.‬‬
‫חישוב רווח המונופול‬
‫‪πM=PM*XM-TC‬‬
‫‪πM=6.67*3.33-1/2*3.33^2=~16.67‬‬
‫דוגמא נוספת‪:‬‬
‫נתו‪ :‬פונק' הביקוש ‪P=100-x‬‬
‫פונק' ההוצ' של המונופול ‪TC=60x+100‬‬
‫חשבו‪ :‬מחיא מונופול ‪ ,PM‬הכמות שיייצר מונופול ‪ ,XM‬רווח מונופול ‪πM‬‬
‫‪41‬‬
‫א‪ .‬נשרטט את פונק' הביקוש )נציב ‪ x=0‬ו‪.(P=0‬‬
‫ש"ח‬
‫‪MC‬‬
‫‪100‬‬
‫‪6.67‬‬
‫‪MR‬‬
‫‪D‬‬
‫‪100‬‬
‫‪x‬‬
‫‪XM=33.33 50‬‬
‫ב‪ .‬נחשב את ‪) MR‬לפי הכלל( ‪) .MR=100-2x‬נציב ‪ MR=0 ,x=0‬ונוסי* לשרטוט(‪.‬‬
‫ג‪ .‬נחשב את ‪) MC‬ע"י גזירת ‪ TC‬לפי ‪.(x‬‬
‫‪) MC=x‬היצע(‪.‬‬
‫ד‪ .‬נשווה ‪ MR=MC‬הכמות שייצר המונופול‬
‫‪100-2x=x‬‬
‫‪) xM=33.33‬הכמות שהמונופול ייצר(‬
‫ה‪ .‬המחיר שיקבע המונופול ‪ PM‬יתקבל ע"י הצבת ‪ XM‬בפונ' הביקוש )המחיר שבו הצרכני מוכני‬
‫לרכוש את ‪.(XM‬‬
‫‪PM=100-3.33=66.67‬‬
‫ו‪.‬‬
‫חישוב רווח המונופול‬
‫‪πM=PM*XM-TC‬‬
‫‪πM=66.67*33.33-(60*33.33+100)=~122‬‬
‫שיעור ‪7/5/2013 – 9‬‬
‫עקומת ביקוש ‪P=100-2x‬‬
‫‪P=b-ax‬‬
‫‪MR=b-2ac‬‬
‫פונ' הוצאות מונופול ‪TC=30x+100‬‬
‫א‪ .‬חישוב ‪MR=100-4x‬‬
‫ב‪ .‬חישוב ‪MC=TC'x‬‬
‫‪MC=30‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נשווה ‪ MC=MR‬ונקבל ‪ ,30=100-4x‬ומכא ‪.Xm=17.5‬‬
‫‪42‬‬
‫ד‪ .‬נציב ‪ Xm‬בביקוש ונקבל ‪Pm=100-2*17.5=65‬‬
‫ה‪ .‬רווח המונופול‪65*17.5-(30*17.5+100)=512.5 :‬‬
‫‪P‬‬
‫‪100‬‬
‫‪Pm=65‬‬
‫‪MC‬‬
‫‪30‬‬
‫‪MR‬‬
‫‪D‬‬
‫‪x‬‬
‫‪25‬‬
‫‪50‬‬
‫‪Xm=17.5‬‬
‫א הייתה לנו תחרות משוכללת‪ ,‬שיווי המשקל היה בנקודה ‪ ,A‬שהיא ‪ 30=100-2x‬ומכא ש‪:Xc=35‬‬
‫‪P‬‬
‫‪100‬‬
‫‪C‬‬
‫‪MC‬‬
‫‪x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪Pm=65‬‬
‫‪B‬‬
‫‪30‬‬
‫‪D‬‬
‫‪MR‬‬
‫‪50‬‬
‫‪Xm=17.5 25 Xc=35‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫מונופול קובע מחיר הגבוה ממחיר שווי משקל בתחרות משוכללת ‪ ,PM>PC‬ומאיד) הוא מייצר פחות ממה‬
‫שהיה מייצר בתחרות משוכללת )‪ .(XM<XC‬כתוצאה מכ) נפגעי הצרכני‪ ,‬ויש לנו אובד רווחה‪.‬‬
‫אובד רווחה‬
