1. No category

‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫תורת הבקרה )‪(035188‬‬
‫תרגול מס' ‪ – 2‬עיצוב חוג במערכות גמישות ובקר עם שתי דרגות חופש‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫נתון תהליך המתאר מערכת גמישה‪.‬‬
‫‪2.5s3‬‬
‫‪ s  4.25  s 2  0.035s  23‬‬
‫‪P( s ) ‬‬
‫התהליך בעל עקום בודה הבא‪:‬‬
‫‪Bode Diagram‬‬
‫‪50‬‬
‫‪-50‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-100‬‬
‫‪450‬‬
‫‪P‬‬
‫‪270‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪180‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Phase (deg‬‬
‫‪360‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Frequency (rad/s‬‬
‫הפיק הגבוה בתגובת התדר הוא תוצאה של ריסון מאוד נמוך של התהליך‪ .‬תגובת ההלם‪ ,‬למשל‪ ,‬תתכנס מאוד לאט‪:‬‬
‫‪Impulse Response‬‬
‫‪15‬‬
‫‪P‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪Time (seconds‬‬
‫תכננו בקר אשר מגדיל את ריסון המערכת בחוג סגור‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪5‬‬
‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬
TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering
1 ‫ – דרך‬1 ‫פתרון שאלה‬
:‫עקום ניקולס של התהליך‬
Nichols Chart
60
P
Open-Loop Gain (dB)
40
0.25 dB
0.5 dB
20 1 dB
3 dB
6 dB
0
0 dB
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
System: P
Phase Margin (deg): -126
-20 1.33
dB
Delay Margin (sec):
At frequency (rad/s): 3.06
Closed loop stable? No
-20
-40
-40 dB
-60
-60 dB
-80
-80 dB
-100
180
-100 dB
225
270
315
360
405
450
495
540
Open-Loop Phase (deg)
‫ נקטין הגבר בתדרים‬.)1 ‫ הגבר המערכת גדול מ‬180 ‫ (בזווית‬C  s   1 ‫המערכת אינה יציבה בחוג סגור עם הבקר‬
‫ נבחר מסנן אשר יוריד הגבר משמעותית‬.‫ זה גם יחליק את מאמץ הבקרה‬.‫גבוהים באמצעות מסנן מעביר נמוכים‬
:‫ למשל‬. c  3r s ,‫בתדרים גבוהים אך מצד שני לא יקטין יותר מדי את תדר המעבר של התהליך‬
Clpf  s  
6
s6
Magnitude (dB)
Bode Diagram
0
-3
-5
Clpf
-10
-15
-20
Phase (deg)
-25
0
-45
-90
0.1
1
6
10
100
Frequency (rad/s)
: L  s   Clpf  s  P  s  ‫עקום ניקולס של‬
2
‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬
TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering
Nichols Chart
60
Open-Loop Gain (dB)
40
System: P*Clpf
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
3 dB
6 dB
Phase Margin (deg): -52.1
Delay Margin (sec): 0.36
20
At frequency (rad/s): 14.9
Closed loop stable? No
0
P
P*Clpf
0 dB
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
System: P*Clpf
Phase Margin (deg): -155
Delay Margin (sec): 1.14 -20 dB
At frequency (rad/s): 3.15
Closed loop stable? No
-20
-40
-40 dB
-60
-60 dB
-80
-80 dB
-100
-100 dB
0
45
90
135
180
225
270
315
360
405
450
495
540
Open-Loop Phase (deg)
‫ למערכת‬.‫ לכן המערכת עדיין לא יציבה‬,‫ הוסיף גם פיגור פאזה‬Clpf  s  ‫ אך המסנן‬,‫ההגבר בתדרים גבוהים אמנם ירד‬
‫ לקבלת עודף פאזה טוב‬.‫ הגבוה צריך להוסיף קידום פאזה על מנת לייצב את המערכת‬c ‫ באזור‬. c ‫החדשה יש שני‬
:‫ נקבל את הבקר הבא‬.‫ הנוכחי‬c  15r s ‫ נניח שנשמור על‬.‫נצטרך שני בקרי קידום‬
  s  c   1.97 s  15 2
1  sin  2 
  52  25  77 ,  
 3.89 , Clead  s   

 s     s  29.6 
1  sin  2 
c 

2


: L  s   Clead  s  Clpf  s  P  s  ‫עקום ניקולס של‬
Nichols Chart
60
40
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
3 dB
6 dB
20
Open-Loop Gain (dB)

