הורד את ספר הקורס
קובץ הרחבות ,עדכונים ותרגול נוסף לתלמידי GOOL תוכן עניינים נושא תת נושא מטרה עמודים כלכלת רווחה -חליפין מציאת קו חוזה תרגול נוסף 1-3 כלכלת רווחה -ייצור מציאת קו חוזה תרגול נוסף 4 כלכלת רווחה -ייצור מציאת עקומת התמורה תרגול נוסף 5 ש"מ תחרותי – חליפין מציאת ש"מ תרגול נוסף 6-8 ש"מ תחרותי – חליפין-ייצור מציאת ש"מ תרגול נוסף 9-11 אי ודאות מציאת קו חוזה תרגול נוסף 11 אי ודאות אדיש לסיכון הרחבה מעודכנת 11 אי ודאות אמונות סובייקטיביות הרחבה מעודכנת 13 השפעות חיצוניות השפעות חיצוניות בצריכה כתרגול נוסף 14 השפעות חיצוניות מס פיגוביאני ושוק זכויות הרחבה מעודכנת 15-16 נושא :יעילות פארטו בכלכלת חליפין תרגול נוסף – מציאת קו חוזה u1 ( x1 , y1 ) 8 x1 3 y1 u2 ( x2 , y2 ) x2 7.5 ln y2 y 25 x 10 א .מהו אוסף ההקצאות הפארטו יעילות? ב .האם ההקצאה ) ( x1 , y1 , x2 , y2 ) (5,2,5,23היא הקצאה יעילה? פתרון בדיקת מצב סטנדרטי 1 :צרכנים עם אותם 1מוצרים טובים. בנוסף ,פרט 1לינארי ומבחינתנו זוהי התנהגות יפה .נבדוק את : MRS2 מעכשיו נזכור שפרט קוואזי לינארי מתנהג יפה. 8 y2 תנאי השקה וחישוב קו חוזה פנימי y2 20 y1 5 : 3 7.5 MRS1 MRS 2 בדיקת ראשיות ושרטוט :זהו קו חוזה פנימי אופקי (לכן ברור כי לא מפגיש בין שתי הראשיות). 1 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il בדיקת הקצאות פ"י פינתיות :נבדוק את ההקצאות הפינתיות בדפנות הרלוונטיות המסומנות בעיגול (זיכרו את כלל האצבע של קו חוזה עולה משמאל לימין). נתחיל מהשמאלית התחתונה ) : ( A O1 Y 8 A O1 : Y1 , Y2 MRS1 , MRS 2 2 MRS1 MRS 2 3 7.5 A : MRS1 MRS 2 פרט 1צריך לתת X1ופרט 1צריך להחזיר ,Y2אך על הדופן הזו X1=0ולכן הדופן פ"י. נמשיך מהימנית העליונה ) : ( B O2 Y 8 B O2 : Y2 , Y1 MRS1 , MRS 2 2 MRS1 MRS 2 3 7.5 פרט 1צריך לתת Y1ופרט 1צריך להחזיר ,X2אך על הדופן הזו X2=0ולכן הדופן פ"י. לסיכום : 2 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il B : MRS1 MRS 2 ב .ההקצאה הנתונה (נסמנה כ )C-אינה פ"י כי היא אינה על קו החוזה הכולל (פנימי+פינתי) : הערה :ההקצאה מקיימת את מגבלת המקורות (זאת גם הסיבה שרואים אותה בתיבה) ,אך כאמור זה לא מספיק. צריכים חיזוק בנושא יעילות בכלכלת חליפין? רוצים להתמודד עם פתירת תרגילים בצורה יעילה ומלמדת? הצטרפו לקבוצות הפרקטיקה – אתם מנסים לפתור והמתרגל עובר ביניכם ועוזר לכם בקשיים אשר מתגלים בשידור חי! קבוצות קטנות ,יחס אישי ,לימוד פרקטי ומחירים מסובסדים! לשיעורים פרטיים ,קבוצות פרקטיקה ועוד 500-66-000-29 :עידן 3 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il נושא :יעילות פארטו בכלכלת ייצור תרגול נוסף – מציאת קו חוזה בייצור בכלכלה הנתונים