‫= ‪<s − #n=<
t − s‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪∆ABC‬‬
‫במקרה שלנו‪:‬‬
‫=‪<65 − 30=<35 − 17.5‬‬
‫‪= 306.25‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪∆ABC‬‬
‫דוגמא נוספת‪:‬‬
‫עקומת ביקוש ‪P=12-x‬‬
‫פונ' הוצאות מונופול ‪TC=x^2‬‬
‫א‪ .‬חישוב ‪MR=12-2x‬‬
‫ב‪ .‬חישוב ‪MC=2x‬‬
‫ג‪ .‬נשווה בי ‪ 2x=12-2x :MC=MR‬ומכא‪.Xm=3 :‬‬
‫‪ .a‬שלב נוס*‪ :‬נציב ‪ Xm‬ב‪ MR‬ונקבל ‪) (PMR=12-2*3=6) PMR=6‬נקודת האיזו‪ .‬שווי המשקל‬
‫של המונופול(‬
‫‪43‬‬
‫ד‪ .‬נציב ‪ Xm‬בביקוש ונקבל‪.Pm=12-3=9 :‬‬
‫ה‪ .‬רווח המונופול ‪9*3-3^2=18‬‬
‫במקרה הזה‪:‬‬
‫= ‪<s − su =<
t − s‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪∆ABC‬‬
‫‪ (A‬נקודת שיווי משקל בשוק תחרותי‪.‬‬
‫‪ (B‬הנקודה שבה המונופול יחליט כמה יחידות לייצר‪.‬‬
‫‪ (C‬הנקודה שבה המונופול יחליט בכמה למכור את התוצר )הצבת ‪ XM‬בביקוש(‪.‬‬
‫במקרה שלנו‪ ,‬בגלל שיש מונופול‪ ,‬הצרכני מפסידי ‪ 1.5‬ש"ח‪:‬‬
‫=‪<9 − 6=<4 − 3‬‬
‫‪= 1.5‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪∆ABC‬‬
‫מודל קורנו‬
‫מקרה בו בשוק קיימות שתי פירמות המחליטות בו זמנית על הכמות שה ייצרו‪.‬‬
‫כ) למשל‪ ,‬פירמה אחת תייצר ‪ X1‬ופירמה שנייה תייצר ‪ .X2‬היות ומדובר באותו מוצר‪ ,‬ס) הכמות שתיוצר‬
‫תהיה‪ .x=x1+x2 :‬המחיר שייקבע הוא אחיד לשתי הפירמות ותלוי בעקומת הביקוש למוצר‪.‬‬
‫לכל פירמה עלות ייצור משלה‪ TC1 :‬ו(‪ TC2‬הידועות לפירמה המתחרה‪ .‬הפירמות אינ יודעות כמה תייצר‬
‫הפירמה השניה‪ ,‬ולכ עליה לחזות זאת‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫הביקוש בשוק‪P=60-x :‬‬
‫בשוק פועלות ‪ 2‬פירמות )א' וב'(‪.‬‬
‫הוצאות פירמה א'‪TC1=2X1 :‬‬
‫הוצאות פירמה ב'‪TC2=4X2 :‬‬
‫חשבו‪.X1, X2, X, P, π1, π2 :‬‬
‫א‪ .‬חישוב רווח פירמה א'‪:‬‬
‫‪π1=PX1-TC1‬‬
‫‪m/ = <60 − =/ − 2/ = v60 − </ + =w/ − 2/ = 60/ − / − / − 2/‬‬
‫ ‪= 58/ − / − /‬‬
‫ב‪ .‬פונ' תגובה פירמה א'‪) :‬נגזור את ‪ π1‬לפי ‪ x1‬ונשווה ל‪:(0‬‬