0 dB
-20
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
-40
-40 dB
-60
-60 dB
0
-80
-100
-120
-80 dB
P
P*Clpf
P*Clpf*Clead
-100 dB
-120 dB
0
45
90
135
180
225
270
315
360
Open-Loop Phase (deg)
3
405
450
495
540
‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬
TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering
:‫ למשל‬.)‫ לכן נוסיף בקר פרופורציונאלי שיוריד הגבר (ולא ישנה את הפאזה‬,‫בקר קידום מגדיל הגבר בתדרים גבוהים‬
K  0.5
: L  s   KClead  s  Clpf  s  P  s  ‫עקום ניקולס של‬
Nichols Chart
60
40
20
Open-Loop Gain (dB)
0 dB
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
3 dB
6 dB
0
-1 dB
-3 dB
-6 dB
System: P*Clpf*Clead*K
-12 dB
Phase Margin (deg):-20
46.5dB
System: P*Clpf*Clead*K
-20 Gain Margin (dB): 5.49
Delay Margin (sec): 0.143
At frequency (rad/s): 5.66
-40 dB
Closed loop stable? Yes
At frequency (rad/s): 24.5
-40 Closed loop stable? Yes
-60
-60 dB
P
P*Clpf
P*Clpf*Clead
P*Clpf*Clead*K
-80
-100
-120
0
45
90
135
180
225
270
315
-80 dB
-100 dB
-120 dB
360
405
450
495
540
Open-Loop Phase (deg)
: Td  s  ,‫ נתבונן בתמסורת החוג הסגור להפרעה‬.‫ניתן להוריד את ההגבר עוד יותר אך זה יפגע בהנחת הפרעות‬
Bode Diagram
50
0.5
0.3
0.1
P
40
Magnitude (dB)
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
0
10
1
10
2
10
Frequency (rad/s)
‫ אם נמשיך להקטין את ההגבר (כדי לשפר עודפי‬,‫ אבל‬.‫ שזה טוב‬,‫ניתן לראות כי בחוג הסגור הקטנו את ריסון התהליך‬
:‫ נראה את תגובת החוג להפרעת הלם‬.)‫ נקבל דווקא הקטנה בריסון החוג (הפיק יגדל‬,)‫ למשל‬,‫יציבות‬
4
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫‪Impulse Response‬‬
‫‪40‬‬
‫‪30‬‬
‫‪20‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪5‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪-30‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪-40‬‬
‫)‪Time (seconds‬‬
‫ככל שההגבר ‪ K‬קטן יותר (ואז גם ‪ c‬השני קטן יותר)‪ ,‬כך אמנם עודפי היציבות טובים יותר (וגם מאמץ הבקרה‬