הבאים : 1יצרנים ( )X,Yהמייצרים באמצעות 1גו"י ()K,L 1 פונקציות הייצור הינן : 3 X ( K X , LX ) 2 K X 8 LX 8 1 1 3 Y ( K Y , LY ) K Y 8 LY 8 3 סך מקורות ה400 : K- סך מקורות ה400 : L- חשבו את קו החוזה. פתרון בדיקת מצב סטנדרטי 1 :יצרנים (המייצרים 1מוצרים שונים) עם אותם 1גו"י ,CD +עקומות שוות תפוקה מתנהגות יפה. תנאי השקה וחישוב קו החוזה: MRTS X MRTS Y (ניתן לשים לב שקו החוזה הפנימי הינו קו ישר – איננו במקרה חריג )1 בדיקת ראשיות ושרטוט : : 0xנציב על קו החוזה הפנימי KX=0ונקבל .LX=0 : 0yנציב על קו החוזה הפנימי KX=400ונקבל LX=400 מסקנה :קו החוזה מפגיש בין שתי הראשיות (אין הקצאות פינתיות לבדוק) 4 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il תרגול נוסף – מציאת עקומת התמורה במצב הסטנדרטי 3 1 1 Y G ( K Y , LY ) K Y 3 LY 0.25 L 225 LX 0.25 X F ( K X , LX ) K X K 225 מצאו את עקומת התמורה פתרון )1מציאת קו החוזה :נמצא את קו החוזה בייצור לפי הכללים - .1בדיקת מצב סטנדרטי 1 :יצרנים עם אותם 1גו"י +פ' ייצור - CDמתנהג יפה. .1תנאי השקה וקו חוזה : (טיפ )1 – CD LX L L 225 LX Y X LX K X K X KY K X 225 K X .3בדיקת ראשיות ושרטוט :ריבוע +קו חוזה פנימי 45מעלות – קו החוזה הפנימי הוא האלכסון. (אפשרויות נוספות – בדיקת ראשיות רגילה) (אין צורך בשלב )4 )1משוואת המעבר : 1 3 1 ) (225 K X ) 3 (225 LX 1 3 1 Y KY 3 LY )3גו"י במונחי מוצר :מעבר מגו"י של Xלביטוי של Xעצמו ע"י הצבת קו החוזה בפ' הייצור של : X LX X 2 )4הצבה במשוואת המעבר : 3 2 KX X 2 , ) (225 X 2 1 3 0.5 פ" י X KX 1 0.25 LX 0.25 ) (225 K X ) 3 (225 LX לסיכום ,עקומת התמורה היא : 3 2 X KX 1 3 1 Y KY 3 LY ) Y (225 X 2 5 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il נושא :ש"מ תחרותי בכלכלת חליפין תרגול נוסף – מציאת שמ"ת בכלכלת חליפין בכלכלה 1צרכנים עם התועלות הבאות : 1 1 1 1 xB 2 y B 2 2 2 1 uB 1 u A xA 2 y A 2 א .הסל התחילי של פרט Aהוא 3יח' Xו 4-יח' .Yהסל התחילי של פרט Bהוא 1יח' Xו 7-יח' .Y מצאו ש"מ תחרותי בכלכלה זו. ב .הניחו כעת כי הסל התחילי של פרט Aהוא ) (0,0והסל התחילי של Bנשאר אותו דבר .מה יהיה שמ"ת כעת? תחילה חישבו בצורה הגיונית והסבירו את עצמיכם ,ולאחר מכן הראו זאת מתמטית (כלומר באמצעות פתרון רגיל של שמ"ת). פתרון בדיקת מצב סטנדרטי – צרכנים הצורכים את אותם 1מוצרים טובים +פרט ( CD Aהתנהגות יפה) ,ולגבי פרט : B 1 xB y B x 1 B yB 1 2 2 >== MRS B גם התנהגות יפה .יש מצב סטנדרטי. 