‫‪58 − 2/ − = 0‬‬
‫ג‪.‬‬
‫חישוב רווח פירמה ב'‪:‬‬
‫‪π1=PX1-TC1‬‬
‫ ‪− /‬‬
‫ ‪m/ = <60 − = − 4 = 56 −‬‬
‫‪44‬‬
‫ד‪ .‬פונ' תגובה פירמה ב'‪) :‬נגזור את ‪ π2‬לפי ‪ x2‬ונשווה ל‪:(0‬‬
‫‪56 − 2 − / = 0‬‬
‫ה‪ .‬נשווה בי פונ' התגובה ונשרטט‬
‫‪X2‬‬
‫‪58‬‬
‫תגובה‪1‬‬
‫‪28‬‬
‫תגובה‪2‬‬
‫‪X1‬‬
‫‪56‬‬
‫‪29‬‬
‫‪56 − / − 2<58 − 2/ = = 0‬‬
‫‪0 = 56 − / − 116 + 4/‬‬
‫‪/ ∗ = 20‬‬
‫‪2 = 56 − 20‬‬
‫‪ ∗ = 18‬‬
‫‪
= 18 + 20 = 38‬‬
‫ו‪.‬‬
‫המחיר )נציב ‪ x=38‬בביקוש(‬
‫‪P=60-38=22‬‬
‫ז‪.‬‬
‫חישוב ‪π1, π2‬‬
‫‪π1 = 22*20-2*20=400‬‬
‫‪π2=22*18-4*18=324‬‬
‫ש‪.‬ב‪.‬תרגיל ‪ 10‬שאלה ב'‪.‬‬
‫שיעור ‪7/5/2013 – 9‬‬
‫מודל סטקלברג‬
‫המודל מניח כי בשוק קיימות שתי פירמות המייצרות את אותו מוצר ‪ .X‬הייצור מתבצע בצורה כרונולוגית‬
‫)סדרתית(‪:‬‬
‫פירמה ‪) 1‬המובילה( מייצרת ‪ X1‬ובהנת ‪ ,X1‬פירמה ‪) 2‬העוקבת( מייצרת ‪ .X2‬בהתא לכמויות הייצור ‪ X1‬ו(‬
‫‪ X2‬ייקבע המחיר בשוק‪.‬‬
‫שלבי העבודה‪:‬‬
‫א‪ .‬נחשב פונקציית תגובה רק לפירמה העוקבת )מובלת(‪.‬‬
‫ב‪ .‬נציב את פונקציית התגובה בפונקציית הרווח של המובילה )מנהיגה(‪.‬‬
‫‪45‬‬
‫ג‪ .‬נגזור את הרווח של הפירמה המובילה )המנהיגה( לפי הכמות‪ ,‬ונקבל את כמות הייצור של‬
‫הפירמה המובילה )‪.(X1‬‬
‫ד‪ .‬נציב את ‪ X1‬בפונקציית התגובה של העוקבת ונקבל את ‪.X2‬‬
‫ה‪ .‬נסכו את הכמויות ‪ X1‬ועוד ‪ ,X2‬נציב בביקוש ונקבל את המחיר ‪.P‬‬
‫ו‪ .‬נחשב את הרווח ‪ π1‬ו‪. π2‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫ביקוש ‪P=60-x‬‬
‫מובילה ‪TC1=2X1‬‬
‫מובלת ‪TC2=4X2‬‬
‫א‪ .‬חישוב פונקציית התגובה של העוקבת‪:‬‬
‫נחשב ‪:π2‬‬
‫‪m − − _n‬‬
‫‪<60 − = − 4‬‬
‫‪v60 − </ + =w − 4‬‬
‫‪<60 − / − = − 4‬‬
‫‪60 − / − − 4‬‬
‫ ‪m = 56 − / −‬‬
‫נגזור ונשווה ל‪:0‬‬
‫‪0 = 56 − / − 2‬‬
‫נבודד את ‪:X2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ = 28 − /‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‪ .‬נציב את ‪) X2‬מהתגובה( ברווח פירמה ‪:(π1) 1‬‬