‫יורד)‪ ,‬אך המערכת מגבירה יותר את תדר הרזוננס שבא לידי ביטוי בתגובת הפרעה תונדת יותר ומתכנסת לאט יותר‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ – 1‬דרך ‪2‬‬
‫נוסיף לתהליך הנתון את הבקר ‪( C  s   1‬כלומר‪ ,‬משוב חיובי)‪ .‬עקום ניקולס של ‪: L  s    P  s ‬‬
‫‪Nichols Chart‬‬
‫‪60‬‬
‫‪-P‬‬
‫‪0 dB‬‬
‫‪-1 dB‬‬
‫‪0.25 dB‬‬
‫‪0.5 dB‬‬
‫‪1 dB‬‬
‫‪3 dB‬‬
‫‪6 dB‬‬
‫‪20‬‬
‫‪0‬‬
‫‪System: -P‬‬
‫‪Phase Margin (deg): 53.8‬‬
‫‪Delay Margin (sec): 0.307‬‬
‫‪At frequency (rad/s): 3.06‬‬
‫‪Closed loop stable? No‬‬
‫‪-20 dB‬‬
‫‪-40 dB‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪-40‬‬
‫‪-60 dB‬‬
‫‪-60‬‬
‫‪-80 dB‬‬
‫‪-80‬‬
‫‪-100 dB‬‬
‫‪360‬‬
‫‪315‬‬
‫‪270‬‬
‫‪225‬‬
‫‪135‬‬
‫‪180‬‬
‫‪90‬‬
‫‪45‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪Open-Loop Gain (dB‬‬
‫‪-3 dB‬‬
‫‪-6 dB‬‬
‫‪-12 dB‬‬
‫‪40‬‬
‫‪-100‬‬
‫)‪Open-Loop Phase (deg‬‬
‫‪6‬‬
‫נוריד גם פה את ההגבר בתדרים גבוהים על ידי שימוש במסנן מעביר נמוכים כמו קודם‪,‬‬
‫‪s6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ . Clpf  s  ‬נקבל‪:‬‬
‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬
TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering
Nichols Chart
60
40
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
3 dB
6 dB
Open-Loop Gain (dB)
20
0
-P
-P*Clpf
0 dB
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
System: -P*Clpf
Phase Margin (deg): 25.3
Delay Margin (sec): 0.14
At frequency (rad/s): 3.15
Closed loop stable? No
-20
-40
-20 dB
-40 dB
-60
-60 dB
-80
-80 dB
-100
-180 -135 -90
-100 dB
-45
0
45
90
135
180
225
270
315
360
Open-Loop Phase (deg)
. c  3.15r s ‫ לשם כך יש להוסיף פיגור פאזה ב‬.‫אנו רוצים "לדחוס" את עקום ניקולס בין שתי הנקודות הקריטיות‬
‫ בבקר פיגור סטנדרטי לא כדאי להשתמש‬.‫ וניקח את ההופכי שלו‬75 ‫נשתמש בבקר קידום שמוסיף קידום פאזה של כ‬
.‫ פיגור‬6 ‫ הוא מוסיף רק עד כ‬c ‫פה כי בתדר‬
  s  c 
1  sin  2 
  25  50  75 ,  
 4.14 , Clead  s   
 s   
1  sin  2 
c 