1 2 2 נרמול מחירים :ננרמל Py=1 מקסום תועלת +מציאת ביקושים : פרט : A פרט Aהוא – CDנשתמש בטיפ 3-CDעל מנת למצוא את הביקושים שלו : I 0.5 3 Px 4 1 2 1.5 Px 1 Px Px d I 0.5 3 Px 4 1 1.5Px 2 Py 1 1 d Py xA Py yA פרט : B 6 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il מקסום תועלת :פורמלית בעיית הפרט : 1 1 1 1 xB 2 y B 2 2 2 d d Px xB 1 yB 1 Px 7 1 MAX s.t כדי למקסם תועלת נשווה את MRSליחס המחירים : Px d d yB Px 2 xB 1 yB xB מציאת ביקושים :נציב את הקשר שמצאנו בקו התקציב - Px 7 Px Px 2 Px xB Px 2 xB Px 7 xB d d d כדי לקבל את yBdנציב חזרה בקשר : Px 2 ( Px 7) Px 2 ( Px 7) Px 2 7 Px Px xB Px Px 2 ) Px (1 Px 1 Px 2 d yB ניקיון שווקים :ננקה את שוק הX- 2 Px 7 d d x A xB 4 1.5 ) 4 / ( Px Px 2 2 Px Px Px xB d ) 2( Px Px 2 ) Px 7 4( Px Px 2 Px x Ad 1.5( Px Px 2 ) )1.5Px 1.5Px 2 2 2 Px Px 7 4 Px 4 Px 2 2.5Px 2 0.5Px 9 0 / (2 5Px 2 Px 18 0 זוהי משוואה ריבועית פשוטה – נשתמש בנוסחת השורשים : 2 b b 2 4ac (1) (1) 4 5 (18) 1 19 2 / 1.8 Px 2 2a 25 10 Px1, 2 הצבה בביקושים :נציב את המחיר שמצאנו בפונקציות הביקוש ונקבל את הקצאת שמ"ת : )( xB , yB ) (1.5 , 6 d d )( xA , y A ) (2.5 , 5 d d וניתן לראות כי השווקים מתנקים. 7 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il ב .מאחר שלפרט Aאין סל תחילי ,אין לו יחידות למכור ואין לו אפשרות לקנות (כי אין לו הכנסה) .לפרט Bאין מה לקנות מפרט Aוגם אין לו אפשרות למכור (כי כאמור לקונה הפוטנציאלי אין הכנסה). מסקנה :הקצאת שמ"ת היא ההקצאה התחילית. נראה זאת מתמטית : * מנוסחת CDמקבלים שביקושי פרט Aהינם אפס y A 0 y A : d e Px 2 7 Px * בסעיף הקודם הגענו לביקושי פרט ,Bשהינם : 1 Px e , yB d xA 0 xA d Px 7 Px Px 2 xB d * ניקיון שווקים :ננקה את שוק ה: X- Px 7 0 1 Px 7 Px Px 2 * נציב בביקושים : e 7 yB 7 7 7 x A xB 1 d d 2 1 7 d , yB e 1 xB 7 7 7 2 7 xB d לא לומדים בקורס התגבור ורוצים ללמוד גם באופן פרונטלי? הצטרפו ללימוד בקבוצות קטנות – לימוד ותרגול חומר ספציפי בקבוצה קטנה ואיכותית. מעט תלמידים ,יחס אישי ,לימוד פרקטי ומחירים נוחים! לשיעורים פרטיים ,קבוצות קטנות ,קבוצות פרקטיקה ועוד 500-66-000-29 :עידן 8 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il נושא :ש"מ תחרותי בכלכלת חליפין-ייצור תרגול נוסף – מציאת שמ"ת בכלכלת חליפין בכלכלה הנתונים הבאים : * שני מוצרים ()X,Y * שני צרכנים ) (1,2בעלי פונקציית תועלת - 0.5 u i (x i , yi ) x i yi 0.5 * יצרן אחד (של מוצר )Yהמייצר באמצעות פונקציית הייצור y 2x 0.5 - * לכל פרט סל תחילי של יחידת Xאחת .