‫‪m/ P/ − _n/‬‬
‫‪<60 − / − =/ − 2/‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m/ = x60 − / − G28 − / Hy / − 2/‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪G60 − / − 28 + / H / − 2/‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪G32 − / H / − 2/‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪32/ − / − 2/‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪m/ = 30/ − /‬‬
‫‪2‬‬
‫ג‪.‬‬
‫נגזורר את ‪ π1‬לפי ‪ X1‬ונשווה ל‪:0‬‬
‫‪<m/ =h / 0‬‬
‫‪0 = 30 − /‬‬
‫‪46‬‬
‫‪/ ∗ = 30‬‬
‫ד‪ .‬נציב את *‪ X‬בתגובה ‪:2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 28 − ∗ 30 = 13‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ = / + = 43‬‬
‫ה‪ .‬נחשב את ‪) P‬נציב את ‪ X‬בביקוש(‬
‫‪P=60-43=17‬‬
‫ו‪.‬‬
‫חישוב ‪ π1‬ו‪: π2‬‬
‫‪m/ / − _n/ 17 ∗ 30 − 2 ∗ 30 = 450‬‬
‫‪m = − _n = 17 ∗ 13 − 4 ∗ 13 = 169‬‬
‫תרגיל ‪ 10‬שאלה ‪:3‬‬
‫נתו‪:‬‬
‫‪MR=50-X P=50-0.5X‬‬
‫‪MC=30 TC=30X‬‬
‫‪P‬‬
‫‪50‬‬
‫‪40‬‬
‫‪MC‬‬
‫‪X‬‬
‫‪100‬‬
‫‪30‬‬
‫‪50‬‬
‫‪20‬‬
‫כלל‪ :‬א ‪ MC‬קבוע )מספר(‪ ,‬אזי ‪MC=PC=PMR‬‬
‫במונופול‪MC=MR :‬‬
‫ומכא‪ 30=50-X :‬ואז ‪.XM=20‬‬
‫נציב בביקוש‪PM=50-0.5*20=40 :‬‬
‫רווח מונופול‪m/ = Ps Xs − TC :‬‬
‫‪40 ∗ 20 − 30 ∗ 20 = 200‬‬
‫‪47‬‬
‫בתחרות‪MC=D :‬‬
‫‪30=50-0.5X‬‬
‫‪0.5X=20‬‬
‫‪XC=40‬‬
‫נציב בביקוש ונקבל‪:‬‬
‫‪PC=50-0.5*40=30‬‬
‫אובד רווחה‪:‬‬
‫=‪<s − su =<
t − s = <40 − 30=<40 − 20‬‬
‫=‬
‫‪= 100‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪∆ABC‬‬
‫המשולש התחו בי שווי(משקל תחרותי ל‪ PMR‬ול(‪.PM‬‬
‫הערה‪ :‬אי צור) לעשות שאלות של חישוב‪/‬מציאת עקומת ביקוש‪.‬‬
‫שאלות חזרה )מבח ‪ ,1‬עמוד ‪:(24‬‬
‫שאלה מס' ‪1‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪3.‬‬
‫= ‪MRS = 3.K‬‬
‫נשווה ליחס המחירי‪= :‬‬
‫ומכא‪y=2x :‬‬
‫‪ .3‬נציב בתקציב‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪2x+2y=120‬‬