2

 s  6.41 


 2.03s  3.15 
2
: L  s   Clag  s  Clpf  s  P  s  ‫עקום ניקולס של‬
Nichols Chart
60
40
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
3 dB
6 dB
20
Open-Loop Gain (dB)

0
-20
-40
0 dB
System: -P*Clpf*Clag
Phase Margin (deg): -50
Delay Margin (sec): 1.72
At frequency (rad/s): 3.15
Closed loop stable? Yes
-40 dB
-60
-60 dB
-80
-80 dB
-P
-P*Clpf
-P*Clpf*Clag
-100
-120
-180 -135 -90
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
-45
0
45
90
-100 dB
-120 dB
135
180
225
270
315
360
Open-Loop Phase (deg)
: Td  s  ,‫נתבונן בעקום בודה (הגבר) של תמסורת החוג הסגור להפרעה‬
6
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫‪Bode Diagram‬‬
‫‪50‬‬
‫‪P‬‬
‫‪Td‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-50‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-100‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Frequency (rad/s‬‬
‫הפיק אכן הונחת משמעותית‪ ,‬כלומר הריסון גדל‪ .‬תגובת החוג להפרעת הלם‪:‬‬
‫‪Impulse Response‬‬
‫‪20‬‬
‫‪Td‬‬
‫‪P‬‬
‫‪15‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2.5‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-10‬‬
‫)‪Time (seconds‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫נתון המנוע מהתרגול הקודם בעל פונקציית התמסורת‪:‬‬
‫‪20.773 111.4  s‬‬
‫‪s  0.269s  1 111.4  s‬‬
‫‪P s ‬‬
‫בתרגול הקודם דרשנו שבחוג הסגור יתקיים‪:‬‬
‫‪ .1‬זמן עלייה בעקיבה אחר מדרגה באות הייחוס קטן ככל האפשר‪.‬‬
‫‪ .2‬שגיאת מצב מתמיד אפס להפרעת מדרגה‪.‬‬
‫‪ .3‬עודף פאזה ‪. PM  35‬‬
‫‪ .4‬שגיאת מצב מתמיד קטנה מ ‪ 5%‬להפרעות מחזוריות בתחום התדרים ‪.    0, 0.03r s‬‬
‫‪7‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫כעת‪ ,‬בנוסף לדרישות אלו‪ ,‬דרוש כי החוג הסגור יתנהג על פי מודל ייחוס‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ s  1‬‬
‫‪. Tr  s  ‬‬
‫פתרון שאלה ‪2‬‬
‫הבקר שתכננו בתרגול הקודם ענה על דרישות ‪ 1 – 4‬עם מהירות תגובה סבירה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s  3  1.76s  30 ‬‬
‫‪C  s   10.1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪s  s  52.8 ‬‬
‫נבחן קונפיגורציה של חוג סגור עם בקר בעל שתי דרגות חופש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫המטרה של הבקר ‪ C  s ‬היא לייצב את המערכת‪ .‬המטרה של המפצה המקדים ‪ F  s ‬היא לשפר עקיבה‪ ,‬למשל‬
‫‪‬‬
‫באמצעות מודל ייחוס‪.‬‬
‫‪ F  s ‬נמצא מחוץ לחוג‪ ,‬לכן אינו משפיע על התגובה להפרעות‪ F  s  .‬חייב להיות יציב וסיבתי‪.‬‬
‫פונקציית הרגישות המשלימה עם הבקר ‪ C  s ‬הנ"ל‪ ,‬היא‪:‬‬
‫‪C s P s‬‬
‫)‪2568( s  111.4)( s  16.63)2 (s  3‬‬
‫‪‬‬
‫)‪1  C  s  P  s  ( s  160.9)(s  3.033)(s 2  22.66s  253.1)(s 2  36.75s  1922‬‬
‫‪T s ‬‬
‫המערכת מסדר ‪ ,strictly proper ,6‬ולא מינימום פאזה (בעלת אפס ימני)‪ .‬לקבלת מודל הייחוס הדרוש‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ s   Tr  s   F  s  T  s   F  s   Tr  s  T 1  s ‬‬
‫‪r‬‬
‫דרגת ‪ Tr  s ‬היא ‪ ,2‬לכן נקבל ‪( proper F  s ‬ולכן סיבתי)‪ ,‬אך כיוון ש ‪ T  s ‬מכיל אפס ימני‪ ,‬זה יהיה קוטב של‬
‫‪ , F  s ‬לכן ‪ F  s ‬יהיה לא יציב‪ .‬לפיכך‪ ,‬אין ברירה ועל מודל הייחוס להכיל את האפס הימני של התהליך‪ ,‬אך עלינו‬
‫גם להעלות את הסדר של מודל הייחוס כדי ש ‪ F  s ‬יהיה סיבתי‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪111.4  s‬‬
‫‪111.4  s  1‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪( s  160.9)( s  3.033)( s 2  22.66s  253.1)( s 2  36.75s  1922‬‬
‫‪2568( s  16.63)2 ( s  3)  s  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪s ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ F  s   Tr  s  T‬‬
‫נתבונן בתגובות המדרגה המתקבלות עם מודל הייחוס עבור ערכי ‪ ‬שונים לעומת התגובה ללא מודל ייחוס‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪Tr  s  ‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫‪Step Response‬‬
‫‪1.6‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.04‬‬
‫‪0.01‬‬
‫‪0.005‬‬
‫‪Gyr‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.45‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.2‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.35‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪0.05‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.4‬‬
‫)‪Time (seconds‬‬
‫ככל שנבחר ‪ ‬קטן יותר נקבל תגובה מהירה יותר (וגם ‪ US‬עמוק יותר)‪ ,‬אך נזכור כי מאמץ הבקרה יעלה גם הוא‪.‬‬
‫‪9‬‬