בנוסף ,פרט 1מחזיק בפירמה. נרמלו Py 1ומצאו את Pxבשמ"ת. פתרון שימו לב ש X-הוא גם גורם ייצור וגם מוצר צריכה – הביקוש אליו גם ע"י הצרכנים וגם ע"י הפירמה נתחיל מהיצרנים נרמול מחירים :ננרמל כמבוקש .Py=1 זיהוי סוג הפונקציה :תי"ל. פתרון לפי סוג הפונקציה :נמצא את 3האסים כ-פ' של המחירים – 1 1 2 1 d Px x y ys y 2 Px Px Px xy Py MPK y Px 1 נעבור לצרכנים : בדיקת מצב סטנדרטי :צרכנים הצורכים את אותם 1מוצרים טובים – CD +מתנהגים יפה. נרמול מחירים :בוצע. מקסום תועלת +מציאת ביקושים : פרט : 1נשתמש בנוסחת הביקושים של – CD (קיצור – נמצא רק את הביקושים של Xוננקה את השוק שלו) 1 Px 0.5 0.5 Px Px 2 Px 1 d x1 2 9 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il פרט : 2נשתמש בנוסחת הביקושים של – CD 1 Px 0.5 2 Px x2 d ניקיון שווקים :ננקה את שוק ה .X-נזכור כי מדובר במקרה חריג בו הביקוש של הפירמה לגו"י Xהוא חלק מהביקושים במשק ויש להכניס אותו למשוואת ניקיון השוק – 0.5 1.5 1 d d d X 1 X 2 X y X S 0.5 2 0.5 2 2 1 Px 1.5 Px Px 2 Px צריכים חיזוק? ** שיעורים פרטיים יעילים ומותאמים לצורכיכם ** ** שיעורים קבוצתיים בהתאמה אישית – קבוצות קטנות של לימוד נושאים ספציפיים ,קבוצות תרגול בלבד ,ועוד ** לשיעורים פרטיים או קבוצתיים 500-66-000-29 :עידן 11 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il נושא :אי ודאות תרגול נוסף – יעילות פארטו בכלכלת אי ודאות (מצב סטנדרטי) בכלכלת אי ודאות הנתונים הבאים : * ההסתברות למצב טבע aהיא .qaההסתברות למצב טבע bהיא .qb * במצב טבע aיש 11יחידות תצרוכת ובמצב טבע bיש 11יחידות תצרוכת. u1 C1 * ישנם גם שני פרטים ( ,)1,1כאשר u2 3 C2 : מצאו את קו החוזה. פתרון בדיקת מצב סטנדרטי 1 :פרטים 1 ,מצבי טבע ,והפרטים מתנהגים יפה (נוכל לראות בהמשך). תנאי השקה וקו חוזה פנימי : 1 qa 2 C1 q C1 MRS 2 a a 1 qb C1 qb b 2 C1 a b 1 b b 1 u1 C1 qa 3 2 C2 q C2 MRS 2 a a 1 qb C2 qb 3 b 2 C2 a E (u1 ) qa C1 qb C a b b C1 C 2a a C1 C2 מגבלת המקורות C1 C2 20 : b b b E (u2 ) qa 3 C2 qb 3 C2 a b qa C2 a qb C2 qa C1 b qb C1 a MRS1 MRS 2 C1 C2 10 a a C1 20 C1 b a C1 2C1 a a C1 10 C1 b הצבת מגבלת המקורות במשוואת ההשקה : בדיקת ראשיות ושרטוט : b C1 0 C1 0 b a C1 10 C1 20 b u 2 3 C2 a כלומר קו החוזה הפנימי מחבר בין 1הראשיות ,אין הקצאות פינתיות לבדוק. 11 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il אדיש לסיכון : זיהוי • תועלת שולית קבועה מכסף /תצרוכת ==> נגזרת שנייה של פ' התועלת שווה לאפס. • מיוצג ע"י פונקציית תועלת לינארית (עם עקומות אדישות לינאריות) u(Ci ) Ci : תכונות (או :מה ניתן להגיד על אדיש לסיכון גם כאשר פונקציית התועלת אינה נתונה) • האדיש לסיכון כשמו כן הוא – לא מתייחס לסיכון ,ולכן לפרט זה יש אפקט אחד בלבד אשר משפיע על העדפותיו :תוחלת הרכוש. • מבחינת פרט זה תוחלת הרכוש היא מדד שווה ערך לתוחלת התועלת – ניתן באמצעות תוחלת הרכוש לדרג כל צמד הקצאות. תכונה חשובה נוספת של האדיש