‫‪2x+2(2x)=120‬‬
‫‪6x=120‬‬
‫‪X*=20‬‬
‫‪Y*=2*20=40‬‬
‫שאלה מס' ‪3‬‬
‫תשובה א' – היות והוא תמיד יבחר בזול יותר‪ ,‬א באופטימו הוא צור) את ‪ X‬אזי המחיר של ‪ X‬נמו)‬
‫יותר‪.‬‬
‫הצרכ מערי) את המוצרי ‪ X‬ו‪ Y‬באותה מידה )נהנה מה אותו דבר בזכות פונקציית התועלת(‪ .‬א) מנתוני‬
‫השאלה הצרכ בוחר לצרו) רק ממוצר ‪ ,X‬הסיבה לכ) היא שמחיר מוצר ‪ X‬נמו) יותר ממחיר מוצר ‪ .Y‬לכ‪,‬‬
‫הצרכ יכול לרכוש יותר ממוצר ‪ X‬ולהנות יותר‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫שאלה מס' ‪4‬‬
‫תשובה ד' –‬
‫‪Y‬‬
‫‪Y0‬‬
‫‪Y1‬‬
‫‪X1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X0‬‬
‫הכונה עולה‪ X ,‬עולה )נורמלי(‪ Y ,‬יורד )נחות(‪.‬‬
‫שאלה מס' ‪5‬‬
‫מצב מוצא‪) MRS=4/2=2 :‬תועלת לינארית(‪) Px/Py=1 .‬ה‪ MRS‬יותר גדול ולכ – נצרו) רק מ‪.(X‬‬
‫‪U=4*60=240‬‬
‫אחרי השינוי‪ :‬ה‪ MRS‬נשאר אותו דבר‪ ,‬אבל ‪) ,Px/Py=3‬עכשיו ה‪ MRS‬קט יותר מה‪ ,MRS‬ולכ‬
‫אנחנו נצרו) רק מ‪(Y‬‬
‫‪3x+y=60‬‬
‫‪U=2*60=120‬‬
‫התועלת ירדה ב‪.(240(120) 120‬‬
‫שאלה מס' ‪6‬‬
‫‪ = 8√ + 2‬‬
‫א‪ .‬במצב זה‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‪2‬‬
‫= √ = ‪MRS‬‬
‫‪2‬‬
‫√‬
‫ב‪ .‬נשווה ליחס המחירי‪:‬‬
‫‬
‫ √‬
‫‪2‬‬
‫= <=‬
‫‬
‫=‬
‫נית לראות כבר בשלב זה ש‪ X‬מספר‪...‬‬
‫‪49‬‬
‫‪2‬‬
‫שאלה מס' ‪7‬‬
‫תקציב‪:‬‬
‫‪MRS=(1-t)w‬‬
‫נתו‪A=10, w=5, u=P^0.5y^0.5 :‬‬
‫תקציב‪:‬‬
‫‪Y=5(24-P)+10‬‬
‫תועלת )זה קוב דגלאס(‪:‬‬
‫‪ MRS=y/P‬ונשווה ליחס המחירי‪:‬‬
‫‪y/p=5 y=5P‬‬
‫נשווה חזרה בתקציב‪:‬‬
‫‪5P=120-5P+10‬‬
‫‪10P=130‬‬
‫‪P=13‬‬
‫‪Y=13*5=65‬‬
‫שיעור ‪7/5/2013 – 10‬‬
‫פתרו מבח מס' ‪3‬‬
‫‪m _$ − _n‬‬
‫‪40=MC‬‬
‫‪TR=100x-2x^2‬‬
‫‪MR=100-4x‬‬
‫קיצור למציאת ‪ ) − & :MR‬‬
‫&‪#$ ) − 2‬‬
‫‪50‬‬
‫‪100-4x=40‬‬
‫‪4x=60‬‬
‫‪XM=15‬‬
‫נציב בביקוש‪:‬‬
‫‪PM=100-2*15=70‬‬
‫רווח‪:‬‬
‫‪70*15-40*15=450‬‬
‫‪ms s s − _n‬‬
‫בשוק תחרותי‪:‬‬
‫‪MC=D‬‬
‫‪40=100-2x‬‬
‫‪2x=60‬‬