לסיכון : • עבור פרט זה ,תמיד = MRS :יחס ההסתברויות. q qa E[u (Ci )] qa Ci a qb Ci b MRS i a qb qb 12 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il אמונות סובייקטיביות מצב בו כל אחד מהפרטים מייחס הסתברויות אחרות למצבי הטבע. במצב זה ותחת המקרה של ודאות מצרפית :שוויון -MRSים בהכרח לא יתקבל על קו הודאות המשותף של 1הפרטים (=אלכסון התיבה) – בשונה מהמקרים של הסתברויות אובייקטיביות +ודאות מצרפית (עם 1שונאים /שונא ואדיש). על קו הודאות המשותף : 2 1 q MRS 2 a qb q MRS1 a qb לכן ,ישנן 2גישות : כיבוד אמונות הפרטים :בכל מקרה אין צורך להתערב ,אפשר לתת לפרטים "להמר" – ההקצאות היעילות יתקבלו בשוויון -MRSים (ובדפנות רלוונטיות שיוצאות יעילות). פטרנליזם :ישנה הסתברות אובייקטיבית כלשהי ולפחות אחד מהפרטים טועה ,לכן אין זה הוגן לתת להם לטעות ויש לאסור על "הימורים" – ההקצאות היעילות הן על קו הודאות המשותף של שני הפרטים. הערה :אם יש אי ודאות מצרפית ,לגישה זו אין מענה לגבי מהן ההקצאות היעילות. מסתבכים עם אי ודאות? רוצים להתמודד עם פתירת תרגילים בצורה יעילה ומלמדת? הצטרפו לקבוצות הפרקטיקה – אתם מנסים לפתור והמתרגל עובר ביניכם ועוזר לכם בקשיים אשר מתגלים בשידור חי! קבוצות קטנות ,יחס אישי ,לימוד פרקטי ומחירים מסובסדים! לשיעורים פרטיים ,קבוצות פרקטיקה ועוד 500-66-000-29 :עידן 13 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il נושא :השפעות חיצוניות תרגול נוסף בהשפעות חיצוניות – דוגמא של השפעות חיצוניות בצריכה פרט 1תמיד נהנה ממוצר ,Yונהנה ממוצר Xעד רמה מסויימת .פונקציית התועלת של פרט 1הינה .2Y1+12X-X2 : מוצר Xשייך בלעדית לפרט .1פרט 1תמיד נהנה ממוצר Yותמיד סובל ממוצר Xשל פרט .1 פונקציית התועלת של פרט 1הינה .1Y2-2X2 : לרשותו של פרט Z1 1יחידות ,Yולרשותו של פרט Z2 1יחידות .Yכמויות אלו אינן ניתנות לשינוי. א .מהן כמויות הצריכה של כל פרט בשמ"ת (מכל מוצר)? ב .מהן כמויות הצריכה היעילות? (הניחו שהתועלות קוואזי-לינאריות בכסף) פתרון א .בשמ"ת נתחיל מהגורם המשפיע (פרט) : max x 2Y1 12 X X 2 2 max x 2Z1 12X - X s.t Y1 Z1 u : 12 2 X 0 12 2 X X 6 X שימו לב שכמות ה )Z1=( Y1-לא ניתנת לשינוי ולכן לא גוזרים לפיה – זה לא באמת משתנה החלטה של הפרט. כלומר פרט 1צורך Y1=Z1ו.X=6- שימו לב שלפרט 1אין בחירה כלל – ) Y2(=Z2לא ניתן לשינוי ,ועל ה X-הוא אינו מחליט .כלומר ,הוא צורך Y2=Z2 וסובל מה X=6-של פרט .1 ב .תועלות קוואזי-לינאריות בכסף ולכן ניתן למקסם את סכומן : max x 2Y1 12 X X 2 2Y2 2 X 2 2 s.t Y1 Z1 max x 2Z1 2Z2 12X - 3X Y2 Z 2 u : 12 6 X 0 12 6 X X 2 X 14 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il מס פיגוביאני ושוק זכויות יש שתי דרכים שבהם הממשלה יכולה להתערב בש"מ ולהביא לכך שנקבל תוצאה יעילה : .1מס פיגוביאני (מס מתקן) – ניתן להטיל על הגורם המשפיע מס (או סובסידיה) על השימוש במשתנה המשפיע ובכך לגרום לו להפנים את ההשפעה החיצונית שהוא מטיל על הגורם המושפע .