‫‪XC=30‬‬
‫נציב בביקוש‪:‬‬
‫‪PC=100-2*30=40‬‬
‫נחשב כעת אובד הכנסה‪:‬‬
‫‪(70-40)(30-15)/2=225‬‬
‫ומכא שרווח המונופול כפול מרווח בשוק תחרותי )ב(‪.‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪ICC‬‬
‫‪YB‬‬
‫‪YA‬‬
‫‪X‬‬
‫‪51‬‬
‫מכא שתשובה ד' הנכונה‪.‬‬
‫מצב מוצא‪:‬‬
‫תקציב‪x+y=60 :‬‬
‫תועלת‪u=4x+2y :‬‬
‫‪MRS=4/2=2‬‬
‫‪Px/Py=1‬‬
‫ה‪ MRS‬גדול מיחס המחירי‪ ,‬ולכ נצרו) רק מ‪.x‬‬
‫כלומר‪y=0 ,x=60 :‬‬
‫‪u=4*60+2*0=240‬‬
‫אחרי השינוי‪:‬‬
‫תקציב‪5x+y=60 :‬‬
‫תועלת‪u=4x+2y :‬‬
‫‪Px/Py=5/1=5‬‬
‫עכשיו נצרו) רק מ‪.Y‬‬
‫‪u=4*0+2*60=120‬‬
‫ולכ התועלת תרד פי ‪) 2‬תשובה ב'(‪.‬‬
‫‪ 4√ + 2‬‬
‫א‪ .‬ה‪ MRS=u'x/u'y=4/4(x)^1/2=1/x^1/2‬קמור‪.‬‬
‫ב‪ .‬נשווה ליחס המחירי ונקבל מספר‪ ,‬ומכא שהתשובה היא ד'‪.‬‬
‫‪52‬‬
‫נחלי* את המיקו כדי שיהיה קל לבצע קוב דגלאס‪ ,‬ונשווה ליחס המחירי‪:‬‬
‫ ‪0.5‬‬
‫‬
‫ ]‪0.5‬‬
‫ ‪M$%‬‬
‫‬
‫‪6‬‬
‫‬
‫מכא ‪y=6P‬‬
‫תקציב‪:‬‬
‫‪MRS=(1-t)w‬‬
‫‪y=w(24-P)+A‬‬
‫‪6P=6(24-P)+36‬‬
‫‪12P=180‬‬
‫‪P=15‬‬
‫‪y=6*15=90‬‬
‫מחיר שיווי משקל תמיד נמו) ממחיר המונופול‪ ,‬ולכ מראש נפסול את ג'‪.‬‬
‫‪MR=50-5x‬‬
‫‪MC=20x‬‬
‫‪MC=MR‬‬
‫‪20x=50-5x‬‬
‫‪25x=50‬‬
‫‪53‬‬
‫‪x=2‬‬
‫ולכ ד' לא נכו‪.‬‬
‫נציב ‪ XM‬בביקוש ונקבל‪:‬‬
‫‪PM=50-2.5*2=45‬‬
‫רווח המונופול‪:‬‬
‫‪45*2-10*2^2=50‬‬
‫ולכ תשובה א' נכונה‪.‬‬
‫א‪MPa=X'a-0.25*7a^-0.75 .‬‬
‫ב‪(MPa)'b=0 .‬‬
‫ומכא שה אדישי )א(‪.‬‬
‫שאלה פתוחה‪:‬‬
‫נתו‪ :‬פונ' ייצור ‪ 4√X + 2√c‬‬
‫נתו כי‪Pk=PL=1 :‬‬
‫‪Px=4‬‬
‫‪k=4‬‬
‫חשבו ‪L*, x*, π* Long Term & Short Term‬‬
‫הא נית לייצר בטוו) ארו)?‬
‫נציב בפונקציית הייצור‪ 4√X + 2√4 :‬‬
‫‪ 4√X + 4‬‬
‫נייצר כל עוד ‪VMPL>PL‬‬
‫ומכא ש‪Px*MPL>PL :‬‬
‫‪Px*X'L>=PL‬‬
‫מכא‪:‬‬
‫‪54‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪√X‬‬
‫‪8 ≥ √X‬‬
‫‪64 ≥ L‬‬
‫‪X∗ = 64‬‬
‫נציב ונקבל‪:‬‬
‫‪ ∗ = 4√64 + 4‬‬
‫‪) m = 4 ∗ 36 − 1 ∗ 64 = 80‬טווח קצר(‬
‫נחשב טווח ארו)‪:‬‬
‫‪80-1*4=76‬‬
‫‪55‬‬