אלא אם כן נאמר אחרת ,מס פיגוביאני הוא מס "בגובה" (ולא בשיעור) .נציב את הפתרון היעיל בפתרון הבעיה כדי לראות איזה מס יביא אותנו לפתרון הזה. .2שוק זכויות -יוצרים שוק של זכויות שימוש בהשפעה חיצונית .ישנו סל תחילי של זכויות שימוש לכל גורם ,ומאפשרים מסחר ביניהם על זכויות אלו .דרך הפתרון הינה כפתרון שמ"ת רגיל – מחפשים את מחיר הזכויות ואת הקצאתן בין הגורמים בש"מ. דוגמא : בהמשך לשאלה הקודמת - ג .מהו המס שיביא לפתרון שמ"ת שהינו יעיל (= מס פיגוביאני)? ד .הניחו כי לפרט 1מותר לצרוך עד 6יחידות .Xאבל ,קיים שוק זכויות ל .X-נסמן את הזכויות כמוצר .Hמהו שמ"ת? פתרון : ג. דרך א' : max x 2Y1 12 X X tX 2 max x 2Z1 12X - X tX s.t Y1 Z1 2 u 2 : 12 2 X t 0 x t 8 X דרך ב' : 4X 8 )( X 2 u2 X t ד H .הן למעשה יחידות Xשפרט 1יכול לקנות מפרט 1כדי למנוע ממנו לצרוך .Xמאחר ש X=6-זו הרמה שנבחרת ע"י פרט 1בשמ"ת רגיל ,ברור כי מה שלא יימכר ייצרך כ .X-כלומר . X = 6-H : נפתור לפי שמ"ת בתוספת המסחר על הזכויות (מחפשים את מחיר הזכויות והקצאתן בשמ"ת). 15 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il נתחיל מהגורם המשפיע (פרט : )1 max X, H Z1 12 X X 2 PH H 2 max H Z1 12(6 - H) - (6 - H) PH H s.t X 6 - H u : 12 2(6 H ) (1) PH 0 12 12 2 H PH 0 PH 2 H H נעבור לגורם המושפע (פרט : )2 (נשים לב שאי אפשר להציב את PHשמצאנו לפני הגזירה כי אז פרט 1מתחשב בהחלטה של פרט ,1וזה לא קורה בשמ"ת ,מה גם שבשוק הזכויות הכל סימולטני) max X, H 5000 2 X 2 PH H 2 max H 5000 2(6 H ) PH H s.t X 6 - H u : 2 2(6 H ) (1) PH 0 4(6 H ) PH 0 PH 24 4S H נשווה בין משוואות ה PH -ונקבל 2H 24 4H 6H 24 H 4 PH 8 X 2 : מה ניתן לראות מהפתרון : ההקצאה של Xאשר מתקבלת בשמ"ת (עם פתיחת שוק זכויות) שווה להקצאתו בפתרון הפ"י (סעיף .)ii מחיר הזכויות שווה להשפעה החיצונית השולית על הגורם המושפע (בע.מ) בנקודה הפ"י : u 2 Z2 2 X 2 )( X 2 2 2 X 2 2 2 8 PH X 2 u2 X שמ"ת לאחר פתיחת השוק הינו פ"י (נובע מהנקודות הנ"ל). מסתבכים עם השפעות חיצוניות? רוצים להתמודד עם פתירת תרגילים בצורה יעילה ומלמדת? הצטרפו לקבוצות הפרקטיקה – אתם מנסים לפתור והמתרגל עובר ביניכם ועוזר לכם בקשיים אשר מתגלים בשידור חי! קבוצות קטנות ,יחס אישי ,לימוד פרקטי ומחירים מסובסדים! לשיעורים פרטיים ,קבוצות פרקטיקה ועוד 500-66-000-29 :עידן 16 © כל הזכויות על חוברת זו שמורות לעידן אלסטר www.elster.co.il
© Copyright 2024